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UNIDAD 3: ECUACIONES

Ecuaciones de primer grado

1. Agrupar la incógnita.

El primer paso será agrupar en un lado del = todos los términos que tengan la incógnita

y juntar en el otro todos los términos en los que no aparece. Para hacer esta

trasposición los signos que van delante de cada número cambia. Así, el que está

sumando en un lado pasa al otro restando y viceversa; y el que está multiplicando en un

lado pasa al otro dividiendo, y viceversa.

Ejemplo:

Trasposición:

2. Despejar cada lado.

Una vez hecho esto se hacen las operaciones de cada lado. Al final en uno de los lados

quedará un número multiplicando a la incógnita, y al otro lado del igual quedará

solamente un número.

Resolver:

3. Resolverlo.

Para despejar la incógnita, el número que multiplica a la 'x' pasa al otro lado dividiendo.

Siguiendo nuestro ejemplo,

,por lo que

Ecuaciones de segundo grado:

1. Ordenarlo:

El primer paso será ordenar la ecuación para que queden todos los términos a un lado

de la igualdad ordenados de mayor a menor grado de la siguiente manera:

Ejemplo:

2. Aplicar la fórmula:

Hemos de encontrar a, b y c y “meterlos” en la siguiente fórmula:

Ejemplo:

4. Resolverlo:

Ecuaciones polinómicas

Son las ecuaciones de grado tres o mayor.

Para resolver una ecuación polinómica debemos de factorizar el polinomio hasta poder

escribirlo como un producto de factores todos de grado menor o igual que dos.

Veámoslo con un ejemplo:

Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación

El primer paso es igualar la ecuación a 0

Ahora escribimos las posibles raíces: 1,-1,2,-2,4,-4

Hacemos Ruffini con las posibles raíces hasta llegar a resto=0

1 0 -3 0 -4

1 1 1 -2 -2

1 1 -2 -2 -6 Por tanto 1 no es raíz

1 0 -3 0 -4

- 1 -1 1 2 2

1 -1 -2 2 -2 Por tanto -1 no es raíz

1 0 -3 0 -4

2 2 4 2 4

1 2 1 2 0

Por tanto 2 es raíz y podemos escribir

Como todavía no tenemos el polinomio escrito como un producto de polinomios de

grado menor o igual que dos hemos de seguir factorizándolo, seguimos con el cociente

que tiene grado=3.

1 2 1 2 Ahora las posibles raíces son 1,-1,2.-2

-2 -2 0 - 2

1 0 1 0 Luego -2 es raíz

Y tenemos que

Como teníamos que resolver esto es lo mismo que resolver

Y como para que un producto de 0 alguno de los términos tiene que ser 0, hacemos:

Por tanto las soluciones son .

Ecuaciones irracionales

Para resolver una ecuación en la que aparece una raíz hemos de seguir los

siguientes pasos:

1. Dejamos a un lado de la igualdad SOLO la raíz

Ejemplo:

2. Eliminamos la raíz elevando ambos lados del igual al cuadrado.

Ejemplo:

3. Resolvemos la ecuación obtenida.

Ejemplo:

Ecuaciones racionales

Seguimos los siguientes pasos:

1. Sacamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

Ejemplo:

2. Eliminamos denominadores:

Para ello colocamos como denominador en todos los términos el m.c.m.

multiplicando cada término en el numerador y el denominador por lo que le falte

para que el denominador sea el m.c.m.

Ejemplo:

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

Ejemplo:

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 2(x - 3) + 3(x - 1) = 1

b) 4x + 2(x - 1) - 3(x - 2) = 13

c) (1 - x) + 2(2x + 3) = 4

d) x + 2x + 3x = 5(1 - x) + 6

Solución:

a) x = 2; b) x = 3; c) x = -1; d) x = 1.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 5x + 10 = 12x - 4

b) 4x + 2 - 2x = 8x

c) 6x - 9x = 18 - 27

d) 2 + 4x - 15 = - 13x + 4

Solución:

24x4x2482x72

167x4

128

xx212

a) x = 2; b) x = 1/3; c) x = 3; d) x = 1

3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 02410xx2

b) 09x2

c) 04x2

d) 023xx2

Solución:

a) x = 4 y x = 6; b) x = -3 y x = 3; c) x = -2 y x = 2; d) x = 1 y x = 2


a) 106x2

b) 167x4

c) xx5x

Solución:

a) x = 2

b)x = 9

c) x = 0 y x = 16


a)

b)

c)

Solución:

a) Solución válida, x = 5

b) x = 9

c) Solución válida, x = 64

6. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

a)

b)

c)

Solución

a) x= -1,2,-2

b) x= 0, -1, 3/2

c) x=0, 2, -2, -8


a)

b)

c)

d)

Solución:

a) x=1, 4 b)x=1/4, 3/3 c)x=2, -7/5 d)x=-4, -4/3

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