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Capıtulo 1

Estatica de fluidos

1.1. Introduccion

Los temas 1 y 2 tienen por objeto, respectivamente, el estudio del compor-tamiento estatico y dinamico de los fluidos, que colectivamente se conoce comoMecanica de Fluidos. Las aplicaciones de la Mecanica de Fluidos en el ambitode la construccion son muy variadas. Por ejemplo: redes de tuberıas para elagua o el gas, embalses (de lıquidos e incluso de tierras), piscinas, etc.

1.1.1. Solidos, lıquidos, gases

La materia suele presentarse en uno de los siguientes tres estados, llamadosestados de agregacion: solido, lıquido y gaseoso. Las propiedades fısicas quepresenta la materia en estos estados estan estrechamente ligadas a la intensidadde las interacciones entre las partıculas (atomos o moleculas) que constituyenla materia. Ası, tenemos que:

En un solido, la interaccion entre las partıculas es tan fuerte que estas solido

ocupan posiciones fijas en un retıculo tridimensional (red cristalina) ysolo estan permitidos movimientos oscilatorios de pequena amplitud entorno a sus posiciones de equilibrio. Consecuencia de ello es que los soli-dos tienen forma y volumen propios, siendo este ultimo practicamenteinvariable frente a cambios de presion (incompresible) y de temperatura(no dilatable).

En un lıquido, la interaccion entre las partıculas es mas debil que la lıquido

existente en los solidos, por lo que estas no ocupan posiciones fijas enuna red sino que tienen cierta libertad para moverse. En consecuencia,los lıquidos carecen de forma propia, adoptando la del recipiente que loscontiene. Sin embargo, como los solidos, tienen volumen propio y sonpoco compresibles y dilatables.

En un gas, por ultimo, la interaccion entre las partıculas es muy debil gas

y puede ignorase habitualmente. Este hecho se traduce en que los gases

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S4 Estatica de fluidos

carecen de forma y volumen propios (tienden a ocupar todo el volumendisponible) y se comprimen y dilatan con facilidad. A temperatura am-biente y presion atmosferica, los gases son tıpicamente 1000 veces menosdensos que los solidos y los lıquidos.

1.1.2. Concepto de fluido

A los gases y a los lıquidos se les denomina genericamente fluidos. Sin embar-fluidos

go, la clasificacion precisa de una substancia como fluido se efectua en funcionde su respuesta a la aplicacion de un esfuerzo cortante.dF

→n

dF→

da

dF→t

FIGURA 1.1: Componentes normal ytangencial de una fuerza.

Supongamos que sobre una substancia se aplica una fuerza distribuida sobreuna cierta superficie. Sea d~F la fuerza que se ejerce sobre un area infinitesimalda. Dicha fuerza puede descomponerse en una componente normal, d~Fn, y otratangencial, d~Ft (fig. 1.1). Se denomina esfuerzo 1 a la fuerza que actua porunidad de area:

~τ =d~F

da. (1.1)

Se deduce de la definicion que la unidad del esfuerzo o tension en el SistemaInternacional es N/m2, que tambien recibe el nombre de pascal, Pa.

El esfuerzo normal y el esfuerzo cortante son, respectivamente, las compo-nentes normales y tangenciales del vector esfuerzo:

~τn =d~Fn

da, (1.2)

~τc =d~Ft

da. (1.3)

En este contexto, una substancia se clasifica como fluido si se pone en mo-vimiento, deformandose, bajo la accion de un esfuerzo cortante, sin importarcuan pequeno sea este, y continua deformandose hasta que cesa el esfuerzocortante.

∆x

y

h

0(a)

→tc

V

(b)

→tc

FIGURA 1.2: Comportamiento de unsolido elastico (a) y de un fluido (b)ante la aplicacion de un esfuerzo cor-tante.

El comportamiento de los fluidos frente a un esfuerzo cortante es, por tanto,completamente distinto al que presentan los solidos. Un solido, como el que semuestra en la fig. 1.2a, puede resistir un esfuerzo cortante mediante una defor-macion estatica, de magnitud ∆x, proporcional al esfuerzo cortante aplicado,siendo

τc ∝∆x

h. (1.4)

Cuando el esfuerzo cortante aplicado cesa, el solido recupera su forma original.Consideremos en cambio un fluido alojado entre dos placas planas paralelas(fig. 1.2b). Segun dicta la experiencia, las partıculas de fluido en contacto conuna superficie solida se adhieren a la misma y se desplazan con la velocidadde esta (condicion de no deslizamiento). Por tanto, si se aplica una fuerzahorizontal sobre la placa superior (y = h) se estara tambien ejerciendo uncierto esfuerzo cortante sobre la capa superior de fluido. De acuerdo con ladefinicion de fluido, este no podra entonces permanecer en reposo y se pondra enmovimiento. Experimentalmente se observa que el esfuerzo cortante aplicado esproporcional a la velocidad V que adquiere la placa y la capa de fluido superior

τc ∝V

h. (1.5)

1En ciertos textos, a la fuerza por unidad de superficie se le denomina tension.

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S1.2 Algunas propiedades de los fluidos 5

El fluido continuara moviendose hasta que cese todo esfuerzo cortante. Sinembargo, cuando esto ocurra, el fluido no recuperara su forma original sino quequedara permanentemente deformado.

El comportamiento de los solidos que hemos descrito al principio es el de lossolidos elasticos. Los llamados solidos plasticos tienen un comportamiento in-termedio entre solidos y fluidos. Dichos materiales pueden resistir mediante unadeformacion estatica esfuerzos cortantes que no superen un cierto valor lımitey no esten actuando durante un perıodo de tiempo prolongado. Sin embargo,cuando se supera dicho lımite o el esfuerzo se aplica durante largo tiempo, elsolido plastico fluye deformandose permanentemente.

