econometría ii - est.uc3m.es · ii) predicciónde los valores futuros. es evidente al observar...
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Econometría II
Esther Ruiz
Dpt. de Estadística
Universidad Carlos III de Madrid
La econometría de series temporales en
la empresa.
1. La econometría en la profesión económica.
2. Muestras aleatorias y características de las series temporales
3. La descomposición clásica de una serie temporal: tendencia, estacionalidad, oscilaciones cíclicas y perturbaciones a corto plazo.
4. Tendencia y estacionalidad en series temporales. Transformaciones de estacionariedad.
4.1 El modelo de tendencia lineal y estacionalidad determinista
4.2 Tendencias segmentadas
4.3 Tendencia y estacionalidad estocásticas
1. La econometría en la profesión
económica
La Econometría consiste en el análisis cuantitativo de los fenómenos económicos reales basados en el desarrollo concurrente de la teoría y la observación, relacionándolos mediante métodos apropiados de inferencia.
Los modelos econométricos pueden utilizarse para:
1) Análisis estructural: Medir relaciones entre variables y contrastar teorías postuladas por la Teoría Económica
2) Simulación para la planificación
3) Predicción de valores futuros de las variables económicas y evaluación de nuevas observaciones
Algunos ejemplos en el ámbito de la decisión empresarial:
a) Finanzas
� Valoración de una compañía que no cotiza en bolsa para un canje de acciones
� Análisis de la reducción del riesgo de una compañía cuando diversifica entre múltiples países
� Factores que afectan a la valoración en bolsa de una compañía en un país emergente: flujo financiero y/o factores de riesgo de un país
Modelar la cotización trimestral de la compañía en función de:
flujo de caja operativo
dividendo por acción
indicadores de nivel de endeudamiento y vencimiento medio de la demanda
calificación de la compañía en las agencias de rating
riesgo del país
b) Estrategia/planificación
� Proyecciones financieras y fijación de objetivos por país: Variables macro relevantes como, por ejemplo, inflación, tipos de interés y tipo de cambio. Demanda. Escenarios de medio plazo para adquisiciones
� Análisis a posteriori de contribución a las ventas de diferentes factores: demanda, precios, publicidad/promociones, factores estacionales.
c) Marketing
� Diseño de sondeos y encuestas de satisfacción, imagen, intención de compra
� Estudios de valoración de factores de compra
0 5 10 15 20 25 30
Precio
Plazos de pago
Garantía de suministro
Calidad / Prestaciones
Servicio post-venta
Atención comercial
Programa fidelización
% utilidad
d) Producción/calidad� Determinación de métricas de calidad de fabricación relevantes desde un punto de vista de calidad percibida por el cliente
�Modelos de regresión:
Dosificación cliente = f (dosificación otras materias primas, métricas de calidad en fabricación)
e) Logistica� Demand planning: previsiones de demanda de muy corto plazo para
planificar requerimientos de inventario y flota de transporte
� Previsión mixta ARIMA + experto comercial para un número muy elevado de puntos de demanda y/o suministro
� Conexión con módulos de planificación de producción y transporte
� Vendor Managed Inventory (VMI): Gestión automática del inventario de clientes mediante modelos automáticos de previsión horaria o diaria
� Conexión con sistema de ventas del cliente o instalación de sensores de volumen de inventario que transmiten información cada hora
� Modelos dinámicos horarios o diários
� Previsiones de tiempo de transporte en función de datos históricos y posiciones actualizadas de camiones por GPS
� Conexión automática con algoritmos de planificación de transporte (programación lineal)
� Planificación de requerimientos de personal de servicio (teléfonos 902 o cajeros en supermercados)
� Modelos dinámicos horarios en función de ventas, previsiones meteorológicas, y eventos previstos (partidos de futbol...)
2. Muestras aleatorias y características de
las series temporales
Los datos económicos se presentan habitualmente en tres formas:
a) Datos de sección cruzada. Observamos en un único momento del tiempo varias variables referidas a varias unidades económicas. Normalmente son datos microeconómicos.
b) Datos de series temporales. Observamos una o varias variables a lo largo del tiempo. Suelen referirse a datos macroeconómicos
c) Datos de panel. Variables referidas a varias unidades económicas son observadas a lo largo del tiempo.
Ejemplo de sección cruzada
Observamos en 2005 la renta (x) y el consumo (y) de 1000 familias españolas. Estos datos son 1000 réplicas independientes de la variable (x,y).
