Presentacin de PowerPoint

SIMULACION DE LA SERIE DE FOURIER MEDIANTE MATLABCONTENIDOBIOGRAFIA DE J-B J FOURIERFUNDAMENTO TEORICOSIMULACIONES1. JEAN-BAPTISTE JOSEPH FOURIERJean-Baptiste Joseph Fourier (Francia, 21 de marzo de 1768 - Pars, 16 de mayo de 1830), matemtico y fsico francs conocido por sus trabajos sobre la descomposicin de funciones peridicas en series trigonomtricas convergentes llamadas Series de Fourier, mtodo con el cual consigui resolver la ecuacin del calor.Fue el primero en dar una explicacin cientfica al efecto invernadero en un tratado.Inici sus estudios en la Escuela Superior Benedictina de Auxerre.Se incorpor a la Escuela Normal Superior de Pars en donde tuvo entre sus profesores a los matemticos Joseph Louis Lagrange y Pierre Simon Laplace. Posteriormente, ocup una ctedra como docente en la prestigiosa cole Polytechnique.Fue en Grenoble donde condujo sus experimentos sobre la propagacin del calor que le permiten modelar la evolucin de la temperatura a travs de series trigonomtricas.Publica en 1822 su Teora analtica del calor, tratado en el cual estableci la ecuacin diferencial parcial que gobierna la difusin del calor solucionndolo mediante el uso de series infinitas de funciones trigonomtricas.Su nombre se encuentra grabado en la lista de 72 cientficos de la Torre Eiffel.2. FUNDAMENTO TEORICOGENESIS DEL ANALISIS ARMONICOANALISIS DE FOURIER

EL PROBLEMA DE LA CUERDA VIBRANTE

El curioso comportamiento de una cuerda al vibrar gener un inters excepcional entre los matemticos del siglo XVIII, dando lugar a una de las controversias ms encendidas y fructferas en la historia de las Matemticas

Fue Brook Taylor (1685-1731) quien en 1715 propuso, en su obra Methodus incrementorum , el problema de la cuerda vibrante. Se trata de determinar el movimiento de una cuerda elstica as como el tiempo de vibracin de la misma si sta es tensada mediante la aplicacin de cierta fuerza externa y luego se deja libre. Ms precisamente: supongamos que tenemos una cuerda perfectamente tensada, de longitud L , elstica, pinchada en el origen de coordenadas (0,0) y en el punto (L,0) y supongamos que tiramos de sta hasta que alcance la forma de la funcin y = f (x) , donde por supuesto hemos asumido que f (0) = f (L) = 0 y f (x) es una funcin continua. Si soltamos la cuerda y la dejamos oscilar libremente, qu formas adoptar a lo largo del tiempo?

Ahora bien, lo curioso es que la cuerda no vara alternativamente entre un armnico y otro, sino que emite todos los sonidos armnicosal mismo tiempo. He aqu la miga de la cuestin, causa de intriga y discusin entre los matemticos: cmo se las arregla la cuerda para vibrar de varias formas distintasa la vez? Esto es lo que se preguntaban matemticos geniales como D'Alembert, Daniel Bernoulli, Euler, Fourier y Dirichlet.

EL PROBLEMA DE LA CONDUCCION DEL CALOR

La ecuacin del calor predice que si un cuerpo a una temperatura T se sumerge en una caja con agua a menor temperatura, la temperatura del cuerpo disminuir, y finalmente (tericamente despus de un tiempo infinito, y siempre que no existan fuentes de calor externas) la temperatura del cuerpo y la del agua sern iguales (estarn en equilibrio trmico).

J. Fourier no solo dedujo la ecuacin del calor sino que estableci un programa sistemtico de resolucin de Ecuaciones en Derivadas Parciales, el mtodo de separacin de variables o mtodo de Fourier que involucra varias etapas:Descomposicin de los datos del problema en series de Fourier.Obtencin de la evolucin de cada coeficiente de Fourier en funcin de la EDP y de los datos.Reconstruccin de la solucin como superposicin de cada una de las componentes de Fourier (serie de Fourier).

Fourier tambin estudia el caso estacionario (independiente del tiempo t) de la ecuacin del calor

Al que aplica tambin su mtodo de separacin de variables. Esta ecuacin, que se suele llamar ecuacin de Laplace ha dado lugar a la rama de las maten ticas denominada Teora del Potencial, de suma importancia a la hora de estudiar fenmenos como la gravitacin.

EL FENOMENO DE GIBBS

Una de las muchas derivaciones interesantes, aunque desde luego no la ms importante, a que ha dado lugar el anlisis de Fourier, es el llamado fenmeno de Gibbs, que surge a mediados del siglo XIX.H. Wilbraham observ en 1848 que, en puntos cercanos a una discontinuidad de una funcin f, las sumas parciales de la serie de Fourier de f presentaban un comportamiento oscilatorio anmalo que hacia que las graficas de las sumas parciales excedieran en aproximadamente el 9 % del valor del salto de la discontinuidad. Este trabajo de Wilbraham cay en el olvido, hasta que hacia 1898 volvi a reaparecer en un contexto distinto. Fue de mano del Premio Nobel en Fsica (1907) A. Michelson, cientfico norteamericano, inventor y constructor de numerosos instrumentos fsicos de gran precisin. Michelson construyo un aparato llamado analizador armnico que permita, mecnicamente, determinar hasta los 80 primeros componentes de la serie de Fourier, a partir de la grafica de una funcin y = f(x). Michelson observ que para una funcin de tipo salto, en las cercanas del punto de discontinuidad, apareca una extraa protuberancia que no apareca en la funcin original. En un principio crey que poda deberse a un defecto mecnico del aparato. Una vez verificado que poda no ser as, escribe al fisicomatemtico J.W. Gibbs, que investig y explic el fenmeno basndose en la no convergencia uniforme de la serie de Fourier en las cercanas de un punto de discontinuidad.

Este fenmeno, que se conoce como fenmeno de Gibbs (o fenmeno de Gibbs-Wilbraham), tiene consecuencias fsicas interesantes. Por ejemplo, en el caso de circuitos elctricos en los que, por medio de un conmutador, se pueden crear saltos de voltaje. Dado que este voltaje puede sobrepasar lo inicialmente previsto, resulta importante conocer esta desviacin en relacin con la respuesta de los componentes del circuito.

Para ilustrar el fenmeno de Gibbs. Consideremos la funcin salto

La N - sima suma parcial correspondiente a su serie de Fourier viene dada por la expresin

Como f es impar ak = 0, mientras que:

La suma N - sima ser, entonces:

Usando el programa Matlab, se obtiene:

La suma parcial de Fourier excede a la de la funcin salto en el punto de discontinuidad. Por ejemplo, a la derecha del punto x = 0 se ve como la grfica de la suma parcial de Fourier supera con nitidez a la de la funcin salto.

3. SIMULACIONESSERIE DE FOURIER

Para comparar con otros valores de k:

ANLISIS DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA