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E. P. E. T. N° 20

CUADERNILLO DE MATEMÁTICA

TERCER AÑO

PROFESORAS:

JIMENA CARRAZCO

MARÍA ANGÉLICA NETTO

E. P. E. T. N° 20 MATEMÁTICA 3° AÑO

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PROGRAMA DE MATEMÁTICA – 2016

TERCER AÑO

Unidad N° I: Expresiones algebraicas

Revisión: operaciones con polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Factorización de polinomios. Expresiones algebraicas fraccionarias: simplificación. Operaciones: suma, resta, multiplicación y división. Ecuaciones fraccionarias de primer grado.

Unidad N° II: Números reales

Revisión de las propiedades de la potenciación y la radicación de números reales. Números irracionales. Extracción de factores. Reducción a mínimo común índice. Multiplicación y división de radicales. Suma algebraica de radicales. Racionalización de denominadores. Exponente racional. Operaciones combinadas.

Unidad N° III: Números complejos

Necesidad de su creación. Propiedades y gráfico. Formas: cartesiana, binómica, polar y trigonométrica. Representación gráfica. Operaciones: suma, resta, multiplicación y división. Ejercicios y problemas de aplicación.

Unidad N° IV: Funciones y ecuaciones de segundo grado

Revisión: función lineal: pendiente y ordenada al origen. Representación gráfica y análisis (Dominio, Imagen, raíz, crecimiento).

Ecuación de segundo grado completa e incompleta. Ceros o raíces. Propiedades de las raíces. Reconstrucción de la ecuación de segundo grado. Ecuación factorizada. Problemas de aplicación. Función de segundo grado: gráfica. Formas polinómica, factorizada y canónica. Pasaje de una forma a otra. Coordenadas del vértice. Raíces reales y complejas. Dominio e imagen. Eje de simetría. Parámetros. Intervalos de crecimiento. Intersección con otras funciones. Problemas de aplicación.

Unidad N° V: Matrices

Definición. Tipos de matrices. Operaciones y propiedades. Matriz idempotente. Trasposición de matrices. Determinantes. Regla de Cramer. Problemas de aplicación.

Unidad N° VI: Funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas: amplitud, período, ángulo de fase, ceros, dominio, imagen. Representación gráfica de las funciones: seno, coseno y tangente. Resolución de triángulos oblicuángulos. Problemas de aplicación.


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UNIDAD Nº I - EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1) Extraer factor común:

a) x3 + x b) x7 + 5x5 – 3x4 c) 3x6 + 9x3 – 18x2 d) 8𝑥3𝑦3 − 5𝑥2𝑦4

e) 9𝑦3 + 6𝑦2 − 12𝑦4 − 3𝑦 f) 1

2𝑥3𝑎 +

3

2𝑥2𝑏 −

1

2𝑥𝑐 g)

2

3𝑥5 +

4

15𝑥3 +

8

9𝑥2

2) Descubran cuales de las siguientes expresiones algebraicas son diferencias

de cuadrados y a las que lo sean exprésenlas como producto de la suma por la

diferencia de las bases:

a) x4 – 25 = b) 64x6 – 9 = c) 169 – x10 = d) x4 + 9 = e) –225 + x8 =

f) 𝑥2 − 9

16𝑦2 = b)

1

4𝑥2 − 1 = h) 25𝑎2 −

1

36 = i)

4

9𝑥2 + 16 =

3) Expresen los siguientes trinomios como cuadrados de binomios cuando sea

posible:

a) x4 + 4x2 + 1 = b) x6 – 6x3 – 9 = c) x8 – 12x4 + 36 = d) 81 – 18x + x2 =

e) 9𝑎2 + 6𝑎𝑏 + 𝑏2 = f) 𝑥2 − 𝑥 + 1

4= g) 𝑥6 −

2

3𝑥3 +

1

9 = h) 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 4𝑦2 =

Suma y resta de potencias de igual exponente:

P(x) = xn an Divisor/es

n impar xn + an (x + a)

xn - an (x - a)

n par xn - an (x + a) (x + a)

xn + an No tiene divisores de la forma (x

a)

4) Teniendo en cuenta la tabla anterior factoreen los siguientes polinomios:

a) P(x) = x7 + 1 = b) P(x) = x6 – 64 = c) P(x) = x5 - 32

1= d) P(x) = x4 -

81

1 =

e) P(x) = x8 + 1


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5) Factoricen los siguientes polinomios:

a) x3 – 2x2 + 10x – 20 = b) x3 – x2 – 64x + 64 = c) x4 + 11x3 + 41x2 + 61x + 30 =

d) x4 – 9x3 + 27x2 – 27x = e) x3 + x2 + x – 3 = f) x3 + 5x2 + 5x + 25 =

g) x4 – 4x2 + 4 = h) x4 – x3 – 4x2 + 4x = i) 9x3 + 3x2 – 12x – 4 =

j) 3x3 – 3x – 1 + x2 = k) 3x4 4

27 = l) x3 – 2x2 -3x + 6 = m) x8 – 100 =

n) x6 – 16x3 + 64 = o) 4x4 + 12x3 + 12x2 + 4x = p) 3x3 + 24 =

q) 64m6 + 96m4n + 48m2n2 + 8n3 r) 144m6 – 121x8y4 s) 5x2 – 10xy + 5y2

t) 4(x – y)2 – 4(x – y) + 1 u) 4x4 – 4x2 +1

6) Simplifica las siguientes expresiones:

a) 182

362442

2

x

xx = b) 64

32

x

x= c)

3333

123

4

xxx

x =

7) Resuelve las siguientes expresiones algebraicas:

a)

1

2

1

2

1 22

2

2

3

xx

xx

x

x b) 32 2

43

x

x

xx

x c)

22

2

x

x

x

d) 6𝑥

𝑥2 −4 +

2

𝑥+2 −

4

𝑥 −2 = e)

555

44

12

10

63

12

23

2

3

xx

xxx

xxx

x

f)

1

33

62

2814

287

44 23

2

2

x

xxx

x

x

x

xx g)

183

4

104

36

66

156 2

23 xx

x

xxx

x

h)

34

22

2

1

6

1

3

1

23

3

24

1

xx

x

x

x

x

xx

i)

64

96

62

9 22

x

xx

x

x j)

4

55

55

14

1 24

x

x

x

x

k)

44

66

33333

122345

5

x

x

xxxxx

x l)

44

1243

3

1

9

32

23

2

2

xx

xxx

x

x

x

x


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8) Indiquen la condición de existencia y resuelvan las siguientes ecuaciones:

a) 3 –𝑥

𝑥 +

𝑥2 −1

𝑥2 − 5𝑥+1

𝑥 = 5 b)

3

𝑥2 −1 +

𝑥+2

𝑥 −1 –

𝑥

𝑥+1 = 0

c) 𝑥+4

𝑥 −4 –

𝑥 −4

𝑥+4 =

4𝑥 −1

𝑥2 −16 d)

3𝑥

𝑥2 −1 =

𝑥+1

𝑥 −1 – 1

e) 7+𝑥

𝑥+5 =

𝑥+3

𝑥+2 f)

𝑥

𝑥 −3 −

𝑥

𝑥+3 =

2

𝑥2 −9

UNIDAD Nº II - NÚMEROS IRRACIONALES

1) Completar la siguiente tabla:

2) Extraer factores del radical: 3) Resolver las siguientes sumas

a) √32 𝑎3 = a) √27 − √75 + √12 =

𝑏) √243𝑥7 𝑦8 5= b) 5√2 − 3√8 + √32 =

c) √2𝑎3 𝑏7 3

= c) 2√180 − √125 − 3√45 =

𝑑) √64𝑥5𝑧84= d) √81

3 + √9𝑥66

+ √3𝑥63=

𝑒) √27

128𝑎4 = e)

3

4 √5 −

1

3 √28 +

2

3 √7 −

1

4 √45 =

𝑓) √𝑥4𝑛2𝑛= f) 0,12√48

4 − 0,01√1875

4 – √0,00034 =

g) √𝑎3𝑥4 (𝑎4 + 𝑎3𝑥)3

= g) √12 − √27 + √48 − √75 =

ℎ) √𝑎31𝑏15𝑐126=

h) √75 − √147 + √675 − √12 =

i) 7√450 − 4√320 + 3√80 − 5√800

j) √72𝑥 − √32𝑥 + √128𝑥 =

4) Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales:

a) 1

3 √15

3 . 5 √18

3 = f) √

𝑎𝑦

𝑥 . √

𝑏𝑥

𝑦2

3 . √

𝑦2

𝑎2

4 =

b) 2 √64𝑎4

: √4𝑎4

=

c) √𝑎4³ . √𝑎78

= g) 2.√276

: √94

=

d) √4𝑎23 . √2𝑎

2 =

ℕ ℤ ℚ ℝ 𝕀 1

4

-3

√2

23

0

π


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e) 3 √27𝑥𝑦34 . √9𝑥2𝑦

3 = h) (√72 + √32 – 4) : √8 =

12105 323

5

4

2

3

2

1yxyxxy

5 423 486 22

1yxzyx

5) Racionalizar los denominadores:

a) 1

√𝑎3 = f)

