edudigital-mayo2015
DESCRIPTION
La innovación educativa es uno de los objetivos que la enseñanza tiene para el siglo XXI. Y en este sentido las NNTT tienen un papel vital. Esta publicación aspira a ser un punto de encuentro de experiencias de profesionalesTRANSCRIPT
-
2
-
EEnn ppoorrttaaddaa
M
M
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
a
a
s
s
y
y
n
n
e
e
u
u
r
r
o
o
c
c
i
i
e
e
n
n
c
c
i
i
a
a
.
. (pg.4)
Jess C. Guilln.
Astrofsico yMatemtico
Espaol.
Editor de Escuela con
Cerebro.
L
L
a
a
m
m
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
a
a
e
e
s
s
t
t
e
e
n
n
t
t
o
o
d
d
a
a
s
s
p
p
a
a
r
r
t
t
e
e
s
s
.
. (pg.9)
Cristian Gmera
Valenzuela. Licenciado
en Ciencias.
Magster en Didctica de
la Matemtica.
C
C
o
o
n
n
s
s
t
t
r
r
u
u
c
c
c
c
i
i
n
n
d
d
e
e
l
l
s
s
a
a
b
b
e
e
r
r
e
e
n
n
l
l
a
a
s
s
c
c
l
l
a
a
s
s
e
e
s
s
d
d
e
e
P
P
r
r
o
o
b
b
a
a
b
b
i
i
l
l
i
i
d
d
a
a
d
d
e
e
s
s
.
. (pg.13)
Yohana Swears Pozo.
Acadmica Investigadora.
A
A
l
l
g
g
u
u
n
n
o
o
s
s
t
t
i
i
p
p
s
s
p
p
a
a
r
r
a
a
t
t
u
u
m
m
e
e
j
j
o
o
r
r
e
e
s
s
t
t
u
u
d
d
i
i
o
o
y
y
c
c
o
o
m
m
p
p
r
r
e
e
n
n
s
s
i
i
n
n
d
d
e
e
l
l
a
a
m
m
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
a
a
.
. (pg.16)
Felipe Kessi Bstos, Ignacio
Ortega Yez y Estefana
Caamao Bello. Estudiantes
de Pedagoga en Matemtica
y Computacin.
AAppooyyoo DDiiddccttiiccoo
Links para el reforzamiento de las
Matemticas . (pg. 11)
Software libre que te ayudar a estudiar y
practicar matemtica. (Pg.19)
SSuummaarriiooSSaalluuddoo ddeell DDiirreeccttoorrReciban un afectuoso saludo del
equipo de Edudigital.
Hoy se inicia un ciclo de
publicaciones que esperamos sean
de vuestro mayor inters y
contribuyan a tu crecimiento
personal, como al fortalecimiento de
una comunidad de personas que
comparte y aprende con otros,
creando redes y fortaleciendo en
nuestra sociedad valores humanos fundamentales como son la libertad, la
solidaridad y el progreso, donde la competencia deja lugar a la excelencia
y todos somos importantes.
Este primer nmero lo hemos dedicado al estudio y comprensin de los
fenmenos que influyen en el desarrollo de las habilidades matemticas,
hemos incorporando investigaciones y experiencias de personas que han
aportado desde sus realidades y que han querido compartir con nosotros
sus trabajos y reflexiones, sin otro propsito que el de contribur con
procesos educativos individuales y colectivos de nuestra comunidad.
Complementan estos artculos secciones con recursos digitales sugeridos:
sitios, software para descargar y material audiovisual, los que podrn ser
utilizados y compartidos con plena libertad.
Te invito entonces, a que seas parte de esta comunidad y te unas en esta
aventura, aprovechando el material propuesto y compartindolo con quien
desees. Tienes autorizacin para copiar, imprimir y fotocopiar cuantas
veces lo requieras.
Como ltimo dato, te invito a que visites nuestro sitio; encontrars ms
recursos, podrs registrarte, aportar datos o sugerencias que nos permitan
crecer cada da y ser parte un proyecto que te identifique.
Afectuosamente,
CCllaauuddiioo MMoorraaggaa RRiiqquueellmmee
Profesor y Magster en
Liderazgo, Gestin y Poltica Educativa
Director de Edudigital.cl
Direccin editorial y publicidad Claudio Moraga Riquelme (cmoraga@edudigital .cl) - Apoyo tcnico Jordan
Woywood Larraguibel- Redaccin, Diseo y Maquetacin Josefa Andrade Guevara - Edita Edudigital .cl- Contacto
contacto@edudigital .cl - Web http: //www.edudigital .cl
FOTOPATRICIOMUOZ
www.edudigital.clUn aporte a las famil ias y comunidades educativas
Editorial
3
-
Matemticas y Neurociencia
P
P
o
o
r
r
J
J
e
e
s
s
s
s
C
C
.
.
G
G
u
u
i
i
l
l
l
l
n
n
A
A
s
s
t
t
r
r
o
o
f
f
s
s
i
i
c
c
o
o
.
.
P
P
r
r
o
o
f
f
e
e
s
s
o
o
r
r
d
d
e
e
M
M
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
a
a
s
s
.
.
E
E
d
d
i
i
t
t
o
o
r
r
d
d
e
e
"
"
E
E
s
s
c
c
u
u
e
e
l
l
a
a
c
c
o
o
n
n
C
C
e
e
r
r
e
e
b
b
r
r
o
o
"
"
.
.
En 1992, Karen
Wynn realiz una
serie de
experimentos con
bebs de cinco
meses. En uno de
ellos, ense a los
bebs un juguete
que esconda tras
una pantalla. A
continuacin, los
bebs observaban
cmo esconda un
segundo juguete en
el mismo lugar. Al
cabo de unos segundos la investigadora apartaba la
pantalla y cronometraba el tiempo que los bebs
miraban. Observ que si al retirar la pantalla apareca
un juguete (resultado no posible, 1+1=1) los bebs
miraban durante un perodo de tiempo mayor que
cuando aparecan dos juguetes (resultado lgico
1+1=2). Este tipo de experimentos, que se han
repetido en numerosas ocasiones, sugieren que los
bebs poseen una capacidad innata para el
procesamiento numrico. Aprovecha la educacin
este sentido innato del cerebro para fomentar un
aprendizaje adecuado de las matemticas? En el
siguiente artculo analizamos algunos estudios que,
utilizando las tcnicas modernas de visualizacin
cerebral, nos permiten observar las regiones ms
activas en la resolucin de problemas matemticos,
principalmente numricos. A continuacin,
reflexionamos sobre algunos factores crticos en el
proceso de enseanza y aprendizaje de las
matemticas.
ensearon una serie de clculos a voluntarios bilinges
en uno de sus idiomas. Tras el entrenamiento, se les
peda que resolvieran ese tipo de clculos de forma
exacta o aproximada en las dos lenguas. Los
investigadores observaron que la resolucin de
problemas exactos era ms rpida en la lengua que
utilizaron al aprender los clculos, aunque utilizaran
ms la otra lengua en la vida cotidiana. Sin embargo,
en los clculos aproximados (se les peda a los
voluntarios que hicieran estimaciones) no se
apreciaban diferencias significativas. En los clculos
exactos se observaba una mayor activacin en las reas
del cerebro involucradas en el lenguaje, mientras que
en los clculos aproximados se activaba ms el lbulo
parietal de los dos hemisferios.
E
E
l
l
c
c
e
e
r
r
e
e
b
b
r
r
o
o
m
m
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
o
o
KKaarreenn WWyynnnn
E
E
n
n
l
l
a
a
s
s
i
i
m
m
g
g
e
e
n
n
e
e
s
s
,
,
s
s
e
e
m
m
u
u
e
e
s
s
t
t
r
r
a
a
e
e
n
n
a
a
z
z
u
u
l
l
l
l
a
a
s
s
r
r
e
e
g
g
i
i
o
o
n
n
e
e
s
s
a
a
c
c
t
t
i
i
v
v
a
a
d
d
a
a
s
s
e
e
n
n
e
e
l
l
c
c
l
l
c
c
u
u
l
l
o
o
e
e
x
x
a
a
c
c
t
t
o
o
y
y
e
e
n
n
a
a
m
m
a
a
r
r
i
i
l
l
l
l
o
o
l
l
a
a
s
s
z
z
o
o
n
n
a
a
s
s
a
a
c
c
t
t
i
i
v
v
a
a
d
d
a
a
s
s
e
e
n
n
e
e
l
l
c
c
l
l
c
c
u
u
l
l
o
o
a
a
p
p
r
r
o
o
x
x
i
i
m
m
a
a
d
d
o
o
.
