Universidad Andres BelloFacultad de IngenierıaDepartamento de Matematicas

Ecuaciones Diferenciales (FMM254)2do Semestre, 2007

Primera Prueba Solemne

Septiembre 12, 2007

Justifique sus respuestas.

Tiempo: 90 minutos

Problema 1 : (2,0 puntos) Encuentre la solucion general de la ecuacion diferencial

y′′ − 6y′ + 9y = x−2e3x

Solucion: Factorizamos la ecuacion como

(D − 3)2[y] = x−2e3x

La solucion de la ecuacion homogenea es de la forma

yh = c1e3x + c2xe3x

. Usamos el metodo de variacion de parametros para encontrar una solucion particular de la ecuacionno homogenea de la forma

yp = u1e3x + u2xe3x

Tenemos

W = W [e3x, xe3x] =∣∣∣∣

e3x xe3x

3e3x e3x(1 + 3x)

∣∣∣∣ = e6x

W1 =∣∣∣∣

0 xe3x

x−2e3x (1 + 3x)e3x

∣∣∣∣ = −x−1e6x

W2 =∣∣∣∣

e3x 03e3x x−2e3x

∣∣∣∣ = x−2e6x

u1 =∫

W1

Wdx =

∫ −x−1e6x

e6xdx = − ln |x|

u2 =∫

W2

Wdx =

∫x−2e6x

e6xdx = −x−1

Por lo tanto, una solucion particular de la ecuacion no homogenea es

yp = − ln |x|e3x − x−1xe3x

La solucion general de la ecuacion puede expresarse entonces como

yg = c1e3x + c2xe3x − ln |x|e3x

Problema 2 : Considere la ecuacion diferencial

(x + 3)y′′ − (2x + 7)y′ + 2y = (x + 3)2ex

a) (0,5 puntos) Demuestre que la ecuacion dada se puede factorizar como

((x + 3)D − 1) (D − 2) [y] = (x + 3)2ex

b) (1,5 puntos) Use la parte anterior para encontrar la solucion general de la ecuacion.

Solucion:

a)

((x + 3)D − 1) (D − 2) [y] = ((x + 3)D − 1) [y′ − 2y]= (x + 3)y′′ − 2(x + 3)y′ − y′ + 2y

= (x + 3)y′′ − (2x + 7)y′ + 2y

b) Hacemos el cambio (D − 2)y = v. Se tiene

((x + 3)D − 1)v = (x + 3)2ex

Es decir(x + 3)v′ − v = (x + 3)2ex

v′ − 1x + 3

v = (x + 3)ex

Podemos usar el factor integrante

u = exp{∫ −1

x + 3dx} =

1x + 3

Obtenemos (v

x + 3

)′= ex

v

x + 3=

∫exdx = ex + C1

v = (x + 3)ex + C1(x + 3)

Ahora (D − 2)y = v. Es decir

y′ − 2y = (x + 3)ex + C1(x + 3)

Podemos usar el factor integrante

u = exp{∫−2dx} = e−2x

Obtenemos (ye−2x

)′= (x + 3)e−x + C1(x + 3)e−2x

ye−2x =∫

(x + 3)e−x + C1(x + 3)e−2xdx

ye−2x = −xe−x − e−x − 3e−x + C1

(−xe−2x

2− 7e−2x

4

)+ C2

y = −xex − 4ex + C3(2x + 7) + C2e2x

Problema 3 : Considere la ecuacion diferencial

(2xy4ey + 2xy3 + y)dx + (x2y4ey − x2y2 − 3x)dy = 0

a) (0,3 puntos) Pruebe que la ecuacion no es exacta.

b) (0,7 puntos) Demuestre que existe un factor integrante que depende solo de y. Encuentre dichofactor.

c) (1,0 puntos) Resuelva la ecuacion.

Solucion:

a) Tenemos∂M

∂y= 8xy3ey + 2xy4ey + 6xy2 + 1

∂N

∂x= 2xy4ey − 2xy2 − 3

Tenemos ∂M∂y 6= ∂N

∂x por lo tanto la ecuacion no es exacta.

b) Tenemos que

∂N∂x − ∂M

∂y

M=−8xy3ey − 8xy2 − 42xy4ey + 2xy3 + y

=−4(2xy3ey + 2xy2 + 1)y(2xy3ey + 2xy2 + 1)

= −4y

Este termino depende solo de y, y entonces la ecuacion admite un factor integrante de la forma

exp{∫ −4

ydx} = eln |y|−4

= y−4

Al multiplicar la ecuacion original por este factor obtenemos la ecuacion exacta(2xey + 2xy−1 + y−3

)dx +

(x2ey − x2y−2 − 3xy−4

)dy = 0

Buscamos f(x, y) tal que∂f∂x = 2xey + 2xy−1 + y−3

∂f∂y = x2ey − x2y−2 − 3xy−4. De la primera ecuacion obtenemos

f(x, y) =∫

2xey + 2xy−1 + y−3dx = x2ey + x2y−1 + xy−3 + g(y)

Usando la segunda relacion y tomando derivada parcial con respecto a y obtenemos

x2ey − x2y−2 − 3xy−4 = x2ey − x2y−2 − 3xy−4 + g′(y)

Por lo tanto g′(y) = 0 y g(y) = C1.La solucion de la ecuacion es de la forma f(x, y) = C2. Reuniendo las constantes la solucion queda

x2ey + x2y−1 + xy−3 = K