Ejercicio 1

1.1. Sean las matrices

A= B= C= Efectuar las operaciones

(A+B)2; (A-B)2; (B)2; A*Bt *C

Desarrollo:

A+B= + =

(A+B)2 = * =

=

A-B = - =

(A-B)2 = * = =

B3 = * * = *

= * = =

A*Bt * C=

Bt =

A*Bt * C= * * =

= * =

=

1.2. Sean la matrices A= B= C=

Justificar si son posibles los siguientes productos

a) (At * B) * Cb) (B * Ct) * Atc) Determinar la dimensin de M para que pueda efectuarse el producto A*M*Cd) Determinar la dimensin de M para que Ct * M sea una matriz cuadrada

DesarrolloCondicin = Para que pueda efectuarse el producto de matrices el nmero de columnas de la primera matriz debe ser igual al nmero de filas de la segunda matriz.

At = Ct =

a) (At * B) * C

(At 3X2 * B2x2) * C3X2 = (At * B)3X2 *C3X2

No se puede efectuar el producto porque el nmero de columnas de (At * B) no coincide con el nmero de filas de C.

b) (B * Ct) * At

(B2X2 * Ct 2x3) * At 3x2 = (B*C)2X3 * At 3X2 = (B * Ct * At) 2x2

c) Determinar la dimensin de M para que pueda efectuarse el producto A*M*C A3X2 * Mmxn * C3X2 = m=2

d) Determinar la dimensin de M para que Ct * M sea una matriz cuadrada

Ct 2x3 * Mmxn m=3 n=3

1.3. Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz

A=

* = *

=

a=a+c a+d = b+ dc=c c+d= d

X=

1.4. Siendo

A= B= C=

Resolver la ecuacin matricial: AX + 2B = 3C

Desarrollo:AX = 3C 2BA-1 AX = A-1 (3C 2B)X= A-1 (3C 2B)

Primero hallamos la matriz inversa de A con el mtodo de Gauss. Donde hay que hacer al nmero sealado _

A-1 = F2 = -F1 + F2 F3=-F1+F3

F3= -F2+F3 =

A-1 =

X= * = * =

= * =

1.5. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanteras: A, B y C. En cada uno de los tamaos, grande y pequeo. Produce diariamente 1000 estanteras grandes y 8000 pequeas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeas de tipo C. Cada estantera grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantera pequea lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.a) Representar esta informacin en dos matrices.b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la produccin diaria de cada uno de los seis modelostamao de estantera.

a) Filas = Modelos = A, B, C Columnas = Tipos = G, P

M =

Matriz de los elementos de las estanteras:

Filas = Tipos = G, P Columnas = T, S

N=

b) .Matriz que expresa el nmero de tornillos y soportes para cada modelo de estantera

M*N = * = =

Ejercicio 22.1. Dada las matrices:

Calcular:A+B; A B; A * B; B * A; At

2.2. Demostrar que: A2 A 2I = 0, siendo:

2.3. Sea A la matriz . Hallar An, para nE N

2.4. Por qu matriz hay que pre multiplicar la matriz para que resulte

a+ 2b = 5b = 2 c + 2d = 6d = 3

2.5. Calcular la matriz inversa de:

1. Construir una matriz del tipo M = ( A I )

2. Utilizar el mtodo de gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho ser la matriz inversa: A-1

2.6. Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema: -2

Multiplicamos la segunda ecuacin por -2

Sumamos miembro a miembro Si multiplicamos la primera ecuacin por 3 y sumamos miembro a miembro obtenemos 3

2.7. Una fbrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminacin N, 200 unidades en la terminacin L, y 50 unidades en la terminacin S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminacin N, 100 unidades en la terminacin L, y 30 unidades en la terminacin S. La terminacin N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administracin. La terminacin L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administracin. La terminacin S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administracin.1. Representar la informacin en dos matrices 2. Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administracin empleadas para cada uno de los modelos. Matriz de produccin:Filas: Modelos A y B Columnas: Terminaciones: N, L, S

Matriz de Coste en horas: Filas: Terminaciones: N, L, S Columnas: Coste en horas: T, A

Matriz que expresa las horas de taller y de administracin para cada uno de los modelos:

2.8. Calcular el rango de la matriz siguiente:

F1 2F2

F3 3F2

F3 + 2F1

Por tanto: r (A) = 2

2.9. Siendo: Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:1. XA = B + I2. AX = B = C 3. XA + B = 2C4. AX +BX = C5. XAB XC = 2C

1. XA = B + I X = (B + I) A-1

2. AX = B = C X = A-1 (C-B)

3. XA + B = 2C

4. AX +BX = CX (A+B) = C

2.10. Resolver; en forma matricial, el sistema: x + y + z = 6x + 2y + 5z = 12x + 4y + 25z = 36

A * X = CA-1 A * X = A-1 CI * X = A-1 * CX = A-1 * C= 50 + 5 + 4 (2 + 20 + 25) 59 47 12 0 = 50 -20 = 30 = 25 -4 = -21 = 5 -2 = 3 = 25 -5 = -20 = 25 -1 = 24 = 5 -1 = -4 = 4 -2 = 2 = 4 -1 = -3 = 2 -1 = 1Si i + j es par, el signo no cambia, y si es impar el signo cambia.

Reemplazamos:

Ejercicio 33.1. Representa las siguientes rectasa) y=2

b) y= - 2

c) y=

d) y= 0

e) x= 0

f) x= -5

g) y= x

h) y=- 2x 1

i) y= 1/2x -1

j) y= 2x

3.2. Representa las siguientes funciones, sabiendo que:3.2.1 Tiene pendiente -3 y ordenada en el origen -1.

m= pendiente = -3x= variablen= ordenada = -1

y=-3(x)-1y= -3(1)-1y=-4

y=-3(-2)-1y= 6-1y=5

3.2.2. Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (-3, 2).

