Modelos y Simulacin Vctor Anaya

Objetivo El alumno plantear y resolver problemas a travs de simulacin digital, con el auxilio de la computadora.

El estudiante comprender la metodologa de la simulacin, para poder resolver problemas de optimizacin que no tengan solucin analtica.

Esquema de aprendizaje

Unidad I. Metodologa en la solucin de problemas.

Unidad II. Generacin y uso de variables aleatorias.

Unidad III. Estimacin estadstica e inferencia.

Unidad IV. Lenguajes de simulacin.

Unidad V. Aplicaciones.

Simulacin

Segn R.E. Shannon la simulacin es el proceso de disear un modelo de un sistema real y llevar a trmino experiencias con l, con la finalidad de comprender el comportamiento del sistema o evaluar nuevas estrategias -dentro de los limites impuestos por un cierto criterio o un conjunto de ellos - para el funcionamiento del sistema.

Ventajas de los mtodos de

simulacin La simulacin permite analizar grandes

problemas complejos para los que no estn disponibles resultados analticos.

Es un proceso relativamente eficiente y flexible.

Puede ser usada para analizar y sintetizar una compleja y extensa situacin real, pero no puede ser empleada para solucionar un modelo de anlisis cuantitativo convencional.

Ventajas de los mtodos de

simulacin La simulacin por computadora permite que el tomador

de decisiones experimente con muchas polticas y argumentos diferentes sin cambiar o experimentar realmente con el sistema existente real.

La simulacin por computadora le permite comprimir tiempo. Por ejemplo, se puede estudiar el impacto a largo plazo de una poltica para un banco durante todo un ao en una simulacin por computadora que dura unos cuantos minutos.

Desventajas de los mtodos de

simulacin Los resultados numricos obtenidos se basan en

el conjunto especfico de nmeros aleatorios, cuyos valores corresponden a slo uno de los resultados posibles.

Para obtener estimaciones ms exactas y para minimizar la probabilidad de tomar una mala decisin se deber Hacer un gran nmero de ensayos en cada simulacin

y/o ;

Repetir toda la simulacin un gran nmero de veces.

Desventajas de los mtodos de

simulacin Cada simulacin requiere su propio diseo

especial para imitar el argumento real bajo investigacin y su propio programa de computadora y modelo matemtico asociado. Aunque es posible aprender y usar paquetes de software especializados, el esfuerzo de desarrollo en el diseo y programacin de simulaciones del mundo real es extremadamente tardado.

Mtodos de Monte Carlo

En general al conjunto de mtodos que se utilizan para resolver problemas de simulacin se les conoce como mtodos de Monte Carlo. La invencin del mtodo de Monte Carlo se asigna a Stan Ulam y a John von Neumann. Ulam ha explicado cmo se le ocurri la idea mientras jugaba un solitario durante una enfermedad en 1946. Advirti que resulta mucho ms simple tener una idea del resultado general del solitario haciendo pruebas mltiples con las cartas y contando las proporciones de los resultados que calcular todas las posibilidades de combinacin.

Generacin de nmeros aleatorios

Se puede generar una variable con cualquier distribucin aleatoria a travs de nmeros uniformes (0,1) si conocemos la funcin de distribucin acumulada.

Existen algunos algoritmos computacionales para generar los llamados: nmeros Pseudo-Aleatorios

Generadores de nmeros

Pseudo-Aleatorios Para generar cadenas de nmeros pseudo-aleatorios (con distribucin uniforme), los lenguajes de programacin implementan los algoritmos:

Algoritmo de cuadrados medios

Algoritmo de productos medios

Mtodo congruencial.

Nmeros Uniformes (0,1)

En Excel se utiliza la funcin

=Aleatorio()

Mtodo de la transformacin inversa

Teorema de inversin. Sea X una variable aleatoria con funcin de distribucin de probabilidad F, continua e invertible, y sea F 1 su funcin inversa. Entonces, la variable aleatoria U = F(X) tiene distribucin uniforme en (0,1). Como consecuencia, si U es una variable aleatoria uniforme en (0,1) entonces la variable aleatoria X = F 1(U) satisface la distribucin F.

