efecto doppler relativista etn 501
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ETN - 501 FÍSICA DEL ESTADO SOLIDO
Nombre: Américo Alvarez
Surci
Docente: Ing. Teodoro Buch
30 De Noviembre De 2011
EFECTO DOPPLER RELATIVISTA
EFECTO DOPPLER RELATIVISTA
1.- INTRODUCCION
Christian Doppler fue un matemático austríaco que vivió entre 1803 y
1853. A Doppler se le conoce por el principio que propuso en el año
1842, en su trabajo “En relación con las luces coloridas de estrellas
dobles”. Este principio es conocido como Efecto Doppler. La hipótesis
de Doppler establecía que el tono de los sonidos cambiaba si la fuente
del sonido se movía.
Consideremos el caso de las ondas en la superficie del agua:
supongamos que en el centro de un estanque hay un bicho moviendo
sus patas periódicamente. Si las ondas se originan en un punto, se
moverán desde ese punto en todas direcciones. Como cada
perturbación viaja por el mismo medio, todas las ondas viajarán a la
misma velocidad y el patrón producido por el movimiento del bicho
sería un conjunto de círculos concéntricos como se muestra en la
figura. Estos círculos alcanzarán los bordes del estanque a la misma velocidad. Un observador en
el punto A (a la izquierda) observaría la llegada de las perturbaciones con la misma frecuencia que
otro B (a la derecha). De hecho, la frecuencia a la cual las perturbaciones llegarían al borde sería la
misma que la frecuencia a la cual el bicho las produce. Si el bicho produjera, por ejemplo, 2
perturbaciones por segundo, entonces cada observador detectaría 2
perturbaciones por segundo.
Ahora supongamos que el bicho estuviera moviéndose hacia la
derecha a lo largo del estanque produciendo también 2
perturbaciones por segundo. Dado que el bicho se desplaza hacia la
derecha, cada perturbación se origina en una posición más cercana
a B y más lejana a A. En consecuencia, cada perturbación deberá
recorrer una distancia menor para llegar a B y tardará menos en hacerlo. Por lo tanto, el
observador B registrará una frecuencia de llegada de las perturbaciones mayor que la frecuencia a
la cual son producidas. Por otro lado, cada perturbación deberá recorrer una distancia mayor para
alcanzar el punto A. Por esta razón, el observador A registrará una frecuencia menor. El efecto
neto del movimiento del bicho (fuente de las ondas) es que el observador hacia el cual se dirige
observe una frecuencia mayor que 2 por segundo y el observador del cual se aleja perciba una
frecuencia menor que 2 por segundo.
2.- EFECTO DOPPLER EN LAS ONDAS SONORAS
Las ondas sonoras son ondas mecánicas, se propagan en el espacio utilizando cierta propiedad del
medio, y su velocidad depende de la elasticidad del material. En el caso del aire, esta propiedad
será la presión. Es decir, que las ondas sonoras se propagan en el aire mediante variaciones de la
presión. La velocidad de las ondas sonoras en presión constante, y a 20°C se la acepta como de
unos 340 m/s.
2.1 Efecto Doppler Movimiento De La Fuente.- Consideraremos al observador en reposo respecto
del medio, solo la fuente de señal sonora se moverá.
vv
ffs
so
1
1 (1)
donde: of = Frecuencia observada
sf = Frecuencia de la fuente
sv = Velocidad de la fuente
v = Velocidad del Sonido
= + si la fuente se acerca y - si la fuente se aleja
2.2 Efecto Doppler Movimiento Del Observador.- Tenemos ahora una fuente sonora estacionaria
y un observador que se mueve respecto a la fuente.