4

√2+√3 =

b) 2𝑎

√5𝑎𝑏 = g)

√2

√6− √2 =

c) 3𝑥

√𝑥23 = h) √7− √5

√5+ √7 =

d) √𝑎

√𝑎35 = i) √3+ √6

√6− √3 =

e) √2

√3 = j)

𝑎 −1

1 − √𝑎 =

6) Resolver:

a) (√2 − √6)² = d) (2√5 + √6).(2√5 - √6) =

b) (√3 + √12)² = e) (√3 - √2)³ =

c) (√10 − √2)² =

7) Hallar el valor del perímetro y de la superficie de un rectángulo dadas las

medidas de sus lados en cm:

Base: 2√5 - 1

Altura: √5

9 +

1

2

8) Resolver aplicando propiedades de la potenciación:

a) 23

4 : 2−1

2 . √25

=

b) 0,16

5 : 10 : 100−11

10 =

c) 1

𝑥 . √𝑥

3 . 𝑥4 =

d) 5 . √53

: (1

5 . √25

5)² =

e) 9−5

2 . 81−3

4 . 1

√2433 . 36 =

9) Resolver las siguientes situaciones:

a) Calcular el perímetro de un triángulo cuyos lados miden: 2 , 22 y 23 .

b) Calcular la hipotenusa y el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos

miden: 2 y 5

c) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden: 52 y 32 . Además

calcular el perímetro y el área. d) En un cuadrado cuya diagonal mide 32 , calcular el perímetro y el área.

e) Calcular la diagonal de un cuadrado de lado 12

f) Calcular el valor del perímetro y de la superficie de un triángulo isósceles

sabiendo que la base es de √3

3 cm y cada uno de los lados iguales miden

√3

4 cm.


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UNIDAD Nº III - NÚMEROS COMPLEJOS

1) Expresar los siguientes números complejos en forma binómica, trigonométrica y polar: Representar gráficamente.

a) Z = (5; 4) b) Z = (4

3 ; -1) c) Z = (-5 ; 5) d) Z = i1

e) Z = ( 2 ; 5 ) f) Z = i3

2) Calcular las siguientes sumas algebraicas:

a) (2 +2

1i) + (3 +4i) = b) (3 −i) +

2

1i = c) 3 i+ (-2 + 3 3 i) =

d) (2

5 −i) + (

2

3 + 2i) = e) (2 −3i) – (1 + 2i) = f) (

2

1 + 2i) – (

4

3 −i) =

g) i,i, 513242 h)

2

1

4

1

2

12 ii

i)

iii

6

2

2

125

3

2 j)

iii 8

2

122

k) iii 14736375122273

3) Calcular los siguientes productos:

a) (2 −1i) ∙ (-2

1 + 3i) = b) (1 +

3

1i) ∙ (-1 −

3

1i) = c)

iii 22

2

1

2

12

d) 3126 ii e) 315153 ii f) ii 3232

g)

ii 82

2

9 h)

224 i i)

323 i

j)

iiii

6

1

4

32


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4) Calcular los siguientes cocientes:

a)

i

i

1

2 b)

i

i

3

3 c)

i

ii

22

32 d)

i

i

32

1

=

e)

i2

12

1 f)

66

66

i

i g)

21

2

i

i h)

i

i

i

i

1

2

3

225

3

i)

i

i

1

2

2

2

22

j)

61

32

32i

i

i k)

2

3

3

i

i

5) Calcular las siguientes potencias:

a) 18i b) 31i c) 228i d) 857i

e) 975 iii f) iiii 20510= g)

950

253

iii

ii

6) Resolver las siguientes expresiones:

a)

ii 1

1

1

1 b)

i

ii

21

2

c)

i

ii

2

1

2

1

221 d)

i

i

3

32

7) Hallar el valor de x C que satisface las siguientes ecuaciones:

a) 2022 xx b) xx 1682

c) 24223 xxx d) 1212112 2 xxx


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UNIDAD Nº IV - ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

