ejemplos de ejercicios bernoulli

PROCESOS INDUSTRIALES AREA MAUFACTURA.

MATERIA: ESTADISTICA.

TEMA: PROBABILIDAD.

PROFESOR: Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz.

ALUMNA: Claudia Azucena Ávila Hernández.

FECHA: 18/MARZO/2012

Ejemplos de ejercicios Bernoulli

1. Un jugador de básquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La

probabilidad de que anote el tiro es de 0.55

a) Sea X=1 si anota el tiro, si no lo hace X=0 determine la media y la varianza de X.

Eventos probabilidades

X=1 si anota 1 0.55 (p)= 1(0.55)= 0.55

X=0 si no anota 0 0.45 (1-p)=0(0.45)=__0__

Media= 0.55

(1-0.55)²(0.55)=0.1111375

(0-0.55)²(0.45)=0.1361255

Varianza=0.2475

b) Si anota el tiro su equipo obtiene 2 puntos. Si lo falla su equipo no recibe puntos. Sea Y el

numero de puntos anotados ¿tiene una distribución de Bernoulli? Si es así encuentre la

probabilidad de éxito, si no explique porque.


Y=2 si anota 2 0.55 (p)= 2(0.55)= 1.1

Y=0 si no anota 0 0.45 (2-p)=0(0.45)= 0

No es una distribución Bernoulli porque los eventos que se presentan no son 1 y 0.

c) Determine la medida y varianza de Y


Y=1 si anota 2 0.55 (p)= 2(0.55)= 1.1

Y=0 si no anota 0 0.45 (2-p)=0(0.45)=__0__

Media= 1.1

(2-1.1)²(0.55)=0.4455

(0-1.1)²(0.45)=0.5445

Varianza=0.99

d) Por ser un tiro de larga distancia, si anota obtiene 3 puntos, si lo falla 0 puntos. Sea Z el

numero de puntos anotados ¿tiene una distancia de Bernoulli? Si es asi encuentre la

probabilidad de éxito, si no explique porque.

Eventos

Z=3 si anota 3

Z=0 si no anota 0

No es una distribución Bernoulli porque los eventos no son 1 y 0.

e) Determine la media y la varianza de Z.


Y=1 si anota 3 0.55 (p)= 3(0.55)= 1.65 (3-1.1)²(0.55)=1.002375

Y=0 si no anota 0 0.45 (3-p)=0(0.45)=__0__ (0-1.1)²(0.45)=1.225125

Media= 1.65 Varianza=2.2275

2. En un restaurante de comida básica 25% de las órdenes para beber es una bebida

pequeña, en 35% una mediana y 40% una grande. Sea X =1 si se escoge aleatoriamente

una orden de una bebida pequeña, X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la orden es una

bebida mediana y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si la orden es una bebida pequeña o

mediana, Z=0 para cualquier otro caso.

a) Sea px la probabilidad de éxito de X. determine px


X=1 si es una bebida chica 1 0.25 (p)= 1(0.25)= 0.25

X=0 si no lo es 0 0.75 (1-p)=0(0.75)=__0__

Media= 0.25

0.25(1-0.25)=0.1875

b) Sea py la probabilidad de éxito de Y. determine py


Y=1 si es una bebida mediana 1 0.35 (p)= 1(0.25)= 0.25

Y=0 si no lo es 0 0.65 (1-p)=0(0.75)=__0__

Media= 0.35

0.35(1-0.35)=0.2275

c) Sea pz la probabilidad de éxito de Z. determine pz


Z=1 si es una bebida chica o mediana 1 0.60 (p)= 1(0.60)= 0.60

Z=0 si no lo es 0 0.40 (1-p)=0(0.40)=__0__

Media= 0.60

0.60(1-0.60)=0.22

d) ¿es posible que X y Y sean iguales a 1?

No es posible solo 1 de ellas puede ser posible.

e) ¿es pz=px+py?

Si es igual.

f) ¿Es Z=X+Y? explique

3. Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica el 5% es la probabilidad de

que se descolore, el 20% de que se agriete, 23% de que se descolore o no se agrieté, o

ambas. Sea X=1 si se produce una descoloración X=0 en cualquier otro caso. Y=1 si hay

alguna grieta, Y=0 en cualquier otro caso. Z=1 si hay descoloración o grieta o ambas, Z=0

en cualquier otro caso.



X=1 si se decolora 1 0.05 (p)= 1(0.05)= 0.05

X=0 si no sucede es 0 0.951-p)=0(0.95)=__0__

Media= 0.05

0.05(1-0.05)=0.0475

b) Sea py la probabilidad de éxito de Y. determine py.


Y=1 si se decolora 1 0.20 (p)= 1(0.20)= 0.20

Y=0 si no sucede es 0 0.80 (1-p)=0(0.95)=__0__

Media= 0.20

0.20(1-0.20)=0.16

c) Sea pz la probabilidad de éxito de Z. determine pz.


Z=1 si se decolora 1 0.23 (p)= 1(0.20)= 0.23

Z=0 si no sucede es 0 0.77 (1-p)=0(0.95)=__0__

Media= 0.23

0.23(1-0.23)=0.1771

d) ¿es posible que X y Y sean iguales a 1?

No es posible solo 1 de ellas puede ser posible.

e) ¿es pz=px+py?

No, no es igual.

f) ¿Es Z=X+Y? explique

4. Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos sea X= 1 si sale “cara” en la moneda de

1 centavo, X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale “cara” en la moneda de 5 centavos,

Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale “cara” en ambas monedas, Z=0 en cualquier

otro caso.