vvff o
so 1 (2)
Donde: of = Frecuencia observada
sf = Frecuencia de la fuente
ov = Velocidad del observador
v = Velocidad del Sonido
= + si el observador se acerca y - si el observador se aleja
2.3 Efecto Doppler movimiento combinado.- Aplicando el principio de superposición a a las
ecuaciones (1) y (2) tendremos:
vvvv
ffs
o
so
1
1 (3)
3.- EFECTO DOPPLER EN LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
En el caso de las ondas electromagnéticas, no
existe un medio en el cual estas se propaguen,
ergo no puede hacerse diferenciación respecto
de quién se mueve con respecto al medio, y el
efecto se produce por la velocidad relativa
fuente-observador. Si estas ondas
electromagnéticas pertenecen a un espectro de
luz visible, observaremos un corrimiento de ese
espectro hacia el azul (aumento de frecuencia)
si nos acercamos a la fuente, y un corrimiento
hacia el rojo (disminución de frecuencia) si nos
alejamos.
Esto se conoce como desplazamiento relativo
Doppler o Doppler shift.
3.1 Análisis con Física Clásica.- Según la mecánica clásica, si el observador se acerca a una fuente
de ondas electromagnéticas, verá a las ondas venir con velocidad vc , y si la fuente se acerca al
observador, las ondas se desplazarán con velocidad vc , por lo que siempre tendremos ondas
esféricas concéntricas, contrariamente al gráfico de Doppler shift. Tenemos entonces que,
considerando que un observador se acerca con velocidad relativa v a una fuente que emite ondas
electromagnéticas con frecuencia sf , observará una señal de frecuencia:
cvff
ccvfvfvcvcf sssso
Teniendo en consecuencia
cvff so 1 (4)
Donde : cvfff sso
cv
fff
ff
s
so
(5)
Evidentemente, esto expresa que el observador ve a las ondas electromagnéticas viajar más
rápido que la luz
c
ffvc , lo cual, según hemos visto en la teoría de la relatividad, no
es posible. Sin embargo, a velocidades fuente-observador no muy elevadas, es decir, a velocidades
no relativistas, es posible utilizar esta versión simplificada.
La ecuación (4) y (5), se consideran si no hay una compresión de ondas como en la figura del
doppler-shift. Ahora bien, si suponemos que hay una compresión de los frentes de ondas y que la
velocidad c es una constante tendremos una ecuación similar a la ecuación (1)
vv
ffs
so
1
1
cambiando las variables tendremos que:
cv
ff so
1
1 (6)
En un periodo unitario la onda recorre:
cv
cv
fvc
o 1 entonces teniendo la
diferencia de longitudes de ondas
cv
o
cvo
(7)
Esta ultima formula es ampliamente utilizada para aproximaciones de astronomía y algunas otras
aplicaciones.
4. EFECTO DOPPLER RELATIVISTA
En relatividad, las ondas electromagnéticas viajan con velocidad c para todo observador, e
independientemente del movimiento de éste o de la fuente. Esto nos lleva a hacer el planteo del
efecto Doppler relativista desde ambos puntos de vista: el de la fuente, y el del observador.
Veremos que a pesar de desarrollar ecuaciones distintas, ambas resultan equivalentes con una
mayor consistencia matemática aún, que lo desarrollado para la mecánica clásica
4.1 Visto Desde El Observador.- Consideremos una fuente que emite ondas de frecuencia sf y que
se mueve con velocidad v hacia un receptor "en reposo" (al menos para su sistema de referencia).
En su unidad de tiempo propio, la fuente emite N ondas, tal que: ss tfN Si la fuente se mueve
hacia el receptor, la primera onda recorrerá una distancia rtc y la fuente recorrerá una
distancia rtv en el tiempo rt medido en el sistema del receptor.
La longitud de onda observada en el sistema del receptor será entonces:
s
r
s
r
ss
rrro t
tcv
tt
cvc
tfvct
Ntvtc
1
Siendo
s
r
tt entonces quedaría de la forma:
cv
o 1 (8)
Entonces la frecuencia observada será
cv
ccfo
o
1
1
1
1
cv
ff so (9)
Si la fuente se aleja entonces cambiamos el signo menos por más.