RAÍCES 1) Resuelvan las siguientes ecuaciones de 2º grado:

a) 010122 2 xx b) 22 714 xxx c) 7268 2 xx

d) xfxx 92 e) 922 xxf f) 13

2

1 2 xy

2) Calculen el valor del discriminante y marquen con una X el tipo de raíces de

cbxaxxf 2

a B c acb 42 Raíces reales

iguales

Raíces

reales

distintas

No tiene

raíces reales

a) 1 -4 -4

b) -1 -3 -4

c) -2 22 -1

d) 1 0 -3

e) 3 6 33

3) Sin calcular sus raíces, indiquen el número de soluciones reales (dos, una o

ninguna) de cada una de las siguientes ecuaciones:

a) 0122 xx b) 0040225 2 ,xx c) 091 2 x

d) 0252 xx e) 035 2 x f) 012129 2 xx

POSICIONES RELATIVAS DE LA PARÁBOLA CON RESPECTO AL EJE DE LAS

ABSCISAS. USO DEL DISCRIMINANTE

4) Completen con > , < ó =, según corresponda en cada caso:


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a) 0 b) 0 c) 0

GRÁFICA DE LA PARÁBOLA

1) Identifiquen según la gráfica cual es la expresión correspondiente

a)

32

1 2 xy

32

1 2 xy

32

1 2 xy

32

1 2 xy

b)

xxy 22

1 2

xxy 22

1 2

xxy 22

1 2

xxy 22

1 2

2) Representen la curva y señalen en el gráfico el vértice y el eje de simetría de

cada una de las siguientes funciones cuadráticas:

a) 42 xxf b) 342 xxxf

3) Completen las siguientes oraciones correspondientes a la gráfica

23 2 xxy

a) Los coeficientes de los términos de la función son a =..... b =..... c =..... b) El vértice de la parábola es el punto ................... c) El eje de simetría de la parábola es la recta ................ d) La ordenada al origen de la función es el punto ............ e) Las raíces de la función son 1x ..... y 2x .....


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4) Completen el siguiente cuadro:

Función

a b c Raíces Vértice Eje de

simetría

Ordenada

al origen

a) 92 xy

b) 642 2 xxy

c) 542 xxy

5) Representa gráficamente las parábolas del ejercicio anterior con los datos

obtenidos aproximadamente.

6) Hagan los cálculos necesarios y completen el cuadro:

Forma

polinómica

Forma

factorizada A b c 1x

2x

)(xf 1 2 -3

xg -2 3 -4

xh 2 (x-2) (x+1)

7) Hallen la expresión de la función de segundo grado que cumple con las

condiciones pedidas en cada caso y grafíquenla:

a) Su gráfico pasa por el punto (1; -1); su eje tiene ecuación x = -2 y la ordenada del vértice es 3.

b) El vértice es el punto (1; 2) y su ordenada al origen es 3. c) Una raíz es 4 y la otra es 0. El vértice es (2; -4).

8) Hallen la expresión polinómica de la función de segundo grado que cumple

con las condiciones indicadas en cada caso.

a) La suma de sus raíces es 5; el producto de ambas es 6 y tiene ordenada al origen 3.

b) La ordenada al origen es –1; la suma de las raíces es 4 y el producto 2. c) El coeficiente principal es 1; la suma de raíces es 3 y el producto es 0.


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MÁXIMOS Y MÍNIMOS

9) Completen las frases que figuran debajo de cada uno de los gráficos:

a)

b)

La función alcanza un ................en x = 4;

Crece en el intervalo ................. y

Decrece en el intervalo.....................

La función alcanza un ...............en x = -3;

Crece en el intervalo ................. y

Decrece en el intervalo.....................

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

10) Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función

220001 zz.xI , donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes.

Realicen el gráfico aproximado de la función y respondan.

a) ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso?

b) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares de zapatos? ¿Y 375 pares? c) ¿A partir de qué cantidad de pares comienza a tener pérdidas?

11) En el circo Mundo Rodante actúa el malabarista Evaristo. La fórmula que permite

calcular la altura en función del tiempo que alcanzan los objetos que lanza Evaristo en

su número es: 75025254 2 ,t,t,tD , (donde D es la altura medida desde el piso, en

metros, y t es el tiempo, en segundos, tomado a partir del instante en el que el objeto

es lanzado).

a) Confeccionen el gráfico de la función.


