Ecuaciones Diferenciales

Ingeniería Civil UNACH

PROFESOR: Jaime Guilcapi M

En la vida siempre debe existir el reto con respeto.

En la familia debe existir el don del amor

En el trabajo la gracia de DIOS

En el estudio la humildad del saber

En la gloria la dicha del triunfo.

MI RAZÒN

Actividad 1.(40 min)

1.- ¿Qué es una ecuación?

2.- ¿Qué tipo de Ecuaciones usted conoce?

3.- ¿Qué métodos de resolución más a utilizado?

4.- ¿Cómo son las soluciones de las mismas?

5.- Realice un resumen en un mapa del estudio de las ecuaciones, con sus distintas formas de resolución

6.- Sus representaciones como son.

7.- ¿Cuál es la diferencia entre función explicita e implícita?

Socialización (20min)

BLOQUE CEjes A

FUNCIONES

NUMÈRICO MEDIDAD GEOMÈTRICO

ESTADÌSTICO

DEMOSTRATIVO

RAZONAMIENTO

CONEXIÒN

COMUNICACIÒN

REPRESENTACIÒN

CAP 1. INTRODUCCIÒN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

OBJETIVO

Analizar las distintas formas de manifestaciones de una ecuación diferencial.

Clasificar las ecuaciones diferenciales según el orden.

Deducir el tipo de ecuación diferencial.

Construir ecuaciones diferenciales.

TAXONOMÌA DE BLOOM

Logros

Identifique la importancia de las ecuaciones diferenciales en la vida practica el maestrante.

Realice modelaciones sencillas con problemas de la vida COTIDIANA.

Jerarquice sus conocimientos en los temas del Análisis Matemático, Análisis Numérico, Topología, Geometría, Trigonometría y aplica en otras ciencias.

INTRODUCCIÒN

DEFI

NI

CI

ONES Y TERMI

NOLOGI

AS

Ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parcialesOrden de una ecuación diferencialEcuaciones diferenciales lineales y no linealesForma normalSolución de una ecuación ordinariaSoluciones explicitas e implícitasSolución trivial, familia de soluciones, solución singular.

PROBLEMAS DE VALORES I

NI

CI

ALES

CLASIFICACIÒN SEGÚN EL TIPO.CLASIFICACIÒN SEGÚN EL ORDEN.CLASIFICACIÒN SEGÚN LA LINEALIDAD.

MODELOS DE LAS ECUACI

ONES DIFERENCI

ALES

ES EL DESARROLLO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN SUS DISTINTAS MANIFESTACIONES FISICAS QUIMICAS ECONOMICAS OTRAS

ETIQUETA

x2-5x+4=0

senx + cosx=0

cuya incógnita es la función

HERRAMIENTA

Como cálculo se definió que representa la derivada de una función que no es otra que

APLICACIÒN:

Hallar dx

dyde la función

20.3xey = definida ] [¥¥,-

DEFINICIÒN

Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial. Las mismas que se clasifican de acuerdo al tipo, orden y linealidad.

SEGÚN EL TIPO

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

2

OBSERVACIÒN:Representación de Leibniz

NUEVA SIMBOLOGÌA

LEIBNIZ FENOMENOS FÌSICOS (NEWTON)

OBSERVACIÒN: OBSERVACIÒN:En las parciales

MOTIVACIÒN

41. EL NÚMERO. Buscamos un número de seis cifras con las siguientes condiciones. - Ninguna cifra es impar. - La primera es un tercio de la quinta y la mitad de la tercera. - La segunda es la menor de todas. - La última es la diferencia entre la cuarta y la quinta.

motivación

29. COLOCANDO NÚMEROS (1). Colocar un número en cada cuadro, teniendo en cuenta que:

a) 3, 6, 8, están en la horizontal superior. b) 5, 7, 9, están en la horizontal inferior. c) 1, 2, 3, 6, 7, 9, no están en la vertical izquierda. d) 1, 3, 4, 5, 8, 9, no están en la vertical derecha.

