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Ejercicio 1.7

Pregunta 1:

Complete la tabla siguiente con cada uno de los trminos faltantes.DividendoDivisorCocienteResiduo2347524083273741DividendoDivisorCocienteResiduo23453752408327374 23 4

-23 5 3

2DividendoDivisorCocienteResiduo2345337752408327374 7

-35 5 2

3DividendoDivisorCocienteResiduo234533775240850327374 40 8

-40 5 0

4DividendoDivisorCocienteResiduo23453377524085032744374 32 7

-28 4 4

5DividendoDivisorCocienteResiduo2345337752408503274437941 37

- 4

6Pregunta 2:

Mostrar que si un nmero natural es a la vez un cuadrado y un cubo, entonces puede escribirse en la forma 7k 7k+1.7Despus de leer repetidas veces la pregunta, notamos que se habla de nmeros que son cuadrados y cubos a la vez. Entonces, debe venir a nuestra mente la pregunta: qu significa que un nmero sea cuadrado y cubo a la vez?

Con la investigacin descubrimos que cuando un nmero se eleva al exponente 2, entonces su resultado se llama cuadrado, y cuando un nmero se eleva al exponente 3, entonces su resultado se llama cubo.

Pero, cmo sabemos a cules nmeros debemos elevar al cuadrado y al cubo?

La respuesta en muy fcil, a todos los nmeros naturales.8Los nmeros naturales son:

Los cuadrados corresponden a:

Y los cubos son:

Los nmeros que cumplen con ser cubos y cuadrados a la vez, estn en la lista siguiente:

IN={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,}Cuadrados={0,1,4,9,16,25,36,64,81,100,}Cubos={0,1,8,27,64,125,216,343,}CC={0,1,64,}9Realmente, todo consiste en verificar el algoritmo de la divisin, segn las condiciones dadas.

La primera comprobacin sera 0=7k 0=7k+1, que no otra cosa ms que dividir por 7 la cantidad especfica 0. 0 7

-0 0 0

Notemos que el residuo es cero, eso significa que la frmula que se ajusta a la condicin particular es 7k porque: 0=70, entonces: 0=7k

10La segunda comprobacin sera 1=7k 1=7k+1, que no otra cosa ms que dividir por 7 la cantidad especfica 1. 1 7

-0 0 1

Notemos que el residuo es 1, eso significa que la frmula que se ajusta a la condicin particular es 7k+1 porque: 1=70+1, entonces:

1=7k+1

11La tercera comprobacin sera 64=7k 64=7k+1, que no es otra cosa ms que dividir por 7 la cantidad especfica 64. 64 7

-63 9 1

Notemos que el residuo es 1, eso significa que la frmula que se ajusta a la condicin particular es 7k+1 porque: 64=79+1, entonces:

64=7k+1

12Pregunta 3:

Mostrar que el cuadrado de cualquier nmero natural es de la forma 3k 3k+1.

13Los nmeros naturales son:IN={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,}Cuadrados={0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,}Los cuadrados corresponden a:14Verificamos el algoritmo de la divisin, segn las condiciones dadas.

La primera comprobacin sera 0=3k 0=3k+1, que no otro cosa ms que dividir por 3 la cantidad especfica 0. 0 3

-0 0 0

Notemos que el residuo es cero, eso significa que la frmula que se ajusta a la condicin particular es 3k porque: 0=30, entonces: 0=3k

15La segunda comprobacin sera 1=3k 1=3k+1, que no otra cosa ms que dividir por 3 la cantidad especfica 1. 1 3

-0 0 1

Notemos que el residuo es 1, eso significa que la frmula que se ajusta a la condicin particular es 3k+1 porque: 1=30+1, entonces:

1=3k+1

16La tercera comprobacin sera 4=3k 4=3k+1, que no es otra cosa ms que dividir por 3 la cantidad especfica 4. 4 3

-3 1 1

Notemos que el residuo es 1, eso significa que la frmula que se ajusta a la condicin particular es 3k+1 porque: 4=31+1, entonces:

4=3k+1

17La cuarta comprobacin sera 9=3k 9=3k+1, que no es otra cosa ms que dividir por 3 la cantidad especfica 9. 9 3

-9 3 0

Notemos que el residuo es 0, eso significa que la frmula que se ajusta a la condicin particular es 3k porque: 9=33, entonces:

9=3k

18Pregunta 4:

Mostrar que el cubo de cualquier nmero natural es de la forma 9k, 9k+1 9k+8.19Los nmeros naturales son:IN={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,}Cubos={0,1,8,27,64,125,343,}Los cubos corresponden a:20Verificamos el algoritmo de la divisin, segn las condiciones dadas.

La primera comprobacin sera 0=9k, 0=9k+1 0=9k+8, y esto sera dividir por 9 la cantidad especfica 0. 0 9

-9 0 0

Notemos que residuo es cero, eso significa que la frmula que se ajusta a la condicin particular es 9k porque: 0=90, entonces: 0=9k

21La segunda comprobacin sera 1=9k, 1=9x+1 1=9k+8, y esto sera dividir por 9 la cantidad especfica 1. 1 9

-0 0 1

Notemos que el residuo es 1, eso significa que la frmula que se ajusta a la condicin particular es 9k+1 porque: 1=90+1, entonces:

1=9k+1

22La tercera comprobacin sera 8=9k, 8=9k+1 8=9k+8, y esto sera dividir por 9 la cantidad especfica 8. 8 9

-0 0 8

Notemos que el residuo es 8, eso significa que la frmula que se ajusta a la condicin particular es 8k+8 porque: 8=90+8, entonces:

8=9k+8

23La cuarta comprobacin sera 64=9k, 64=9k+1 64=9k+8, y para tomar decisin habra que dividir por 9 la cantidad especfica 64. 64 9

-63 7 1

Notemos que el residuo es 1, eso significa que la frmula que se ajusta a la condicin particular es 9k+1 porque: 64=97+1, entonces:

64=9k+1

24Pregunta 5:

Mostrar que el cuadrado de cualquier nmero natural impar es de la forma 4k+1 u 8k+1.

25Los nmeros naturales impares son:IN={1,3,5,7,9,11,}Cuadrados={1,9,25,49,81,}Los cuadrados de esos nmeros corresponden a:26Verificamos el algoritmo de la divisin, segn las condiciones dadas.

La primera comprobacin sera 1=4k+1 u 1=8k+1, note que k est acompaada por 4 y por 8, por lo tanto la divisin sera por 4 y por 8, la cantidad especfica 1. 1 4

-0 0 1

Notemos que el residuo es 1, eso significa que se cumplen ambas condiciones, 1=40+1, entonces: 1=4k+1. Tambin, 1=80+1 que es: 1=8k+1. 1 8

-0 0 1

27La segunda comprobacin sera 9=4k+1 y 9=8k+1, note que k est acompaada por 4 y por 8, por lo tanto la divisin sera por 4 y por 8, la cantidad especfica 9. 9 4

-8 2 1

Notemos que el residuo es 1, eso significa que se cumplen ambas condiciones:

9=42+1, por lo tanto 9=4k+1.

9=81+1, por lo tanto 9=8k+1. 9 8

-8 1 1

28La tercera comprobacin sera 25=4k+1 y 25=8k+1, note que k est acompaada por 4 y por 8, por lo tanto la divisin sera por 4 y por 8, la cantidad especfica 25. 25 4

-24 6 1

Notemos que el residuo es 1, eso significa que se cumplen ambas condiciones:

25=46+1, por lo tanto 25=4k+1.

25=83+1, por lo tanto 25=8k+1. 25 8

-24 3 1

29Pregunta 6:

Resuelva el siguiente problema: Bob el constructor necesita colocarle cermica a un piso que mide 400cm de largo por 300cm de ancho. Las piezas de cermica miden 30cm de largo por 15cm de ancho, y se van a colocar con el lado mayor de la pieza paralelo al lado mayor de la habitacin. Cuntas piezas necesita Bob para este trabajo?

30El trabajo principal se reduce a dividir 400 por 30 y 300 por 15. 400 30

-390 13 10 100 -90 10 300 15

-300 20 0Esto significa que se necesitan 14 piezas a lo largo y 20 piezas a lo ancho. Para saber la cantidad total de piezas, se multiplica 14 por 20, lo que nos da un total de 280 piezas de cermica.

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