1.2. Algunas propiedades de los fluidos

El estudio de los fluidos pueden efectuarse desde dos puntos de vista dis-tintos: macroscopico o microscopico. El punto de vista que adoptamos aquı esel macroscopico. Este es el enfoque que adopta la mecanica de los medios con-tinuos, que considera al fluido como un medio continuo sin espacios vacıos, talcomo aparece a nuestros sentidos, ignorando partıculas materiales (atomos omoleculas) que los constituyen. Por tanto, cuando hablemos de partıcula defluido o partıcula fluida nos estaremos refiriendo a una porcion de fluido con partıcula de fluido

dimensiones infinitesimales comparadas con el volumen total, pero suficiente-mente grande como para poder asumir un punto de vista macroscopico, esdecir, la partıcula fluida contendra un numero muy elevado de las partıculasmateriales que constituyen el fluido. Por el contrario, el enfoque microscopicodel estudio de los fluidos considera que la materia esta formada por atomos omoleculas y obtiene las propiedades macroscopicas de los fluidos como prome-dio sobre un gran numero de estas partıculas materiales. Ası, por ejemplo, latemperatura puede relacionarse con la energıa cinetica media de los atomos omoleculas. Esta es la forma de proceder de la teorıa cinetico-molecular y de lamecanica estadıstica.

Presentamos seguidamente algunas de las propiedades mas relevantes de losfluidos desde un enfoque macroscopico.

1.2.1. Densidad

Se define la densidad ρ como densidad

ρ = lım∆V→0

∆m

∆V. (1.6)

donde ∆m es la masa contenida en el volumen ∆V . En el SI la densidad semide en kg/m3. Fısicamente no podemos hacer ∆V → 0, ya que a medidaque ∆V se hace muy pequeno, la masa contenida en ∆V variara de maneradiscontinua dependiendo del numero de atomos o moleculas que haya en ∆V .En realidad, el cero en la definicion de densidad deberıa reemplazarse por uncierto volumen lımite por debajo del cual la hipotesis del continuo falla. Paratodos los lıquidos y gases a presion atmosferica, un valor tıpico de dicho volumenlımite es 10−9mm3. Por ejemplo, 10−9mm3 de aire en condiciones normalescontiene aproximadamente 3× 107 moleculas, lo cual es suficiente para definiruna densidad constante de acuerdo con la ec. (1.6). Este volumen es, a su vez,el volumen mas pequeno que podemos considerar para una partıcula fluida.

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Tıpicamente, la densidad de los gases es unas mil veces menor que la delos lıquidos. Por ejemplo, la densidad del aire a presion atmosferica y 15◦C detemperatura es 1,23 kg/m3. La del agua es 103 kg/m3.

La densidad de un fluido puede variar en el espacio y en el tiempo. Si ladensidad es la misma en todos los puntos del fluido, el fluido se dice que eshomogeneo. En caso contrario, se dice que es heterogeneo.

1.2.2. Peso especıfico

Se define el peso especıfico γ comopeso especıfico

γ = lım∆V→0

∆mg

∆V, (1.7)

donde g es el modulo de la aceleracion debida al campo gravitatorio terrestreen la superficie de la tierra (g = 9,8m/s2). El peso especıfico es pues el pesopor unidad de volumen. Las unidades de peso especıfico en el SI son N/m3.

La relacion entre el peso especıfico y la densidad es γ = ρg, como puedecomprobarse de la definicion de ambas propiedades.

1.2.3. Viscosidad

En el seno de un fluido en movimiento surgen esfuerzos normales y cortan-tes entre una partıcula fluida y sus vecinas. Tales esfuerzos frenan o aceleranla partıcula fluida, de forma que por su accion la partıcula tiende a igualarsu velocidad con la de las partıculas que la rodean. Estos esfuerzos estan rela-cionados con la propiedad del fluido denominada viscosidad. La viscosidad esuna propiedad importantısima en dinamica de fluidos. Como veremos mas ade-lante, la viscosidad controla la cantidad de fluido que puede ser transportadapor una conduccion y las perdidas de energıa que se producen asociadas a estetransporte. Ademas, su valor es decisivo para que en el flujo se produzcan o noturbulencias. En esta seccion centraremos nuestra atencion sobre los esfuerzoscortantes viscosos.

Consideremos nuevamente el fluido confinado entre dos placas paralelasmostrado en la fig. 1.2b. Segun ya se ha visto, la aplicacion de un esfuerzocortante sobre la capa superior de fluido (y = h) pone en movimiento a lamisma con una velocidad V , siendo el esfuerzo cortante proporcional a razonV/h.

Dicha proporcionalidad, que se describio por la expresion (1.5), puede con-vertirse en ecuacion introduciendo una constante de proporcionalidad llamadacoeficiente de viscosidad dinamica del fluido, o simplemente viscosidad del flui-coeficiente de viscosidad

do, y representada por la letra η,

τc = ηV

h. (1.8)

Debido a esa viscosidad del fluido, la capa de fluido superior ejerce unesfuerzo cortante sobre la capa subyacente, tirando de la misma y poniendola asu vez en movimiento. Este hecho se repite en las capas inferiores consecutivashasta alcanzar la placa inferior (y = 0). La velocidad del fluido junto a la placainferior es cero, por encontrarse esta en reposo. En las capas intermedias, se

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observa que la velocidad del fluido es proporcional a su distancia a la placainferior, de forma que

v(z) =V

hz. (1.9)

George Gabriel Stokes (Skreen,1819; Cambridge, 1903): Ma-tematico y fısico irlandes que con-tribuyo a la ciencia de la hidro-dinamica con su ley de viscosidad.Stokes investigo el movimiento defluidos incompresibles, la friccionen los fluidos y el movimientoelastico de los solidos.

