Profesora: Dolores García Martos

E-mail:mdgmarto@est-econ.uc3m.es

Procesos autorregresivos

Este documento es un resumen/modificación de la

documentación elaborada por D. Antoni Espasa

Econometría II

Grado en finanzas y contabilidad

Descomposición de Wald

Todo proceso estocástico estacionario se puede descomponer como la

suma de dos procesos no correlacionados, donde:

• Un proceso estacionario singular lineal (una constante, una

función lineal del tiempo, etc.)

• Un proceso estacionario regular. En concreto una función lineal de

variables aleatorias

{X}= {Y}+ {W}

Ej: X(t) = µ + ψ 1 a(t) + ψ2 a (t-1) + ψ3 a (t-2) +…..

Descomposición de Wald

Esta condición significa que los shocks pasados afectan cada vez menos sobre

el presente de la serie temporal. Es la condición de estacionariedad

Esta condición implica que el

proceso tiene varianza finita

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

X (t)= función del pasado de la serie + a (t)

•El proceso autorregresivo es un modelo de regresión en el

que las variables explicativas son la misma variable

dependiente retardada

•Un modelo autorregresivo no siempre es estacionario.

•Un paseo aleatorio es un proceso autorregresivo con una

raíz unitaria (coeficiente que acompaña a X (t-1)) y no es

estacionario

Xt = X t-1+ a t

•El proceso más simple es el autorregresivo de orden 1

AR(1)

Xt =Φ X t-1 +a t

Donde X t-1 es conocido en t y a t no. at

constituye un shock o innovación

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

La condición para que el proceso sea estacionario es que

• | Φ| < 1

• Supongamos que Φ= 0.5

Wt = 0.5 W t-1 + at

Wt-1 = 0.5 W t-2 + a t-1

Wt = 0.52 Wt-2 + 0.5 a t-1 +at

Wt-2 = 0.5 W t-3 + a t-2

Wt = 0.53 W t-3 + 0.52 a t-2 +0.5 a t -1 + a t…….

En general:

Como el parámetro es menor que la unidad la suma anterior es finita

La expresión en términos de a t se denomina Proceso de

Medias Móviles, MA

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

Caso 1: -1>Φ>1

• El efecto sobre W t de una innovación distante

no es exactamente cero, pero es despreciable.

Menor a medida que nos alejamos en el

tiempo.

•Un AR(1) se puede aproximar por un modelo

de medias móviles de orden q, MA(q)

q es el número de at que permiten

aproximar el AR(1)

En un AR(1), la innovación a t-j tiene un efecto

restringido a Φj

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

Caso 1: Φ>1

•A partir de un valor inicial w el proceso es

explosivo.

•Las innovaciones pasadas son más

importantes que las recientes

•De manera similar ocurre con Φ<-1

•La realidad no parece comportarse de una

manera explosiva permanentemente y se

rechaza que |Φ| >1

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

Caso 1: Φ=1

•Esta situación no es explosiva

•Es la situación que se ha considerado para

tendencias que presentan oscilaciones locales

de nivel.

•Pero ahora no estamos hablando de la

tendencia. Ahora se está trabajando con series

estacionarias, Wt (desviaciones con respecto a

la tendencia). Por ello, trabajamos con

procesos en los que |Φ|<1

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

|Ф|<1

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

En definitiva, podemos expresar el modelo de la siguiente manera

Propiedades1:

E (Wt ) = 0 es, por tanto, constante

Var (W t ) = γ0 = σ2 /(1-Ф2), donde σ2 es la varianza de at

Cov (W t , W t-k )= γk=Фk γ0 = Ф γk-1

Corr (W t , Wt-k )= ρ k = γk/ γ0= Φk

La función de autocorrelación no se anula, pero decrece, se dice que

tiene memoria infinita.

El correlograma tendrá estructura. Dependerá del valor del parámetro Φ.

Cuanto mayor sea, mayor será la relación entre el presente y el

pasado y viceversa.

A partir de un determinado retardo los rk serán prácticamente cero1. Demostración en anexo

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

Si en la última expresión hacemos s=12, tendremos que una diferencia estacional es

equivalente a tomar una diferencia regular por un polinomio suma

•Es por ello que al tomar una diferencia estacional sobre la serie original, se corrige

parte de la tendencia.

Procesos ARI (1,1)

• Sea X t una serie no estacionaria y al aplicar una primera diferencia regular

se consigue que la serie si sea estacionaria en la parte regular (no se han

puesto logaritmos por simplificar). Entonces:

X t = X t-1 +Wt

Wt = Xt - Xt-1

•Y Wt sigue un proceso AR(1)

(1-ΦL) Wt = Wt – ΦWt-1 = at

•En definitiva tendremos

(1-ΦL) (Xt - X t-1 )= (1-ΦL) Δ X t = at

Es decir

Xt = Xt-1 + Φ (Xt-1 -Xt-2 )+ at

Este proceso de llama integrado de orden 1 y autorregresivo de orden 1 ARI(1,1)

•Xt es un proceso no estacionario

Procesos ARI (1,1)

Recuérdese que en general se aplican logaritmos para

conseguir estacionariedad en varianza.

Además, el trabajar con la transformación logarítmica nos

permite relacionar las tasas de crecimiento con las

transformaciones de estacionariedad en media.

• (1-L) log Xt =(log X t -log X t-1) se aproxima a una tasa

de crecimiento.

Es decir, tenemos

(1-L) log Xt =Wt , y Wt es un proceso AR(1)

• La serie original sigue un modelo ARI(1,1)

• La serie de tasas sigue un proceso AR(1)

El modelo de la serie de tasas de crecimiento se deriva del de la serie original,

ya que las tasas son iguales a la primera diferencia de la serie expresada en

logaritmos

Procesos AR (p)

El modelo autorregresivo de segundo orden AR(2)

El modelo autorregresivo de segundo orden AR(2)

Z2 –Φ1 Z-Φ2 =0

1

1. Ver más detalles en anexo

(1-G1 L) (1-G2 L) Wt = a t

El modelo autorregresivo de segundo orden AR(2)

1

(1-G1 L) (1-G2 L) Wt = a t

Estacionariedad en función de los parámetros:

•|Φ1 +Φ2 | <1

•|Φ1 -Φ2 | <1

•|-Φ2 | <1

El modelo autorregresivo de segundo orden AR(2)

El modelo autorregresivo de segundo orden AR(2)

Φp

El modelo autorregresivo de orden p, AR(p)

Otra forma de verlo escrito es:

Wt -Φ1 W t-1 -Φ2 Wt-2 -….-Φp Wt-p = at

(1-Φ1 L-Φ 2 L2 -……….-Φp Lp) W t = Φp (L) Wt =at

Las raíces son función de los parámetros

El modelo autorregresivo de orden p, AR(p)

El modelo autorregresivo de orden p, AR(p)

El modelo autorregresivo de orden p AR(p)

cero

El modelo autorregresivo de orden p AR(p)

• La forma de la función de autocorrelación dependerá del valor de las

raíces más elevadas o dominantes.

• Si hubiera raíces complejas, tendríamos que la serie presenta un ciclo

y la forma del correlograma sería sinusoidal.

Para la determinación del orden del autorregresivo, es decir, p, se utiliza

el criterio de información de Akaike (no es el único criterio).

Se estiman los correspondientes modelos

Se escoge el modelo (retardo) con menor valor del criterio de

Akaike.

Donde N es el número de observaciones, ˆσ2a es la varianza

residual y k el número de parámetros

Procesos ARI (2,1)

Significa que incluirá una constante en el modelo, por tanto, el

proceso estacionario tendrá una media distinta de cero

(1-Φ1 L-Φ2 L2 ) (1-L) X t = c+ a t

ANEXO

Características del proceso AR(1)

Esperanza

W = ΦW t-1 + at

E (W t )= Φ E (Wt-1 )+ E (a t ) at es un proceso ruido blanco con

esperanza nula

µ = Φ µ+ 0 , E(Wt )= E (Wt-1 ) por estacionariedad

(1- Φ) µ = 0

µ=E (W t )= 0

Varianza

Var (W t )= Φ2 var (Wt-1 )+ var (a t ) at es un proceso ruido blanco

con con varianza σ2

γ0 = Φ2 γ0 + σ2 , Var(Wt )= Var (Wt-1 ) por estacionariedad

(1- Φ2) γ0 = σ2

γ0 =var (W t )= σ2/ (1- Φ 2)

Φ

Φ

Φ Φ

Φ

Características del proceso AR(1)

Covarianza

Correlación

ρk = γk/ γ0= Φ k

Lo que ocurre en t-1

es independiente del

shock que habrá en tΦ

Ecuaciones de segundo grado

La ecuación de segundo grado tiene la siguiente expresión:

aX2 +b X +c =0

Esta ecuación tiene dos soluciones, no necesariamente iguales, o

raíces, que pueden ser reales o complejas:

X=-b (b2 -4ac)-½ / 2a

Donde el valor de b2 -4ac determinará si las raíces son reales o

imaginarias

•Si tiene valor negativo, se obtendrán un par de raíces

complejas conjugadas.

En nuestro caso a=0, b=-Φ1 y c=-Φ2

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado