ecuacuaciones diferenciales unidad 1 preliminares

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO ECUACIONES DIFERENCIALES

DOCENTE: JULIO ROMERO

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CAPITULO I CONCEPTOS PRELIMINARES

1.1 Generalidades y terminologa bsica

As como una funcin numrica es una igualdad

( )

Con conocida que slo se cumple para determinados valores de la variable

(incgnita), una ecuacin diferencial es una igualdad

( ( ) ( ) ( ) ( )) (1.1)

Que slo es correcta para ciertas funciones , veces derivables, que

llamaremos soluciones de la ecuacin. es una funcin conocida, con valores

en un espacio eucldeo y dominio contenido en el producto cartesiano

( ) mientras que la incgnita se busca definida en

un intervalo de . La ecuacin diferencial se suele expresar abreviadamente

escribiendo:

( )

Sin que conlleve ambigedad el doble significado, de funcin y de variable, de los

smbolos .

El hecho de que slo aparezcan derivadas respecto de una variable nica y

escalar se tiene en cuenta diciendo que la ecuacin diferencial es ordinaria.

La ecuacin diferencial ms simple es la del tipo

( )

Con continua, cuyas soluciones son todas las primitivas de . Por analoga,

para cualquier ecuacin diferencial se emplea el trmino integrar como sinnimo

de resolver.

Segn la funcin tome valores escalares o vectoriales aplicaremos el mismo

objetivo a la ecuacin diferencial, aunque lo corriente es reservar el trmino

ecuacin para las escalares y llamar sistema de ecuaciones a las vectoriales.



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Es suficiente estudiar las ecuaciones diferenciales de primer orden, ya que las de

orden superior pueden someterse a una reduccin cannica a primer orden

(aunque a costa de aumentar la dimensin). Dicho artificio consiste en considerar

la nueva funcin incgnita, es decir

( )

En la ecuacin auxiliar de primer orden

( )

con

( ) ( ( ))

1.1.1 Ecuacin diferencial:

Ecuacin que contiene una funcin desconocida y sus derivadas respecto a una variable independiente. Ejemplo

a)

b) ( )

1.1.2 Ecuacin diferencial ordinaria:

Si la funcin desconocida depende de una sola variable independiente. Ejemplo

a)

b)

1.1.3 Ecuacin diferencial parcial:

Si la funcin desconocida depende de dos o ms variables independientes Ejemplo

a) ( )



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b) ( )

( )

1.1.4 Clasificacin de las ecuaciones diferenciales ordinarias Para clasificar una E.D.O tenemos que tener en cuenta: 1) El orden: es la mayor derivada que aparece en la ecuacin.

Ejemplo:

a) Es una EDO de orden dos o segundo orden

b) ( ) ( ) Es una EDO de orden cuatro

2) el grado: es la potencia a la que est elevada la derivada de mayor orden, siempre que la E.D se pueda escribir como un polinomio en la funcin desconocida y sus derivadas. Ejemplo:

a) ( ) ( ) Es una EDO de orden dos y grado 4

b) ( ) ( ( )) Es una EDO de orden cuatro y grado 1

1.1.4 Solucin de una ecuacin diferencial Es una relacin sin derivadas entre las variables que intervienen en dicha

ecuacin. En particular si la solucin es de la forma ( ) entonces al

sustituir a y todas sus derivadas en la ecuacin diferencial se obtendr una

identidad.

1.1.4.1 Solucin General de una ecuacin diferencial Es aquella que contiene todas o casi todas las soluciones de dicha ecuacin

diferencial. En general contienen un nmero de constantes arbitrarias igual al

orden de la ecuacin diferencial.

1.1.4.2 Solucin particular de una ecuacin diferencial Es aquella que se obtiene al remplazar las constantes de la solucin general por

valores especficos. Tambin se consideran como solucin particular aquella que

cumple ciertas condiciones iniciales o valores de frontera dado.



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1.1.4.3 Obtencin de la ecuacin diferencial Para obtener la ecuacin diferencial derivamos la solucin general tanta veces (la

solucin general) como constantes arbitrarias independientes halla. Y despus se

eliminan dichas constantes entre la ecuacin dada y las derivadas.

Ejemplo 1: Verificar que la ecuacin dada es una solucin de la ecuacin

diferencial dada:

con ( )

Solucin:

Derivamos dos veces la solucin de la ecuacin diferencial

(

)

(

) (

)

(

) (

)(

)

(

) (

)

Sustituyendo y en la ecuacin diferencial

( )

(

) (

) ( (

))

(

)

Como lo anterior es una proposicin verdadera luego

es una

solucin de la ecuacin diferencial ( )



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Ejemplo 2: Verificar que la ecuacin dada es una solucin de la ecuacin

diferencial:

( )

( ) Es una solucin de

Solucin: Derivamos

y

:

( ) y

( )

Encontramos

( )

( )

Sustituyendo: ( ), ( ) y

en la ecuacin diferencial

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

Luego ( ), ( ) es una solucin de la ecuacin diferencial

Ejemplo 3: Comprobar que

tiene como solucin la ecuacin

Solucin:

(1)

Como

(2)

Derivando tenemos

(3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1), se obtiene

(1)



7

(

) (

)

Ejemplo 4: Encontrar la ecuacin diferencial que tiene como solucin general

( ) ( ) (1)

Solucin: Derivamos dos veces porque hay dos constantes

( ) ( ) (2)

