Problema Resuelto(Miguel Angel Castillo)

Dada la función fx 1x − 2

(a) Dibuje la representación gráfica de la función.

(b) Encuentre el dominio y el rango de la función.

(c) Indique si la función es uno a uno, justifique su respuesta.

(d) Si la función es uno a uno encuentre la función inversa, de su dominio y su rango.

(e) Dibuje la gráfica de la función y de la función inversa en el mismo sistema de coordenadas.

(f) Compruebe que ff−1x f−1fx x

Solución

(a) Primero dibujemos la representación gráfica utilizando utilizando los conceptos de traslaciónhorizontal y vertical, la gráfica es igual a la de la función fx 1

x , trsladada 2 unidades hacia laderecha y se muestra en la figura siguiente

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-10

-5

5

10

x

y

(b) El dominio de la función es −, 2 2, ya que el denominador no puede ser cero.Observando la gráfica se obtiene que el rango es el intervalo −, 0 0, ya que en y 0 seobserva que la gráfica tiene una asíntota horizontal.

(c) La función si es uno a uno ya que si se trazan rectas horizontales en cualquaier parte de la gráficase corta en un sólo punto. Por otro lado la función es sólamente decreciente por lo tanto, es uno auno y tiene una función inversa.

(d) Para encontrar la función inversa se despeja x en la ecuación de la función, al hacer esto se obtiene

y 1x − 2

yx − 2 1

x − 2 1y

x 1y 2

1

por lo tanto la función inversa está dada por f−1x 1x 2, el dominio de f−1 es el rango de f, es

decir −, 0 0,. El rango de f−1 es el dominio de f, es decir −, 2 2,.

(e) La representación gráfica de f y f−1 se muestra a continuación. f aparece en color azul y f−1

aparece en color rojo. También se muestra con línea punteada la recta y x, para que se observela simetría de una función y su inversa con respecto a ésta recta.

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

x

y

(f) Finalmente se prueba que ff−1x f−1fx x.

ff−1x f 1x 2 1

1x 2 − 2

11x

111x

1x11

x

f−1fx f−1 1x − 2

11x − 2

2 111x − 2

2

x − 2111

2 x − 2 2 x

Por lo que ff−1x f−1fx x

MC

2