Ejemplo 1 - Simulacin

Para generar un nmero aleatorio con distribucin exponencial, primero generamos un nmero uniforme entre cero y uno U

Ahora

Ejemplo 1 - Simulacin

Entonces si U tiene distribucin uniforme entonces

Tendr una distribucin exponencial con media 1/l

Ejemplo 2 - Simulacin

La lotera de Nueva York acaba de disear una nueva lotera instantnea. Cada tarjeta contiene 3 filas. En cada rengln hay 2 casillas, una que tiene un valor oculto de $1 y la otra $5. El jugador raspa 1 casilla de cada rengln y si todos los valores son los mismos, entonces gana esa cantidad. La pregunta es, cunto debe cobrar por cada tarjeta para estar en el punto de equilibrio?

Ejemplo 2 - Simulacin

Este problema en particular tiene una solucin analtica, es decir, podemos encontrar el precio justo a travs de un desarrollo matemtico.

Otra manera de encontrar la solucin es usando un modelo de simulacin, podemos implementar ste en una hoja de Excel .

Ejemplo 2 - Simulacin

Ejemplo 2 - Simulacin

Ejemplo 2 - Simulacin

Entonces

El precio justo de cada tarjeta es:

$0.759

Ejemplo 3 - Simulacin

El gerente de PRODUCTOS PRECEDEROS SL vende todos los das un producto perecedero en el mercado, de tal manera que las existencias que no se venden en el da constituyen una perdida neta igual al coste de su adquisicin ms 1/unidad en concepto de transporte.

Ejemplo 3 - Simulacin

A primera hora de la maana adquiere las unidades de producto que prev que va a vender. A continuacin se va a su puesto en el mercado, donde permanece hasta las 14 horas. Despus de esa hora las unidades sobrantes van al contenedor de basura.

Por esta razn, el gerente desea ser muy cuidadoso con las provisiones de ese producto y con tal motivo ha decidido realizar un modelo de simulacin que le informe de cuantas unidades de ese producto debe adquirir cada da.

Ejemplo 3 - Simulacin

Los datos pertinentes y la implementacin en Excel estn en el workbook:

(Doble clic para abrir)

Ejemplo 4 Simulacin de Inventarios

Una empresa est evaluando estrategias de inventarios para mantener el abastecimiento del producto X.

El nmero de unidades demandadas producto tiene una distribucin Poisson(15). Es decir, en promedio se necesitan 15 unidades por da

El productor tarda 2 das en surtir la bodega.

Ejemplo 4 Simulacin de Inventarios

El costo por almacenar el producto X es de $1.5 por da.

El costo de penalizacin (por ausencia del producto) es de $5 por unidad. (Es costoso no tener el producto)

Ejemplo 4 Simulacin de Inventarios

Se evalan las estrategias:

Realizar un pedido de 80 unidades cada que el nivel de inventarios llegue a 30.

Realizar un pedido de 120 unidades cada que el nivel de inventarios llegue a 30.

Realizar un pedido de 80 unidades cada que el nivel de inventarios llegue a 40.

Se desea conocer que estrategia genera menor costo.

Ejemplo 4 Simulacin de Inventarios

Es fcil implementar el modelo en una hoja de clculo, slo basta con simular las variables de demanda.

Ejemplo 4 Simulacin de Inventarios

Hoja de clculo

Ejemplo 4 Simulacin de Inventarios

Estrategia 1

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Nivel de inventarios

Estrategia 1

Estrategia 1. Costo promedio diario: $63.29

Ejemplo 4 Simulacin de Inventarios

Estrategia 2 Estrategia 2.

Costo promedio diario: $73.48

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Nivel de inventarios

Estrategia 2

Ejemplo 4 Simulacin de Inventarios

Estrategia 3 Estrategia 3.

Costo promedio diario: $79.27

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Nivel de inventarios

Estrategia 3

Ejemplo 4 Simulacin de Inventarios

Solucin:

Se decide implementar la estrategia 1 porque el manejo del inventario es ms barato.

El modelo de Excel

(Doble clic).

FIN Simulacin