ecuaciones-ballmill

Pontificia Universidad Católica de Chile SIMULA v1.0 Escuela de Ingeniería-Centro de Minería

I. Ecuaciones Matemáticas (1)Promedio

n

xx

n

ii∑

== 1

Donde: Xi, Valores a promediar n, Cantidad de valores (2)Desviación Estándar

1

)(2

12

−

−=∑

=

n

xxS

n

ii

Donde: S, Desviación Estándar.

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III. Ecuaciones Matemáticas (1)Flujo Másico Pulpa

100⋅=SFFmp

Donde: Fp

m, Flujo Másico Pulpa, ton/hr S, Fracción Peso Sólidos Pulpa, %

F, Rendimiento proceso o Flujo seco total alimentación molino(incluye carga recircula), tph

(2)Flujo Másico Agua FFF m

pmW −=

FWm, Flujo Agua, ton/hr

(3)Flujo Volumétrico Pulpa

mW

m

vp FFF +=

ρ

Donde: Fp

v, Flujo Volumétrico Pulpa, m3/hr ρm, Densidad Mineral, ton/m3 (4)Densidad Pulpa Interior Molino

vp

mp

p FF

=ρ

Donde: ρp, Densidad Pulpa Interior Molino, ton/m3

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II. Ecuaciones Matemáticas (1)Velocidad giro molino

ϕ⋅= critc NN Donde: Nc, Velocidad giro molino, rpm φ, Fracción velocidad crítica utilizada, %, (0→100) Ncrit, velocidad crítica rotación molino.

DNcrit 6.76=

D, Diámetro interior molino,ft,(0→30) (2)Densidad Pulpa(compuesta mineral y agua). Se considera una tonelada pulpa y ρH2O=1[ton/m3]

−+

⋅

=

10011

100

1SS

m

p

ρ

ρ

Donde: ρp, Densidad Pulpa, ton/m3 ρm, Densidad Mineral, ton/m3 S, Fracción peso sólidos pulpa, %, (0→100) (3)Volumen interior del Molino

)305.0()305.0(4

2 LDV π=

Donde: V, Volumen interior molino, m3 D, Diámetro interior molino, ft, (0→30)

L, Largo interior molino, ft, (0→60) (4)Volumen carga interior Molino

100JVVc ⋅=

Donde: Vc, Volumen carga interior Molino, m3

J, Nivel llenado aparente. Carga volumétrica aparente llenado (incluyendo bolas y exceso pulpa sobre bolas cargadas, mas pulpa en espacios intersticiales entre bolas), porcentaje ocupa carga relación volumen interno total molino, %, (0→100)

(5)Volumen bolas interior molino

100B

BJVV ⋅=

Donde: VB, Volumen bolas interior molino, m3

JB, Nivel llenado bolas, %, (0→100)

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(6)Peso carga bolas

BBVB VfM ⋅⋅−= ρ)1( Donde: MB, Peso carga bolas, [ton]

fv, Fracción volumétrica espacios intersticiales entre bolas(aprox. 40% volumen aparente ocupado carga), °/1, (0→1) ρB, Densidad bolas, ton/m3, (0→10)

(7)Peso pulpa espacios intersticiales entre bolas

pBVEIp VfJpM ρ⋅⋅⋅=

Donde: Mp

EI, Peso pulpaespacios intersticiales, ton Jp, Nivel llenado pulpa espacios intersticiales, %, (0→100)

(8)Nivel exceso pulpa, corresponde nivel pulpa sobre nivel bolas

BE JJJ −= Donde: JE, Nivel exceso pulpa, % (9)Peso exceso pulpa

pEEp VJM ρ⋅⋅=

Donde: Mp

E, Peso exceso pulpa, ton (10) Densidad aparente carga molino. Razón entre peso total carga y volumen aparente (incluyendo espacios intersticiales)

c

Ep

EIpB

ap VMMM ++

=ρ

Donde: ρap, Densidad aparente carga molino, ton/m3 (11)Potencia Neta Molino

nota: Para entender desarrollo apóyese figura 1 NWCPneta ⋅⋅= αsen

cap VW ⋅= ρ

JDC 476.0447.0 −≅

αρ sen)065.1(238.0 5.3 ⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅= JJNDLDP apcneta

Donde: Pneta, Potencia Neta Molino, kW

α, Angulo inclinación superficie carga durante operación, º, (0→180)

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(12)Potencia demandada bolas

netaap

BBVB P

JJf

P ⋅

⋅⋅⋅−

=ρ

ρ)1(

Donde: PB, Potencia demandada bolas, kW (13)Potencia demandada pulpa espacios intersticiales

netaap

pBVpEI P

JJfJ

P ⋅

⋅⋅⋅⋅

=ρ

ρ

Donde: PEI, Potencia demandada pulpa espacios intersticiales, kW (14)Potencia demandada exceso pulpa

netaap

pEE P

JJ

P ⋅

⋅⋅

=ρρ

Donde: PE, Potencia demandada exceso pulpa, kW (15)Potencia real o total(considerando perdidas)

1001 LPnetaP−

=

Donde: P, Potencia real o total, kW L, Pérdidas potencia, %, (0→100) (16)Energía por tonelada carga

FP

E neta=

Donde: E, Energía por tonelada carga, kWh/ton F, Flujo seco total alimentación molino(incluye carga recircula), tph (17)Energía por tonelada bolas

FPE B

B =

Donde: EB, Energía por tonelada bolas, kWh/ton SIMULACIÓN Esta teoría introdujo dos nuevos conjuntos de parámetros: la función de selección S y la función de fractura B. La primera guarda relación con la cinética o velocidad de fractura de cada partícula independiente. La segunda caracteriza la distribución granulométrica de los fragmentos como consecuencia de un evento dado. La figura 2 ayuda a definir ambos conceptos con mayor claridad. Considere que en cualquier t