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b) Busquen las coordenadas del vértice. c) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por los bolos que lanza Evaristo? d) ¿Desde qué altura son lanzados?

12) La empresa Santiagueña S.A. es una importante productora de cestos de mimbres

del mercado nacional. El costo promedio (en $) por unidad al producir una cantidad x

de cestos es 20002006020 x,x,xC .

a) ¿Qué número de cestos producidos minimizaría el costo promedio? b) ¿Cuál sería el costo promedio si se produjera dicha cantidad?

13) ¿Cuál es el tiempo empleado por un móvil animado con M.U.A. para recorrer 30 m,

si parte con una velocidad inicial de 0V 60 cm/seg y se mueve con una aceleración

de 3 cm/seg2. La fórmula para calcular la distancia en el M.U.A. es: 20

2

1t.atVd

14) ¿Cuánto tarda un móvil, animado con M.U.A., en adquirir una velocidad ( fV =

velocidad final) de 5 m/seg, si parte con una velocidad inicial ( 0V ) de 2 m/seg y se

mueve con una aceleración ( a ) de 0,3 m/seg2. La fórmula de la aceleración es:

t

vVa

f 0 . Además calcular la distancia que recorre en ese tiempo. Usa la fórmula

del ejercicio anterior.

15) Observen las gráficas y completen el cuadro:

Dom: Im:

Raíces: a = 1

Vértice:

Ordenada al origen:

Máx ó Min:

Crec: y Decrec:

C+ y C-

Forma factorizada, polinómica y

canónica.


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Dom: Im:

Raíces: a = –2

Vértice:

Ordenada al origen:

Máx ó Min:

Crec: y Decrec:

C+ y C-

Forma factorizada, polinómica y

canónica.

ECUACIÓN POLINÓMICA, CANÓNICA Y FACTORIZADA 16) Expresen cada una de las siguientes funciones en la forma que se pide:

a) 342 xxxf en forma canónica

b) 322

1 xxxf en forma polinómica

c) 2322 xxf en forma polinómica

d) xxxf 63 2 en forma canónica

17) Escriban las siguientes funciones en la forma más conveniente, de acuerdo

con los datos dados y luego hallen las expresiones polinómicas de cada una.

a) El vértice es (-3; -2) y el coeficiente principal es a = –2.

b) Las raíces son 41 x 22 x y el coeficiente principal es –1

c) El vértice es (-4 ; 2) y pasa por el punto (0 ; 7)

d) Corta al eje X en (–1; 0) y (4; 0) y pasa por el punto (–4; 6

5 ).

UNIDAD Nº V – MATRICES

Matriz

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.


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Matrices

Una matriz es una tabla ordenada de escalares a× de la forma

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...

am1 am2 ... amn

La matriz anterior se denota también por 𝐴𝑖𝑗 , i =1 ... m, j =1 ... n, o simplemente por

(a×).

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m × n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...

Ejemplo:

La siguiente matriz es una matriz de 2 x 3: 1 -3 4

0 5 -2

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus columnas 1

, -3

y 4

0 5 -2

Ejemplo de aplicación:

Clases de matrices

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:


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Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n × n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

A =

1 2 -3

4 0 5

3 -1 2

B =

2 -3

-1 5

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz identidad

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A· I = I · A = A.

Matrices triangulares

Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diagonal (d11, d22, ..., dnn). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diagonal(3,-1,7) diagonal(4,-3) y diagonal(2,6,0,-1).

Traspuesta de una matriz

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT. Así, la traspuesta de

A =

3 -1 4

2 5 -7

4 0 9

Es


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AT =

3 2 4

-1 5 0

4 -7 9

En otras palabras, si A = (ai j) es una matriz m x n, entonces AT = (aTij) es la matriz n x´

m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B)T = AT + BT.

2. (AT)T = A.

3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB)T = BT AT.

Matrices simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = - A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

A =

2 -3 5

-3 6 7

5 7 -8

B =

0 3 -4

-3 0 5

4 -5 0

C = 1 0 0

0 1 0

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

.

Fuente: "Fisicanet".: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/sistemas_ecuaciones/ap04_matrices.php

Operaciones con matrices

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Sean las matrices: A =

3 1 2

0 5 -3

7 0 4

y

http://www.fisicanet.com.ar/matematica/sistemas_ecuaciones/ap04_matrices.php


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B =

-1 2 4

2 5 8

0 1 -2

Entonces:

A + B =

3 1 2

+

-1 2 4

=

2 3 6

0 5 -3 2 5 8 2 10 2

7 0 4 0 1 -2 7 1 2

A −B =

3 1 2

.