0
400
800
1200
1600
2000
2400
-400 400 8001200 2000 2800
X
YY vs. X
Ejemplo de series temporales
Una serie temporal es una sucesión de observaciones de una o varias variables obtenidasa intervalos regulares de tiempo:
Podemos tener series univariantes cuandoobservamos una única variable o series multivariantes cuando observamos en un mismomomento varias variables:
Tyyy ,...,, 21
T
T
T
zzz
xxx
yyy
...
...
...
21
21
21
En el caso univariante, observamos una únicavariable en cada momento del tiempo.
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
250 500 750 1000 1250 1500
Daily Euro-Dollar exchange rate from 4th January 1999 up to 25th May 20051200000
1300000
1400000
1500000
1600000
1700000
91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04
Quartely GDP Europe from 1st 1991 up to 3th 2004
80
85
90
95
100
105
110
115
120
91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04
Monthly IPC Europe from January 1991 up to December 2004
Ejemplo de una serie multivariante
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
feb-
80
feb-
81
feb-
82
feb-
83
feb-
84
feb-
85
feb-
86
feb-
87
feb-
88
feb-
89
feb-
90
feb-
91
feb-
92
feb-
93
feb-
94
feb-
95
feb-
96
feb-
97
feb-
98
feb-
99
feb-
00
PNOVARG
PEXARG
Ejemplo de datos de panel
En este caso observamos, por ejemplo, la renta (x) y el consumo (y) de 1000 familias en distintos años: 1990, 1995, 2000 y 2005
1000,...,1,4,...,1,, == itxy itit
Características de los datos temporales
Los datos temporales se caracterizan por:
a) Ser dependientes. Ya no podemos considerar que la observación correspondiente al momento t es independiente de lo que hayamos observado en el momento t-1. Como consecuencia, y a diferencia de lo que teníamos al analizar datos de sección cruzada, la ordenación de las observaciones es fundamental.
b) Las observaciones se obtienen en un entorno que evoluciona. No podemos asumir que tenemos T observaciones de la misma variable aleatoria.
3. La descomposición clásica de una serie temporal:
tendencia, estacionalidad, oscilaciones cíclicas y
perturbaciones a corto plazo
Objetivos:
i) Descripción de las propiedades dinámicas de una serie: tendencia, estacionalidad, dependencia con respecto al pasado.
ii) Predicción de los valores futuros
Es evidente al observar series económicas que dos de sus características más habituales son la tendencia y la estacionalidad por lo que vamos a empezar por plantear modelos sencillos que representen estas dos características.
1200000
1300000
1400000
1500000
1600000
1700000
91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04
Quartely GDP Europe from 1st 1991 up to 3th 2004
4. Tendencia y estacionalidad en series temporales.
Transformaciones de estacionariedad4.1 El modelo de tendencia lineal y estacionalidad determinista
La tendencia es aquella parte de la variable que se perpetúa hacia el futuro. Vamos a suponer que una serie temporal tiene una tendencia determinista, en el sentido de que esta tendencia se puede predecir sin incertidumbre.
Si la serie tuviera una media constante podríamos representarla mediante:
tty εµ +=
6
7
8
9
10
11
12
13
250 500 750 1000
En este caso, µ, es la tendencia determinista que puede ser estimada por OLS en el modelo anterior.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
250 500 750 1000
Residuos de la regresión de y sobre una constante
Vamos a considerar ahora que la serie que estamos analizando tiene una tendencia creciente o decreciente lineal.
La variable yt crece βunidades en cada unidad de tiempo.
-20
0
20
40
60
80
100
120
250 500 750 1000
tt uty ++= βα
En este caso, podemos ajustar una tendencia determinista:
tt uty ++= βα
-15
-10
-5
0
5
10
15
250 500 750 1000
Residuos de tendencia determinista
Las tendencias también pueden ser exponenciales cuando la variable ytaparece en logaritmos:
β es la tasa de crecimiento media en tanto por uno. Si no hubiera errores
}exp{
log
tt
tt
uty
uty
++=++=
βαβα
0
2
4
6
8
10
12
250 500 750 1000
Tendencia exponencial
1
1
11
1
1log
loglog
−
−
−−
−
−=−=
+=
t
tt
t
t
t
t
tt
y
yy
y
y
y
y
tyy β
La transformación más habitual al analizar series económicas es la transformación logarítmica que reduce la escala de las observaciones más extremas. Sin embargo, esta transformación no cambia la tendencia de la variable.