CLASIFICACIÒN SEGÚN EL ORDEN(Ordinaria o derivadas parciales)

Manifestaremos que se lo identifica por la derivada de mayor orden en la ecuación. Así

Segundo orden Primer orden

xey43

dx

dy5

2dx

y2d

CLASIFICACIÒN SEGÚN LA LINEALIDAD

Se dice que una ecuación diferencial de la forma

es lineal si F es lineal en

de otra forma e.d.o. de orden n es lineal cuando F toma la forma

,

o bien

Concluye:La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, que el exponente de todo término donde aparece y es uno.

Cada coeficiente sólo depende de x, que es la variable independiente.

EJEMPLOS

Escriba el orden de estas e.d.o.

ECUACIÒN DIFERENCIAL ORNINAL NO LINEAL

Una ecuación diferencial ordinaria no lineal simplemente es aquella que no es lineal, las funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas, como por ejemplo o , no pueden aparecer en ninguna ecuación lineal por consiguiente.

EJEMPLOS

1. Analicemos la ecuación

Término no lineal el coeficiente depende de y

xey2 yy-1 ,

OTRO

2. Analicemos la ecuación

Término no lineal: función no lineal de y

0seny 2dx

y2d

RAZONE USTED

De sus argumentos.

SOLUCIÒN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Cualquier función 𝜙 definida en un intervalo I que posea al menos n, derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de orden n se reduce la ecuación a una identidad, es una solución de la ecuación en el intervalo

Intervalo de definición: Al intervalo I tiene los nombres intervalo de definición, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio de la solución y puede ser un intervalo abierto (a, b), cerrado [a, b], infinito (a,∞ ) etc.

SOLUCIONES EXPLICITAS E IMPLICITAS

Al estudiar funciones o el mismo cálculo uno se familiariza con los términos funciones explícitas e implícitas.

Función explícita: Cuando la solución de la variable dependiente se expresa tan sólo en términos de la variable independiente, en nuestro caso para la forma que podemos manejar, evaluar, y diferenciar empleando las reglas establecidas.

Función implícita: Cuando las funciones no nos llevan a la forma especialmente cuando se trata de resolver ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden se toma la forma G(x, y)=0 que defina una solución de implícitamente.

ACTIVIDAD 2 (1 HORA)

VERIFICAR QUE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS LAS FUNCIONES DADAS SON SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES INDICADAS.

Familia de Soluciones. El estudio de e.d es semejante al del

cálculo integral. A veces, a una solución 𝜑 se le llama integral de la ecuación y a su grafica, curva integral o curva solución.

En el cálculo al evaluar una antiderivada o una integral indefinida empleamos una sola constante c de integración, en forma similar, al resolver una ecuación diferencial de primer orden en general tenemos una solución con una sola constante arbitraria o parámetro c.

SIGNIFICADO Una solución con una constante arbitraria

representa un conjunto

G(x, y, c)=0 de soluciones, y se llama familia monoparamétrica de soluciones. Al resolver una ecuación diferencial del orden se busca una familia

n-paramétrica de soluciones G(x, y, c1, c2,…, cn)=0. Esto nos indica que una sola ecuación diferencial puede tener una cantidad infinita de soluciones que corresponden a las elecciones ilimitadas del parámetro o parámetros.

Comprensión de las soluciones

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO.

A las ecuaciones diferenciales de este tipo se las representa (1). Esta ecuación nos indica la relación entre la variable independiente x, la variable dependiente y, y su derivada . De la ecuación diferencial , despejamos la derivada y tendremos

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE VARIABLE SEPARABLE

Si de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer grado la misma que , podemos expresarla en la forma (2)

Donde M es una función sólo de x y N es una función sólo de y, entonces a la ecuación (2) se denomina ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable y la solución general se obtiene por integración directa es decir , donde C es constante de

integración.

Problemas Modelo

•Resolver la ecuación diferencial xeydx

dy 21

•Resolver la ecuación diferencial 0sec1sec ytagyeydxe xx , y=60o si x=3

•Resolver la siguiente ecuación diferencial 02222 yxxdx

dyxyy

Resolvamos los siguientes problemas.

Actividad 1

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciables

1.- Integrar la ecuación

2.- para x=1, y=1

3.

Soluciones:

1.-

2.- y=1

3.-

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCIBLES A VARIABLE SEPARABLE

Las ecuaciones diferenciales de la forma (1) Donde a,b y c son constantes, no son

de variables separables, por lo que para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales se transforma a una ecuación diferencial de variables separables, mediante la sustitución z=ax+by+c de donde , que al remplazar en (1) se obtiene una nueva ecuación diferencial que es de variables separables así: de donde , separando las variables

Problema Modelo

•Resolver la siguiente ecuación diferencial

1. Resolver la siguiente ecuación diferencial ,3222 yyx

Actividad 2

Resolver

Respuesta

CAPITULO 2ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS

Diremos que la función f(x, y) es homogénea de grado k, en x e y, si y sólo si, cumple con las condiciones siguientes

OBJETIVO

Reconocer una ecuación diferencial ordinaria homogénea.

Desarrollar ecuaciones diferenciales homogéneas aplicando principios de reducción a homogéneas

Interpretar ecuaciones diferenciales ordinarias exactas

Aplicar el principio de factor de integración en las ecuaciones diferenciales ordinarias.

PROBLEMAS MODELO

Dar solución a los siguiente interrogante ¿Cuál es homogénea y el grado:

32 4, yyxyxf

ysenxxyxf cos., 2

DEFINICION

Diremos que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer grado de la forma , es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado en x e y citemos algunos ejemplo

0222223 dyyxxydxyxyx

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria homogénea (1)

Entonces

(2)

Con esto demuestre e d h con vs

Considere

Problema

•Resolver la siguiente ecuación diferencial 0lnlnlnln dyxyxdxxyyyx

La inspiración del sabio es la humildad.

•Resolver la siguiente ecuación diferencial 03 222 dyxdxyxyx

ACTIVIDAD 3

1.-

2.-

3.-

ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS

Las ecuaciones diferenciales de la forma (1) no son homogéneas, porque tanto el numerador como el denominador aparecen dos constantes y , estas constantes se pueden eliminar mediante una traslación, transformando a la ecuación (1) en una ecuación diferencial homogénea, para lo cual se considera las ecuaciones (2) donde el punto de intersección es (h, k) Si la trasladamos el origen de coordenadas (h, k) las ecuaciones (2) se transforman

y haciendo el cambio de donde dzdx y dwdy se tiene de (1)

z

wF

z

wba

z

wba

fwbza

bwazf

dz

dw

,,,,

(3)

OBSERVACIÒN

sin embargo e tiene ,,

,,,

,

, bbaab

b

a

a

b

a

b

a de donde se educe

ybxagcybxa

cybxaf

cybxa

cbyaxf

dx

dy22,,,

,,

,,,

0:0: ,,,21 cybxaLcbyaxLCuando son paralelas no se aplica este método,

OBSERVACIÒN 2

Otra forma de transformar a una ecuación diferencial homogénea, las ecuaciones diferenciales que no son homogéneas, es mediante la sustitución de la variable ocurriendo esto cuando todos los términos de la ecuación son del mismo grado atribuyendo el grado 1 a la variable x , el grado a la variable y, y el grado a la derivada

APLICACIONES

1.- Resolver la ecuación diferencial

2.-Resolver la ecuación diferencial

ACTIVIDAD 4

Aplique el principio estudiado a

1.-

2.-

3.-

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS

a.- DIFERENCIAL TOTAL: Sí ,es una función diferenciable en , entonces la diferencial total de f es la función , cuyo valor está dado por

b.-DIFERENCIAL EXACTA: Una expresión de la forma , se denomina exacta si existe una función tal que , es decir que toda expresión que es la diferencial total de alguna función de x e y se llama diferencial exacta.

c.- DEFINICIÒN: Consideremos la ecuación diferencial …α , si existe una función tal que , diremos que la ecuación … α es una ecuación diferencial exacta.

d.- TEOREMA: La condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencial

sea exacta es que

SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Consideremos la ecuación diferencial exacta.

(1) entonces existe una función que

(2) remplazando (2) en (1) se tiene:

Por otro lado se tiene entonces su diferencial es

Luego al comprobar (3) y (4), se tiene entonces z=c, es decir f(x, y)=c, que es la solución de la ecuación diferencial.

CAPITULO 5ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

En las ecuaciones diferenciales de orden superior consideraremos dos tipos especiales

CASO.- Las ecuaciones diferenciales de la forma (1), donde f(x) es una función sólo de x, la solución de esta lo obtendremos por integración sucesiva es decir:

.

.

2°Caso g es una función solo de y

Para obtener ecuaciones de este modo se tiene:

pero como se tiene

de donde

aplicando integrales se tiene

luego integramos de igual forma para otros casos.

Taller 1

1.- Resolver la siguiente diferencial

2.- Resolver

Tarea

1.- Resolver

2.- Resolver

ECUACIONES D.L.O.n

Son de la forma

pero si esta misma ecuación es igual a cero se denomina e.d.l.h.

Por tanto las soluciones son

INDEPENDENCIA LINEAL

Consideremos un sistema infinito de n funciones

definidas en (a,b) son linealmente independientes se existe

escalares tal que:

entonces

caso contrario si alguno de estos es diferente de cero diremos:

son linealmente dependientes.

APLICACIONES

1.- Averiguar si la función es linealmente independiente

EL WRONSKIANO

Suponiendo que las n funciones

son diferenciables cada uno al menos (n-1) veces en el intervalo , entonces de la ecuación , por diferenciación sucesiva se tiene:

Considerando a como un sistema de ecuaciones en

Nota

El sistema de ecuaciones no tiene solución, excepto cuando todos los son ceros, Si el determinante de los coeficientes no es nulo se tiene:

Entonces diremos son L.I, al determinante de los coeficientes del sistema lo denotaremos W que lo llamaremos Wronskiano de las funciones .

APLICACIÓN1.- Demostrar que las funciones son L.I.

2.- Demostrar que las Funciones son L:I

3.- Hallar el Wronskiano de

4.- Demostrar que las funciones son L.I.

ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES.

Son de la forma donde

Consideremos la ecuación característica

Supongamos , ,…, son las raíces de la ecuación se tiene presente los siguientes casos:

Observación

1.- Si , ,…, son reales distintas el sistema fundamental de solución es

,…, y la solución general es:

+…+

2.- Si , ,…, son reales y algunos de ellos son de multiplicidad por ejemplo = ,…, =λ de modo que esta es una raíz k, múltiplo de la ecuación la solución esta dada:+…+

3.- Si , ,…, son raíces imaginarias la solución esta dada:

4.- Si los imaginarios son múltiplos

Aplicaciones1.- Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas conociendo sus ecuaciones características.

a.-

b.- 2

c.- λ(2.- Forme la ecuación diferencial lineal homogénea si se conocen las raíces de sus ecuaciones características y escriba la solución general.

a.-

b.-

c.-

Tarea1.- Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas si se dan sus sistemas fundamentales de soluciones.

a.-

b.-

c.-

2.- Integrar las siguientes ecuaciones

a.-

b.-

c.-

d.-

EXAMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

DAR RESPUESTA A LAS SIGUIENTE INTERROGANTES:

1.- ¿Cuál es la diferencia entre diferenciabilidad y derivada?

2.- ¿Cómo se determina el orden de una ecuación diferencial?

3¿Qué significa el Wroskiano?

4.- ¿ Cómo se manifiesta que una solución es solución de la ecuación diferencial?

5.- ¿Qué es una solución singular?

6.- ¿Cuáles son las características de una ecuación diferencial homogénea.

Resolver las siguientes ecuaciones:

7.-

8.-

9.- Resolver la siguiente diferencial

10.- Una de su eleción:

OPERADORES DIFERENCIALES

Supongamos D denota la diferenciación con respecto a x, la segunda diferenciación con respecto a x así sucesivamente, es decir para un k positivo.

Luego

se le llama O.D de orden n, y se le aplica cualquier función donde los coeficientes pueden ser funciones o constantes

OBSERVACIÓN

1.- Dos operadores son iguales ssi producen el mismo resultado sobre alguna función

2.- se cumple la conmutatividad si tiene coeficientes constantes.

LEYES FUNDAMENTALES DE LOS OPERADORES

1.-

2.-

3.-

4.-

5.- Si m,n

PROPIEDADES

1.-

2.-

3.-

4.- Para cada función con n derivada se cumple

5.- Si

6.- Si

APLICACIONES

1.-

2.-

3.-

4.-