4.2 Visto Desde La Fuente.- Hagamos ahora el cálculo en el sistema de referencia de la fuente.
Ésta se halla ahora "en reposo" y el observador se mueve con velocidad v . En el intervalo de
tiempo st , medido en el sistema de la fuente, el receptor encuentra todas las ondas situadas a la
distancia stv , además de las situadas a la distancia stc , El número de ondas que encuentra es
ss tvtcN
, similar a como viéramos para el caso de las ondas sonoras, sólo que el
observador sigue viendo a las ondas viajar a velocidad c, porque hace su medición en un intervalo
de tiempo diferente.
En este caso, el observador es quien mide el tiempo propio, que es el intervalo de tiempo que
transcurre entre que cruza a cada una de las ondas, luego rs tt .
La frecuencia y longitud de onda observadas en el receptor serán entonces:
r
ss
r
rs
ro tc
fvctt
tvtct
Nf
cvff so 1 (10)
cvf
co
o
1
(11)
Si el observador se aleja invertimos el signo
4.3 Efecto Doppler Relativista.- Las fórmulas deducidas parecen llevar a una incongruencia.
Según la teoría de relatividad especial, su postulado establece que, es indiscernible el movimiento
relativo, es decir, no interesa quién se mueva respecto de quién el movimiento relativo será el
mismo; pero desarrollamos fórmulas que parecen expresar lo contrario (formulas 8 y 11; 9 y 10),
ya que resultan ecuaciones diferentes si partimos del movimiento de la fuente o del observador.
Sin embargo, desarrollando la expresión de “ ” y operando matemáticamente, se llega a que
ambas ecuaciones expresan lo mismo, consistentemente con nuestros principios relativistas.
Ejemplo: Verificación, sea la ecuación (9) demostrar que es la misma que la ecuación (10)
Recordamos que:
2
2
1
1
cv
1
1
1
cv
ff so ; Ecuación (9)
cv
cv
cv
f
cv
cvcv
f
cvcv
cvcv
fcv
cv
ff sssso
1
11
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cvff so 1 ; Ecuación (10)
Entonces demostramos que estas ecuaciones 9 y 10 son equivalentes.
Ahora presentaremos la formula que representa el efecto Doppler relativista (ya sea con
movimiento de observador, movimiento de fuente emisora o ambos), está dada por:
푓 = 푓 ( ⁄ )( ⁄ )
(12)
Que es la que se encuentra en libros de física moderna, y que es fácilmente deducible ya sea con la
ecuación 9 o 10.
5.- APLICACIONES
El efecto Doppler resulta de suma utilidad para realizar mediciones de velocidad, sobre todo en
casos en los que no es posible utilizar métodos directos como la medición por tiempo de
desplazamiento en una longitud conocida.
5.1 Radares para medición de velocidad.- Son los conocidos radares que utiliza la policía en las
rutas de alta velocidad. El principio de funcionamiento consiste en enviar una señal de
microondas, altamente direccional, contra el auto que se acerca. Dado que hay dos trayectos, el de
ida y el de vuelta, y que la velocidad del automóvil más rápido es más de 1.000.000 de veces más
chica que la velocidad de propagación de las microondas.
Podemos usar la forma aproximada (ecuación 5):cv
ff 2
se pone 2 por lo dicho antes 2
trayectos: el de ida y el de vuelta.
Entonces tendremos que: s
so
fffc
ffcv
22teniendo como datos, la frecuencia de emisión de
microondas sf , además de la frecuencia de rebote por la trayectoria de regreso.
5.2 Medición De Velocidades En Astronomía.- En astronomía, resulta imposible medir la
velocidad de las estrellas o galaxias lejanas. Sin embargo, observando el corrimiento relativo
Doppler de los espectros característicos de elementos conocidos, podemos calcular indirectamente
esta velocidad.
En astronomía es un fenómeno denominado corrimiento al rojo y al azul.