La transformación logarítmica es adecuada para estabilizar la variabilidad de la variable cuando dicha variabilidad se incrementa con el nivel de la serie.
0.00E+00
4.00E+08
8.00E+08
1.20E+09
1.60E+09
2.00E+09
2.40E+09
60 65 70 75 80 85 90 95 00
Monthly Spanish Exports from January 1960 up to Jult 2004
14
15
16
17
18
19
20
21
22
60 65 70 75 80 85 90 95 00
Monthly logarithmic exports in Spain from January 1960 to July 2004
0
1000000
2000000
3000000
4000000
92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
BUILDINGS
12.4
12.8
13.2
13.6
14.0
14.4
14.8
15.2
92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
Logaritmo-construcciones en España desde noviembre de 1991 hasta noviembre de 2005
Estacionalidad determinista
Igualmente podemos modelizar mediante variables ficticias la estacionalidad determinista. La estacionalidad son aquellos componentes de la serie que se repiten sistemáticamente en un periodo de tiempo determinado, por ejemplo, un año.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
25 50 75 100 125 150 175 200
0
4
8
12
16
20
24
25 50 75 100 125 150 175 200
1200000
1300000
1400000
1500000
1600000
1700000
91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04
Quartely GDP Europe from 1st 1991 up to 3th 2004
0
1000000
2000000
3000000
4000000
92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
BUILDINGS
0.00E+00
4.00E+06
8.00E+06
1.20E+07
1.60E+07
2.00E+07
2.40E+07
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
Turistas extranjeros en España desde abril 1965 hasta diciembre 2005
0
400000
800000
1200000
1600000
2000000
2400000
2800000
3200000
40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05
Desempleo mensual en España desde septiembre 1939 hasta enero 2006
En este caso, para obtener las desviaciones con respecto a la tendencia y al componente estacional, ajustaríamos el siguiente modelo de regresión:
donde las variables D1t, D2t y D3t son variables ficticias que toman valor 1 en el trimestre 1,2 y 3 respectivamente y cero en todos los demás.
ttttt uDDDty +++++= 332211 δδδβα
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
25 50 75 100 125 150 175 200
Residuos del modelo de regresión con tendencia y estacionalidad deter
4.2 Tendencias segmentadas
Cuando tenemos series relativamente largas es habitual que observemos rupturas en el nivel y en la tendencia de la serie.
Las rupturas en el nivel pueden deberse a acontecimientos especiales que son poco frecuentes: depresión de 1929, crisis energética de 1974, incorporación del euro en 2000, etc.
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
250 500 750 1000
Serie con ruptura en el nivel
En este caso podemos ajustar el siguiente modelo de regresión para obtener las desviaciones con respecto a la tendencia:
donde la variable Et toma valor 1 a partir del momento de la ruptura.
ttt uEy ++= δµ
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
250 500 750 1000
Residuos del modelo con una ruptura
Las tendencias pueden tener rupturas en el nivel y en la pendiente. Vamos a considerar primero una ruptura en el nivel
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
250 500 750 1000
Si ajustamos una tendencia determinista
-15
-10
-5
0
5
10
15
250 500 750 1000
Residuos de tendencia determinista
Tenemos que introducir una variable ficticia para recoger el cambio en el nivel
-15
-10
-5
0
5
10
15
250 500 750 1000Residuos del modelo con tendencia y una ruptura en el nivel
Finalmente, podemos tener cambios en la pendiente de la tendencia
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
250 500 750 1000
Ajustando una tendencia determinista sin cambios en la pendiente obtendríamos el siguiente ajuste
-30
-20
-10
0
10
20
30
250 500 750 1000
Residuos de tendencia determinista
Ajuste del modelo de regresión con rupturas en la pendiente
donde D1t toma valor cero excepto entre t=501 y t=700 donde toma valor t-500. D2t toma valor cero hasta t=700 y a partir de ese momento toma valor t-700.
tttt uDDty ++++= 2211 δδβα
-15
-10
-5
0
5
10
15
250 500 750 1000
Residuos de modelo con tendencia determinista y rupturas en la pendiente
4.3 Tendencias y estacionalidad
estocásticas
Cuando una serie ha sido generada por un proceso estacionario, sus observaciones oscilan alrededor de un nivel medio constante a lo largo del tiempo y su dispersión no tiene tendencia ni a disminuir ni a incrementarse
-3
-2
-1
0
1
2
3
25 50 75 100 125 150 175 200
Gaussian white noise process with variance 1.