.
S
S
e
e
o
o
b
b
s
s
e
e
r
r
v
v
a
a
u
u
n
n
p
p
r
r
e
e
d
d
o
o
m
m
i
i
n
n
i
i
o
o
d
d
e
e
l
l
a
a
a
a
c
c
t
t
i
i
v
v
a
a
c
c
i
i
n
n
d
d
e
e
l
l
a
a
c
c
o
o
r
r
t
t
e
e
z
z
a
a
p
p
r
r
e
e
f
f
r
r
o
o
n
n
t
t
a
a
l
l
i
i
z
z
q
q
u
u
i
i
e
e
r
r
d
d
a
a
(
(
a
a
z
z
u
u
l
l
)
)
y
y
d
d
e
e
l
l
a
a
p
p
a
a
r
r
t
t
e
e
d
d
e
e
r
r
e
e
c
c
h
h
a
a
d
d
e
e
l
l
l
l
b
b
u
u
l
l
o
o
Diversos experimentos muestran una gran activacin
de los lbulos frontal y parietal en la resolucin de
problemas. Stanislas Dehaene
1
y sus colaboradores
N
N
u
u
n
n
c
c
a
a
e
e
n
n
t
t
e
e
n
n
d
d
l
l
a
a
s
s
m
m
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
a
a
s
s
o
o
n
n
o
o
s
s
e
e
m
m
e
e
d
d
a
a
n
n
b
b
i
i
e
e
n
n
l
l
a
a
s
s
m
m
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
a
a
s
s
4
-
Anlisis posteriores sugieren que la informacin
numrica puede ser procesada en el cerebro mediante
tres sistemas diferentes, cada uno de ellos asociado
con tres regiones del lbulo parietal:
1 . Sistema verbal en el que los nmeros se representan
mediante palabras. Por ejemplo, cuarenta y tres. Se
activa el giro angular izquierdo que interviene en los
clculos exactos.
2. Sistema visual en el que los nmeros se representan
segn una asociacin de nmeros arbigos conocidos.
Por ejemplo, 43. Se activa un sistema superior
posterior parietal relacionado con la atencin.
3. Sistema cuantitativo no verbal en el que podemos
establecer los valores de los nmeros. Por ejemplo,
entendemos el significado del nmero cuarenta y tres
generado por cuatro decenas y tres unidades. En este
sistema participa la regin ms activa e importante en
la resolucin de problemas numricos, el segmento
horizontal del surco intraparietal (HIPS) . Su
activacin aumenta ms cuando se hace una
estimacin de un resultado aproximado que cuando
realizamos un clculo exacto. En la aproximacin,
aunque se activan los dos hemisferios cerebrales, existe
una cierta preferencia por el derecho.
R
R
e
e
p
p
r
r
e
e
s
s
e
e
n
n
t
t
a
a
c
c
i
i
n
n
t
t
r
r
i
i
d
d
i
i
m
m
e
e
n
n
s
s
i
i
o
o
n
n
a
a
l
l
d
d
e
e
l
l
a
a
s
s
t
t
r
r
e
e
s
s
r
r
e
e
g
g
i
i
o
o
n
n
e
e
s
s
d
d
e
e
l
l
l
l
b
b
u
u
l
l
o
o
p
p
a
a
r
r
i
i
e
e
t
t
a
a
l
l
q
q
u
u
e
e
i
i
n
n
t
t
e
e
r
r
v
v
i
i
e
e
n
n
e
e
n
n
e
e
n
n
l
l
o
o
s
s
p
p
r
r
o
o
c
c
e
e
s
s
a
a
m
m
i
i
e
e
n
n
t
t
o
o
s
s
n
n
u
u
m
m
r
r
i
i
c
c
o
o
s
s
(
(
e
e
n
n
v
v
e
e
r
r
d
d
e
e
e
e
l
l
g
g
i
i
r
r
o
o
a
a
n
n
g
g
u
u
l
l
a
a
r
r
i
i
z
z
q
q
u
u
i
i
e
e
r
r
d
d
o
o
y
y
e
e
n
n
r
r
o
o
j
j
o
o
e
e
l
l
s
s
u
u
r
r
c
c
o
o
i
i
n
n
t
t
r
r
a
a
p
p
a
a
r
r
i
i
e
e
t
t
a
a
l
l
)
)
.
.
E
E
l
l
l
l
b
b
u
u
l
l
o
o
p
p
a
a
r
r
i
i
e
e
t
t
a
a
l
l
e
e
s
s
m
m
u
u
y
y
i
i
m
m
p
p
o
o
r
r
t
t
a
a
n
n
t
t
e
e
e
e
n
n
l
l
a
a
v
v
i
i
d
d
a
a
c
c
o
o
t
t
i
i
d
d
i
i
a
a
n
n
a
a
p
p
o
o
r
r
q
q
u
u
e
e
f
f
a
a
c
c
i
i
l
l
i
i
t
t
a
a
l
l
a
a
r
r
e
e
p
p
r
r
e
e
s
s
e
e
n
n
t
t
a
a
c
c
i
i
n
n
e
e
s
s
p
p
a
a
c
c
i
i
a
a
l
l
.
.
Analicemos alguna operacin concreta. En las
multiplicaciones (sabemos que los nios aprenden de
memoria las tablas de multiplicar) se activa el giro
angular izquierdo que pertenece al sistema verbal, es
decir, son codificadas verbalmente. Sin embargo, al
hacer comparaciones o estimaciones se activa el surco
intraparietal porque no necesitamos convertir los
nmeros en palabras, es decir, son independientes del
lenguaje. El hemisferio izquierdo calcula (recordemos
que en la mayora de personas, al ser diestras, el
lenguaje reside en el hemisferio izquierdo) mientras
que el hemisferio derecho hace estimaciones.
En relacin a la funcin que desempea el lbulo
parietal en la representacin espacial, hemos
escuchado a matemticos explicar la utilizacin de
imgenes mentales en la resolucin repentina de
problemas. Esto guarda relacin directa con el
concepto de insight que hace referencia a la
capacidad de comprender la estructura interna de un
problema que, muchas veces, aparece de forma
imprevisible. La comprensin de los mecanismos
inconscientes que facilitan este tipo de resoluciones
tendr enormes implicaciones en la forma de ensear,
aunque lo que ya conocemos es que para que se
produzca el insight se requiere un estado de
relajacin cerebral. Una razn ms para facilitar los
e
e
s
s
t
t
a
a
d
d
o
o
s
s
e
e
x
x
e
e
n
n
t
t
o
o
s
s
d
d
e
e
e
e
s
s
t
t
r
r
s
s
e
e
n
n
l
l
o
o
s
s
e
e
n
n
t
t
o
o
r
r
n
n
o
o
s
s
e
e
d
d
u
u
c
c
a
a
t
t
i
i
v
v
o
o
s
s
.
.
1 . Creencias previas y factores emocionales
Comentarios tpicos como nunca entend las
matemticas o no se me dan bien las matemticas se
han asentado, progresivamente, en la mente de
muchos alumnos y recalcan la importancia que tienen
las creencias previas y la inteligencia emocional en el
aprendizaje.
Fomentar un clima educativo que favorezca las
emociones positivas (facilitando factores como el
optimismo o la resiliencia) , en detrimento de las
negativas, es tan importante o ms que la aportacin
de contenidos puramente acadmicos.
La pedagoga utilizada en la fase inicial del
aprendizaje de las matemticas incide directamente en
la motivacin del alumno. El rechazo inicial
A
A
l
l
g
g
u
u
n
n
o
o
s
s
f
f
a
a
c
c
t
t
o
o
r
r
e
e
s
s
c
c
r
r
t
t
i
i
c
c
o
o
s
s
e
e
n
n
l
l
a
a
e
e
n
n
s
s
e
e
a
a
n
n
z
z
a
a
d
d
e
e
l
l
a
a
s
s
m
m
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
a
a
s
s
5
-
Ejemplo: La utilizacin de algunos juegos de mesa
puede ser de gran utilidad. En concreto, se ha
demostrado que el aprendizaje del ajedrez puede
mejorar el clculo mental, el razonamiento intuitivo,
la memoria, la capacidad de abstraccin o la
concentracin.
La recomendacin de facilitar el desarrollo intuitivo
guarda relacin directa con el concepto del insight
en el que la intuicin y los mecanismos de resolucin
inconscientes desempean un papel fundamental. El
excesivo nfasis en conceptos abstractos, sin utilidad
prctica aparente, y la memorizacin rutinaria de
algoritmos perjudica la evolucin y motivacin del
alumno.