X=1 si sale cara 1 0.50 (p)= 1(0.50)= 0.50

X=0 si no 0 0.50 1-p)=0(0.50)=__0__

Media= 0.50

0.50(1-0.50)=0.25



Y=1 si sale cara 1 0.50 (p)= 1(0.50)= 0.50

Y=0 si no 0 0.50 1-p)=0(0.50)=__0__

Media= 0.50

0.50(1-0.50)=0.25



Z=1 si sale cara 1 0.50 (p)= 1(0.50)= 0.50

Z=0 si no 0 0.50 1-p)=0(0.50)=__0__

Media= 0.50

0.50(1-0.50)=0.25

d) ¿son X y Yindependientes?

Si son independientes.

e) ¿es pz=pxpy²?

f) ¿es Z=XY? Explique

5. Se lanzan 2 dados. Sea X=1 si sale el mismo numero en ambos y X=0 en cualquier otro

caso. Sea Y=1 si la sume es 6 y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale el mismo

numero en los dados y ambos sumen 6 (es decir, que salgan 3 en los dos dados) y Z=0en

cualquier otro caso.



X=1 si sale el mismo numero 1 0.16 (p)= 1(0.16)= 0.16

X=0 si no 0 0.84 (1-p)=0(0.84)=__0__

Media= 0.16

0.16(1-0.16)=0.1344




X=0 si no 0 0.936 (1-p)=0(0.036)=__0__

Media= 0.064

0.064(1-0.064)=0.059904




X=0 si no 0 0.96875(1-p)=0(0.036)=__0__

Media= 0.03125

0.03125(1-0.03125)=0.0302734

d) ¿son X y Y independientes?

Si son independientes

e) ¿es pz=pxpy²?

Si

f) ¿es Z=XY? Explique

Ejemplos de distribución binomial

1. Se toma una muestra de 5 elementos de una población grande en la cual el 10% de los

elementos esta defectuoso.

a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra este

defectuoso.

p(x=0)= 5 0.1⁰(1-0.1)µ⁻⁰=0.59049

0

b) Determine la probabilidad de que solo uno de ellos tenga defectos.

p(x=1)= 5 0.1¹(1-0.1)µ⁻¹=0.32805

1

c) Determine la probabilidad de que uno o más de los elementos de la muestra

estén defectuosos.

p(x=3)= 5 0.1³(1-0.1)µ⁻³=0.0081

3

p(x=4)= 5 0.1´(1-0.1)µ⁻´=0.00045

4

p(x=5)= 5 0.1µ(1-0.1)µ⁻µ=0.00001

5

d) Determine la probabilidad de que menos de dos elementos de la muestra tengan

defectos.

p(x=1)= 5 0.1²(1-0.1)µ⁻²=0.0729

1

2. Se lanza al aire una moneda 10 veces.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres veces “cara”?

p(x=0)= 10 0.5³(1-0.5)¹⁰⁻³=0.1171875

3

b) Determine la media del número de caras obtenidas.

p(x=2)= 10 0.5²(1-0.5)¹⁰⁻²=0.043945312

2

3. En un cargamento grande de llantas de automóvil, 5% tiene cierta imperfección. Se elige

aleatoriamente cuatro llanta para instalarlas en el automóvil.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfección?

p(x=0)= 4 0.05⁰(1-0.05)´⁻⁰=0.81450625

0

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una de las llantas tenga imperfección?

p(x=1)= 4 0.05¹(1-0.05)´⁻¹=0.171475

1

c) ¿Cuál es la probabilidad de que una o mas de las llantas tenga imperfección?

p(x=2)= 4 0.05²(1-0.05)´⁻²=0.0135375

2

p(x=3)= 4 0.05³(1-0.05)´⁻³=0.000475

3

p(x=4)= 4 0.05´(1-0.05)´⁻´=0.00000625

4

4. En un patrón aleatorio de ocho bits utilizados para probar un microcircuito, cada bit tiene

la misma probabilidad de ser 0 ó 1. Suponga que los valores de los bits son

independientes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1?

p(x=8)= 8 0.50⁸(1-0.50)⁸⁻⁸=0.00390625

8

b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de los bits sean 1?

p(x=3)= 8 0.50³(1-0.50)⁸⁻³=0.21875

3

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 6 de los bits sean 1?

p(x=6)= 8 0.50¶(1-0.50)⁸⁻¶=0.109375

6

d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1?

p(x=2)= 8 0.50²(1-0.50)⁸⁻²=0.109375

2

EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON

1. poisson (4). Determine

a) P(X=1)=0.0733

b) P(X=0)=0.0183

c) P(X<2)=0.0916

d) P(X>1)=0.9084

2. La concentración de partículas en una suspensión es de 2 mL. Se agita ´por completo la

concentración y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el número de partículas que son

retiradas. Determine

a) P(X=5)=0.10081

b) P(X<2)=0.0555

3. Suponga que el 0.03% de los contenedores plásticos producidos es cierto proceso tiene

pequeños agujeros que los dejan inservibles X representa el numero de contenedores en

una muestra aleatoria de 10000 que tienen esta defecto determine:

a) p(X=3)=0.2240

b) p(X<2)=0.4232

c) p(1<X<4)=0.5974

4. Una variable aleatoria X tiene una distribución binomial y una variable aleatoria Y tiene

una distribución de Poisson, tanto X como Y tienen medidas iguales a 3 ¿Es posible

determinar que variable aleatoria tiene la varianza mas grande? Elija una de las siguientes

respuestas

i. Si, X tiene una varianza más grande.

ii. Si, Y tiene una varianza más grande.

iii. No, se necesita conocer el número de ensayos, n, para X.

iv. No, se necesita conocer la probabilidad de éxito, p, para X

v. No, se necesita conocer el valor de λ para Y.

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