-1 2 4

=

4 -1 -2

0 5 -3 2 5 8 -2 0 5

7 0 4 0 1 -2 7 -1 6

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

Sean

A = -1 2 4

, B = 3 2 0

. y C = 5 -1 3

2 7 6 0 -3 -1 1 1 2

A + B + C = -1 2 4

+ 3 2 0

. + 5 -1 3

= 7 3 7

2 7 6 0 -3 -1 1 1 2 3 5 7

A - B + C = -1 2 4

- 3 2 0

. + 5 -1 3

= 1 -1 7

2 7 6 0 -3 -1 1 1 2 3 11 9

Ejercicios:


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Producto de matrices

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda. Es decir, si tenemos una matriz 2 x 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 x 5, la matriz resultante será de orden 2 x 5.

(2 x 3) x (3 x 5) = (2 x 5)

Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.

3 x 5 por 2 x 3,

puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda. Supongamos que A = (a×) y B = (b×) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m x p y B una matriz p x n. Entonces el producto AB es la matriz m x n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B. Esto es,

a11 ... a1p

.

b11 ... b1j ... b1n

=

c11 ... c1n

. ... . . ... ... . . ... .

ai1 ... a ip . ... ... . . c ij .

. ... . . ... ... . . ... .

a m1 ... a mp b p1 ... b pj ... b pm c m1 ... c mn

donde c ij = ai1 b1j + ai2 b2j + ...+ a ip b pj

Ejemplo:

1.

2.

Determinantes

A cada matriz n-cuadrada A = (aij) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...

am1 am2 ... a mn

Una tabla ordenada n. n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz. La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas.

Determinantes de orden uno y dos

Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:

| a11| = a11


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a11 a12 = a11.a22 - a12.a21

a21 a22

Así, el determinante de una matriz 1 x 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = | a11| = a11.

Ejemplos:

a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3 x+5) = 3 x+5.

b)

3 5 = (3).(1) - (5).(2) = 3 - 10 = -7

2 1

2 -3 = (2).(-4) - (-3).(1) = -8 - (-3) = -8 + 3 = -5

1 -4

Determinantes de orden tres

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (a ij). El determinante de A se define como sigue:

det(A) =

a11 a12 a13

= a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a32.a23.a11

Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:

(Para los tres productos positivos)

(Para los tres productos negativos) Ejemplo:

Calcular el valor del determinante:

3 2 1

= 0 2 -5

-2 1 4

= (3).(2).(4) + (2).(-5).(-2) + (0).(1).(1) - (-2).(2).(1) - (0).(2).(4) - (1).(-5).(3) =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

El determinante de la matriz 3 x 3 A = (a×) puede reescribirse como:

det (A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) =

= a11. a22 a23

- a12. a21 a23

+ a13. a21 a22

a32 a33 a31 a33 a31 a32


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que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente:

a11.

a11 a12 a13

- a12.

a11 a12 a13

+ a13.

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23

a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33

Nótese que cada matriz 2 x 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente.

Ejemplo:

Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con:

3 2 1

= 0 2 -5

-2 1 4

= 3.

3 2 1

- 2.

3 2 1

+ 1.

3 2 1

= 0 2 -5 0 2 -5 0 2 -5

-2 1 4 -2 1 4 -2 1 4

= 3. 2 -5

- 2. 0 -5

+ 1. 0 2

= 1 4 -2 4 -2 1

= 3.(8+5) - 2.(0-10) + 1.(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

Propiedades de los determinantes

Las propiedades básicas del determinante son las siguientes:

1- El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir,

| A | = | AT |

2- Sea A una matriz cuadrada,

- Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente |A| = 0.

- Si A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, entonces |A| es igual al producto de los elementos de la diagonal.

3- Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas o columnas,

- Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A, |B| = - |A|.

- Si se ha sumado un múltiplo de una fila (columna) a otra, entonces |B| = |A|.

- Si se ha multiplicado una fila (columna) de A por un escalar k, |B| = k.|A|.

Ejercicio: cálculo de determinantes

Calcular los siguientes determinantes:

1 -2 ,

3 1

3 5 -2 -4

1 -3 2

,

1 -3 2

,

3 1 0

5 2 -7 5 2 -7 2 -2 4

0 0 0 4 0 1 5 0 7


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