Que el corrimiento sea hacia el rojo o hacia el azul nos da una idea de si la estrella se acerca o se
aleja de nosotros, dado que el rojo es el color de frecuencia más baja (descenso de frecuencia) y el
azul el de frecuencia más alta (aumento de frecuencia), es decir, las estrellas que se alejan de
nosotros presentarán un corrimiento al rojo proporcional a la velocidad de escape: cv
(ecuación 7) de donde calculamos
cv , para velocidades no relativistas. La ecuación
relativista para el cálculo de la velocidad es entonces: 22
22
o
ov Donde o corresponde a la
longitud de onda observada proveniente del espectro de absorción de la estrella, y es la
longitud de onda conocida, observada en un espectro de emisión en laboratorio.
5.3 Constante de Hubble, Expansión y Edad del Universo.- El efecto Doppler en astronomía es
una herramienta esencial, ya que éste suministra información para investigar el movimiento y la
composición química de las estrellas lejanas.
Para entender cómo el efecto Doppler nos da esta información, considere los siguientes hechos:
i. Los átomos emiten y absorben luz en cantidades discretas de energía
ii. Cuando la luz emitida por una estrella pasa por sus capas de gas más externas, las ondas
de determinadas longitudes de onda son absorbidas por estos átomos.
iii. En el espectro de la luz emitido por la estrella aparecen estas líneas de absorción como
bandas oscuras.
iv. Cuando una estrella se aleja de nosotros o se acerca, el efecto Doppler cambia las
longitudes de onda percibidas, haciendo que las líneas en los espectros cambien de lugar
La gráfica muestra un ejemplo del espectro de absorción de la luz de una estrella. Las dos líneas
negras corresponden a luz que fue absorbida por átomos en la atmósfera de la estrella. El primer
espectro corresponde a una estrella en reposo relativo a nosotros que observamos desde la Tierra.
El segundo espectro corresponde a una estrella que se aleja de nosotros. Note como las líneas del
espectro se corren hacia el rojo. Finalmente, el último espectro corresponde a una estrella que se
acerca a nosotros. Note como las líneas del espectro se corren hacia el violeta.
Una de las principales observaciones astronomías que hemos de tener en cuenta es la del
corrimiento al rojo de la luz observada en las galaxias lejanas, que se debe al alejamiento de las
galaxias de nosotros, se trata de la expansión del Universo.
Hubble dedujo para esta expansión la ecuación:
Donde v= velocidad de separación, d= distancia de separación, H= constante de proporcionalidad
de Hubble. Aun ahora se trata de obtener un dato preciso de la constante de hubble, el último dato
obtenido por Florian Beutler el 25 de Julio de 2011 nos da una valor de Η = 67.0 ± 3.2∙
Dado que la expansión determina la edad del Universo y la constante de Hubble mide la rapidez
con que el Universo se está expandiendo 푣 = Η푑 se observa claramente que:
τ =1Η
El tiempo de Hubble que mide el tiempo transcurrido desde el instante en que ocurrió el Big Bang,
hasta la época actual y que se puede interpretar como la edad del Universo. Así, y de acuerdo con
el valor numérico de H tendremos que
τ ≅1
67.0 kms ∙ Mpc
=s ∙ Mpc
67.0 km
Siendo,1 푚푒푔푎푝푎푟푠푒푐 = 3.085 × 10 km y 1 푠푒푔푢푛푑표 = 0.32 × 10 años
τ ≅0.32 × 10 ∙ 3.085 × 10
67.0
τ ≅ 14734 × 10 푎ñ표푠
En otras palabras, la edad actual del Universo es igual a catorce mil setecientos treinta y
cuatro millones de años, aproximadamente.
6.- BIBLIOGRAFIA
EFECTO DOPPLER RELATIVISTA - Heber Gabriel Pico Jimenez
CORRIMIENTO AL ROJO EN RELATIVIDAD ESPECIAL - Hugo A. fernandez
RELATIVISTIC DOPPLER EFFECT AND THE PRINCIPLE OF RELATIVITY - W. Engelhardt
- http://redshift.vif.com
- http://www.cosmologia.relatividad.org/
- http://www.relatividad.org/