Por analogıa con la capa de fluido superior, en las capas de fluido interme-dias tambien existira un esfuerzo cortante debido a la viscosidad, τc. De formageneral, los esfuerzos cortantes de origen viscoso que surgen entre capas defluidos que se mueven a distinta velocidad satisfacen la denominada ley de laviscosidad de Newton,

ley de la viscosidad de newtonτc = η

dv

dz. (1.10)

Por tanto, la viscosidad es una propiedad fısica del fluido que caracteriza laresistencia al deslizamiento relativo de capas contiguas del fluido. La magnituddv/dz representa el cambio de velocidad en la direccion normal a la de lapropia velocidad y se denomina gradiente de velocidad o razon de deformacion.Teniendo en cuenta la ec. (1.9), la razon de deformacion del fluido en el ejemploque estamos considerando es precisamente dv/dz = V/h.

Puesto que las unidades de τc en el SI son N/m2 (o Pa), las unidadesde η seran Pa s. En el sistema cegesimal la unidad empleada es el poise (p),

1 poise = 1 dina s/cm2. El factor de conversion al SI es: 10 poise = 1 Pa s.Relacionada con la viscosidad dinamica, la viscosidad cinematica se define comoν = η/ρ, donde ρ es la densidad del fluido. Sus dimensiones en el SI son m2/s,mientras que en el sistema cegesimal es el stoke (st), 1 stoke = 10−4m2/s.

dilatante

newtoniano

pseudoplástico

plásticoideal

razón de deformación

esfu

erzo

cort

ante

FIGURA 1.3: Dependencia del esfuer-zo cortante con la razon de defor-macion en fluidos newtonianos, no-newtonianos y en plasticos.

reopéctico

newtoniano

tixotrópico

tiempo

esfu

erzo

cort

ante

FIGURA 1.4: Variacion en el tiempodel esfuerzo cortante que ha de apli-carse para mantener una razon de de-formacion constante en el fluido.

La ec. (1.10) es aplicable a los fluidos newtonianos, tales como el agua, elaire o el aceite. Existen otros fluidos (fluidos no-newtonianos) en los cuales elesfuerzo cortante viscoso no es directamente proporcional a la razon de defor-macion, sino que guarda otro tipo de relacion mas compleja (fig. 1.3). Ejemplosde fluidos no newtonianos son los fluidos pseudoplasticos (sangre, leche, cemen-to antes de fraguar) y los fluidos dilatantes (almıbar). Por otro lado, tambienexisten fluidos en los que el esfuerzo cortante que ha de aplicarse para man-tener una razon de deformacion constante (dv/dz = cte) cambia en el tiempo(fig. 1.4). Tales fluidos se clasifican como fluidos tixotropicos (ciertos tipo depinturas, cementos y hormigones) o fluidos reopecticos (substancias bitumino-sas). No obstante, lo que sı es comun para todos los fluidos es que los esfuerzoscortantes debidos a la viscosidad solo aparecen cuando existe un gradiente develocidad. En caso de que la velocidad sea constante o, simplemente, el fluidoeste en reposo, tales esfuerzos no existiran.

La viscosidad de un fluido depende de su temperatura. En los lıquidos laviscosidad disminuye conforme aumenta la temperatura, mientras que en losgases sucede lo contrario. La dependencia con la temperatura es, ademas, muchomas fuerte en lıquidos que en gases. El motivo de este distinto comportamientose debe a que en los lıquidos la viscosidad se ve influenciada principalmentepor las fuerzas de cohesion que existen entre sus moleculas, mientras que enlos gases las fuerzas de cohesion son despreciables y son las colisiones entremoleculas las que provocan los esfuerzos internos de friccion.

En caso de que los efectos de la viscosidad en un fluido puedan despreciarse(matematicamente, cuando la viscosidad tiende a cero) se dice que el fluido esun fluido perfecto. En el seno de un fluido perfecto no hay esfuerzos cortantes fluido perfecto

de origen viscoso. Si, ademas, la densidad es constante en todos sus puntos, sedice que es un fluido ideal. fluido ideal

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1.2.4. Compresibilidad

Todos los fluidos se comprimen en cierta medida cuando se ejerce sobreellos una presion, y el resultado de dicha compresion se manifiesta como unincremento de su densidad. La facilidad de compresion o compresibilidad de uncompresibilidad

fluido viene caracterizada por su coeficiente de compresibilidad, κ, o simplemen-te compresibilidad, que mide la variacion (por unidad de volumen) del volumendel fluido con la presion. Esta magnitud se evalua generalmente a temperaturaconstante, denominandose entonces coeficiente de compresibilidad isoterma,

κ = − 1

V0

(

∆V

∆p

)

T

, (1.11)

siendo V0 el volumen inicial del fluido y ∆V la variacion del volumen debidoal cambio de presion ∆p. El coeficiente de compresibilidad es una cantidadpositiva porque un incremento de presion (∆p > 0) producira un decremento devolumen (∆V < 0), y viceversa. Su unidad es Pa−1 en el Sistema Internacional.La magnitud inversa del coeficiente de compresibilidad se denomina modulo decompresibilidad, B = κ−1. Su unidad en el SI es el pascal (Pa), y da una ideade la rigidez o resistencia que presenta el fluido a ser comprimido.

