Probabilidad, Funciones de onda y la interpretacion de CopenagueSi las partculas son ondas qu es lo que ondula ? Probabilidad La funcion de onda permite establecer la probabilidad de encontrar una partcula en un dado momento y un dado lugar del espacio.

La probabilidad de encontrar la particula en alguna parte tiene que ser 1. La funcin de onda debe ser normalizada.

La ecuacion de onda de Schrdinger para una particula de masa m en un entorno de energa potencial V en una dimension es:

i es la unidad imaginaria.

La ecuacin de Schrodinger dependiente del tiempo es la ecuacin fundamental de la Mecnica Cuntica.La ecuacin de SchrdingerDonde V = V(x,t)

El potencial a veces no depende del tiempo, y la dependencia de y en el tiempo y el espacio se puede separar. Entonces queda:

ahora dividimos por la funcin y(x) f(t):El lado izquierdo depende solo de t, y el derecho solo de x. Por lo tanto, cada lado tiene que ser constante !!La ecuacin de autovalores de Schrdinger

Integramos en ambos lados:donde C es la constante de integracion (ponemos cero).Por lo tanto:Si recordamos la solucin de la partcula libre:en que f(t) = e -iw t, asi que: w = B / , lo que significa que B = E !

Entonces, multiplicando por y(x), la ecuacin de Schrdinger solo dependiente del espacio (no del tiempo) queda: La ecuacin de autovalores de Schrdinger

Esta ecuacion se llama de autovalores o la ecuacion de Schrdinger independiente del tiempo Es tan fundamental como la otra, pero ha generado errores en muchos cursos de cuntica: Esta ecuacin solo aplica en casos estacionarios.

Para simplificar, se escribe asi:

donde:Es el operador Hamiltoniano.La ecuacin de autovalores de Schrdinger

H Es el operador Hamiltoniano. que es un operador ?Un operador opera sobre una funcion y da como resultado otra funcion. Los operadores tiles son cosas que uno puede medir, observables.Ejemplo: Este operador, deriva una funcion respecto de t, divide por la misma funcion y multiplica por ih

Este es el operador hamiltoniano.

Valor medioSi medimos una magnitud repetidas veces, o medimos un conjunto grande de partculas, obtenemos el promedio de esa magnitud. Llamado valor medio o expectation value en ingles. El valor medio de la posicin x es:

Eso era para x discreto, si x es continua, hay que integrar:Y esto da:Para cualquier funcion de x, por ejemplo g(x):

La partcula en la cajaLa particula en la caja consiste en un electron oalgo as que est encerrado en una caja de paredes indestructibles y dursimas. La energa potencial dentro de la caja es cero, y en la pared sube a infinito punto rojo:

La funcin y debe caer a cero donde el potencial es .

Dentro de la caja V=0 y la funcion de Schrdinger vale:

La solucin general es: pero ...x0Ldonde

Las condiciones de borde del potencial Vhacen que y tiene que ser cero a x = 0 y a x = L. Esto hace que solo valgan lassoluciones con n entero, como kL = np.

La funcion de onda es:

La normalizamos:

y la y normalizada es:

hay ciertas restriccionesx0L

La Energa esta cuantizadaLos valores de k vlidos en estado estacionario son:

Si se calcula la Energa da:

La energa depende del valor de n y no puede ser cero.

El caso especial de n = 1 recibe el nombrede estado basal.

De la partcula cuntica a la partcula clsica que se mueve de un lado al otroSe debe usar la ecuacion deSchrdinger completa, la que depende del tiempo (yaque queremos que la partculase mueva de un lado a otro).

La resolucin da una superposicin de ondas, que se vuelvelas grande donde hay mayorprobabilidad de encontrar la partcula a un determinado t.

El principio de incertidumbre de HeisembergDp es la indeterminacin en el momento p=mvDx es la indeterminacin en la posicin xNo se puede conocer la posicin y el momento de una partcula simultneamente y con la mxima precisin en ambas magnitudes.

De nuevo la paradoja EPR

Caja con paredes fragiles.El pozo de potencial finito es:Da:Considerando que la funcion debe ser cero en el infinito, las soluciones son:La ecuacion de Schrdinger fuera del pozo, en las regiones I y III es:haciendo:

Adentro del pozo, donde el potencial V=0, la funcion vale:donde

La solucin aca es: Las condiciones de borde requieren que

asi la funcion es suavedonde las regiones seencuentran.

Fijarse que la funcionno es cero fuera dela caja !!!Pozo de potencial finito (caja fragil)

Profundidad de penetracinEs la distancia fuera delpozo de potencial a la cual la probabilidad de encontrar la partcula y2se hace muy pequea.

Esto viola lo conocidopor la mecnica clsica !No hay forma de encerrar completamente ninguna cosa.

La mecnica clsica dice que no pasa. La cuntica dice que puede pasar con probabilidad no nula !!

La funcin de onda en la regin II vale:

La probabilidad de que la partculapase del otro lado de la barrera es:Efecto tunelSupongamos una partcula que no tiene energa suficiente para penetrar una barrera de potencial como la de la figura, E < V0.donde

Tuneleo e incertidumbreSe puede considerar que el tuneleo es una manifestacin mas del principio de incertidumbre. DE. Dt > La partcula puede violar la conservacin de energa en una cantidad DE por un tiempito del orden de Dt ~ / DE.

Para un potencial cuadrtico:

Lo ponemos en la ecuacion de autovalores de Schrdinger

Oscilador armnico

Oscilador armnicoLas soluciones son de laforma donde Hn(x) son los Polinomios de Hermite de orden n.

Mas extraezasEn un movimiento armnico clasico (pendulo), la probabilidad de encontrar la partcula en los bordes es mayor que en el centro (pasa mas tiempo cerca del borde, donde se mueve despacito).Es todo lo contrario en la resolucin cuntica, a bajas energas.

La extraa probabilidad se va !!A medida que aumenta el nmero cuntico, la cosa se va pareciendo al lmite clsico.

Colapso de la funcion de onda.Superposicion de estados y decoherencia cuntica.EntanglingGatos Muertos vs. Gatos vivosTrucos con la doble rendija de siempre.