INTERPOLACIÓN

El conocimiento de la ecuación de una línea

recta que pasa por dos puntos es fundamental

en la interpolación de propiedades

termodinámicas.

Ecuaciones de una línea recta

que pasa por dos puntos conocidos

Pendiente de una línea recta

Si se conocen dos puntos de una línea recta, se puede

determinar su pendiente m y su ecuación.

Sean 𝑃1 𝑦 𝑃2 dos puntos de una línea recta de

coordenadas conocidas:

𝑃1 (𝑥1, 𝑦1)

𝑃2 (𝑥2, 𝑦2)

𝑃1 (𝑥1, 𝑦1)

𝑃2 (𝑥2, 𝑦2)

La pendiente m se determina así: la 𝑦2 del punto 2 menos la 𝑦1 del punto, sobre la 𝑥2 del punto dos menos la 𝑥1 del punto 1.

𝑃1 (𝑥1, 𝑦1)

𝑃2 (𝑥2, 𝑦2)

𝑚 =(𝑦2 − 𝑦1)

(𝑥2−𝑥1)

(𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)

(𝒙𝟐−𝒙𝟏)(𝑥2, 𝑦1)

Por ejemplo, si tenemos los puntos:

𝑃1(3,4) y 𝑃2(5,7)

𝑥1 = 3 𝑥2 =5

𝑦1 = 4 𝑦2 =7

𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2

La pendiente m queda así:

m =(𝑦2−𝑦1)

(𝑥2−𝑥1)=

(7−4)

(5−3)=

3

2

La ecuación de la recta queda entonces:

(𝑦 − 𝑦1)

(𝑥 − 𝑥1)= 𝑚

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

La ecuación de la línea recta que pasa por lospuntos dados 𝑃1(3,4) y 𝑃2(5,7)quedará así:

𝑦 − 4 =3

2(𝑥 −3)

En general el eje 𝑦 puede ser cualquier variable como

por ejemplo la presión 𝑃 𝑜 𝑇 y el eje x puede ser el

volumen específico 𝑣, ℎ, 𝑢, 𝑠.

𝑇, 𝑣, ℎ, 𝑢, 𝑠.

𝑃

𝑃 − 𝑃1 = 𝑚(𝑇 − 𝑇1)

𝑇 =𝑃 − 𝑃1𝑚

+ 𝑇1

𝑃 − 𝑃1 = 𝑚(𝑣 − 𝑣1)

𝑣 =𝑃 − 𝑃1𝑚

+ 𝑣1

En este caso podemos emplear la ecuación de la

línea recta para hallar a partir de datos conocidos de

las otras propiedades valores desconocidos o que no

se encuentren en las tablas de alguna de las otras

propiedades,. Esto se denomina interpolación.

Por ejemplo, en las tablas de vapor sobrecalentado,

muy comúnmente no aparecen valores de la presión

o de la temperatura con sus respectivas propiedades.

Si aparecen intervalos donde se encuentran estas

propiedades.

Por tanto, por interpolación se pueden hallar los

valores que no aparecen.

Los casos que se pueden dar son:

1. En las tablas aparece solo la Temperatura con un valorexacto. No aparece la Presión. Dan la presión pero noaparece en las tablas. Aparece un intervalo de presiones.

2. En las tablas aparece solo la Presión con un valor exacto.Dan la Temperatura pero no aparece su valor exacto enlas tablas. Aparece un intervalo de temperaturas.

3. No aparecen ni la P ni la T con valores exactos.Obviamente tampoco aparecen las otras propiedadespara la presión y temperaturas dadas.

Para los dos el primeros casos se hace una

interpolación lineal simple o sencilla.

Para el tercer caso se requiere una interpolación

doble.

CASO 1: En las tablas aparece solo la Presión o

solo la Temperatura con valor un exacto. Las

otras propiedades no aparecen.

Para una P= 135 psi, se pide:

Hallar la zona o región donde se encuentra el estado

correspondiente

Hallar la T de saturación correspondientes.

Encontrar las propiedades correspondientes.

Para hallar la zona o región donde se encuentra el

estado correspondiente se compara con las tablas de

vapor saturado A-5E. P 966

Observamos que no está el valor para 135 psi.

Solo existe 130 psi y 140 psi. Pero estos valores sirven de

base para obtener las propiedades a 135 psi por

interpolación.

P psi T °F

130 347.32°F

135 ?

140 353.03°F

𝑃 − 𝑃1 = 𝑚(𝑇 − 𝑇1)

𝑇 =𝑃 − 𝑃1𝑚

+ 𝑇1

Primero hallamos 𝑚 =(𝑃2−𝑃1)

(𝑇2−𝑇1)=

140−130

353,03−347.32=1,751

𝑇 =135−130

1,751+347.32=350,17

Esta es la T de saturación correspondiente a 135 psi

Caso 2

Para una P= 135 psi y una Temperatura de 400°F

Se pide:

Hallar la zona o región donde se encuentra el

estado correspondiente

Hallar las propiedades correspondientes.

Comparando esta T con la dada de 400°F se deduce

que se está en la región de sobrecalentamiento.

Por tanto debemos de ir a las tablas de

sobrecalentamiento respectivas.

Se va a las tablas A-6E y se observa que se encuentra la T: 400°Fpero no se encuentra la P: 135 psi.

No obstante, si se observa que hay un intervalo de presiones entrelas cuales tiene que estar la presión de 135 psi.

120 psi ------------------140 psi

Y están las propiedades para esas presiones a 400°F

135 psi

135 psi

Hacer una tabla con los valores extremos

dados.

Con la temperatura de sobrecalentamiento

dada de 400°F y para cada presión se tabulan

los valores de las propiedades encontradas en

las tablas.

T °F P psi𝒗𝒑𝒊𝒆𝟑

𝒍𝒃𝒎𝒉𝑩𝒕𝒖

𝒍𝒃𝒎

400°F 120 4.0799 ℎ11224.6

400°F 135 ? ?

400°F 140 𝑣2 3.4676 ℎ21221.4

𝑚 =(𝑃2−𝑃1)

(𝑣2−𝑣1)=

140−120

3,4676−4.0799= −32.66

Con los valores extremos podemos hallar la pendiente:

Propiedades 1

Propiedades 2

Presión dada

𝑃2

𝑃1 𝑣1

𝑣 =𝑃 − 𝑃1𝑚

+ 𝑣1

𝑣 =135 − 120

−32.66+ 4.0799 = 3,6815

𝑝𝑖𝑒3

𝑙𝑏𝑚

𝑚 =(𝑃2−𝑃1)

(ℎ2−ℎ1)= 𝑚 =

(140−120)

(1221.4−1224.6)= -6,25

ℎ =135−120

−6.25+ 1224.6=1222.2

𝐵𝑡𝑢

𝑙𝑏𝑚

Calculo la nueva pendiente para la entalpía

135 𝑇𝑠𝑎𝑡?