Prof. Domingo de la Cerda

ECUACIONES DIFERENCIALES Es toda ecuación que establece la dependencia de una variable respecto a otra u otras mediante derivadas.

Ejemplos:

Las ecuaciones diferenciales tienen una gran variedad de aplicaciones desde la ingeniería, la administración, la biología, estadística, etc. Ya que involucran una o más variables aplicándolas con derivadas.

Ejemplos:

1) El voltaje v(z) en el circuito de la figura: Cv(t)dt+rc v(t)=Rcvs(t)

v(z)

2) La rapidez con la que un cuerpo se acelera es proporcional a la diferencia entre la temperatura del ambiente.

+-

K= Coeficiente de transmisión de calor de material.

3) Las coordenadas (x,y) de los puntos de la curva que reflejan en forma paralela los rayos que salen de un punto fijo en el origen cumple con:

x

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

Las ecuaciones lineales tienen tres clasificaciones según sus propiedades, una es de acuerdo a su tipo de ecuación, de acuerdo al orden de la ecuación y la última es de acuerdo a la linealidad de la ecuación como se ve a continuación.

Clasificación de las

ecuaciones

diferenciales.

Tipo

Orden

Linealidad

Ordinaria

Parciales

Primer orden

Segundo orden

N_orden

Lineal

No lineal

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Si una ecuación tiene solo derivada ordinaria de una o más variables dependientes con

respecto a una variable entonces es una ecuación diferencial ordinaria.

Ejemplos:

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o mas variables dependientes de

dos o más variables dependientes se le llama ecuación parcial, como se ve en los siguientes

ejemplos:

CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES SEGÚN EL ORDEN

Primer orden

Segundo Orden

Tecer Orden

CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN SU

LINEALIDAD O NO LINEALIDAD

Una ecuación diferencial ordinaria o parcial es lineal si tiene la siguiente forma:

Una ecuación diferencial que no cumple con la forma anterior se dice que es una ecuación

diferencial no lineal.

A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales.

Ec. Diferencial –Primer orden

Ec. Diferencial – Segundo orden

Ec. Diferencial – Tercer Orden

A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales.

Ec. Segundo orden No lineal

Ec. Tercer Orden no lineal

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Se dice que una función “F” cualquiera definida en algún intervalo “I” es solución de una

ecuación diferencial en el intervalo si sustituida en dicha ecuación la reduce a una

identidad. Dicho de otra manera una solución de una ecuación diferencial es una función

Y=F(X) que tiene por lo menos n derivadas que cumplen con la siguiente forma para todo

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar la función

incógnita en cada caso con las derivaciones correspondientes verifica la ecuación, es decir,

la convierte en una identidad.

En las ecuaciones diferenciales hay 3 tipos de soluciones, solución general, solución

particular y la solución singular.

La solución general es una solución de tipo genérico expresada con una o mas constantes.

Esta solución tiene un As de curvas, además tiene un orden de infinitud de acuerdo a su

cantidad de constantes.

La solución particular se logra fijando cualquier punto por donde debe pasar

necesariamente la solución de la ecuación diferencial y además existe un valor de C

(único) y por, lo tanto en la curva integral que satisface la ecuación, de esta forma , esta

ecuación recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto y

este punto recibe el nombre de condición inicial.

La solución singular es una función que verifica la ecuación pero que no se obtiene

particularizando la solución general.

EMPLEO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales son de gran utilidad para la investigación para diferentes

campos de la ciencia, ingeniería, economía, etc. Así como herramientas de apoyo para

definir diferentes tipos de fenómenos mediante modelos matemáticos.

Estas ecuaciones diferenciales se pueden obtener de 2 maneras:

1.- A partir de los datos en el enunciado de 1 problema que se involucra 1 o más

diferenciales que al relacionarse entre si matemáticamente se obtiene otra ecuación

diferencial.

2.- A partir de una función dada la cual se deriva para conocer sus cambios, asi como

eliminar las constantes que en ella aparecen y en cuya simplificación da como resultado

otra ecuación diferencial.

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNISIDAD

Sea R una región rectangular en el plano (x,y) definida por: y además

que contiene el punto en su interior.

Si F(x,y) la diferencial parcial de F con respecto a y son continuos a R entonces existe

un intervalo I con centro en F(0) s y una única función definida en I que satisface el

problema del valor inicial. Como se ve en la siguiente figura:

ECUACIÓN DIFERENCIAL POR EL MÉTODO DE SEPARACIÓN

DE VARIABLES.

Para resolver ecuaciones diferenciales no hay una manera general de resolverlas existen

varios métodos y no de los mas utilizados es el de separación de variables. Para resolverlo

por este método en la ecuación diferencial se separan las variables y se iguala tanto de un

lado como en el otro por ultimo se integra de un lado y de otro de la siguiente forma.

Ejemplos solución de ecuación diferencial ordinaras por separación de variables.

a bI

R

(x,y)

d

c

ECUACIÓN DIFERENCIAL POR EL MÉTODO DE LAS

EXACTAS

Otro método para la solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias es el método de

las exactas para aplicar este método se tiene que ver si la ecuación diferencial es

exacta.