Ejemplo: Si pedimos a nios de seis y diez aos de
edad que nos calculen la sencilla operacin 6 + 4 4
podemos comprobar que, a menudo, los nios de seis
aos responden 6 sin necesidad de realizar clculo
alguno. Sin embargo los nios de diez aos, que son
ms expertos, pueden realizar el clculo en su hoja
(6 + 4 = 10 y luego 10 4 = 6).
Por otra parte, los docentes hemos de intentar
presentar contenidos abiertos que faciliten el
establecimiento de relaciones y la generacin de ideas;
as como guiar el proceso de evolucin del alumno
poniendo a su disposicin mecanismos de
autocorreccin que les permitan ser conscientes de sus
razonamientos acertados o no. Qu piensas
sobre? Los docentes deberamos facilitar procesos
de resolucin alternativos que fomenten los
razonamientos creativos.
Y
Y
e
e
s
s
t
t
o
o
p
p
a
a
r
r
a
a
q
q
u
u
s
s
i
i
r
r
v
v
e
e
?
?
Uno de los grandes problemas de la enseanza de las
matemticas (podemos generalizar a todas las
materias) est asociado a la imparticin de contenidos
acadmicos exentos de toda utilidad y aplicacin
prctica.
Ejemplo: La aceleracin de un coche se puede
entender como la derivada o variacin de una
magnitud conocida como la velocidad respecto a otra
magnitud que es el tiempo. La aceleracin puede ser
positiva cuando se da un aumento de la velocidad,
negativa si la velocidad disminuye o nula si la
velocidad es constante, es decir, no vara. Un ejemplo
cercano como este nos puede servir para introducir el
apartado de las derivadas de funciones, en lugar de
comenzar con una serie de reglas mecnicas que el
alumno puede entender como arbitrarias.
Una simple explicacin puede facilitar el proceso de
atencin. Adems, sabemos que el funcionamiento de
la memoria de trabajo est limitada por la atencin
que prestamos a los objetos.
Ejemplo: En dos ecuaciones formalmente idnticas
como las siguientes, en la segunda se cometen ms
errores porque aumenta la carga de la memoria de
provocado en muchos nios guarda una relacin
directa, en numerosas ocasiones, con una enseanza
basada en infinidad de clculos mecnicos que
coartan el proceso intelectual creativo del alumno y en
una representacin de la terminologa incomprensible
para l.
Ejemplo: Consideremos la resta 8 3 = 5. Los adultos
podemos asimilar esa situacin a una gran variedad de
casos prcticos, por ejemplo, si en un recorrido de
ocho kilmetros hemos caminado tres nos faltarn
otros cinco; si una temperatura inicial de ocho grados
desciende tres, la temperatura final ser de cinco
grados. El da que se introducen los nmeros
negativos y el profesor escribe 3 8 = -5, el nio
puede tener dificultades para entender el significado
del clculo. En este caso, la temperatura le puede
aportar una imagen intuitiva ms eficaz que la
distancia (- 5 grados facilita el aprendizaje del
concepto, en lugar de -5 kilmetros) .
2. El papel del profesor
Ya hemos comentado que diferentes estudios parecen
demostrar
q
q
u
u
e
e
l
l
o
o
s
s
s
s
e
e
r
r
e
e
s
s
h
h
u
u
m
m
a
a
n
n
o
o
s
s
n
n
a
a
c
c
e
e
m
m
o
o
s
s
c
c
o
o
n
n
u
u
n
n
s
s
e
e
n
n
t
t
i
i
d
d
o
o
n
n
u
u
m
m
r
r
i
i
c
c
o
o
i
i
n
n
n
n
a
a
t
t
o
o. Segn Dehaene y
Butterworth, dos de los grandes expertos mundiales
en el estudio de las matemticas y el cerebro, la escuela
obstaculiza este desarrollo facilitado, inicialmente,
por factores genticos. Dehaene cree que la
construccin de los conceptos abstractos ha de
iniciarse con la
f
f
o
o
r
r
m
m
u
u
l
l
a
a
c
c
i
i
n
n
d
d
e
e
e
e
j
j
e
e
m
m
p
p
l
l
o
o
s
s
c
c
o
o
n
n
c
c
r
r
e
e
t
t
o
o
s
s,
con la finalidad de estimular el desarrollo del
razonamiento intuitivo del nio. Adems, la
interaccin con la mente del alumno requiere la
manipulacin de materiales y actividades ldicas.
6
-
Hemos constatado que la localizacin del
conocimiento matemtico en el cerebro es complicada
porque incluye diferentes circuitos que pueden actuar
de forma parcialmente autnoma. Lo cierto es que los
diferentes campos de estudio de las matemticas
requieren enfoques dependientes. Por ejemplo, existe
una conexin entre aritmtica y geometra (pensemos
en la visualizacin espacial de los nmeros utilizados
en las operaciones aritmticas bsicas) . La utilizacin
de diferentes reas cerebrales en el proceso de
aprendizaje diversifica las estrategias pedaggicas
aunque, a pesar de la dificultad, lo que parece claro es
que el proceso de enseanza y aprendizaje de las
matemticas cambiar y deber considerar la base
emprica que aportan las investigaciones en
neurociencia. La multimodalidad propuesta por
Gallese y Lakoff representa una nueva concepcin del
pensamiento que puede acaparar en el futuro un gran
protagonismo. Segn esta propuesta, el conocimiento
matemtico (o cualquier otro) est ligado a nuestro
sistema sensoriomotor, por lo que no slo pensamos
con la ayuda del lenguaje y de los smbolos sino
tambin a travs de los sentidos, es decir, las
impresiones sensoriales constituyen el carcter
multimodal de los conceptos. Segn esta propuesta, la
enseanza tradicional del lpiz y papel no permite una
conexin duradera con la experiencia sensorial vivida
por los alumnos en los primeros aos escolares.
El gran problema con el que nos encontramos los
docentes es que los investigadores realizan sus
experimentos con una metodologa diferente a la
utilizada en el entorno acadmico, lo que dificulta su
aplicacin en el aula. Ahora bien, en algunos casos,
tenemos a nuestra disposicin importantes recursos
educativos.
Un caso concreto es el de la
d
d
i
i
s
s
c
c
a
a
l
l
c
c
u
u
l
l
i
i
a
a, que podemos
encontrar en nios motivados e inteligentes pero que
seguramente padecen alguna anomala cerebral,
normalmente en la regin izquierda del lbulo
parietal. El estudio de estas personas demuestra la
existencia de problemas, dejando aparte los
aritmticos, relacionados con la orientacin espacial,
el control de sus propias acciones y sobre la
representacin de su cuerpo, especialmente de los
dedos. Esto nos recuerda la forma de contar con los
dedos de los nios, el control de los mismos y los
gestos que hacen que conllevan determinadas
posiciones corporales. Si la representacin de los
dedos no llega a desarrollarse normalmente, se pueden
originar dificultades en el desarrollo de las habilidades
numricas. La deteccin de estas anomalas nos
permite aplicar mecanismos compensatorios que
faciliten una comprensin de las operaciones bsicas o
de las reglas explcitas ms lenta pero segura. Pero para
ello, hemos de asumir que la inteligencia no es un
concepto unitario y que el aprendizaje en cada
alumno es diferente. Sea como fuere, seguimos
buscando recursos para disear la prctica docente
con soportes empricos y los principios
neurobiolgicos de la funcin cerebral que guiarn el
futuro.
C
C
o
o
n
n
c
c
l
l
u
u
s
s
i
i
o
o
n
n
e
e
s
s
f
f
i
i
n
n
a
a
l
l
e
e
s
s
(1) Stanislas Dehaene (nacido el 12 de mayo 1965) es
profesor en el Collge de France , autor, y (desde 1989)
director de INSERM Unidad 562, "Neuroimagen
Cognitiva.
x + 6 = 9 x = 9 - 3
x + 6/5 = 9/4 x = 9/4 + 6/5
Un ejemplo que demuestra la importancia del anlisis
de los errores cometidos.
7
-
SS
a
a
l
l
u
u
d
d
o
o
s
s
F
F
i
i
n
n
a
a
l
l
e
e
s
s
"Un afectuoso saludo desde Espaa a los
estudiantes, padres y profesores chilenos,
especialmente a aquellos que viven en la VIII
Regin."
"Es un placer para mpoder compartir con los
lectores de Edudigital.cl informacin
procedente de las investigaciones en
Neurociencia, Psicologa y Pedagoga que
creo sinceramente va a constituir el nuevo
paradigma educativo. La escuela del futuro ha
de posibilitar a nuestros hijos y alumnos
adquirir toda una serie de competencias que
les capaciten para ser los ciudadanos del
maana, porque el nico aprendizaje til es
aquel que nos permite resolver los problemas
que nos plantea la vida cotidiana desde una
perspectiva tica ymoral adecuada. Ypara
ello es imprescindible conocer cmo funciona
nuestro cerebro."
J
J
e
e
s
s
s
s
C
C
.
.
G
G
u
u
i
i
l
l
l
l
n
n
.
. Astrofsico.
Profesor de Fsica y
Matemticas. Es editor y
administrador del blog sobre
Neurociencia aplicada a la
Educacin Escuela con Cerebro.
contacto:
j
j
e
e
s
s
u
u
s
s
g
g
u
u
i
i
l
l
l
l
e
e
n
n
b
b
u
u
i
i
l
l
@
@
g
g
m
m
a
a
i
i
l
l
.
.
c
c
o
o
m
m
8
-
Mi experiencia con la Matemtica ha sido de dulce y
agraz, ya que en la enseanza bsica ramos muy
cercanos (por mis resultados) y luego, en la enseanza
media, todo resultado correcto obtenido se multiplic
por un nmero cercano a cero (empeoraron) .
Gracias a labor de docentes que influyeron en m, no
slo el resultado sino que todo cambi (Instituto
Nacional, 1995) .
Cuando decid (no por desempeo) estudiar
matemtica estaba buscando mi R.U.N. en el diario y
llenando una planilla de postulaciones para las
universidades estatales, ya que el puntaje que haba
obtenido en la P.A.A. me alcanzaba para postular a
la carrera que quera; Cmo lo supe?, apliqu una
frmula matemtica que apareca en el diario. Hasta el
momento bamos bien.
Luego vinieron 3 + 4 aos de universidad de mucho
estudio e investigacin que culminaron con el grado
de magster en didctica de la matemtica, momento
en que mucho de lo investigado tom sentido en
trminos educativos.
C
C
r
r
i
i
s
s
t
t
i
i
a
a
n
n
G
G
m
m
e
e
r
r
a
a
V
V
a
a
l
l
e
e
n
n
z
z
u
u
e
e
l
l
a
a
Gracias a ello, me dedico a la docencia y trabajo hace
casi 11 1 aos en la creacin de materiales
educativos en el rea matemtica.
En los prrafos anteriores hay mucho de matemtica,
y no slo por el hecho de mi formacin, sino porque
se nombra el R.U.N., que lo podramos considerar
como una aplicacin del concepto de funcin en
Matemtica.
Existe una relacin de correspondencia (R) entre una
persona inscrita en el Servicio de Registro Civil e
Identificacin y su R.U.N. Esta relacin es una
funcin en la que su conjunto de partida corresponde
a las personas inscritas y el conjunto de llegada a los
nmeros de identificacin.
Sin detenernos en el concepto matemtico, lo
importante es encontrarle el sentido al concepto.
Quizs no escribiendo que estudi 3 + 4 aos, pero
s asignando el significado de 3 + 4 = 7.
El ttulo anterior puede sonar muy irreal para un
estudiante, ya que en la vida cotidiana no nos
encontramos habitualmente con elementos como
fracciones, races, logaritmos, etc. Por este motivo, en
matemtica es de suma importancia utilizar el
c
c
o
o
n
n
c
c
e
e
p
p
t
t
o
o
d
d
e
e
r
r
e
e
p
p
r
r
e
e
s
s
e
e
n
n
t
t
a
a
c
c
i
i
n
n, ya que en el quehacer del
estudiante es posible reconocer por lo menos dos
caractersticas tpicas de la actividad cognitiva propia
de los procedimientos matemticos, las que marcan
una diferencia respecto del aprendizaje y lo distingue
de otras disciplinas.
"
"
.
.
.
.
.
.
e
e
n
n
M
M
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
a
a
e
e
s
s
d
d
e
e
s
s
u
u
m
m
a
a
i
i
m
m
p
p
o
o
r
r
t
t
a
a
n
n
c
c
i
i
a
a
u
u
t
t
i
i
l
l
i
i
z
z
a
a
r
r
e
e
l
l
c
c
o
o
n
n
c
c
e
e
p
p
t
t
o
o
d
d
e
e
r
r
e
e
p
p
r
r
e
e
s
s
e
e
n
n
t
t
a
a
c
c
i
i
n
n
"
"
La Matemtica est en todas partes
PPOORR CCRRIISSTTIIAANN LLEEOONNAARRDDOO GGMMEERRAA VVAALLEENNZZUUEELLAA
LLiicceenncciiaaddoo eenn CCiieenncciiaass ccoonn mmeenncciinn eenn MMaatteemmttiiccaa,, UUnniivveerrssiiddaadd ddee CChhiilleeMMaaggsstteerr eenn llaa eennsseeaannzzaa ddee llaass cciieenncciiaass ccoonn mmeenncciinn eenn MMaatteemmttiiccaa,, PPoonnttiiffiicciiaa UUnniivveerrssiiddaadd CCaattlliiccaa ddee VVaallppaarraassoo.. JJeeffee ddeell rreeaa
MMaatteemmttiiccaa eenn EEddiittoorriiaall SSaannttiillllaannaa,, CChhiillee
9
-
En primer lugar, se recurre a varios registros de
representacin, algunos de los cuales han sido
desarrollados especficamente para efectuar
tratamientos matemticos (por ejemplo: lgebra,
sistema de numeracin posicional, etc.) . Por otra
parte, los objetos matemticos
n
n
u
u
n
n
c
c
a
a
s
s
o
o
n
n
a
a
c
c
c
c
e
e
s
s
i
i
b
b
l
l
e
e
s
s
p
p
o
o
r
r
l
l
a
a
p
p
e
e
r
r
c
c
e
e
p
p
c
c
i
i
n
n, como podran serlo la mayora de
los objetos en otras disciplinas: la designacin de los
objetos matemticos pasa necesariamente por una
representacin. Por ello, es posible afirmar que una
variedad de representaciones facilitan el acceso al
conocimiento en esta rea. Entre estas
representaciones est la
l
l
e
e
n
n
g
g
u
u
a
a
m
m
a
a
t
t
e
e
r
r
n
n
a
a. Sin embargo,
no es autosuficiente para movilizar el conocimiento
matemtico. De esta manera, la accin matemtica
podra pensarse como el trnsito entre distintas
representaciones. Por ejemplo, en el caso de una
funcin matemtica (verbal, grfica, algebraica y
tabular) . Teniendo en cuenta que el
f
f
o
o
c
c
o
o
d
d
e
e
l
l
a
a
m
m
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
a
a debe estar centrado en el desarrollo de
h
h
a
a
b
b
i
i
l
l
i
i
d
d
a
a
d
d
e
e
s
s y en la
r
r
e
e
s
s
o
o
l
l
u
u
c
c
i
i
n
n
d
d
e
e
p
p
r
r
o
o
b
b
l
l
e
e
m
m
a
a
s
s como
componentes fundamentales, el estudiante
n
n
o
o
d
d
e
e
b
b
e
e
c
c
a
a
e
e
r
r
e
e
n
n
l
l
a
a
m
m
e
e
m
m
o
o
r
r
i
i
z
z
a
a
c
c
i
i
n
n
y
y
e
e
l
l
e
e
m
m
p
p
l
l
e
e
o
o
d
d
e
e
f
f
r
r
m
m
u
u
l
l
a
a
s
s
(como el clculo del puntaje en la P.A.A.) , ya que en el
estudio de esta disciplina se intenciona el aprendizaje
significativo, en donde es fundamental diferenciar el
representante del representado.
Un ejemplo de esto es el uso de lo concreto en los
primeros niveles de enseanza bsica, lo que da pie a la
aplicacin de representaciones pictricas y termina
con el trabajo simblico.
Debido al avance de las nuevas tecnologas, tambin
es fundamental ir acompaando el desarrollo del
aprendizaje con softwares, aplicaciones para celular,
etc.
P
P
r
r
o
o
f
f
e
e
,
,
p
p
a
a
r
r
a
a
q
q
u
u
m
m
e
e
s
s
i
i
r
r
v
v
e
e
?
?
Esta respuesta sera fcil de responder si afianzamos la
accin matemtica planteando una situacin
problema cotidiana, que se conecte con el aprendizaje
de otras reas del conocimiento, que sea cercana a su
realidad (edad, lugar donde vive, etc.) . Quizs as el
estudiante cambiara su inters, encontrara que la
matemtica
s
s
e
e
s
s
t
t
e
e
n
n
t
t
o
o
d
d
a
a
s
s
p
p
a
a
r
r
t
t
e
e
s
s
.
