2Ecuaciones Logaritmicas

Universidad de la FronteraDepartamento de Matematica y Estadstica

Clnica de Matematica

J. Labrin - G.Riquelme

Propiedades de Logaritmo

1. loga x = y ay = x

2. logc a logc b = logc(ab

) 3. logc a+ logc b = logc(a b)4. logc a =

logb alogb c

1. Resuelva:2 = log10(x 2)

Solucion

Primero que todo, debemos expresar 2 como un logaritmo, entonces quedara:

2 = 2 log10 10 = log10 102

A continuacion resolvemos la ecuacion propuesta:

log10 102 = log10(x 2) cancelamos logaritmos

x 2 = 102x = 102

2. Resuelva:log(x+ 2) log(2x 1) = 0

Solucion

log(x+ 2) log(2x 1) = 0log(x+ 2) = log(2x 1)

x+ 2 = 2x 1x = 7

10

3. Resuelva la siguiente ecuacion:log3(x+ 2) + log3(x 4) = 3

Solucion

Escribimos 3 como logaritmo de base 3:3 = log3 3

3

Resolviendo la la ecuacion

log3(x+ 2) + log3(x 4) = log3 33log3(x+ 2) + log3(x 4) = log3 33

log3(x+ 2)(x 4) = log3 33 cancelamos los lagaritmos(x+ 2)(x 4) = 33x

x2 2x 35 = 0

aplicamos la ecucacion general de la cuadratica(bb24ac

2a

)2(2)2 4 1 (35)

2 1 = 0= x1 = 7 x2 = 5

Luego el resultado sera x1 = 7 puesto que x2 = 5 no verifica la ecuacion4. Encuntre el valor de x

3 log x log 30 = log x2

5

Solucion

3 log x log 30 = log x2

5

log x3 log 30 = log x2

5

logx3

30= log

x2

5x3

30=

x2

5

x2(x 6) = 0 x1 = 0 x2 = 6

Observamos que x1 no satisface la ecuacion, luego la solucion sera x2 = 6

5. Resuelva:

log2x+1

(x2 22x+ 1

)= 1

11

Solucion

log2x+1

(x2 + 2

2x+ 1

)= 1

log2x+1

(x2 + 2

2x+ 1

)= log2x+1(2x+ 1)

x2 + 2

2x+ 1= 2x+ 1

x2 + 2 = (2x+ 1)1

0 = 3x2 + 4x 1

Utilizando Formula General:

416 4(3)(1)2(3)

=416 + 12

6

=4 (27)

6

=2(27)

6 2

7)

3

= x1 = 27

3 x2 = 2 +

7

3

6. Resuelva:

lnx+ 2 ln 5 = ln 12 ln 4x+ y =

7

5

Solucion

Por un lado

lnx+ 2 ln 5 = ln 12 ln 4= lnx+ ln 52

= ln 12 ln 4

ln(52x) = ln

(12

4

)25x = 3

x =3

25

12

Por otro lado

x+ y =7

53

25+ y =

7

5

y =7

5 3

25

y =32

25

7. Resuelva el siguiente sistema: {ln(y2) = 1

ln(xy

)= 4

Solucion

{2 ln y = 1

lnx ln y = 4hacemos un cambio de variable: v = ln y, u = lnx

{2v = 1

u v = 4multiplicamos por 2 la segunda linea y sumando, queda:

{2v = 1

u v = 4/ (2){

2v = 12u 2v = 8/

2u = 9

u =9

2

Volviendo a la variable original:

u =9

2 lnx = 9

2 x = e 92

Reemplazando en u = 92 en u v = 4:9

2 v = 4

v = 12

v =1

2

ln y =1

2y =

e

13

8. Resuelva: {ex+1 + ey = 5e

2ex + 3ey1 = 5

Solucion:

Hacemos el cambio de variable u = ex, v = ey y reemplazamos en nustro sistema:

{ue+ v = 5e/ (2)2u+ 3ve1 = 5/ e

{ 2ue 2v = 10e2ue+ 3v = 5e

Sumando y volviendo a la variable original obtenemos:

v = 15e ey = 15e

Aplimos logaritmo natural (ln):

y = ln(15e) Sol :

9. Encuentre el valor de x2e3x 3e2x = 3ex 2

Solucion:

2e3x 3e2x = 3ex 2 se puede escribir como:

2e3x 3e2x = 3ex 2 2(ex)3 3(ex)2 = 3(ex) 2Hacemos una sutitucion u = ex y resolvemos:

2u3 3u2 = 3u 2 2u3 3u2 3u+ 2 = 0 (2u 1)(u 2)(u+ 1) = 0

Soluciones:

S1 : 2u 1 = 0 u = 12= ex x = ln 1

2S2 : u 2 = 0 u = 2 = ex x = ln 2S3 : u+ 1 = 0 u = 1 = ex =

10. Encuentre el valor de x:log5 x

logx 5 15 = log5 x2

14

Solucion:

Primero que todo debemos efectuar un cambio de base

log5 xlog5 5log5 x

15 = 2 log5 x

A continuacion resolvemos:

log5 xlog5 5log5 x

15 = 2 log5 xlog5 x

1log5 x

15 = 2 log5 x (Hacemos: u = log5 x)

u1u

15 = 2u u2 15 2u = 0

(u+ 3)(u 5) = 0 u = 5 u = 3

Dado que hemos obtenido dos soluciones, debemos analizar si estas son posibles o no:

si u = 5 log5 x = 5 x = 55

si u = 3 log5 x = 3 x = 53

Luego la solucion es: {53, 55}

11. Resuelva:log

x =

log x

Solucion:

logx =

log x 1

2log x =

log x/()2

14(log x)2 = logx

(log x)2 = 4 log x (log x)2 4 log x = 0 log x(log x 4) = 0 log x = 0 log x = 4

Observamos nuevamente que tenemos dos posibles soluciones, debemos analizar cada una y ver sisatisfacen la ecuacion

log x = 0 x = 100 x = 1

log x = 4 x = 104

Luego las solucion es: S = {1, 104}

15

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