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Ecuacin ordinaria de la hiprbola (Centro fuera del origen)

La ecuacin ordinaria de la hiprbola con centro en (h, k) con eje transversal horizontal es:

y la ecuacin ordinaria de la hiprbola con centro en (h, k ) con eje transversal vertical es:

Los vrtices estn a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia de c unidades del centro. Adems b

2 = c

2 - a

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Al observar la grfica podemos resumir: Para la hiprbola con eje transverso y focal horizontal.

El centro est en (h, k)

Los vrtices estn en (h a, k)

Los focos estn en (h c, k)

Pero si el eje transversal y focal de la hiprbola es vertical entonces:

El centro est en (h, k)

Los vrtices estn en (h, k a)

Los focos estn en (h, k c)

Una ayuda importante para trazar la grfica de una hiprbola son sus asntotas. Toda hiprbola tiene dos asntotas que se interceptan en su centro y pasan por los vrtices de un rectngulo de dimensiones 2a y2b y centro en (h, k). El segmento recto de longitud 2b que une los puntos (h, k c), y como ya vimos se llama eje conjugado de la hiprbola.

Observaciones: Las asntotas de la hiprbola coinciden con las diagonales del rectngulo de dimensiones 2a y 2b centro (h, k). Esto nos permite una forma ms simple de trazar las asntotas, y por ende las ramas de la hiprbola.

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Recordando que la excentricidad e de una hiprbola est dada por el cociente

Si la excentricidad es grande los focos estn cerca del centro y las ramas de la hiprbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a 1 los focos estn lejos del centro y la ramas de la hiprbola son ms puntiagudas.

Asntotas de la hiprbola

Una asntota es una recta que limita una curva de tal manera que a medida que la curva crece, la distancia entre ambas disminuye continuamente y tiende a 0.

Las hiprbolas con las que trabajamos en este mdulo no tienen asntotas horizontales ni verticales, pero s dos oblicuas las cuales son las rectas determinadas por las diagonales del rectngulo auxiliar de lados 2a y 2b, que como ya se mencion representan las asntotas de la hiprbola. Generalmente se denotan por 1 y 2.

La figura representa una hiprbola con centro en el origen. En este caso, las asntotas son rectas que pasan por el origen, por lo que las ecuaciones 1 y 2 son del tipo y =mx, donde m es la pendiente de la recta.

Como la pendiente de la recta 1 es y la de la recta 2 es , las ecuaciones de las asntotas quedan como:

Para 1 es: , haciendo producto cruzado queda: ay -bx = 0 multiplicando por (-1)

y para la recta 2 es: ,

Para una hiprbola vertical con centro en el origen, la pendiente de las asntotas es: , por lo que las ecuaciones de sus asntotas son:

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Ecuaciones de las asntotas de la hiprbola con centro en el origen y eje transverso coincidente con el eje y.

Asntotas de una hiprbola con centro en (h, k)

Empleando la ecuacin punto pendiente de la recta (y - y0) = m(x - x0). Sabiendo que la recta pasa por el centro de la hiprbola (h, k) y las pendientes son las mismas que las antes obtenidas, por lo que las ecuaciones quedan:

El clculo de los elementos de la hiprbola en forma ordinaria se resume en la siguiente tabla: