ecuaciones de euler-lagrange y lagrangiano de sistemas mecánicos
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Sistemas Dinámicos Carlos Armando De Castro Payares
Ecuaciones de Euler-Lagrange y Lagrangiano de Sistemas Mecánicos de partículas
Las ecuaciones de Euler-Lagrange se utilizan para describir cualquier sistema mecánico por medio de coordenadas generalizadas de posición. El lagrangiano se utiliza para los sistemas conservativos y es un caso particular de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Definiremos:
jq : Coordenadas generalizadas de posición, puede ser una distancia, un ángulo, etc.…
jq : Velocidades generalizadas, son las derivadas temporales de las posiciones.
jQ : Fuerzas generalizadas que actúan sobre la partícula j. Entonces, si T es la energía cinética total del sistema (la suma de las energías cinéticas de todas las partículas) y V es la energía potencial total del sistema, las ecuaciones de Euler- Lagrange para la j-ésima partícula son
jjj
QqT
qT
dtd
=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
En el caso de un sistema conservativo, sabemos que j
j qVQ
∂∂
−= , entonces las
ecuaciones de Euler-Lagrange resultan
( ) 0q
VTqT
dtd
0qV
qT
qT
dtd
qV
qT
qT
dtd
jj
jjj
jjj
=∂−∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
=∂∂
+∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
−=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
El lagrangiano de un sistema se define como VTL −= , además, como en los sistemas mecánicos la energía potencial no depende de las velocidades sino únicamente de las posiciones, tenemos que 0q/V j =∂∂ , entonces podemos escribir
jjjjj qL
q)VT(
qV
qT
qT
∂∂
=∂−∂
=∂∂
−∂∂
=∂∂
De lo anterior, vemos que las ecuaciones del sistema pueden escribirse en términos del lagrangiano de la forma
Sistemas Dinámicos Carlos Armando De Castro Payares
0qL
qL
dtd
jj
=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
Ejemplo: péndulo simple Considere un péndulo simple como el que se muestra en la figura:
Como el sistema es conservativo (se asume que no hay pérdidas por fricción ni resistencia del aire) podemos describirlo utilizando el lagrangiano, entonces
• Energía cinética de la masa:
22212
212
21 ml)l(mmvT θθ ===
• Energía potencial de la masa:
)cos(mglV θ−=
• Lagrangiano del sistema:
)cos(mglmlVTL 22
21 θθ +=−=
Con lo anterior, podemos hallar la ecuación que rigen el movimiento de la masa por medio de las ecuaciones de Euler-Lagrange, entonces:
• Ecuación de Euler-Lagrange:
Sistemas Dinámicos Carlos Armando De Castro Payares
( ) ( )
( ) ( )
0sinmglml
0cosmglmldtd
0cosmglmlcosmglmldtd
0LLdtd
2
2
222122
21
=+
=∂∂
−
=+∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∂∂
=∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
θθ
θθ
θ
θθθ
θθθ
θθ
Dividiendo ambos lados de la ecuación por ml tenemos la conocida ecuación del péndulo simple
0sinlg
=+ θθ