Las presiones requeridas para cambiar el volumen de un lıquido son tanelevadas que estos pueden considerarse practicamente incompresibles. Ası, porejemplo, para causar un cambio del 1% en la densidad del agua se requiere unapresion de 22×106Pa (aproximadamente 220 atmosferas)2. Por el contrario losgases son mucho mas compresibles. Puede demostrarse a partir de la ecuacionde estado del gas ideal que su coeficiente compresibilidad es κ = 1/p, es decir,un gas es tanto mas compresible cuanto menor es su presion.

A pesar de que los liquidos son incompresibles, pequenos cambios en ladensidad de un lıquido pueden ser muy significativos si estan presentes cambiosde presion grandes. Por ejemplo, el efecto llamado golpe de ariete se produce alcerrar rapidamente una valvula en una tuberıa, lo que da lugar a un aumentosubito de presion junto a la valvula. Se genera entonces una onda de presioninterna que se propaga aguas arriba a lo largo de la tuberıa, se refleja en elextremo, y retorna de nuevo hacia la valvula, repitiendose este movimiento deforma periodica. Como resultado, se produce un sonido de martilleo debido almovimiento de la tuberıa cuando la onda se refleja en la valvula cerrada.

1.2.5. Tension superficial y capilaridad

Las moleculas situadas en la superficie de un lıquido estan sujetas a fuer-zas atractivas de cohesion ejercidas por las moleculas vecinas, de forma que lasuperficie se encuentra en un estado de tension similar al que se tiene en unamembrana. Debido a esta tension, la superficie libre de un lıquido tiende a sermınima. Para ilustrar el efecto de esta tension podemos considerar el experi-mento que se muestra en la fig. 1.5. Un alambre en forma de U esta cerradopor otro alambre recto, de longitud d, que puede deslizar sin friccion sobreel primero. Si colocamos una delgada pelıcula de lıquido sobre el alambre, lapelıcula tiende a colapsar a causa de la tension de su superficie. Para evitarlo, esnecesario ejercer sobre el alambre movil una fuerza proporcional a su longitud,

2Este resultado se sigue de forma inmediata teniendo en cuenta que para el agua κ =4,5× 10−10 Pa−1 y usando (1.11)

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→F

película de fluido

varilla deslizante

película de fluido

varilla deslizante

d

FIGURA 1.5: Experimento para ilus-trar la existencia de las fuerzas detension superficial. Si no actua nin-guna fuerza, las fuerzas de tensionsuperficial de la pelıcula de fluido ha-cen que la varilla deslizante este enla posicion de la izquierda. Solo siactua una fuerza se logra estirar lapelıcula de fluido como se ilustra ala derecha.

tal queF = σ2d. (1.12)

El coeficiente de proporcionalidad σ recibe el nombre de coeficiente de tensionsuperficial o, simplemente, tension superficial. El factor numerico 2 es debido a tension superficial

que la pelıcula de lıquido posee dos caras, por lo que la fuerza ha de ser tambiendoble. La tension superficial depende de la naturaleza del lıquido, del medioque lo rodea y de la temperatura. En general, la tension superficial disminuyecon la temperatura, pues las fuerzas de cohesion disminuyen al aumentar laagitacion termica. La tension superficial tiene dimensiones de fuerza por unidadde longitud y, por tanto, se mide en N/m. Para el agua a 15◦C su valor esσ = 0,0741N/m.

q<π_2 θ

q>π_2

FIGURA 1.6: Angulo de contacto enla interfaz para un lıquido que mojala pared del recipiente (izda.) y otroque no moja dicha pared (dcha.).

Cuando un lıquido entra en contacto con las paredes del recipiente, el lıquidoadopta una forma curva que se denomina menisco (fig. 1.6). La formacion delmenisco se debe a que las moleculas del lıquido no solo interaccionan con elresto del fluido (fuerzas de cohesion) sino tambien con las moleculas de la paredsolida del recipiente (fuerzas de adhesion). La forma final que adopta el meniscosurge de la competencia entre las fuerzas de cohesion y de adhesion. El meniscose caracteriza por el angulo de contacto entre la pared y el lıquido. Ası, si elangulo de contacto es θ < π/2 se dice que el lıquido moja la pared, y si θ > π/2el lıquido no moja la pared. El angulo de contacto entre el agua y el vidriolimpio es θ = 0, lo que corresponde a una mojabilidad perfecta.

La curvatura que adopta la interfaz lıquido-aire en el equilibrio da origen auna sobrepresion ∆p en el lıquido debido a tension superficial. A consecuenciade esta sobrepresion, el nivel de un lıquido en un tubo capilar (tubo de pequenodiametro) difiere del nivel del mismo lıquido en un vaso ancho comunicantecon aquel. El nivel del lıquido en el tubo capilar es mas alto (mas bajo) queen el vaso comunicante si el lıquido moja (no moja) sus paredes (fig. 1.7). Lamagnitud de la elevacion capilar esta dada por

h =2σ cos θ

γR, (1.13)

donde σ es la tension superficial, γ el peso especıfico y R el radio del capilar.

FIGURA 1.7: Elevacion capilar de unlıquido que moja la pared (izda.) y deotro que no moja la pared (dcha.).

El fenomeno del ascenso capilar del agua es de suma importancia en cons-truccion. Ası, los cimientos de las estructuras pueden humedecerse por la accionde la capilaridad sobre las aguas freaticas, provocando la corrosion del acero derefuerzo usado en estos. Cuando los niveles de ascenso capilar son muy altos,el agua puede alcanzar las paredes de la edificacion, generandose problemas enlos ladrillos y los acabados de la edificacion.

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1.3. Presion

1.3.1. Concepto y unidades

Segun hemos visto en la seccion anterior, los unicos esfuerzos que pueden es-tar actuando sobre un fluido en reposo son esfuerzos normales. Dichos esfuerzosson de compresion y definen la presion, p, en un punto del fluido segunpresion

p = |~τn| =d|~Fn|da

, (1.14)

donde d~Fn es la fuerza normal que actua sobre el area elemental da que contieneal punto. Notese que la presion es una magnitud escalar. Su unidad fundamentalen el SI es el newton por metro cuadrado (N/m2) o pascal (Pa). Como el pascalpascal

es una unidad de presion muy pequena, frecuentemente se expresa la presionen kilopascales (kPa) o megapascales (MPa). Por ejemplo, la presion de laatmosfera a nivel del mar es 101,2 kPa.

Otras unidades de presion habitualmente usadas y sus equivalencias son:

Atmosfera (atm o atmos), es la presion promedio en la atmosfera de laTierra a nivel del mar. 1 atm = 101,325 kPa ≈ 105 Pa.

Baria (ba), es la unidad de presion CGS. 1 baria = 1 dina/cm2 = 0,1Pa.

Bar (b). 1 bar = 105Pa ≈ 1 atm.

Milımetro de mercurio (mm Hg o torr, es la presion que ejerce sobre subase una columna de mercurio de un milımetro de altura a nivel del mar.760mmHg = 1 atm.

Evangelista Torricelli (Faenza,1608; Florencia, 1647): Fısico ita-liano que investigo el vacıo y cons-truyo el primer barometro de mer-curio.

Frecuentemente, los valores de la presion suelen darse referidos a la presionatmosferica local. Dicha presion se denomina presion manometrica, pman,presion manometrica

pman = p− patm. (1.15)

y puede adquirir valores tanto positivos como negativos. En contraste, la presionabsoluta, p, siempre es positiva y solo alcanza el cero cuando se logra un vacıopresion absoluta

ideal, esto es, cuando no quedan moleculas o atomos en un espacio.

1.3.2. Presion en un punto

La presion en un punto de un fluido en reposo se ha definido como el modulode la fuerza normal dividida entre el area infinitesimal sobre la que actua. Cabepreguntarse si el valor de la presion ası obtenido se modificarıa al cambiar laorientacion del area infinitesimal.

Para mostrar que esto no sucede, consideremos el elemento de volumen enforma de cuna, que se muestra en la fig. 1.8. Sea pθ la presion que actua sobrela cara de area dx dl, dispuesta con inclinacion θ, y sean py y pz las presionesque actuan sobre las caras vertical y horizontal, de areas respectivas dx dy ydx dz. Por sencillez, supondremos que la unica fuerza de volumen presente esel peso de la cuna, de modulo

dW =1

2dx dy dzρg. (1.16)

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S1.3 Presion 11

dx

p dxdyz

q

qp dxdzy

p dldxq

dz

dy

dl

x

y

z

dW→

FIGURA 1.8: Equilibrio de una cunaelemental de fluido en reposo. Porclaridad se omiten las fuerzas de pre-sion paralelas al eje x.

Segun sabemos de la Mecanica, la nulidad de la resultante de las fuerzas queactuan sobre un sistema material es condicion necesaria de equilibrio para dichosistema. Si exigimos esta nulidad para las componentes y y z de las fuerzaspresentes resulta,

pydx dz − pθdx dl sen θ = 0, (1.17)

pzdx dy − pθdx dl cos θ −1

2dxdydzρg = 0. (1.18)

Teniendo en cuenta que

dz = dl sen θ, (1.19)

dy = dl cos θ, (1.20)

las ecuaciones (1.17) y (1.18) quedan como

py − pθ = 0, (1.21)

pz − pθ −1

2dzρg = 0. (1.22)

El ultimo termino de la segunda ecuacion es un infinitesimo que puede despre-ciarse frente a los otros sumandos. Resulta entonces,

py = pz = pθ, (1.23)

cualquiera que sea el angulo θ. Si la orientacion de la cuna fuese a lo largo deleje x en lugar del eje y, un razonamiento similar conducirıa a

px = pz = pθ. (1.24)

Puesto que la orientacion de los ejes x e y es arbitraria, podemos entoncesconcluir que la presion en un punto es independiente de la orientacion delarea infinitesimal elegida en su definicion. En otras palabras, la presion es unafuncion del punto.

La ec. (1.14) no puede usarse como definicion de presion en un fluido enmovimiento, pues en estos existen esfuerzos normales de naturaleza viscosa quedependen de los gradientes de velocidad, y estos son diferentes en cada direccionde espacio. Por tanto, el valor de la presion que se obtendrıa a partir de (1.14)

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FIGURA 1.9: Equilibrio de unapartıcula de fluido en reposo en elseno de un campo gravitatorio. Porclaridad se omiten las fuerzas depresion paralelas al eje x.

dx

x

y

z

p x,y dy,z dxdz( _ )− 12

p x,y,z+ dz dxdy( _ )12

p x,y,z dz dxdy( _ )− 12

dz

dy

( )x,y,zp x,y+ dy,z dxdz( _ )1

2dW

→

dependerıa (aunque en general debilmente) de la orientacion elegida para da.Sin embargo, en los flujos incompresibles, que seran los que trataremos aquı,puede demostrarse que el promedio de los esfuerzos normales que actuan segunlas tres direcciones del espacio es independiente de la razon de deformaciondel fluido. Por dicho motivo, en los fluidos en movimiento, se define la presioncomo

p =1

3(|~τnx|+ |~τny|+ |~τnz |) . (1.25)

En un fluido perfecto, sin viscosidad, los esfuerzos viscosos estan ausentes tantosi el fluido esta en reposo como si esta en movimiento. En tal caso, la definicionde presion segun (1.14) sigue siendo valida.

1.4. Ecuacion fundamental de la estatica de fluidos

en el campo gravitatorio

Brook Taylor (Edmond, 1685;Londres, 1731): Matematicoingles. El desarrollo que lleva sunombre era ya conocido por JamesGregory (Drumoak (Aberdeen),1638; Edimburgo, 1675).

Consideremos una partıcula de fluido de forma paralelepipedica centradaen el punto de coordenadas (x, y, z) (fig. 1.9). Si el fluido esta en reposo, lapartıcula estara sometida a la accion de fuerzas normales sobre cada una de susseis caras y, ademas, la fuerza de volumen debida a su propio peso. La presionque actua sobre cada una de las caras de la partıcula puede obtenerse medianteun desarrollo de Taylor. Ası, por ejemplo, la presion en la cara perpendicularal eje z situada a la altura z − 1

2dz se expresara como

p(x, y, z − 12dz) = p(x, y, z)− ∂p

∂z

dz

2, (1.26)

donde se ha limitado el desarrollo hasta terminos infinitesimos de primer orden.Analogamente, la presion del fluido en la cara opuesta valdra

p(x, y, z + 12dz) = p(x, y, z) +

∂p

∂z

dz

2. (1.27)

Expresiones analogas se obtienen para las restantes caras.

Puesto que la partıcula fluida esta en equilibrio, la resultante de todas lasfuerzas que actuan sobre ella ha de ser necesariamente nula. El balance de

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S1.4 Ecuacion fundamental de la estatica de fluidos en el campo gravitatorio 13

fuerzas en la direccion z es entonces

p(x, y, z − 12dz)dxdy

−p(x, y, z + 12dz)dxdy

−ρgdxdydz = 0, (1.28)

y teniendo en cuenta las ecuaciones (1.26)–(1.27) resulta

∂p

∂z+ ρg = 0. (1.29)

En las direcciones x e y del espacio no actua ninguna fuerza de volumen, porlo que los respectivos balances de fuerzas resultan ser

∂p

∂x= 0, (1.30)

∂p

∂y= 0. (1.31)

El conjunto de las ecuaciones (1.29)–(1.31) puede escribirse como una unicaecuacion vectorial que recibe el nombre de ecuacion fundamental de la estaticade fluidos en el campo gravitatorio,

~∇p = ρ~g, (1.32)

donde ~g = −g~k es el vector gravedad y ~∇p es el gradiente de la presion,

~∇p =(

∂p

∂x,∂p

∂y,∂p

∂z

)

. (1.33) 0A

zA

pA

pB

p = pB' atm

zBH B

B'zB'

z

FIGURA 1.10: Presion en los puntosde un fluido situados a distintas altu-ras.

De las ecs. (1.30)–(1.31) se deduce que la presion en el campo gravitatorioes independiente de las coordenadas x e y. Por tanto, las superficies isobaras(lugares geometricos de los puntos de igual presion) son planos horizontales.Por el contrario, como lo muestra la ec. (1.29), la presion sı cambia con lacoordenada z. Puesto que el cambio de presion por unidad de longitud en ladireccion z (∂p/∂z) es negativo (−ρg), la presion en el fluido disminuye conla altura. Teniendo en cuenta que p = p(z), la ec. (1.29) puede integrarsefacilmente entre dos puntos arbitrarios de alturas zA y zB y presiones pA y pBrespectivamente,

∫ pB

pA

dp = −∫ zB

zA

ρgdz. (1.34)

Si la densidad del fluido es constante resulta entonces

pB − pA = −ρg(zB − zA), (1.35)

o bienpA + ρgzA = pB + ρgzB. (1.36)

Claramente, si la presion en el punto B es conocida, la presion en el punto Apuede determinarse en funcion de la presion en el punto B y la diferencia dealturas entre los dos puntos (fig. 1.10). Frecuentemente, el punto B se tomaen la superficie libre del fluido (B′), donde la presion es igual a la presionatmosferica. La presion en el punto A vale entonces

pA = patm + ρgH, (1.37)

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donde H = zB − zA es la profundidad del punto A respecto de la superficielibre.

Debido a la baja densidad del aire, la variacion de la presion atmosferica conla altura es mucho mas pequena que en los lıquidos, por lo que su valor puedeconsiderarse practicamente constante. Ası, por ejemplo, para que la presion at-mosferica disminuya en un 10% respecto de su valor a nivel del mar tendrıamosque ascender hasta una alturaH tal que ρairegH = 0,1 atm. Teniendo en cuentaque la densidad del aire es aproximadamente 1,3 kg/m3, resulta

H =0,1 atm

ρaireg∼ 800m. (1.38)

Evidentemente, tales distancias quedan practicamente fuera del interes arqui-tectonico, por lo que no se comete un error apreciable al suponer patm =cte entodos los puntos. La densidad de los lıquidos, por el contrario, es tıpicamente1000 veces superior a la densidad del aire. En el agua, por ejemplo, la presionse incrementa en aproximadamente 1 atm por cada 10m de profundidad.

Numerosos experiencias cotidianas referentes al equilibrio de lıquidos en-cuentran su explicacion en la aplicacion de la ec. (1.37). Consideremos, porejemplo, la horizontalidad de la superficie libre de un lıquido en reposo, o laigualdad de los niveles alcanzados por un lıquido en las distintas ramas de unvaso comunicante. El equilibrio de la superficie libre impone la igualdad de lapresion en el lıquido y en el aire para todos y cada uno de los puntos de lasuperficie libre. Sin embargo, segun hemos probado, la presion en el aire esconstante, por lo que la interfaz lıquido-aire debe necesariamente coincidir conuna superficie isobara del lıquido, esto es, una superficie horizontal (H = 0).

La ec. (1.36) se escribe frecuentemente en terminos de alturas en lugar depresiones, para lo cual se divide toda la ecuacion por ρg,

pAρg

+ zA =pBρg

+ zB = constante. (1.39)

Los sumandos reciben los siguientes nombres:

Altura geometrica, z.

Altura de presion, p/ρg.

Altura piezometrica, z + p/ρg.

PROBLEMA RESUELTO 1.1:

En la figura se muestra un deposito de agua conectado a otro de aceite medianteun tubo en U. El deposito de agua esta cerrado por su parte superior, siendo lapresion del aire encerrado pB = 6,4×104 Pa. El deposito de aceite, por el contrario,esta abierto a la atmosfera. Para evitar que aceite y agua entren en contacto, untercer lıquido, de densidad ρ′ = 1,6× 103 kg/m3, se interpone entre el aceite y elagua en el tubo en U. Para la situacion que se muestra en la figura, determine eldesnivel d entre el aceite y el agua.Datos adicionales: patm ≈ 105 Pa, ρagua = 103 kg/m3, ρaceite = 0,8× 103 kg/m3.

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S1.5 Principio de Pascal 15

d

6 m agua

aire

aceite

0,5 m

B

C

EPROBLEMA RESUELTO 1.1

Solucion:

Mediante la ecuacion fundamental de la estatica de fluidos, la presion en el puntoE (de contacto entre el aceite y el lıquido de densidad ρ′) se puede relacionar conla presion atmosferica a la que se encuentra el aceite que esta en la superficie enel deposito de la derecha (abierto a la atmosfera):

pE = patm + ρaceite g(6,5− d), (P1.1)

o bien con la presion a la que se encuentra el aire encerrado en el deposito de laizquierda:

pE = pB + ρagua g6 + ρ′ g0,5. (P1.2)

Sustituyendo los datos y despejando la unica incognita llegamos a que

d = 2,5m. (P1.3)

1.5. Principio de Pascal

Llamado “principio” por razones historicas es, en realidad, una consecuenciaimportante de la variacion lineal de la presion con la profundidad en un lıquidoen reposo. Este principio fue establecido experimentalmente por primera vezpor Pascal y puede enunciarse como sigue: si la presion ejercida en un puntode un fluido incompresible en equilibrio cambia en una cantidad ∆p, entoncesla presion cambia en la misma cantidad ∆p en todos los puntos del fluido.

Blaise Pascal (Clermont-Ferrand,1623; Parıs, 1662): Filosofo, ma-tematico y fısico, destaca porsus contribuciones a la geo-metrıa de conicas, la combinatoria,calculo de probabilidades. Descu-brio la utilidad del barometro comoaltımetro y fue el fundador de laestatica de fluidos. En 1642 cons-truyo la primera calculadora.

En efecto, sean dos puntos A y B de un fluido incompresible en equilibrio.Como ya sabemos, las presiones en dichos puntos estan relacionadas mediantela ec. (1.36). Supongamos ahora que la presion del fluido se modifica por algunacausa, de forma que en el punto A pasa a ser pA+∆pA y en el punto B pasa a serpB+∆pB. Si el fluido continua en equilibrio, tendra que cumplirse nuevamenteque

pA +∆pA + ρgzA = pB +∆pB + ρgzB, (1.40)

y teniendo en cuenta la ec. (1.36) resulta

∆pA = ∆pB. (1.41)

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Una de las aplicaciones mas importantes del principio de Pascal es la prensahidraulica. Basicamente, una prensa hidraulica es un recipiente cerrado, dotadoprensa hidraulica

de dos embolos de distinta superficie, y que contiene un lıquido incompresible ensu interior. Al aplicar sobre el embolo de menor superficie, SA, una fuerza nor-mal de modulo FA, la presion del fluido situado tras el embolo se modificara enla cantidad ∆pA = FA/SA. Segun el principio de Pascal, dicho incremento depresion se transmite a todos los puntos del fluido y, en particular, a los puntosdel fluido situados bajo el embolo de mayor superficie. Para equilibrar dichoembolo, de superficie SB, debera aplicarse una fuerza normal de modulo FB

tal que

∆pA =FA

SA

=FB

SB

= ∆pB. (1.42)

Por tanto, si la superficie de los embolos se elige de forma que SA ≪ SB setendra que FA ≪ FB , de donde se desprende la utilidad de este dispositivopara amplificar la fuerza ejercida. El principio del funcionamiento de la prensahidraulica se utiliza en otras muchas aplicaciones practicas, por ejemplo ensistemas de elevacion electro-hidraulicos de cargas o en los frenos de discos delos coches y motocicletas.

