Taller 6

Objetivos:

Modelar situaciones mediante el uso de ecuaciones diferenciales lineales.

Aplicar los métodos de solución para las ecuaciones diferenciales lineales.

Asociar los resultados del tratamiento matemático del modelo planteado con el

contexto en el que se desarrolla la situación, dando repuesta a la pregunta

formulada en el ejercicio.

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden

Al mezclar dos fluidos, se generan ecuaciones diferenciales que relacionan la razón de

cambio de la concentración de una sustancia con respecto al tiempo. Consideremos, por

ejemplo, un tanque que tiene un flujo de entrada y un flujo de salida, si queremos calcular

la cantidad ( ) de una sustancia que hay contenida en el tanque en cierto tiempo , se

establece la ecuación diferencial

1. Supongamos que inicialmente, un estanque contiene 10 millones de galones de agua pura, y

fluye al estanque agua que contiene cierto químico a una razón de 5 millones de galones

por año y la mezcla sale a la misma tasa. La concentración de dicho químico en el agua

varía periódicamente de acuerdo a la expresión ( ) gramos por galón, es

decir, tenemos que

( )( ) gramos por año, y

( ) ( ( )

) gramos por año

Por lo tanto tenemos que

( )( )

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden. (

( ) ( ))

- ¿Cuál es la solución de esta ecuación diferencial?

- Si inicialmente el agua era pura, cómo se interpreta este hecho en términos de ( )?

- Represente gráficamente la función ( ) y responda:

- ¿Qué se observa para un pequeño?

- ¿Cuál es el comportamiento de la función ( ) si ?

- ¿Cómo se explica esto en términos de la concentración de químico en el agua?

(niveles máximo y mínimo).

2. Considere la cascada de los dos tanque de la figura, siendo galones (el volumen

del primer tanque) y galones (el volumen del segundo tanque). Cada tanque tiene

inicialmente 50 lb de sal y los tres flujos son de 5 galones por segundo cada uno, con agua

pura fluyendo al primer tanque.

a.) Encuentre la cantidad ( ) de sal que hay en el primer tanque en el instante . b.) Encuentre la cantidad y( ) de sal que hay en el segundo tanque en el instante .

(sugerencia: reemplace ( ) encontrado en la parte a.)

c.) Grafique las soluciones ( ) y ( ) y analice los niveles de sal en cada uno de los

tanques.

3. Suponga ahora que en la cascada, el tanque 1 contiene inicialmente 100 galones de alcohol

etílico puro y el tanque 2 contiene inicialmente 100 galones de agua pura. Al tanque 1 fluye

agua pura a razón de 10 galones por minuto y en los otros desagües también fluye la mezcla

a razón de 10 galones por minuto.

a.) Encuentre la cantidad ( ) de sal que hay en el primer tanque en el instante . b.) Encuentre la cantidad y( ) de sal que hay en el segundo tanque en el instante . c.) Grafique las soluciones ( ) y ( ) y analice los niveles de sal en cada uno de los

tanques.

4. Un gran tanque está parcialmente lleno con 200 gal de agua en las cuales se disuelven 20 Ib

de sal. Una salmuera que contiene 2 Ib de sal por galón, se bombea al tanque con una

rapidez de 6 gal/min y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.

a.) Halle el número de libras de sal en el tanque en cualquier tiempo.

b.) ¿Cuánta sal está presente después de 30 min?

c.) ¿Cuánta sal estará presente después de un tiempo largo?

5. Suponga ahora que en el ejemplo anterior la solución adecuadamente mezclada se bombea

hacia afuera a una tasa de 4 gal/min. Determine ( ).

6. Un tanque contiene inicialmente 60 galones de agua pura. Entra al tanque, a una tasa de 2

gal/min, salmuera que contiene 1 Ib de sal por galón, y la solución (perfectamente

mezclada) sale de él a razón de 3 gal/min. Obtenga el número de libras ( ) de sal que hay

en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuánto demorará el tanque en vaciarse? ¿Cuál es la

máxima cantidad de sal que llega a tener el tanque?

7. Un generador con una fem de 50 V se conecta en serie con una resistencia de 6 Ω y un

inductor de 2 henrys. Si el interruptor K se cierra a t = 0, determine la corriente para todo

t. Ver figura.

8. Determine ( ) para el circuito eléctrico del problema anterior si el generador de 50 V se

reemplaza por otro con una fem de ( ) .

9. Una batería cuya fem está dada por ( ) se conecta en serie con una

resistencia de 20 Ω y un condensador de 0.01 F. Suponiendo que ( ) encuentre la

carga y la corriente en cualquier tiempo. Muestre que la carga alcanza un máximo, calcule

su valor y halle el valor de t para el cual se alcanza.

10. Una resistencia de R Ω varía con el tiempo t (en segundos) de acuerdo a .

Se conecta en serie con un condensador de 0.1 F y un generador con una fem de 100 V. La

carga inicial en el condensador es de 5 coulombs. Encuentre

a.) La carga y la corriente como una función del tiempo.

b.) La carga máxima teórica.

Ecuación de Bernoulli

11. Sea y(t) la velocidad de vuelo en Km/h, de un ave, en función del tiempo t. Si y(t)

cumple la ecuación diferencial

a. Calcular y(t) en función de k

b. Si la velocidad inicial es de 4 Km/h, y k = 0:5, calcular la velocidad al cabo de

dos horas. ¿Cuál será la velocidad después de un largo tiempo?.