Para ver si es exacta se tiene que ver si las ecuaciones diferenciales parciales con

respecto a x y y son iguales como se ve en la siguiente ecuación:

Ejemplos:

1.- (2x+4)dx + (3y-1)dy=0

2.-

3.-

Ejercicios:

4.-

5.-

6.-

7.-

(1+y dy=x

y+ y = x +c

DIFERENCIA ENTRE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

LINEALES Y NO LINEALES

2xy+3x

M=2xy+3

4.- (2xy+3x

U=

5.-(2xy+3)dx+(x

6.-(2 cos 2x)dx+(sen 3y) dy=0

2

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Y NO LINEALES

Ejemplos:

(1-x)y‟-4xy‟+5y=cos x

X3 y‟‟-x Lineales

(sen x) y‟‟-(cos x)=y‟=2

y y‟‟+9y=8-x coeficiente de y’ depende de y

El grado de y diferente de 1

2yy‟‟+x=3 Lineal

3xy‟+sen x=2 No Lineal

Sen x Lineal

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS

CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial lineal de orden “n” tiene la siguiente forma.

Donde:

ECUACIÓN AUXILIAR O CARACTERÍSTICA DE LA

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA DE SEGUNDO

ORDEN.

Se considera la ecuación lineal homogénea de segundo orden de la siguiente forma:

Donde: a, b y c son constantes

Tipo de raíces de la ecuación correcta. Solución

1.-4y‟‟ + y „ = 0

4 m2 + m = 0

M(4m + 1) = 0

M1= 0

4m + 1 = 0 M2= -1/4

Y=C1+C2 e-1/4x

2.-Y‟‟ – y‟ – 6 = 0

m2 – m + 6=0

1 +- 5 , M1=3 2 M2 = - 4/2 = -2 Y= C1e3x + C2e-2x

3.-2y‟‟ + 2y‟ = 0

2m2 + 2m – 1 = 0

= -1/2 =

M1= -1/2 + M2= -1/2 -

Y= [ C1 Cos + C2 Sen - ]

4.-Y‟‟ + 16y = 0

Y(0) = 2, Y‟(0)= -2

M2 + 16 = 0

M2= -16 por lo tanto M1,2= = 4i

Y= C1 Cos 4x + C2 Sen 4x

Y(0)= C1 Cos 4(0) + C2 Sen 4(0)

2= 1 + C2(0) C1=2

-2=C1 4 Sen 4(0) + C2 4 Cos (0)

C2= -1/2

Y= 2 Cos 4x – ½ Sen 4x

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales son de gran vitalidad para la investigación en los

diferentes campos de la ingeniería, ciencia, económica, ext. También las ecuaciones

diferenciales son una herramienta de apoyo para definir diferentes tipos de fenómenos

mediante modelados matemáticos.

Las ecuaciones diferenciales pueden obtenerse de dos maneras:

a) A partir de los datos en el enunciado de un problema que involucra uno o más

diferenciales que al relacionarse entre sí mediante un lenguaje matemático se

obtiene la ecuación diferencial.

b) A partir de una función dada la cual se deriva para conocer sus cambios así

como para eliminar las constantes que en ella aparecen y cuya simplificación da

lugar a una ecuación diferencial.

Otro camino para obtener una ecuación diferencial es a partir de la respuesta que se

tiene en la eliminación de constantes arbitrarias que intervienen en la relación

matemática.

El método por eliminación de constantes que dependen de la forma de como aparecen

en la relación se aplican según el numero de constantes que intervienen en la relación.

Ejemplos de aplicaciones de ecuaciones diferenciales

1.- Se saben que los objetos en caída libre tienen una aceleración g y sabemos que la

aceleración es la derivada de la velocidad (v) y esta a su vez es la derivada de la

distancia (s) de esta forma se puede obtener la ecuación diferencial para la caída libre

de cualquier objeto que sería la siguiente:

d2s=g Con esta ecuación diferencial se puede obtener la velocidad la distancia o el tiempo en algún instante conociendo condiciones iniciales ya sea de tiempo, velocidad o distancia.

2.- cuando una enfermedad contagiosa se propaga es de suponer que la rapidez es

proporcional a número de personas contagiadas a un tiempo dado x (t) además esta velocidad de contagio también depende de las personas que aun no se han contagiado y (t) de esta forma se puede obtener la ecuación diferencial de la rapidez del contagio

de la enfermedad = KXY

Donde k es la constante de la proporcionalidad. Ahora si una población fija de n

personas entonces X y Y se relacionan con la siguiente ecuación. X + y = n+ 1.

Relacionando las 2 ecuaciones tendremos la nueva ecuación diferencial.

Con la condición Inicial obvia x (0) = 1

Ejercicios:

En las siguientes ecuaciones indique de qué tipo, orden, grado y linealidad son.

Lineal, Ordinaria, Grado 1, Orden 3.

No lineal, Ordinaria, Grado 2, Orden 2.

Lineal, Ordinaria, Grado 3, Orden 2.

Lineal, Parcial, Grado 1, Orden 1.

Resolver las ecuaciones diferenciales por separación de variables.

1.

2.

MÉTODO DE LAS EXACTAS

POR SU ECUACIÓN AUXILIAR