Sin embargo, en la práctica, la mayoríade las series reales no fluctúan alrededor de niveles constantessino que suelen tenertendencias y estacionalidades: no son estacionarias. 1200000
1300000
1400000
1500000
1600000
1700000
91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04
Quartely GDP Europe from 1st 1991 up to 3th 2004
Aunque las series reales habitualmente no son estacionarias, ciertas transformaciones de dichasseries suelen ser estacionarias. Ya hemos visto, por ejemplo, que la transformación logarítmica esapropiada para estabilizar la varianza cuandoesta se incrementa con el nivel de la variable.
Además, si la tendencia y la estacionalidad son deterministas, la transformación estacionariaserían los residuos del modelo de regresióncorrespondiente.
Ahora vamos a considerar como conseguirtransformaciones estacionarias cuando la tendencia y la estacionalidad de una seriesean estocásticas, es decir, tienenincertidumbre asociada. Vamos a empezarviendo como transformar la serie de interés cuando dicha serie tiene unatendencia estocástica pero no tieneestacionalidad.
Vamos a considerar primero que la serie que queremos analizar es estacionaria. En este caso, podemos representar dicha serie como
donde es un proceso estacionario con media cero y varianza .
Si la media no es constante sino que cambia aleatoriamente a lo largo del tiempo, entonces
donde es un proceso ruido blanco con distribución distribuido independientemente de .
tty εµ +=
2εσ
tε
ttt
ttty
ηµµεµ+=
+=
−1
),0( 2ησNIDtη
tε
Es importante notarque cuando, tenemos unavariable estacionaria. Cuando, el nivel de la variable cambia a lo largo del tiempo sin tendencia a crecer o decrecer.
02 =ησ
02 ≠ησ-3
-2
-1
0
1
2
3
25 50 75 100 125 150 175 200
Random walk plus noise with sigeps=1 and sigeta=0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
25 50 75 100 125 150 175 200
Random walk plus noise with sigeps=1 and sigeta=0.1
-8
-4
0
4
8
12
25 50 75 100 125 150 175 200
Random walk plus noise with sigeps=1 and sigeta=0.5
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25 50 75 100 125 150 175 200
Random walk plus noise with sigeps=1 and sigeta=1
Por otra parte, cuando , entonces
por lo que
Este modelo se conoce como paseo aleatorio. El efecto de una perturbación en la serie, tiene efectos permanentes:
02 =εσ tty µ=
ttt yy η+= −1
...21 +++= −− tttty ηηη
Si tomamos primeras diferencias,
que es un proceso estacionario.
Cuando un proceso no estacionario, se transforma en estacionario despues de tomar primeras diferencias, dicho procesose conoce como integrado de orden 1, I(1).
1111 −−−− −+=−+−=−=∆ tttttttttt yyy εεηεεµµ
0}{}{ =∆+=∆ ttt EyE εη
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
250 500 750 1000 1250 1500
Daily Euro-Dollar exchange rate from 4th January 1999 up to 25th May 2005-.03
-.02
-.01
.00
.01
.02
.03
250 500 750 1000 1250 1500
First differences of logs of euro-dollar exchange rates: returns
La siguiente representación es apropiadaseries con tendencia cuyo ritmo de crecimiento es constante.
donde es el ratio de crecimiento de la tendencia.
ttt
ttty
ηβµµεµ
++=+=
−1
β
0
40
80
120
160
200
25 50 75 100 125 150 175 200
Random walk with drift plus noise with sigeps=1 and sigeta=1
Tomando primeras diferencias
la serie es estacionaria. Por lo tanto, es unavariable I(1). Es importante resaltar que al introducir una constante en el modelo para , cambia totalmente el comportamiento de largo plazo de la serie.