Desarrollom=4 A (-3,2)

y= 4 (x) +nn= y-4(x)n= 2- 4(-3)n= 14

y= 4(x)+ny=4(1)+14y=18y=4(-5)+14y=-20+14y= -6

3.2.3 Pasa por los puntos A (-1,5) y B (3,7).

A (-1, 5) B (3, 7) y= mx+n y= mx+n5=(-1)m + n 7=3m +n

5= (-1) m + n7= (3) m +n______________-2= -4m + //m= n=

y= (1) + y= y= 6

y= (-1) + y= 5

3.2.4. Pasa por el punto P (2, -3) y es paralela a la recta de ecuacin y = -x +7

P (2, -3)Ecuacin y= - x +7

Desarrollom= -1Remplazando valores en la ecuacin y= mx +n

-3 = (-1) x +n

n= -1

Ecuacin para la rectay= -1x -1

Dando valoresy= -1( -2) -1y= 1

y= -1 (2) -1y= -3

3.3.1. Tres kilogramos de boquerones valen 18 dlares. Escribe y representa la funcin que define el coste de los boquerones en funcin de los kilogramos comprados.

Tres kilogramos = 18 dolares

Para sacar la funcin coste de boquerones se debe encontrar el costo de un kilogramo.

x =

x= 6 dlares c/kilogramo

Funcin de coste

y = 6x

Dando valores

y= 6 (0)y= 0

y= 6 (3)y = 18

3.4.1. En las 10 primera semanas de cultivo de una planta, que meda 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una funcin a fin que d la altura de la planta en funcin del tiempo y representar grficamente.

Altura inicial = 2 cmCrecimiento semanal = 0.5 cm

Funcin

y = 0.5 (x) + 2

Dando valores

y = 0.5 (0) + 2y = 0 + 2y = 2

y = 0.5 (3) + 2y = 1.5 + 2y= 3.5

3.5.1. Por el alquiler de un coche cobran 100 dlares diarios ms 0.30 dlares por kilmetro. Encuentra la ecuacin de la recta que relaciona el coste diario con el nmero de kilmetros y represntala. Si en un da se ha hecho un total de 300 km, Qu importe debemos abonar?

Importe Inicial = 100 dlaresm= 0.30 dlares

Dando valores

y= 0.30 (x) + 100

y= 0.30 (0) + 100y= 100

y= 0.30 (250) + 100

y= 75 + 100

y= 175

3.6. Halla el vrtice y la ecuacin del eje de simetra de las siguientes parbolas:1. Y = ( x 1 )2 + 1

a = 1 b = -2 c = 2 Yv = f (1) Xv = 1 Yv = 12 -2(1) + 2 Yv = 1 2 + 2V = (1, 1) Yv = 1

2.

a = 3 b = -6 Yv = f (1) c = 4 Yv = 3(1)2 -6(1) + 4 Xv = 1 Yv = 3 6 + 4V = (1, 1) Yv = 1

3.

a = 2 b = 4 Yv = f (-1) c = -1 Yv = 2(-1)2 -4(1) -1 Xv = -1 Yv = 2 4 - 1V = (-1, -3) Yv = -3

4.

a = -3 b = 12 Yv = f (2) c = -17 Yv = -3(2)2 + 12(2) - 17 Xv = 2 Yv = -12 + 24 - 17V = (2, -5) Yv = -5

5. a = 1 b = -7 Yv = f () c = -18 Yv = ()2 - 7() 18

Yv = - 18

V = (, )

6. a = 3 b = 12 Yv = f (-2) c = -5 Yv = 3(-2)2 + 12(-2) - 5 Xv = -2 Yv = 12 - 24 - 5V = (-2, -17) Yv = -17

3.7. Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan el eje de abscisas las siguientes parbolas: 1. a = 1 PC = b3 -4acb = -5 PC = (-5)2 4(1) (3)c = 3 PC = 25 12 PC = 13 > 0 Hay dos puntos de corte 2. a = 2 PC = b3 -4acb = -5 PC = (-5)2 4(2) (4)c = 4 PC = 25 32 PC = -7 < 0 No hay puntos de corte 3. a = 1 PC = b3 -4acb = -2 PC = (-2)2 4(1) (4)c = 4 PC = 4 16 PC = -12 < 0 No hay puntos de corte

4. a = -1 PC = b3 -4acb = -1 PC = (-1)2 4(-1) (3)c = 3 PC = 1 + 12 PC = 13 > 0 Hay dos puntos de corte

3.8. Representa grficamente las funciones cuadrticas

1. y= -x2 +4x -3

VrticeYv = f(x)Yv = -x2 +4x -3Yv = -(2)2 +4(2) -3Yv = -4 +8 -3Yv = 1

Xv = Xv = Xv = Xv = 2

V= (2, 1)

Puntos de corte con el eje OX

x2 -4x +3 = 0

x =

x1 = 3x2 = 1

Puntos de corte con el eje OY

(0, -3)

y= x2 +2x +1

Vrtice Yv = f(x)Yv = x2 +2x +1Yv = (-1)2 +2(-1) +1Yv = 1-2+1Yv = 0

Xv = Xv = Xv = Xv = -1

V= (-1, 0)

Puntos de corte con el eje OX

x2 +2x +1 = 0

x =

x = -1

Coincide con el vrtice (-1,0)

Puntos de corte con el eje OY

(0,1)

3.9. Una funcin cuadrtica tiene una expresin de la forma y= x2 +ax + a y pasa por el punto (1,9). Calcular el valor de a.

y= x2 +ax + a

Reemplazando valores

9 = (1)2 +a(1) + a9 = 1 + a + a8 = 2a = 4