Determine una solución formal del problema con valores iniciales y en la frontera dado

Se aplica método de variables separables para la resolución del problema

Definimos una función en términos de dos variables que sea igual al producto de las mismas:

u ( x , t )=X ( x )T ( t )

Derivando cuantas veces sea necesario para poder sustituir en la ecuación original, lo cual nos lleva a derivar la función creada dos veces con respecto a x y unas ves con

respecto a t

u ‘‘ ( x )=X ‘‘ ( x )T (t ) y u ‘ (t )=X (x )T ‘ ( t )

Luego se reemplaza en la ecuación original:

X ( x )T ‘ ( t )=X ‘‘ (x )T (t)

Se despejas las constantes que dependen de x para un lado y las constantes que dependen de t para el otro dividiendo todo por X(x)T(t):

X ‘‘ ( x )X (x)

=T ‘ ( t )T (t )

Se igualan ambos miembros una constante negativa y al cuadrado cualquiera y se despeja:

X ‘‘ ( x )=−α 2X ( x ) yT ‘ (t )=−α 2T (t )

Ahora se procede a trabajar con la función que depende de x

X ‘‘ ( x )=−α 2X ( x )Ahora se escribe en términos del operador diferencial lineal y se resuelve

(D2+α 2 ) X=0

m=± iα

Como la solución nos quedó en términos de números imaginarios la solución de la ecuación viene a estar dada por la forma de Euler:

X ( x )=C1 cos (αx )+C2 sen (αx )

Se deriva para poder utilizar las condiciones de frontera

X ‘ ( x )=C 2cos (αx )−C1 sen (αx )

Usando la primera condición

X ‘ (0 ,t )=0

0=C2

Usando la segunda condición

X ‘ (π , t )=0

Al ser C2 igual a cero nos queda que:

−C1 sen (πn )=0

Para que esto se cumpla el Angulo de seno tiene que ser un valor que este se haga cero, por ende nos queda que:

απ=nπ→α=n

Nuestra solución para la función en términos de x es:

Xn ( x )=Ancos (nx )

Se coloca en términos de n ya que la solución depende de esta

Ahora procedemos con la función en términos de t:

T ‘ ( t )=−α2T ( t )Se escribe en forma de derivada, se despeja, tanto t con el dt y se integra:

∫ Tt =∫−α2dt

lnT=−α2 t+cUsando la propiedad de los logaritmos para los logaritmos naturales nos queda:

T n (t)=Bne−n2t

Donde se reemplazó el valor de alfa

Ahora reemplazando el valor de X y T en la ecuación que define el producto de dos variables

u ( x , t )=(Ancosnx )Bne−n2 t

u ( x , t )=Cne−n2 t cosnx

Donde Cn es el producto de An por Bn

Si consideramos una seria infinita llamada serie de Fourier para la solución esta nos queda

u ( x , t )=∑n=0

∞

Cn(e¿¿−n2t)cosnx ¿

Ahora le aplicamos las condiciones iniciales para encontrar el valor de Cn

u ( x ,0 )=ex

Quedándonos la solución de la siguiente manera

ex=∑n=0

∞

Cncosnx

Aplicándole la solución para de Fourier para estos casos, nos queda la solución para Cn es:

Cn= 2π∫0

π

ex cosnxdx

Resolviendo la integral por el método por parte:

Donde:

u=cosnx

du=−sennx

dv=ex

v=ex

∫0

π

excosnxdx=cosnx ex−∫0

π

ex (−nsen nx )dx

∫0

π

excosnxdx=cosnx ex+n∫0

π

ex (nsennx )dx

Aplicando nuevamente método por partes para la integramos que nos queda

Donde:

u=sen nx

du=cons nx

dv=ex

v=ex

∫0

π

excosnxdx=cosnx ex+n [sennx ex−∫0

π

ex (ncosnx )dx ]∫0

π

excosnxdx=cosnx ex+nsen nxex−n2∫0

π

e x (cosnx )dx

∫0

π

excosnxdx+n2∫0

π

ex (cos nx )dx=cosnx ex+nsennx ex

∫0

π

excosnxdx= cosnx ex+nsennx ex

n2+1 {π0

Y finalmente la solución sería:

∫0

π

excosnxdx= cosnπ eπ+nsennπ eπ

n2+1−( 1n2+1 )

Reemplazando este valor en la respuesta del problema nos queda:

u ( x , t )= 2π∑n=0

∞ [ cosnπ eπ+nsen nπ eπn2+1−( 1n2+1

)]e−n2 t cosnx

Aplicando que

cos nπ=(−1)n

sennπ=0

Nos queda:

u ( x , t )= 2π∑n=0

∞ [(−1)n eπ

n2+1−( 1n2+1

)]e−n2 t cosnx

Multiplicando por 2/π

u ( x , t )=∑n=0

∞ [ [2(−1)n eπ ]−2

π (n2+1) ]e−n2t cosnx

Problemas adicionales

Determine una solución formal del problema con valores iniciales y en la frontera dado

1)

2)

3)