ty
βεβη =∆++=∆ }{}{ ttt EyE
ty∆
-4
-2
0
2
4
6
8
25 50 75 100 125 150 175 200
First differences of random walk with drift plus noise
También es frecuente observar variables donde el ritmo de crecimiento de la tendencia puedecambiar a lo largo del tiempo
donde es un ruido blanco con varianzaindependiente de y . En este caso, sitomamos primeras diferencias, la serie no esestacionaria:
ttt
tttt
ttty
ξββηβµµ
εµ
+=++=
+=
−
−
1
1
tξ 2ξσ
tε tη
ttttt EyE βεβη =∆++=∆ }{}{
-100
0
100
200
300
400
500
600
25 50 75 100 125 150 175 200
Stochastic trend model with sigeps=1, sigeta=1 and sigpsi=0.5
-8
-4
0
4
8
12
25 50 75 100 125 150 175 200
First differences of stochastic trend model
Si tomamos una segunda diferencia:
Por lo tanto, después de tomar dos diferencias, hemos obtenido una serie estacionaria con media cero: I(2)
211
2111
2
2
2
)()(
−−−
−−−−+−++−
=+−+−+−=∆++∆=∆∆=∆
tttttt
ttttttt
ttttt yy
εεεξηηεεεββηη
εβη
0)2()( 2112 =+−++−=∆ −−− ttttttt EyE εεεξηη
-12
-8
-4
0
4
8
25 50 75 100 125 150 175 200
Second differences of stochastic trend model
-100
0
100
200
300
400
500
600
25 50 75 100 125 150 175 200
Stochastic trend model with sigeps=1, sigeta=1 and sigpsi=0.5
-8
-4
0
4
8
12
25 50 75 100 125 150 175 200
First differences of stochastic trend model
Cuando ambos parámetros son cero:
obtenemos unatendencia
determinística.
022 == ξη σσ
0
40
80
120
160
200
240
25 50 75 100 125 150 175 200
Deterministic trend plus noise
También podemos tener series con estacionalidades estocásticas. Vamos a considerar primero que la estacionalidad es determinista por lo que la representaríamos mediante un modelo de regresión con variables ficticias:
∑=
=
++++++=s
ii
tststttt DDDDy
1
332211
0
...
δ
εδδδδµ
Alternativamente, es posible escribir el modelo como
La estacionalidad sería estocástica si
donde es un ruido blanco con varianzaindependiente de
∑−
=− =
++=1
0
0s
iit
ttty
δ
εδµ
t
s
iit
ttty
ωδ
εδµ
=
++=
∑−
=−
1
0
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
.8
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Estacionalidad determinista
tω
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Estacionalidad estocástica.
2ωσ
tε
En este caso, para conseguir estacionariedad, tenemos que tomar una diferencia estacional:
tstts y εω ∆+∆=∆
0)( =∆ ts yE
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Diferencias estacionales de la serie con estacionalidad estocástica
En general, si la serie tiene tendencia y estacionalidad estocásticas, debemos tomar una diferencia regular y otra estacional.
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
250 500 750 1000
Primeras diferencias
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
250 500 750 1000
Serie con tendencia y estacionalidad estocásticas
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Detalle de las primeras 100 observaciones
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Detalle de primeras diferencias
-60
-40
-20
0
20
40
60
250 500 750 1000
Diferencia regular y estacional
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Detalle de diferencia regular y estacional
0.0E+00
1.0E+09
2.0E+09
3.0E+09
4.0E+09
5.0E+09
6.0E+09
7.0E+09
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
Monthly european M3
-.03
-.02
-.01
.00
.01
.02
.03
.04
.05
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
First differences of logarithmic M3
-.04
-.03
-.02
-.01
.00
.01
.02
.03
.04
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
Seasonal and regular differences of logarithmic M3
La transformación estacionaria de
variables económicas
Resumiendo, dada una determinada variable, la transformación estacionaria depende de las características de su tendencia y estacionalidad y de la evolución de su variabilidad.
Si la variabilidad se incrementa con el nivel de la serie, debemos transformarla tomando logaritmos.
Cuando la serie tiene componentes deterministas con rupturas, debemos ajustar un modelo de regresión, y sus residuos son la transformación estacionaria.
Cuando la serie tiene componentes estocásticos su transformación estacionaria se obtiene tomando diferencias:
� Una diferencia cuando el nivel evoluciona sin tendencia o cuando la tendencia tiene un ritmo de crecimiento constante.
� Dos diferencias cuando el ritmo de crecimiento es variable.
� Si la serie tiene estacionalidad estocástica sin tendencia, hay que tomar una diferencia estacional.
� Si hay estacionalidad y el ritmo de crecimiento es variable, hay que tomar una diferencia regular y otra estacional.