.
A
A
g
g
r
r
a
a
d
d
e
e
c
c
i
i
m
m
i
i
e
e
n
n
t
t
o
o
s
s
Antes de terminar, quisiera agradecer a Claudio
Moraga por invitarme a participar en esta hermosa
propuesta y poder as compartir mis experiencias con
docentes, padres, estudiantes y todo aquel que tenga la
conviccin de que la educacin es la herramienta
principal en nuestra sociedad.
1 0
-
Sitio en el que podrs desarrollar
diversos ejercicios escogidos por
ti mismo, tales como enteros,
fracciones, decimales, etc.
Matemticas para nios nivel
primario.
Sitio en el que podrs desarrollar
ejercicios de
operatoria bsica, escogidos por ti
mismo.
Una versin Digital de las Regletas
Cuisenaire. Sitio interactivo para
la diversidad en los nios nivel
bsico.
Excelente sitio para aprender
matemticas por medio del juego
y la diversin.
Sitio web donde encontrars
diversos ejercicios, tales como,
problemas, clculo, razonamiento
y ms.
U
U
s
s
a
a
e
e
l
l
c
c
o
o
c
c
o
o
Sitio que permite identificar los
nmeros y practicar su escritura.
Sitio para desarrollar la
sustraccin, orientado al nivel
inicial de la enseanza bsica.
Sitio que permite desarrollar
problemas y ejercicios
combinados, online y para
imprimir.
Sitio orientado a los nios ms
pequeos para el desarrollo de
sencillos problemas.
E
E
l
l
t
t
a
a
n
n
q
q
u
u
e
e
m
m
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
o
o
A
A
n
n
i
i
m
m
a
a
l
l
e
e
s
s
m
m
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
o
o
s
s
G
G
e
e
n
n
M
M
a
a
g
g
i
i
c
c
I
I
n
n
t
t
e
e
r
r
p
p
e
e
q
q
u
u
e
e
s
s
P
P
r
r
o
o
y
y
e
e
c
c
t
t
o
o
C
C
i
i
f
f
r
r
a
a
s
s
A
A
p
p
l
l
u
u
s
s
M
M
a
a
t
t
h
h
R
R
e
e
g
g
l
l
e
e
t
t
a
a
s
s
D
D
i
i
g
g
i
i
t
t
a
a
l
l
e
e
s
s
P
P
l
l
a
a
n
n
e
e
t
t
a
a
S
S
e
e
d
d
n
n
a
a
E
E
d
d
u
u
c
c
a
a
L
L
I
I
M
M
AAppooyyoo ddiiddccttiiccoo rreeccoommeennddaaddoo ppoorrEEDDUUDDIIGGIITTAALL
Encuentra los links ingresando a
www.edudigital.cl
11
-
Podrs conocer la superficie de
figuras planas, a escala, adems
cuenta con ejercicios para
imprimir.
Sitio en el que podrs conocer la
longitud, diferenciar entre
kilmetros y millas, adems cuenta
con ejercicios y test para imprimir .
El contenido de este sitio es una
recopilacin de apuntes de clase y
material extrado de libros de
texto, que esperamos pueda ser de
utilidad.
En cada unidad didctica hay
ejercicios del tema para
desarrollar los conocimientos y
practicar .
Todas las actividades son
interactivas y te ofrecen ayudas
para realizarlas correctamente.
Excelente sitio en el que puedes
conocer las distintas unidades de
medidas.
Ofrece varios generadores de
ejercicios que proveen una gran
variedad de hojas de ejercicios y
problemas.
Chicos contentos es un sitio
pensado para los ms chiquitos en
el que pueden divertirse con
juegos gratis.
Diseada para el aprendizaje de
las matemticas de una manera
divertida a travs de diferentes
juegos de calculo y de
razonamiento.
Portal de juegos educativos y
didcticos para nios de Primaria
M
M
u
u
n
n
d
d
o
o
P
P
r
r
i
i
m
m
a
a
r
r
i
i
a
a
M
M
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
a
a
p
p
a
a
r
r
a
a
j
j
u
u
g
g
a
a
r
r
A
A
v
v
e
e
r
r
r
r
o
o
e
e
s
s
L
L
a
a
S
S
u
u
p
p
e
e
r
r
f
f
i
i
c
c
i
i
e
e
P
P
e
e
s
s
o
o
y
y
M
M
a
a
s
s
a
a
M
M
a
a
m
m
u
u
t
t
M
M
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
a
a
s
s
C
C
h
h
i
i
c
c
o
o
s
s
c
c
o
o
n
n
t
t
e
e
n
n
t
t
o
o
s
s
L
L
o
o
n
n
g
g
i
i
t
t
u
u
d
d
C
C
o
o
n
n
e
e
c
c
t
t
o
o
c
c
o
o
n
n
l
l
a
a
s
s
M
M
a
a
t
t
e
e
s
s
M
M
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
a
a
E
E
n
n
c
c
u
u
e
e
n
n
t
t
r
r
a
a
l
l
o
o
s
s
l
l
i
i
n
n
k
k
s
s
i
i
n
n
g
g
r
r
e
e
s
s
a
a
n
n
d
d
o
o
a
a
w
w
w
w
w
w
.
.
e
e
d
d
u
u
d
d
i
i
g
g
i
i
t
t
a
a
l
l
.
.
c
c
l
l
1 2
-
Estimados Acadmicos, Profesores, Padres,
Apoderados y Estudiantes tengan un cordial saludo
de mi parte. El objetivo de estas lneas es presentar
parte de mi trabajo e investigacin en el rea de la
Didctica de las Matemticas.
Actualmente trabajo en la Universidad
Iberoamericana de Ciencias y Tecnologa en Santiago,
donde mi principal foco est en la formacin de
Profesores de Matemtica.
Con mi experiencia en aula y mi formacin en el rea
de la Didctica de la matemtica he observado
distintos fenmenos didcticos que ocurren dentro
de la sala de clases en la enseanza de las matemticas,
los cuales se pueden mejorar construyendo distintas
situaciones didcticas donde se pretende que los
estudiantes sean protagonistas de la construccin del
saber matemtico.
Mi propuesta ha sido construir algunas
M
M
i
i
c
c
r
r
o
o
-
-
I
I
n
n
g
g
e
e
n
n
i
i
e
e
r
r
a
a
s
s
D
D
i
i
d
d
c
c
t
t
i
i
c
c
a
a
s
s, siguiendo las fases propias
definidas por Michelle Artigue
1
, con situaciones
didcticas especficas para determinados saberes
matemticos,
c
c
o
o
n
n
e
e
l
l
f
f
i
i
n
n
d
d
e
e
m
m
e
e
j
j
o
o
r
r
a
a
r
r
l
l
o
o
s
s
p
p
r
r
o
o
c
c
e
e
s
s
o
o
s
s
d
d
e
e
e
e
n
n
s
s
e
e
a
a
n
n
z
z
a
a
a
a
p
p
r
r
e
e
n
n
d
d
i
i
z
z
a
a
j
j
e
e
e
e
n
n
l
l
o
o
s
s
e
e
s
s
t
t
u
u
d
d
i
i
a
a
n
n
t
t
e
e
s
s
.
.
Y
Y
o
o
h
h
a
a
n
n
a
a
S
S
w
w
e
e
a
a
r
r
s
s
P
P
o
o
z
z
o
o realizando taller de matemticas
con alumnos.
Una de las Situaciones Didcticas que he trabajado
mucho en las aulas es la enseanza de Probabilidades
con uso de Tics.
Estos talleres que fueron diseados por un grupo de
estudiantes de la Universidad de Santiago de Chile en
conjunto con su Profesora de Tesis, logrando un
conjunto de talleres y clases con ODA para la
enseanza de Probabilidades.
Por mi parte, he utilizado esta propuesta realizando
situaciones didcticas y experimentando en distintos
cursos y colegios con la finalidad de ensear
probabilidades donde los estudiantes experimenten y
puedan construir conceptos bsicos de este
contenido.
Por otro lado, en los planes del Mineduc
s
s
e
e
p
p
r
r
o
o
p
p
o
o
n
n
e
e
q
q
u
u
e
e
l
l
a
a
e
e
n
n
s
s
e
e
a
a
n
n
z
z
a
a
d
d
e
e
l
l
a
a
p
p
r
r
o
o
b
b
a
a
b
b
i
i
l
l
i
i
d
d
a
a
d
d
s
s
e
e
a
a
m
m
s
s
e
e
x
x
p
p
e
e
r
r
i
i
m
m
e
e
n
n
t
t
a
a
l
l, ojal ms contextualizada con la
finalidad de acercar a los estudiantes a los contenidos.
Entonces, como forma de orientar los contenidos y la
metodologa, se propone como fines:
(a) ensear los fundamentos matemticos de la
probabilidad, como preparacin al estudio posterior
de la estadstica y otras disciplinas;
(b) educar el razonamiento probabilstico de los
alumnos para la toma de decisiones en mltiples
situaciones, puesto que el azar y los fenmenos
aleatorios impregnan nuestra vida y nuestro entorno.
Construccin del Saber
en la clase de ProbabilidadesPor Yohana Swears Pozo
Profesora de Matemticas, Acadmica Investigadora en el rea de la Didctica de las Matemticas
1 3
-
Manipulacin del flash,
real izan la actividad,
comienzan a explorar y
reflexionar el clculo de
Probabil idades pedidas
en la actividad.
Comprobacin de las
situaciones planteadas
.
.
Estudiantes preparan el
trabajo que presentarn
ante las otras
compaeras y el
profesor
Formulan la respuesta
adecuada al apostar en
la siguiente carrera de
caballos, presentan por
escrito sus argumentos
S
S
i
i
t
t
u
u
a
a
c
c
i
i
n
n
A
A
c
c
c
c
i
i
n
n
S
S
i
i
t
t
u
u
a
a
c
c
i
i
n
n
F
F
o
o
r
r
m
m
u
u
l
l
a
a
c
c
i
i
n
n
S
S
i
i
t
t
u
u
a
a
c
c
i
i
n
n
A
A
c
c
c
c
i
i
n
n
S
S
i
i
t
t
u
u
a
a
c
c
i
i
n
n
V
V
a
a
l
l
i
i
d
d
a
a
c
c
i
i
n
n
C
C
u
u
a
a
d
d
r
r
o
o
r
r
e
e
s
s
u
u
m
m
e
e
n
n
d
d
e
e
l
l
a
a
s
s
e
e
t
t
a
a
p
p
a
a
s
s
d
d
e
e
l
l
a
a
S
S
i
i
t
t
u
u
a
a
c
c
i
i
n
n
D
D
i
i
d
d
c
c
t
t
i
i
c
c
a
a
Aunque ambos fines deben buscarse en conjunto, la
realidad establece que existe cierta centralizacin en el
primero, bajo el supuesto que desde all el segundo fin
se lograr casi sin buscarlo, es por esto que los talleres
realizados han colaborado en parte a lo que se
propone y pretende en la enseanza de las
probabilidades.
Para el taller se cre un diseo particular, con el
objetivo de que fueran atractivos visualmente para los
estudiantes. Se consideraron todas las
recomendaciones en torno a la aplicacin del
currculo, orientaciones que se entregan en los Planes
y Programas de Estudios del Mineduc.
La idea principal es hacer reflexionar, activar el
pensamiento matemtico, que vaya ms all de
tcnicas mecanicistas, memorsticas, se incorporan
mtodos ms experimentales, donde el estudiante
tenga un trabajo ms exploratorio, no centrado en
tcnicas que impiden una comprensin amplia del
objeto matemtico.
I
I
m
m
a
a
g
g
e
e
n
n
d
d
e
e
l
l
f
f
l
l
a
a
s
s
h
h
u
u
t
t
i
i
l
l
i
i
z
z
a
a
d
d
o
o
e
e
n
n
l
l
a
a
c
c
l
l
a
a
s
s
e
e
d
d
e
e
p
p
r
r
o
o
b
b
a
a
b
b
i
i
l
l
i
i
d
d
a
a
d
d
e
e
s
s
I
I
m
m
a
a
g
g
e
e
n
n
d
d
e
e
G
G
u
u
a
a
t
t
a
a
l
l
l
l
e
e
r
r
D
D
o
o
s
s
d
d
a
a
d
d
o
o
s
s
u
u
n
n
a
a
c
c
a
a
r
r
r
r
e
e
r
r
a
a
j
j
u
u
s
s
t
t
a
a
?
?
Los resultados de esta MicroIngeniera han sido muy
positivos ya que los estudiantes logran la construccin
de conceptos bsicos de las probabilidades, tales como
experimentos aleatorios, espacio muestral, definicin
de probabilidad o regla de laplace, ley de los grandes
nmeros. adems de unir la probabilidad con la
estadstica en la construccin de tablas de frecuencias.
(1) MICHLEARTIGUE, PH.D (Francia). Docente de la
Universidad de Paris.
1 4
-
YY
o
o
h
h
a
a
n
n
a
a
S
S
w
w
e
e
a
a
r
r
s
s
P
P
o
o
z
z
o
o
Acadmica Investigadora en el rea de la Didctica de
las Matemticas
Ha participado
XVI, XVII Jornadas de Educacin Matemtica con
comunicaciones breves y talleres. (Congreso
Nacional)
AEPEMAT, Chilln. Chile (Congreso Nacional)
XVII CIBEM, Montevideo. Uruguay (Congreso
Internacional)
XXVIII RELME, Barranquillas. Colombia
(Congreso Internacional)
Seminario de Didctica de las Matemticas.
Universidad de Concepcin. sede Los ngeles. Chile
Seminario de Didctica de las Matemticas. UDLA.
Santiago. Chile.
Seminario de Didctica de las Matemticas .UDLA.
Concepcin. Chile.
Intervenciones Didcticas Colegio Santa Cecilia.
Santiago. Chile.
Ferias cientficas explora Conicyt
Ferias cientficas distintos colegios de Santiago. Chile
Profesora de Matemticas
Universidad de Concepcin. Concepcin, Chile
Magister Educacin Matemtica
Universidad de los Andes. Santiago, Chile
VisitaWWW.EDUDIGITAL.CL para poder acceder a
Videoteca, programas para el aprendizaje, contenido didctico,
entrevistas y mucho ms.
1 5
-
Te ha costado alguna vez aprender algn contenido
matemtico?, O conoces personas que dicen odiar la
matemtica?, Crees que la matemtica es algo
imposible de dominar?
En ms de alguna ocasin nos hemos enfrentado a
situaciones matemticas difciles de comprender,
quizs porque no le encontramos una gran utilidad en
el diario vivir, porque es tedioso de aprender y
estudiar, porque las clases son aburridas, etc, etc, etc.
En esta seccin, te entregaremos algunas ideas para
mejorar y facilitar el estudio y aprendizaje
matemtico, con el fin de que lo anteriormente
expuesto ya no sea una excusa y logres un real
aprendizaje de la matemtica.
La matemtica ha estado presente a lo largo de toda la
historia, incluso desde los caverncolas que contaban
con un lenguaje especial y primitivo para identificar
cantidades en respuesta a la necesidad de contar
elementos como animales, entre otros. Asi nos
encontramos muchos siglos despus con las grandes
civilizaciones antiguas como los babilonios, los
egipcios, los rabes que desarrollaron sistemas
matemticos ms complejos, hasta nuestra poca, en
que esta disciplina se encuentra inmersa en todas las
ciencias y el desarrollo tecnolgico.
Sin embargo, por muy grandes o especiales que
parezcan los desarrolladores de esta ciencia, stos eran
personas comunes y corrientes como todos nosotros,
que slo dedicaron un tiempo ms a indagar en lo
bsico de sus conocimientos.
Podemos inferir entonces, que la matemtica puede
ser estudiada y desarrollada por cualquier persona que
se interese por ella y que dedique un esfuerzo extra a
esa labor, comenzando por sus propios conocimientos
y habilidades.
El esfuerzo extra del que hablamos, no son cosas de
otro mundo o casi imposibles de realizar (como
estudiar 10 horas diarias o memorizar muchos
teoremas y frmulas matemticas que apenas sabemos
cmo utilizar) , sino acciones simples y posibles de
llevar a cabo por todos, que aumentarn
significativamente nuestra comprensin y habilidad,
lo que otros llaman nuestro rendimiento como
estudiantes.
Si eres de aquellos a los que les cuesta la matemtica
o deseas simplemente mejorar tu habilidad, te
proponemos algunos tips para que los consideres e
implementes
e
e
n
n
t
t
u
u
m
m
t
t
o
o
d
d
o
o para enfrentar el estudio.
"
"
.
.
.
.
.
