e. p. e. t. n° 20epet20.com.ar/cuadernillos/cuadernillo3matematica.pdf · operaciones combinadas....

E. P. E. T. N° 20

CUADERNILLO DE MATEMÁTICA

TERCER AÑO

PROF.: JIMENA CARRAZCO

MARÍA ANGÉLICA NETTO

E. P. E. T. N° 20 MATEMÁTICA 3° AÑO

Página 2 de 14

PROGRAMA DE MATEMÁTICA – 2014

TERCER AÑO

Unidad N° I: Expresiones algebraicas

Revisión: operaciones con polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Factorización de polinomios. Expresiones algebraicas fraccionarias: simplificación. Operaciones: suma, resta, multiplicación y división. Ecuaciones fraccionarias de primer grado.

Unidad N° II: Números reales

Revisión de las propiedades de la potenciación y la radicación de números reales. Números irracionales. Extracción de factores. Reducción a mínimo común índice. Multiplicación y división de radicales. Suma algebraica de radicales. Racionalización de denominadores. Exponente racional. Operaciones combinadas.

Unidad N° III: Números complejos

Necesidad de su creación. Propiedades y gráfico. Formas: cartesiana, binómica, polar y trigonométrica. Representación gráfica. Operaciones: suma, resta, multiplicación y división. Ejercicios y problemas de aplicación.

Unidad N° IV: Funciones y ecuaciones de segundo grado

Revisión: función lineal: pendiente y ordenada al origen. Representación gráfica y análisis (Dominio, Imagen, raíz, crecimiento).

Ecuación de segundo grado completa e incompleta. Ceros o raíces. Propiedades de las raíces. Reconstrucción de la ecuación de segundo grado. Ecuación factorizada. Problemas de aplicación. Función de segundo grado: gráfica. Formas polinómica, factorizada y canónica. Pasaje de una forma a otra. Coordenadas del vértice. Raíces reales y complejas. Dominio e imagen. Eje de simetría. Parámetros. Intervalos de crecimiento. Intersección con otras funciones. Problemas de aplicación.

Unidad N° V: Matrices

Definición. Tipos de matrices. Operaciones y propiedades. Matriz idempotente. Trasposición de matrices. Determinantes. Regla de Cramer. Problemas de aplicación.

Unidad N° VI: Función exponencial y logarítmica

Logaritmación: definición. Propiedades: logaritmo de: producto, cociente, potencia y raíz. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Problemas de aplicación. Estudio de la función exponencial y logarítmica: análisis y gráfico.

Unidad N° VII: Funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas: amplitud, período, ángulo de fase, ceros, dominio, imagen. Representación gráfica de las funciones: seno, coseno y tangente. Resolución de triángulos oblicuángulos. Problemas de aplicación.


Página 3 de 14

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1) Sacar factor común:

a) x3 + x b) x7 + 5x5 – 3x4 c) 3x6 + 9x3 – 18x2

2) Descubran cuales de las siguientes expresiones algebraicas son diferencias

de cuadrados y a las que lo sean exprésenlas como producto de la suma por la

diferencia de las bases:

a) x4 – 25 = b) 64x6 – 9 = c) 169 – x10 = d) x4 + 9 = e) –225 + x8 =

3) Expresen los siguientes trinomios como cuadrados de binomios cuando sea

posible:

a) x4 + 4x2 + 1 = b) x6 – 6x3 – 9 = c) x8 – 12x4 + 36 = d) 81 – 18x + x2 =

Suma y resta de potencias de igual exponente:

P(x) = xn an Divisor/es

n impar xn + an (x + a)

xn - an (x - a)

n par xn - an (x + a) (x + a)

xn + an No tiene divisores de la forma (x

a)

4) Teniendo en cuenta la tabla anterior factoreen los siguientes polinomios:

a) P(x) = x7 + 1 = b) P(x) = x6 – 64 = c) P(x) = x5 - 32

1= d) P(x) = x4 -

81

1 =

e) P(x) = x8 + 1

5) Factoricen los siguientes polinomios:


Página 4 de 14

a) x3 – 2x2 + 10x – 20 = b) x3 – x2 – 64x + 64 = c) x4 + 11x3 + 41x2 + 61x + 30 =

d) x4 – 9x3 + 27x2 – 27x = e) x3 + x2 + x – 3 = f) x3 + 5x2 + 5x + 25 =

g) x4 – 4x2 + 4 = h) x4 – x3 – 4x2 + 4x = i) 9x3 + 3x2 – 12x – 4 =

j) 3x3 – 3x – 1 + x2 = k) 3x4 4

27 = l) x3 – 2x2 -3x + 6 = m) x8 – 100 =

n) x6 – 16x3 + 64 = o) 4x4 + 12x3 + 12x2 + 4x = p) 3x3 + 24 =

q) 64m6 + 96m4n + 48m2n2 + 8n3 r) 144m6 – 121x8y4 s) 5x2 – 10xy + 5y2

t) 4(x – y)2 – 4(x – y) + 1 u) 4x4 – 4x2 +1

6) Simplifica las siguientes expresiones:

a) 182

362442

2

x

xx= b)

64

32

x

x= c)

3333

123

4

xxx

x=

7) Resuelve las siguientes expresiones algebraicas:

a)

1

2

1

2

1 22

2

2

3

xx

xx

x

x b)

32 2

43

x

x

xx

x c)

22

2

x

x

x

d) + = e)

555

44

12

10

63

12

23

2

3

xx

xxx

xxx

x

f)

1

33

62

2814

287

44 23

2

2

x

xxx

x

x

x

xx g)

183

4

104

36

66

156 2

23 xx

x

xxx

x

h)

34

22

2

1

6

1

3

1

23

3

24

1

xx

x

x

x

x

xx i)

64

96

62

9 22

x

xx

x

x j)

4

55

55

14

1 24

x

x

x

x

k)

44

66

33333

122345

5

x

x

xxxxx

x l)

44

1243

3

1

9

32

23

2

2

xx

xxx

x

x

x

x


Página 5 de 14

8) Indiquen la condición de existencia y resuelvan las siguientes ecuaciones:

a) + = 5 b) + = 0

c) = d) =

e) = f) =

NÚMEROS IRRACIONALES

1) Completar la siguiente tabla:

2) Extraer factores del radical: 3) Resolver las siguientes sumas

y restas:

a) a)

b) b) 5

c) c) 2

d) d)

e) e)

f) f) 0,12

g) = g)

h) h)

4) Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales:

a) . 5 f) . . =

b) :

c) . = g) 2. : =

d) . =

e) . = h) ( + – 4) : =

-3

23

0

π


Página 6 de 14

5) Racionalizar los denominadores:

a) = e) =

b) = f) =

c) = g) =

d) = h) =

6) Resolver:

a) ( ) = d) (2 ).(2 - ) =

b) ( + )² = e) ( - )³ =

c) ( )² =

7) Hallar el valor del perímetro y de la superficie de un rectángulo dadas las

medidas de sus lados en cm:

Base: 2 - 1

Altura: +

8) Resolver aplicando propiedades de la potenciación:

a) : . =

b) : 10 : =

c) . . =

d) . : ( . )² =

e) . . . =

9) Calcular el valor del perímetro y de la superficie de un triángulo isósceles

sabiendo que la base es de cm y cada uno de los lados iguales miden cm.

NÚMEROS COMPLEJOS

1) Expresar los siguientes números complejos en forma binómica, trigonométrica y polar: Representar gráficamente.

a) Z = (5 ; 4) b) Z = (4

3 ; -1) c) Z = (-5 ; 5) d) Z = i1

e) Z = ( 2 ; 5 ) f) Z = i3

2) Calcular las siguientes sumas algebraicas:

a) (2 +2

1i) + (3 +4i) = b) (3 −i) +

2

1i = c) 3 i+ (-2 + 3 3 i) =


Página 7 de 14

d) (2

5 −i) + (

2

3 + 2i) = e) (2 −3i) – (1 + 2i) = f) (

2

1 + 2i) – (

4

3 −i) =

g) i,i, 513242 h)

2

1

4

1

2

12 ii

i)

iii

6

2

2

125

3

2 j)

iii 8

2

122

k) iii 14736375122273

3) Calcular los siguientes productos:

a) (2 −1i) ∙ (-2

1 + 3i) = b) (1 +

3

1i) ∙ (-1 −

3

1i) = c)

iii 22

2

1

2

12

d) 3126 ii e) 315153 ii f)

ii 3232

g)

ii 82

2

9 h)

224 i i)

323 i

j)

iiii

6

1

4

32

4) Calcular los siguientes cocientes:

a)

i

i

1

2 b)

i

i

3

3 c)

i

ii

22

32 d)

i

i

32

1

=

e)

i2

12

1 f)

66

66

i

i g)

21

2

i

i h)

i

i

i

i

1

2

3

225

3

i)

i

i

1

2

2

2

22

j)

61

32

32i

i

i k)

2

3

3

i

i


Página 8 de 14

5) Calcular las siguientes potencies:

a) 18i b) 31i c) 228i d) 857i

e) 975 iii f) iiii 20510= g)

950

253

iii

ii

6) Resuelve las siguientes expresiones:

a)

ii 1

1

1

1 b)

i

ii

21

2

c)

i

ii

2

1

2

1

221 d)

i

i

3

32

7) Hallar el valor de x C que satisface las siguientes ecuaciones:

a) 2022 xx b) xx 1682

c) 24223 xxx d) 1212112 2 xxx

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

1) Identifiquen según la gráfica cual es la expresión correspondiente

a)

32

1 2 xy

32

1 2 xy

32

1 2 xy

32

1 2 xy

b)

xxy 22

1 2

xxy 22

1 2

xxy 22

1 2

xxy 22

1 2


Página 9 de 14

2) Representen la curva y señalen en el gráfico el vértice y el eje de simetría de

cada una de las siguientes funciones cuadráticas:

a) 42 xxf b) 342 xxxf

GRÁFICA DE LA PARÁBOLA 3) Completen las siguientes oraciones correspondientes a la gráfica

23 2 xxy

a) Los coeficientes de los términos de la función son a =..... b =..... c =..... b) El vértice de la parábola es el punto ................... c) El eje de simetría de la parábola es la recta ................ d) La ordenada al origen de la función es el punto ............

e) Las raíces de la función son 1x ..... y 2x .....

4) Completen el siguiente cuadro:

Función

a b c Raíces Vértice Eje de

simetría

Ordenada

al origen

a) 92 xy

b) 642 2 xxy

c) 542 xxy

5) Representa gráficamente las parábolas del ejercicio anterior con los datos

obtenidos aproximadamente.

6) Hagan los cálculos necesarios y completen el cuadro:


Página 10 de 14

Forma

polinómica

Forma

factorizada A b c 1x

2x

)(xf 1 2 -3

xg -2 3 -4

xh 2 (x-2) (x+1)

7) Hallen la expresión de la función de segundo grado que cumple con las

condiciones pedidas en cada caso y grafíquenla:

a) Su gráfico pasa por el punto (1 ; -1); su eje tiene ecuación x = -2 y la ordenada del vértice es 3.

b) El vértice es el punto (1 ; 2) y su ordenada al origen es 3. c) Una raíz es 4 y la otra es 0. El vértice es (2 ; -4).

8) Hallen la expresión polinómica de la función de segundo grado que cumple

con las condiciones indicadas en cada caso.

a) La suma de sus raíces es 5; el producto de ambas es 6 y tiene ordenada al origen 3.

b) La ordenada al origen es –1; la suma de las raíces es 4 y el producto 2. c) El coeficiente principal es 1; la suma de raíces es 3 y el producto es 0.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

9) Completen las frases que figuran debajo de cada uno de los gráficos:

a)

b)


Página 11 de 14

La función alcanza un ................en x = 4;

Crece en el intervalo ................. y

Decrece en el intervalo.....................

La función alcanza un ...............en x = -3;

Crece en el intervalo ................. y

Decrece en el intervalo.....................

10) Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función

220001 zz.xI , donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes.

Realicen el gráfico aproximado de la función y respondan.

a) ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso?.

b) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares de zapatos?. ¿Y 375 pares?. c) ¿A partir de qué cantidad de pares comienza a tener pérdidas?.

