ejemplo s integral de duhamel
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7.1 EJEMPLOS
Ejemplo 7.11 Integral de Duhamel para un sistema sin amortiguamiento
Calcular la respuesta dinámica del tanque de agua de la Figura 7.3, el cual está sujeto a una carga explosiva cuyo
histograma de fuerza se muestra en la misma figura.
Figura 7.1
Solución
Para la resolución de este problema se utiliza a continuación “Mathcad 2000”, el cual es un programa de
análisis matemático que hace más fácil la resolución de integrales de este tipo.
Cálculos adicionales
Gravedad [ft/s2]: 3.32:g
Frecuencia natural: w
gkn :
Periodo natural: n
nT 2:
Primera fase, para 0<t<0.025
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [a,b] y [c,d], para la
evaluación de la carga en función del tiempo.
025.0:
0:
c
a
6.96:
0:
d
b
la ecuación de la recta resultante es:
xbaxac
bdp x 0.3864)(:)(
Evaluación de A(t) y B(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
1 Ejemplo comparativo con: Joseph Penzien, pp 104-110 [ref. 13]
k=2700 k/ft
w=96.6 k p(t)
fs0.025 s 0.025 s
96.6 k
p(t)
t
histograma de carga
Conceptos generales en el análisis dinámico
72
t
nxt dxxpA0
)()( )cos(: t
nxt dxxsenpB0
)()( )(:
La respuesta de desplazamiento es:
)cos()(3.32
: )()()( tBtsenAw
u ntntn
t
La respuesta de fuerza elástica es:
)()( : tt ukf
La respuesta de velocidad2 es:
)()( : tdtd
t uv
Segunda fase, para 0.025<t<0.05
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [e,g] y [h,i], para la evaluación
de la carga en función del tiempo.
025.0:
0:
h
e
0:
6.96:
i
g
la ecuación de la recta resultante es:
6.960.3864)(:)( geeh
gip
las condiciones iniciales para esta fase son:
tiempo inicial [s]: 025.0:tr
desplazamiento inicial[ft]: 3)( 10271.3tru
velocidad inicial [ft/s]: 385.0)(trv
Evaluación de 3C(t) y D(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
j
nj dpC0
)()( )cos(: j
nj dsenpD0
)()( )(:
La respuesta de desplazamiento es:
)cos()(3.32
)cos()(: )()()(
)(
)( jDjsenCw
jujsenv
res njnjn
ntrnn
tr
j
La respuesta de fuerza elástica es:
)()( : jj reskfuerza
La respuesta de velocidad es:
)()( : jdjd
j resvel
Tercera fase, para vibración libre t>0.05
las condiciones iniciales para esta fase son:
tiempo inicial [s]: 05.0:to
desplazamiento inicial[ft]: 017.0)05.0( trres
2 ù(t)=v(t) 3 C(t)=C(j)
Conceptos generales en el análisis dinámico
73
velocidad inicial [ft/s]: 563.0)05.0( trvel
La respuesta de desplazamiento para vibración libre es:
)cos()(: )05.0(
)05.0(
)( sresssenvel
reslib ntrnn
tr
s
La respuesta de fuerza elástica para la vibración libre es:
)()( : ss reslibkflib
las graficas de respuesta en las tres fases son:
Respuesta máxima: Fuerza[k]=69.214 en un tiempo [s]=0.0772
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 100
75
50
25
0
25
50
75
100
Respuesta de Fuerza Elástica
tiempo [s]
fuez
a el
ásti
ca [
k]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.04
0.03
0.02
0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Respuesta de Desplazamiento
tiempo [s]
des
pla
zam
ien
to [
ft]
Conceptos generales en el análisis dinámico
74
Respuesta máxima: Desplazamiento[ft]=0.025635 en un tiempo [s]=0.0772
Ejemplo 7.24 Integral de Duhamel para un sistema con amortiguamiento
Calcular la respuesta dinámica del tanque de agua de la Figura 7.4 que tiene una razón de amortiguamiento
=5%, el cual está sujeto a una carga explosiva cuyo histograma de fuerza se muestra en la misma figura.
