電気回路 - utsunomiya university電気回路 第5章回路素子の応答 過渡現象 •...
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電気回路
第5章 回路素子の応答
過渡現象
• スイッチを入れた直後の電圧，電流の変化
• 数学的には微分方程式で記述
• ラプラス変換法を用いると容易に解ける– ヘビサイド(1850-1925)が独学で開発した演算子法を
ブロムウィッチが1916年にラプラス(1749-1827)変換
を用いて数学的に完成させたもの
– フーリエ（1768-1830）変換法の拡張
• 電気回路（過渡現象論），自動制御の主題
抵抗を流れる電流の瞬時値 i は抵抗両端の電圧瞬時値 vR に比例．
5-2 CR直列回路
コンデンサの瞬時電荷を q とすれば
dtdqi =
また， ， よりRiR =vCq
C =v
EqCdt
dqRCR =+=+1vv
5-2-1 微分方程式と解法 ・充電過程
5-2 CR直列回路(例題5-1)
5-1 抵抗回路
(5-6)
CRt
ekCEq−
⋅+=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−==
−CRt
C eECq 1v
１階の線形微分方程式
ここに，k は t = 0 における初期条件で決まる任意定数．t = 0 で q = 0 とすれば，k = −CE．よって
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
−CRt
eCEq 1
電流 i と，コンデンサの電圧 vC を求めると
,CRt
eRE
dtdqi
−==
特解 ＋ 補関数
EqCdt
dqR =+1
充電過程の解(例題5-2~5)
(5-6)
(5-22)(5-18)
微分=0 のときの定常解一般解は
同次方程式の一般解
任意定数を含まない解
過渡解
τt
CRt
eREe
REi
−−== CR=τ ： 時定数
指数関数的変化が初期値の 1/e になる時間
時定数（じていすう）
37 %
(5-20)
01=+=+ q
CdtdqRCR vv
CRt
keq−
=一般解：
t = 0 でのコンデンサの電荷は CE であるからCRt
CEeq−
=
CRt
C EeCq −==v CR
t
eRE
dtdqi
−−==
放電過程(例題 5-6)
(5-23)
(5-25)(5-26)
(5-24)
2TCR <<
2TCR <<
5-2-1 CR直列回路
における矩形波応答
時定数 τ
例題 5-7
例題 5-8
QCUSによる
シミュレーション
一般解 は…
右辺 = 0 とした同次方程式の一般解( n 個の任意定数を含む) ・・・ 補関数
右辺 = f(t) まで考えた方程式の
任意定数を含まない解 ・・・ 特 解
の和で表される．
定数係数 n 階線形
微分方程式の解構造
)(11
1
10 tfyadtdya
dtyda
dtyda nnn
n
n
n=++++ −−
−
L
a0, a1, ... , an: 定数
○ 時間を独立変数とする線形微分方程式では…
補関数： 過渡現象を表す解（過渡解）n 個の任意定数の具体的な値は n 個の
初期条件で決まる．安定な回路では t → ∞ で 0 となる．
特 解： 定常状態を表す解（定常解）
一般解 ＝ 補関数 ＋ 特 解
過渡解と定常解
微分の項をゼロに
ERidtdiLRL =+=+vv
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
−−τtt
LR
eREe
REi 11
RL
=τ ： 時定数
5-3 LR直列回路(例題5-9～11)
(5-27)
(5-28)
QCUSによる
シミュレーション
ECq
dtdiLRiCLR =++=++ vvv
,dtdqi =
2
2
dtqd
dtdi
= を使って整理
EqCdt
qdLdtdqR =++
12
2
LEq
LCdtdq
LR
dtqd
=++1
2
2より
この定数係数の2階線形微分方程式の解は
012
2=++ q
LCdtdq
LR
dtqd
同次方程式 の解（補関数）と
LEq
LCdtdq
LR
dtqd
=++1
2
2
の特解の和で与えられる．
5-4 LCR直列回路
(5-32)
(5-33)
012 =++LC
mLRm
012
2=++ q
LCdtdq
LR
dtqd
に対する次の特性方程式
の2根により，決定される．
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−±−=
CLRR
Lm 4
21 2
補関数 は，（i）,（ii）,（iii）に対応して3種類（i） m が2実根 ： R2 ＞ 4L/C（ii） m が重根 ： R2 ＝ 4L/C（iii） m が2複素根： R2 ＜ 4L/C特 解
この場合の特解は CEqp =
tmtmC ececq 21