( ) ( ) (3)

Para eliminar las constantes usaremos las ecuaciones (1) y (3)

{ ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

El resultado que carece de las constantes y es la ecuacin

diferencial que tiene por solucin ( ) ( )

Ejemplo 5: Encontrar la ecuacin diferencial que tiene como solucin general

Solucin: Derivamos tres veces porque hay tres constantes

Como no tiene constante es la ecuacin diferencial de la solucin



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Ejemplo 6: Verifica que

( ) Tiene como solucin general la ecuacin

Solucin:

( )

Dividiendo por la ecuacin anterior tenemos

( )

( )

(1)

Como

(2)

Posee solo una constante, se deriva una vez, derivando implcitamente se obtiene

(3)

Sustituyendo (3) en (1)

( )

( )(

)

La igualdad comprueba que la ecuacin diferencial ( )

tiene como solucin general la ecuacin

1.1.4.4 Soluciones singulares

Definicin: Solucin singular de una ecuacin diferencial Una solucin de una ecuacin diferencial se llama singular si no se puede obtener de la solucin general al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una solucin particular. Ejemplo. La familia de rectas es la solucin general de la ecuacin diferencial ( ) . La parbola es una solucin singular. No es difcil comprobar que ambas son solucin de la ecuacin diferencial dada. En la figura 1.1 se muestra la solucin singular y varias soluciones particulares.



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Figura 1.1

Observe que la parbola es tangente en cada uno de sus puntos a una curva de la

familia de rectas , cuando sucede esto decimos que la parbola es la envolvente de la familia de rectas ; como se indica en la siguiente definicin.

1.1.4.5 Definicin de envolvente Cualquier curva tangente a un nmero infinito de miembros de una familia infinita de curvas, y que por lo menos es tangente en cada uno de sus puntos a una de dichas curvas, es una parte, o el total, de la envolvente de la familia.

La envolvente de una familia de curvas ( ) satisface el sistema

{ ( ) ( )

lo cual nos permite hallarla.

Ejemplo: Para hallar la envolvente de la familia de circunferencias ( ) , resolvemos el sistema

{( )

( )

obteniendo que . Al sustituir en la ecuacin de la familia obtenemos que la envolvente est formada por las rectas . La envolvente y algunos miembros de la familia se muestran en la figura 1.2.



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Figura 1.2

Ejemplo: La familia de parbolas es la solucin general de la ecuacin diferencial ( ) y las rectas son soluciones singulares.

Fcilmente se comprueba que ambas son soluciones de ecuacin diferencial. En la figura 1.3 se muestran las soluciones singulares y varias soluciones particulares. Las rectas son la envolvente de la familia de parbolas .

Figura 1.3



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TALLER 1. PRELIMINARES I.- Complete la siguiente tabla tems Ecuacin diferencial Ordinaria

o parcial Orden Grado Variables

independiente Variables dependiente

a)

b)

( )

c)

d) (

)

(

)

e)

f)

g)

h) ( ) ( )

i)

j)

k)

l)



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II -. Determine si la funcin dada es solucin de la ecuacin diferencial. En caso de

serlo clasifquela atendiendo si son soluciones particulares o generales.

)1 22

1

xx ececy 02''' de yyy

1 2) tes t 0'2'' de sss

2 )3 senxxy '' de2 senxxyy

y 4) 22 vvv evBeAe veyyv 122'3''y de

u )5 senbxe t

b de2

22

x

u

t

u

y 6) 21xecxc 0'''1-x de yxyy

cos )7 xAy 0tan' de xyy

4xecy 8) -2x22

1 xx ece

xeyy 242'3''y de

cotcscln )9 xxsenxsenxy cot'' de xyy

1y 10) 2xx 32'yy de xx

ln )11 xecy ' de yxey

y 12)

cdxx

ex

x

xxey ' xyde

III -. Muestre que cada ecuacin diferencial en la columna I tiene por solucin la

correspondiente relacin en la columna II. Obtenga las soluciones particulares que

satisfagan las condiciones en la columna III.

tems I II III

a) ( )

b)

{ ( ) ( )

c) ( ) ( ) ( )



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d) {

( ) ( ) ( )

e) ( ) { ( ) ( )

IV -. Encuentre una ecuacin diferencial correspondiente a cada relacin, con las

constantes arbitrarias indicadas. Verifique en cada caso que la ecuacin

diferencial tiene la relacin como su solucin general

a) , b) ,

c) , d) ,

e) ( ) ( ) ,

f) I ( ) ,

g) ,

h) Compruebe que la familia de rectas es solucin de la ecuacin diferencial ( ) . Determine un valor de de forma que sea una solucin singular de la ecuacin diferencial dada. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solucin singular y algunas soluciones particulares.

I) Compruebe que la familia de rectas es solucin de la ecuacin

diferencial ( ) . Demuestre que el crculo es una solucin singular de la ecuacin diferencial dada. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solucin singular y algunas soluciones particulares.

j) Compruebe que la familia de curvas

es solucin de la ecuacin

diferencial . Determine una solucin singular para la ecuacin diferencial. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solucin singular y algunas soluciones particulares.

Compruebe que si , donde tiene soluciones tiene soluciones

e ( )( )

. Examine los casos especiales

. Discuta la

relacin entre estas soluciones. Existen otras soluciones adems de las dadas?.

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