Figura 7.2
Solución
Cálculos adicionales
Gravedad [ft/s2]: 3.32:g
Frecuencia natural: w
gkn :
Periodo natural: n
nT 2:
Razón de amortiguamiento: 05.0:
Frecuencia de amortiguamiento: 21: nD
Primera fase, para 0<t<0.025
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [a,b] y [c,d], para la
evaluación de la carga en función del tiempo.
025.0:
0:
c
a
6.96:
0:
d
b
la ecuación de la recta resultante es:
xbaxac
bdp x 0.3864)(:)(
Evaluación de A(t) y B(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
4 Ejemplo comparativo con: Joseph Penzien, pp 104-110 [ref. 13]
k=2700 k/ft
w=96.6 k p(t)
fs0.025 s 0.025 s
96.6 k
p(t)
t
histograma de carga
Conceptos generales en el análisis dinámico
75
t
Dt
x
xt dxxe
epA
n
n
0)()( )cos(:
t
Dt
x
xt dxxsene
epB
n
n
0)()( )(:
La respuesta de desplazamiento es:
)cos()(3.32
: )()()( tBtsenAw
u DtDtD
t
La respuesta de fuerza elástica es:
)()( : tt ukf
La respuesta de velocidad5 es:
)()( : tdtd
t uv
Segunda fase, para 0.025<t<0.05
El histograma de carga para esta fase está definido por la recta, de coordenadas [e,g] y [h,i], para la evaluación
de la carga en función del tiempo.
025.0:
0:
h
e
0:
6.96:
i
g
la ecuación de la recta resultante es:
6.960.3864)(:)( geeh
gip
las condiciones iniciales para esta fase son:
tiempo inicial [s]: 025.0:tr
desplazamiento inicial[ft]: 3)( 10211.3tru
velocidad inicial [ft/s]: 376.0)(trv
Evaluación de 6C(t) y D(t) para el cálculo de la integral de Duhamel:
j
Djj de
epC
n
n
0)()( )cos(:
j
Djj dsene
epD
n
n
0)()( )(:
La respuesta de desplazamiento es:
)cos()(3.32
)()cos(: )()(
)()(
)()( jDjsenCw
jsenuv
jueres DjDjD
DD
trntr
Dtrj
jn
La respuesta de fuerza elástica es:
)()( : jj reskfuerza
La respuesta de velocidad es:
)()( : jdjd
j resvel
Tercera fase, para vibración libre t>0.05
las condiciones iniciales para esta fase son:
5 ù(t)=v(t) 6 C(t)=C(j)
Conceptos generales en el análisis dinámico
76
tiempo inicial [s]: 05.0:to
desplazamiento inicial[ft]: 017.0)05.0( trres
velocidad inicial [ft/s]: 52.0)05.0( trvel
La respuesta de desplazamiento para vibración libre es:
)()cos(:)05.0()05.0(
)05.0()( ssenresvel
sresereslib DD
trntr
Dtrs
sn
La respuesta de fuerza elástica para la vibración libre es:
)()( : ss reslibkflib
las graficas de respuesta en las tres fases son:
Respuesta máxima: Fuerza[k]=64.1402 en un tiempo [s]=0.0758
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 100
75
50
25
0
25
50
75
100
Respuesta de Fuerza Elástica
tiempo [s]
fuez
a el
ásti
ca [
K]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.03
0.0225
0.015
0.0075
0
0.0075
0.015
0.0225
0.03
Respuesta de Desplazamiento
tiempo [s]
des
pla
zam
ien
to [
ft]
Conceptos generales en el análisis dinámico
77
Respuesta máxima: Desplazamiento[ft]=0.023756 en un tiempo [s]=0.075