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dado, la distribución granulométrica de la carga en un molino es cuantificada por las fracciones fi (i = 1, n) retenidas en los n distintos tamices representados en la izquierda de tal figura. Después de un intervalo del tiempo ∆t , la granulometría queda representada en la derecha de la misma figura. Durante este intervalo del tiempo, algunas partículas serán fracturadas y sus fragmentos serán redistribuidos a las mallas inferiores. Para las partículas retenidas en la malla i+1, la función de selección S(min-1) denota la velocidad fraccional de fracturación; es decir, la fracción de las partículas en el rango de tamaños [ di+1, di ] que se fracturan, por la unidad del tiempo. Por lo tanto, el producto (Si∆t) representa la fracción del material retenido en la malla i+1, al tiempo t, que es fracturado por la acción de los medios de molienda, durante el periodo siguiente ∆t. Adicionalmente, la función de la fractura bij denota la fracción, en peso, de los fragmentos provenientes de la fractura de las partículas antes retenidas en la malla j+1 que resultan retenidas en la malla inferior i+1.

(1-S1∆t) f1

S1∆t f1b21S1∆t f1

bi1S1∆t f1

bn1S1∆t f1

(1-S2∆t) f2S2∆t f2

bi2S2∆t f2

bn2S2∆t f2

t = t

f1

f2

fi

fn

2

3

i + 1

n + 1

•

t = t + ∆t

2

3

i + 1

n + 1

••

•••

•••

•••

(1-S1∆t) f1

S1∆t f1b21S1∆t f1

bi1S1∆t f1

bn1S1∆t f1

(1-S2∆t) f2S2∆t f2

bi2S2∆t f2

bn2S2∆t f2

t = t

f1

f2

fi

fn

2

3

i + 1

n + 1

•

t = t + ∆t

2

3

i + 1

n + 1

••

••••••

•••

•••

Figura 2. Representación esquemática de los eventos de fractura y generación de nuevas partículas durante un instante ∆t Es acostumbrado definir como 1a la malla más gruesa(que necesariamente no debe retener partícula alguna, f0=0) y n la más fina(por lo tanto,dn+1=0). Entonces, por definición:

∑+

=

=1i

nkkjij bB

representa la fracción acumulada de fragmentos provenientes de la fractura de las partículas retenidas en la malla j, que resultan ser más fino que la malla i. Referente a la figura 2, cabe entonces plantear, para cada fracción i, siguiente balance poblacional de partículas: [ Partículas en la fracción i en el tiempo (t+∆t) ] = [ Partículas en la fracción i al tiempo t ] – [ Partículas en la fracción i fracturadas durante el intervalo de tiempo ∆t ] + [ Las nuevas partículas agregadas a la fracción i como resultado de la fractura de las partículas retenidas en la fracción más gruesa (j = 1, i-1) ] entonces, si H representa el peso total de mineral en el molino, la expresión anterior queda:

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HttfSbHttfSbHttfSHtfHttf iiiiiiiii )(...)()()()( 111,222 −−− ∆++∆+∆−=∆+ ; para i=1,2..n

Reagrupando términos y considerando la condición limite cuando ∆t→0, la expresión de arriba se reduce al sistema de las ecuaciones diferenciales de primer orden:

∑−=

+−=1

1/)(

ijiiijiii fSbfSdtfd ; para i=1,2,...,n

el cuál constituye el Modelo General de Molienda, en su forma diferencial. La solución analítica de este sistema complejo de ecuaciones diferenciales afortunadamente es conocido, bajo el supuesto restrictivo que los parámetros S y B son invariantes con el tiempo, dando lugar a la solución particular del sistema general denominado el Modelo Lineal, que se expresa que en su forma matricial como:

f = (T J T-1)fo Donde: f = { fi | i = 1, 2,., n } = vector distribución granulométrica en la descarga del molino (producto molido) f° = { fi° | i = 1, 2,., n } = vector distribución granulométrica en la alimentación del molino, T = { Tij | i,j = 1, 2,., n } = matriz triangular inferior de valores Tij definida recursivamente como:

Tij = 0; cuando i < j Tij = 1; cuando i = j Tij =; cuando i > j

J = { Jij | i,j = 1, 2,., n } = matriz diagonal de valores Jij definida como: Jij = exp (- Sit); cuando i = j (molienda batch) Jij = (1 + Sit/N)-N; cuando i = j (molienda continua)

Jij = 0; en el resto de los casos

Previamente es indispensable estimar los parámetros característicos S y B. Esta tarea es considerablemente facilitada por la incorporación de las siguientes relaciones entre estos parámetros y su correspondiente tamaño de partícula asociado:

- para la función de la selección: [ ]21 )/*(1/*)(0

ααα critiiEi dddS +=

=⋅= +5.0

1 )(* iii ddd Tamaño representativo de la fracción granulmétrica i. Una forma ampliada de esta expresión - disponible en la rutina de simulación - es:

[ ] [ ]{ }12211 *)()/*(1/*)()/1/(1 02010102ααα αααα icritii

Ei ddddS +++=

- para la función de la fractura:

21 )/)(1()/( 1010ββ ββ ++ −+= iiiiij ddddB

Una forma ampliada de esta expresión - también disponible en la rutina de simulación - es obtenida substituyendo β0 en la ecuación anterior:

01)1000/( 1000βββ −

+= ij d ; nunca > 1

Estas formas ampliadas para el Si y Bij se utilizan para proporcionar la mayor flexibilidad al modelo. En cualquier caso, las formas ampliadas propuestas se reducen a las formas normales si α02 y β01 se fijan iguales a cero.

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