11) En el circo Mundo Rodante actúa el malabarista Evaristo. La fórmula que permite

calcular la altura en función del tiempo que alcanzan los objetos que lanza Evaristo en

su número es: 75025254 2 ,t,t,tD , (donde D es la altura medida desde el piso, en

metros, y t es el tiempo, en segundos, tomado a partir del instante en el que el objeto

es lanzado).

a) Confeccionen el gráfico de la función. b) Busquen las coordenadas del vértice. c) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por los bolos que lanza Evaristo?. d) ¿Desde qué altura son lanzados?.

12) La empresa Santiagueña S.A. es una importante productora de cestos de mimbres

del mercado nacional. El costo promedio (en $) por unidad al producir una cantidad x

de cestos es 20002006020 x,x,xC .

a) ¿Qué número de cestos producidos minimizaría el costo promedio?. b) ¿Cuál sería el costo promedio si se produjera dicha cantidad?.

13) ¿Cuál es el tiempo empleado por un móvil animado con M.U.A. para recorrer 30 m,

si parte con una velocidad inicial de 0V 60 cm/seg y se mueve con una aceleración

de 3 cm/seg2. La fórmula para calcular la distancia en el M.U.A. es: 20

2

1t.atVd

14) ¿Cuánto tarda un móvil, animado con M.U.A., en adquirir una velocidad ( fV =

velocidad final) de 5 m/seg, si parte con una velocidad inicial ( 0V ) de 2 m/seg y se

mueve con una aceleración ( a ) de 0,3 m/seg2. La fórmula de la aceleración es:


Página 12 de 14

t

vVa

f 0 . Además calcular la distancia que recorre en ese tiempo. Usa la fórmula

del ejercicio anterior.

15) Observen las gráficas y completen el cuadro:

Dom: Im:

Raíces: a = 1

Vértice:

Ordenada al origen:

Máx ó Min:

Crec: y Decrec:

C+ y C-

Forma factorizada, polinómica y

canónica.

Dom: Im:

Raíces: a = –2

Vértice:

Ordenada al origen:

Máx ó Min:

Crec: y Decrec:

C+ y C-

Forma factorizada, polinómica y

canónica.


Página 13 de 14

ECUACIÓN POLINÓMICA, CANÓNICA Y FACTORIZADA 16) Expresen cada una de las siguientes funciones en la forma que se pide:

a) 342 xxxf en forma canónica

b) 322

1 xxxf en forma polinómica

c) 2322 xxf en forma polinómica

d) xxxf 63 2 en forma canónica

17) Escriban las siguientes funciones en la forma más conveniente, de acuerdo

con los datos dados y luego hallen las expresiones polinómicas de cada una.

a) El vértice es (-3 ; -2) y el coeficiente principal es a = –2.

b) Las raíces son 41 x 22 x y el coeficiente principal es –1

c) El vértice es (-4 ; 2) y pasa por el punto (0 ; 7)

d) Corta al eje X en (–1 ; 0) y (4 ; 0) y pasa por el punto (–4 ; 6

5 ).

RAÍCES 18) Resuelvan las siguientes ecuaciones de 2º grado:

a) 010122 2 xx b) 22 714 xxx c) 7268 2 xx

d) xfxx 92 e) 922 xxf f) 13

2

1 2 xy

POSICIONES RELATIVAS DE LA PARÁBOLA CON RESPECTO AL EJE DE LAS

ABSCISAS. USO DEL DISCRIMINANTE

19) Completen con > , < ó =, según corresponda en cada caso:

a) 0 b) 0 c) 0


Página 14 de 14

20) Calculen el valor del discriminante y marquen con una X el tipo de raíces de

cbxaxxf 2

a B c acb 42 Raíces reales

iguales

Raíces

reales

distintas

No tiene

raíces reales

a) 1 -4 -4

b) -1 -3 -4

c) -2 22 -1

d) 1 0 -3

e) 3 6 33

21) Sin calcular sus raíces, indiquen el número de soluciones reales (dos, una o

ninguna) de cada una de las siguientes ecuaciones:

a) 0122 xx b) 0040225 2 ,xx c) 091 2 x

d) 0252 xx e) 035 2 x f) 012129 2 xx

e. p. e. t. n° 20epet20.com.ar/cuadernillos/cuadernillo3matematica.pdf · operaciones combinadas....

Documents