21 +=
補関数
特性方程式は負の相異なる2実根 m1 = −p1, m2 = −p2 をもつ．
,421 2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
CLRR
Lp ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
CLRR
Lp 4
21 2
2
CEececq tptp ++= −− 2121 c1，c2： 任意定数
一般解は 補関数 + 特 解 より
tptp epcepcdtdqi 21
2211−− −−==
任意定数 c1，c2 の具体値はt = 0 における q，dq/dt の値
から決められる． R2 ＞ 4L/C の場合の電荷と電流
5-4-1 R2 > 4L/C の
場合（過制動）
(5-36)
特性方程式は重根 をもつ．LR
2−=−α
一般解は 補関数 + 特 解 より
CEectcq t ++= − 21 )( α c1，c2： 任意定数
tt ecectcdtdqi
1
21 )( ααα −− ++−==
任意定数 c1，c2 の具体値はt = 0 における q，dq/dt の値
から決められる．
5-4-2 R2 = 4L/C の
場合（臨界制動）
(5-40)
特性方程式は複素根 −α + jβ, −α − jβ をもつ．
一般解は 補関数 + 特 解 より
,2LR
=α 2
2
41
LR
LC−=β
CEtataeq t ++= − )sincos( 21 ββα a1，a2： 任意定数
( ) ( )[ ]taataaedtdqi t ββαββαα sincos 1221
+−+−== −
任意定数 a1，a2 の具体値はt = 0 における q，dq/dt の値
から決められる．
R2 ＜ 4L/C の場合の電荷と電流
5-4-3 R2 < 4L/C の
場合（不足制動）
(5-44)
QCUSによる
シミュレーション
( ) 6
323
1002.010204102
−
−
××
=×
( ) 6
323
101.01054103
−
−
××
>×
( ) 6
323
1001.0101004101
−
−
××
<×
R2 > 4L/C の場合
（過制動）
R = 3 kΩ, L = 5 mH, C = 0.1 μF
R2 = 4L/C の場合
（臨界制動）
R = 2 kΩ, L = 20 mH, C = 0.02 μF
R2 < 4L/C の場合
（不足制動）
R = 1 kΩ, L = 100 mH, C = 0.01 μF
機械とのアナロジー
• バネ k ⇔ 1/C• ダンパー r ⇔ R• 質量 m ⇔ L
m
r
k
)(2
2tFkx
dtdxr
dtxdm =++
F(t)
EqCdt
dqRdt
qdL =++1
2
2
ラプラス変換による解法
• CR直列回路
)()(
11
1/1
)()(1)(
1
tueREti
CRsR
E
sCR
sEIsE
sI
CRI
tEudttiC
tRi
EqC
Ri
CRt
−=
+=
+=∴=+
=+⇒
=+
∫
u(t) は単位
ステップ関数
逆ラプラス変換
ラプラス変換による解法
• LR直列回路
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−=
+=∴=+
=+⇒
=+
−)()()(
11)(
)()()(
/ tuetuREti
LRssR
ERsLs
EIsERILsI
tEutRitidtdL
ERidtdiL
RLt
CRt
eR
CQEdtdqi
−−==
/0
コンデンサが電荷 Q0 (< CE) をもっているとき，スイッチSを閉じてからのコンデンサの電荷 q と回路を流れる電流 i を求めよ．
EqCdt
dqRCR =+=+1vv
この微分方程式の一般解は
CRt
ekCEq−
⋅+=
t = 0 で q = Q0 より， CEQk −= 0
( ) CRt
CRt
CRt
eQeCEeCEQCEq−−−
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=−+=∴ 00 1
第5章 演習問題 2
スイッチSを閉じてコンデンサを完全に充電しておき，次にSを開く．Sを開いてからの経過時間 t とコンデンサ両端電圧 vCの関係を求めよ．ただし，rS << R とする．
スイッチSを閉じて定常状態に達したとき，ｒS << R より vC ≒ E．
よって，コンデンサに蓄積している電荷は CE．
スイッチを開いたあとは
RiCq
C ==v
コンデンサの電荷 q の時間変化が流れ出す電流になるから
idtdq
−=dtdqR
Cq
−=∴ ⇒ 01=+ q
CRdtdq
t = 0 で q = CE を考慮すると、解は CRt
CEeq−
=
両辺の自然対数をとって，整理するとC
ECRtv
ln=
第5章 演習問題 3
∴ CRt
C Ee−
=v