.
l
l
a
a
m
m
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
a
a
p
p
u
u
e
e
d
d
e
e
s
s
e
e
r
r
e
e
s
s
t
t
u
u
d
d
i
i
a
a
d
d
a
a
y
y
d
d
e
e
s
s
a
a
r
r
r
r
o
o
l
l
l
l
a
a
d
d
a
a
p
p
o
o
r
r
c
c
u
u
a
a
l
l
q
q
u
u
i
i
e
e
r
r
p
p
e
e
r
r
s
s
o
o
n
n
a
a
q
q
u
u
e
e
s
s
e
e
i
i
n
n
t
t
e
e
r
r
e
e
s
s
e
e
p
p
o
o
r
r
e
e
l
l
l
l
a
a
y
y
q
q
u
u
e
e
d
d
e
e
d
d
i
i
q
q
u
u
e
e
u
u
n
n
e
e
s
s
f
f
u
u
e
e
r
r
z
z
o
o
e
e
x
x
t
t
r
r
a
a
a
a
e
e
s
s
a
a
l
l
a
a
b
b
o
o
r
r
,
,
c
c
o
o
m
m
e
e
n
n
z
z
a
a
n
n
d
d
o
o
p
p
o
o
r
r
s
s
u
u
s
s
p
p
r
r
o
o
p
p
i
i
o
o
s
s
c
c
o
o
n
n
o
o
c
c
i
i
m
m
i
i
e
e
n
n
t
t
o
o
s
s
y
y
h
h
a
a
b
b
i
i
l
l
i
i
d
d
a
a
d
d
e
e
s
s
"
"
Algunos tips para tu mejor estudio y comprensin de
la matemtica
PPOORR FFEELLIIPPEE EESSTTEEBBAANNAALLEEJJAANNDDRROO KKEESSSSII BBUUSSTTOOSS,, IIGGNNAACCIIOO OORRTTEEGGAA YYAANNEEZZ,, EESSTTEEFFAANNAA CCAAAAMMAAOO BBEELLLLOO
EEssttuuddiiaanntteess ddee PPeeddaaggooggaa eenn MMaatteemmttiiccaayy CCoommppuuttaacciinn.. UUnniivveerrssiiddaadd ddee CCoonncceeppcciinn
1 6
-
**
B
B
u
u
s
s
c
c
a
a
r
r
s
s
i
i
t
t
u
u
a
a
c
c
i
i
o
o
n
n
e
e
s
s
d
d
e
e
l
l
a
a
v
v
i
i
d
d
a
a
d
d
i
i
a
a
r
r
i
i
a
a
d
d
o
o
n
n
d
d
e
e
s
s
e
e
p
p
u
u
e
e
d
d
a
a
a
a
p
p
l
l
i
i
c
c
a
a
r
r
e
e
l
l
c
c
o
o
n
n
t
t
e
e
n
n
i
i
d
d
o
o
:
: La pregunta ms comn entre las
personas que estudian matemtica es profesor, y esto
para qu me sirve?. Es probable que en ms de alguna
ocasin te lo hayas preguntado y cuestiones la real
utilidad que la matemtica tiene en la vida diaria. Sin
embargo, te sorprenderas de las cosas que se pueden
hacer con ella, desde calcular el vuelto que te dan por
comprar algo, hasta calcular distancias o disear cosas.
Por esto, como forma de motivacin, es recomendable
que busques aplicaciones de la materia que ests
estudiando.
*
*
E
E
s
s
t
t
u
u
d
d
i
i
a
a
r
r
c
c
l
l
a
a
s
s
e
e
a
a
c
c
l
l
a
a
s
s
e
e
:
: Por qu estresarte estudiando
todo el da anterior a una prueba, sin parar, sin dormir
bien, cuando en realidad la solucin a eso est al
alcance de la mano?. Es tan simple como estudiar la
materia clase a clase, hacer los ejercicios y resolver las
guas que te entregue tu profesor. La comprensin de
la materia ser mejor, estars mejor preparado para la
clase siguiente, lo que te permitir hacer consultas si
quedaste con alguna duda y por ende, ms preparado
para enfrentar los nuevos conocimientos.
Si estudias clase a clase, tendrs una perspectiva
instantnea de cmo estn tus conocimientos, con el
tiempo y oportunidad de preguntar o solicitar a tu
profesor ayuda para entender y comprender mejor
aquellos aspectos ms debilitados.
Al momento de la prueba, ya habrs estudiado todo el
contenido que se evaluar, por lo que estars ms
tranquilo y seguro de lo que sabes al momento de la
evaluacin.
*
*
D
D
e
e
s
s
c
c
a
a
n
n
s
s
a
a
r
r
b
b
i
i
e
e
n
n
:
: Este es un punto muy importante.
Si no duermes bien, tu rendimiento no ser el ptimo,
tu atencin se debilitar y en lo nico que
probablemente andes pensando ser en que llegue
luego la noche para descansar.
*
*
N
N
o
o
e
e
s
s
t
t
u
u
d
d
i
i
a
a
r
r
c
c
o
o
n
n
d
d
i
i
s
s
t
t
r
r
a
a
c
c
c
c
i
i
o
o
n
n
e
e
s
s
:
: Si tienes tu celular a
mano, el computador al lado tuyo, o la televisin
encendida, tu concentracin no estar al cien por
ciento en lo que ests haciendo. Trata de tener un
ambiente despejado, libre de elementos u objetos que
te puedan desconcentrar. Es un pequeo sacrificio,
pero conveniente, ya que tu hora de estudio ser
mucho ms provechosa y tendrs ms tiempo para
otras actividades.
*
*
P
P
o
o
n
n
e
e
r
r
a
a
t
t
e
e
n
n
c
c
i
i
n
n
e
e
n
n
c
c
l
l
a
a
s
s
e
e
s
s
:
: No se trata slo de estar en
silencio y ordenado en clases, escribiendo en el
cuaderno lo que el profesor dicta o escribe en la
pizarra, sino que se trata fundamentalmente de
i
i
n
n
v
v
o
o
l
l
u
u
c
c
r
r
a
a
r
r
s
s
e
e
e
e
n
n
l
l
a
a
c
c
l
l
a
a
s
s
e
e, comprender lo que el profesor
explica, realizar los ejercicios, y consultar en caso de
dudas. Es muy importante aprovechar estas instancias
para entender la materia, ya que inclusive con esto
podras necesitar menos horas de estudio en casa.
Una vez que ya empieces a mejorar en matemticas te
dars cuenta que esta es realmente una forma de tener
ms tiempo libre, para hacer lo que te gusta. Esto te
traer muchos beneficios, tendrs tiempo para jugar
con tus amigos, comunicarte por las redes sociales,
etc.
Lo importante es que aproveches el tiempo que pasas
en clases, este tiempo est destinado para que ejercites
y hagas consultas. S una persona participativa y todo
ser ms entretenido.
*
*
E
E
l
l
a
a
b
b
o
o
r
r
a
a
r
r
m
m
a
a
p
p
a
a
s
s
c
c
o
o
n
n
c
c
e
e
p
p
t
t
u
u
a
a
l
l
e
e
s
s: Quizs pienses que es
una prdida de tiempo valioso de estudio, sin
embargo, este mtodo es de gran ayuda al momento
de ordenar ideas y aclarar confusiones. Si sientes que
tienes un enredo en tu cabeza, o no sabes por dnde
empezar, sta es una buena herramienta para ayudar a
estructurar lo que debes estudiar.
1 7
-
**
R
R
e
e
d
d
a
a
c
c
t
t
a
a
r
r
t
t
u
u
s
s
p
p
r
r
o
o
p
p
i
i
o
o
s
s
e
e
j
j
e
e
r
r
c
c
i
i
c
c
i
i
o
o
s
s
:
: Los profesores
no son los nicos capaces de inventar ejercicios
matemticos. Esta prctica es recomendable, ya
que para construir ejercicios necesitas manejar el
contenido que se utiliza para resolverlos, tener
una perspectiva de cul ser el desarrollo que
tendr y cmo se llega al resultado. De este modo,
cuando emerjan dudas, tendrs una idea de qu te
falta por mejorar o aprender, optimizando tu
comprensin de los ejercicios.
*
*
S
S
e
e
g
g
u
u
i
i
r
r
l
l
o
o
s
s
s
s
i
i
g
g
u
u
i
i
e
e
n
n
t
t
e
e
s
s
p
p
a
a
s
s
o
o
s
s
a
a
l
l
m
m
o
o
m
m
e
e
n
n
t
t
o
o
d
d
e
e
r
r
e
e
s
s
o
o
l
l
v
v
e
e
r
r
u
u
n
n
p
p
r
r
o
o
b
b
l
l
e
e
m
m
a
a: Segn George Polya,
matemtico hngaro, experto en didctica de la
matemtica, quien ha dedicado mucho de su
estudio a comprender y mejorar las tcnicas en la
Resolucin de Problemas, nos propone la
siguiente secuencia de trabajo para resolverlos:
a
a
.
.
-
-
C
C
o
o
m
m
p
p
r
r
e
e
n
n
d
d
e
e
r
r
e
e
l
l
p
p
r
r
o
o
b
b
l
l
e
e
m
m
a
a
:
: Leer detenidamente
el problema, identificando sus partes, los datos y
la cuestin. Esto te permitir comprender de
manera correcta lo que dice el enunciado y lo que
se solicita.
b
b
.
.
-
-
H
H
a
a
c
c
e
e
r
r
u
u
n
n
p
p
l
l
a
a
n
n
d
d
e
e
d
d
e
e
s
s
a
a
r
r
r
r
o
o
l
l
l
l
o
o
:
: Pensar y planear
un posible mtodo de resolucin a la situacin
que se plantea. En esta etapa, conviene recordar si
se han resuelto problemas similares y con la
informacin obtenida, formular una estrategia
que te facilite el trabajo.
c
c
.
.
-
-
E
E
j
j
e
e
c
c
u
u
t
t
a
a
r
r
e
e
l
l
p
p
l
l
a
a
n
n
:
: Cmo el nombre lo dice, lo
siguiente es ejecutar el plan desarrollado.
d
d
.
.
-
-
C
C
o
o
m
m
p
p
r
r
o
o
b
b
a
a
r
r
l
l
a
a
s
s
o
o
l
l
u
u
c
c
i
i
n
n
:
: Comprobar los
resultados obtenidos, para verificar que los datos
obtenidos son correctos.
e
e
.
.
-
-
A
A
m
m
p
p
l
l
i
i
a
a
c
c
i
i
n
n
d
d
e
e
l
l
P
P
r
r
o
o
b
b
l
l
e
e
m
m
a
a
:
: Plantear nuevos
problemas similares, para su resolucin.
1 8
-
SS
o
o
f
f
t
t
w
w
a
a
r
r
e
e
l
l
i
i
b
b
r
r
e
e
q
q
u
u
e
e
t
t
e
e
a
a
y
y
u
u
d
d
a
a
r
r
a
a
e
e
s
s
t
t
u
u
d
d
i
i
a
a
r
r
y
y
p
p
r
r
a
a
c
c
t
t
i
i
c
c
a
a
r
r
m
m
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
a
a
L
L
i
i
n
n
k
k
s
s
p
p
a
a
r
r
a
a
d
d
e
e
s
s
c
c
a
a
r
r
g
g
a
a
e
e
n
n
Los organizadores grficos son herramientas efectivas para los procesos de aprendizaje en los que lo
visual cumple un rol fundamental. Los Mapas Conceptuales son uno de los organizadores ms
utilizados por docentes de todo el mundo y, entre los programas gratuitos evaluados para elaborarlos,
seleccionamos CmapTools como la mejor opcin. Encuentre en este artculo tanto la secuencia
detallada de instrucciones que facilitan su descarga e instalacin, como videos demostrativos de su uso.
O
O
r
r
g
g
a
a
n
n
i
i
z
z
a
a
d
d
o
o
r
r
e
e
s
s
G
G
r
r
f
f
i
i
c
c
o
o
s
s
p
p
a
a
r
r
a
a
t
t
u
u
e
e
s
s
t
t
u
u
d
d
i
i
o
o
d
d
e
e
l
l
a
a
s
s
m
m
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
a
a
s
s
C
C
m
m
a
a
p
p
T
T
o
o
o
o
l
l
s
s
EDrawMindmap es todo lo que necesitas para crear tus propios
m
m
a
a
p
p
a
a
s
s
d
d
e
e
i
i
d
d
e
e
a
a
s
s
.
.
Desde la ventana principal de EDraw Mindmap tendrs acceso a todas las
herramientas, como cuadros de texto, flechas, smbolos y fondos para
personalizar al mximo los mapas mentales.
EDraw Mindmap cuenta con
d
d
i
i
s
s
e
e
o
o
s
s
d
d
e
e
e
e
j
j
e
e
m
m
p
p
l
l
o
o, y ofrece tal libertad que
puede usarse tambin como herramienta de dibujo, pudiendo guardar
nuestras creaciones como PDF o en cualquier formato de imagen.
E
E
D
D
r
r
a
a
w
w
M
M
i
i
n
n
d
d
m
m
a
a
p
p
s
s
o
o
p
p
o
o
r
r
t
t
a
a
l
l
o
o
s
s
s
s
i
i
g
g
u
u
i
i
e
e
n
n
t
t
e
e
s
s
f
f
o
o
r
r
m
m
a
a
t
t
o
o
s
s
I
I
m
m
p
p
o
o
r
r
t
t
a
a
:
: EDD, BMP, DIB, JPG, GIF, TIF, PNG, WMF, EMF
E
E
x
x
p
p
o
o
r
r
t
t
a
a
:
: TIF, PDF, HTML, BMP, DIB, JPG, GIF, TIF, PNG, WMF, EMF
A
A
b
b
r
r
e
e
:
: EDX, EDXZ, EDD
G
G
u
u
a
a
r
r
d
d
a
a: EDX, EDXZ, EXE, PDF, HTML, SVG
E
E
D
D
r
r
a
a
w
w
M
M
i
i
n
n
d
d
m
m
a
a
p
p
w
w
w
w
w
w
.
.
e
e
d
d
u
u
d
d
i
i
g
g
i
i
t
t
a
a
l
l
.
.
c
c
l
l
1 9
-
PP
r
r
o
o
g
g
r
r
a
a
m
m
a
a
s
s
m
m
a
a
t
t
e
e
m
m
t
t
i
i
c
c
o
o
s
s
Es un programa para trabajar con fracciones y en su ltima versin nos
ofrece trabajar en 2 modos distintos: estilo libre y aprendizaje. Dentro del
primero podemos encontrar 4 tipos de ejercicios diferentes:
+ Aritmtica, para hacer operaciones con las fracciones.
+ Comparacin de fracciones, para ver cual de ellas es mayor.
+ Conversin, para convertir un nmero dado en fraccin.
+ Factorizacin, para descomponer un nmero en sus factores primos y
porcentaje.
K
K
B
B
r
r
u
u
c
c
h
h
Adems, el programa genera tareas que podemos configurar nosotros
mismos; stas deben ser resueltas por el usuario. Adems, se nos muestra las
estadsticas de las respuestas correctas e incorrectas.
Es un programa multiplataforma de Geometra dinmica que requiere tener
instalado Java para su funcionamiento y es muy fcil de usar, ya que la barra
de herramientas ubicada en la derecha contiene los diferentes elementos que
pueden insertarse en el rea de dibujo: rectas, semirrectas, paralelas,
perpendiculares, segmentos, circunferencias, polgonos, ngulos, etc.
Adems de esto, es posible realizar clculos matemticos, as como aadir
texto sobre la superficie de la representacin y obtener informacin sobre
cada uno de los puntos creados. El proyecto una vez terminado puede ser
exportado a diferentes formatos.
C
C
a
a
R
R
M
M
e
e
t
t
a
a
l
l
Es un sencillo programa para representar funciones matemticas. Es muy
intuitivo y fcilmente configurable, aunque slo permite la representacin
de funciones en 2 dimensiones. Se pueden escalar los ejes y escoger
unidades decimales o en radianes. Un ejemplo: la representacin de la
funcin coseno.
G
G
e
e
g
g
20
-
Es un potente programa de clculo simblico que permite realizar
operaciones algebraicas y representar funciones en 2 y 3 dimensiones.
Permite operar con polinomios, resolver ecuaciones, trabajar con matrices,
derivadas, integrales... wxMaxima es la interfaz grfica de Maxima, que es
un entorno textual en el que las opciones para trabajar son ilimitadas.
W
W
x
x
M
M
a
a
x
x
i
i
m
m
a
a
Es un programa de diseo y de clculo simblico para trabajar la
Geometra y las funciones matemticas. Lo ms importante de GeoGebra
es la interactividad; una vez construida una figura se puede mover
cualquiera de los objetos independientes que la forman y automticamente
se modifican todos los que dependen de l. Adems, una vez construida la
figura, sta puede ser exportada como HTML y as crear el applet
correspondiente automticamente. Existe un wiki en el que podemos
encontrar recursos generados con GeoGebra.
G
G
e
e
o
o
G
G
e
e
b
b
r
r
a
a
Es tu entrenador profesional respecto al problema de resolver operaciones
aritmticas con velocidad y desde luego sin errores. MathRapid te poner
frente a un reto mental donde hay que resolver las operaciones de
matemticas en el menor tiempo.
Contempla tantos las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, mientras
todas las operaciones de aritmtica llueven desde la zona superior de la
pantalla tu tend