1.6. Empuje sobre paredes sumergidas

1.6.1. Empuje sobre una pared horizontal

Sea una pared horizontal, de superficie S, en contacto con un lıquido dedensidad ρ en una de sus caras. Sobre cada punto de dicha cara el lıquido ejerceuna presion de identico de valor, p = patm + ρgH , donde H es la profundidadde la pared respecto de la superficie libre. Por tanto, la pared esta sometidaa una fuerza distribuida homogeneamente por su superficie y el modulo de lafuerza total sera entonces

F =

∫

S

p da

= p

∫

S

da

= pS

= (patm + ρgH)S. (1.43)

La direccion de la fuerza es vertical y su sentido es siempre hacia la pared. Elpunto de aplicacion de dicha fuerza es siempre el del centroide de la superficieS.

Si al otro lado de la pared hay aire, la fuerza neta ejercida sobre la paredsera entonces

Fneta = pS − patmS = ρgHS. (1.44)

1.6.2. Empuje sobre una pared inclinada

FIGURA 1.11: Fuerzas hidrostaticassobre una pared inclinada.

Sea una pared rectangular, inclinada un angulo θ respecto de la horizontal,tal que una de sus caras esta en contacto con un lıquido de densidad ρ y lacara opuesta esta en contacto con la atmosfera (fig. 1.11). Consideremos el

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S1.6 Empuje sobre paredes sumergidas 17

FIGURA 1.12: Densidad de fuerzashidrostaticas sobre una pared inclina-da (izda.) y fuerza neta equivalente(dcha.).

elemento de superficie mostrado en la fig. 1.11, de area da = wdl, y situado auna profundidad h respecto de la superficie libre. Siendo la presion constanteen todos los puntos de dicho elemento, la fuerza neta ejercida por el fluido y laatmosfera tendra por valor

dFneta = p da− patm da

= ρghwdl, (1.45)

estara aplicada en el centroide del elemento de area y su direccion sera normala la pared. La fuerza neta por unidad de longitud que actua sobre la paredpuede expresarse entonces como

f =dFneta

dl= ρghw. (1.46)

Tal distribucion de fuerzas varıa linealmente con la profundidad, siendo ceroen la superficie libre (h = 0) y adquiriendo su maximo valor, f = ρgHw, en elextremo inferior de la pared (h = H). Se trata pues de una distribucion trian-gular de fuerzas (fig. 1.12), analoga a las cargas planas estudiadas en Mecanica.Por tanto, la fuerza neta total sera igual al area de la superficie de carga, estoes

Fneta =1

2ρgw

H2

sen θ, (1.47)

y estara aplicada a una altura 13H respecto del extremo inferior de la pared. El

punto de aplicacion de la fuerza Fneta recibe el nombre de centro de presiones. centro de presiones

En el caso de una pared vertical, θ = π2, y se tiene

Fneta =1

2ρgwH2. (1.48)


El deposito de la figura, abierto a la atmosfera, contiene agua hasta una altura de2m. El tubo en U que sale del deposito esta parcialmente lleno de un fluido (de

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tono mas oscuro) de densidad ρfluido= 1200kg/m3. La pared AB pesa 18× 104Ny esta empotrada en el suelo. En estas condiciones, calcula:

(a) La altura h que alcanza el fluido oscuro en el tubo en U respecto del fondodel deposito, sabiendo que la interfaz agua-fluido (punto C) esta a una alturade 0,5m respecto del fondo del deposito.

(b) Para la pared vertical AB, los vectores fuerza de reaccion vincular y momentoen el empotramiento B.

Datos adicionales: patm ≈ 105 Pa, ρagua = 103 kg/m3.

PROBLEMA RESUELTO 1.2

A

B

5 m

3 m2 m

C0,5 m

h

Solucion:

(a) La presion en el contacto entre el fluido y el agua se puede relacionar mediantela ecuacion fundamental de la estatica de fluidos con la presion atmosferica a laque se encuentra el agua en el deposito abierto a la atmosfera o bien con la presionatmosferica a la que se encuentran los puntos del fluido en U que distan una alturah respecto del fondo del deposito:

pC = patm + ρfluido g(h− 0,5), (P2.1)

pC = patm + ρagua g(2− 0,5). (P2.2)

Por tanto, despejandoh = 1,75m. (P2.3)

(b) La pared vertical AB se puede considerar como un solido rıgido vinculado enel punto B mediante un empotramiento. Para estudiar el equilibrio aplicamos elprincipio de liberacion y sustituimos el empotramiento por dos fuerzas de reaccionvincular ~φBx y ~φBy, que impidan respectivamente las posibles traslaciones hori-

zontal y vertical, y un momento de reaccion vincular ~MB que impida los posiblesgiros alrededor de B.

2 m

2/3 m

G

B

A

F

fBx

P

fBy

MB

FIGURA P2a: Diagrama de fuerzasdel apartado (b).

El diagrama de fuerzas se ilustra en la fig. P2a. Las fuerzas activas son el peso dela pared y la resultante del sistema de fuerzas distribuidas triangular debido a lapresencia de los fluidos agua y aire a la izquierda y derecha, respectivamente, dela pared. Este sistema de fuerzas distribuidas puede reducirse a una unica fuerzade componentes las de la resultante y aplicado en el centro de vectores parale-los, que en el caso de una carga triangular se encuentra a h

3desde el punto de

empotramiento, donde h es la altura de la columna de agua (fig. P2a).

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S1.7 Empuje de tierras 19

Las ecuaciones de equilibrio del solido rıgido en el plano son:

∑

Fx = 0, (P2.4)∑

Fx = 0, (P2.5)∑

MOz = 0. (P2.6)

Teniendo en cuenta que la pared es de grosor despreciable, la ecuaciones de equi-librio quedan

F − φBx = 0, (P2.7)

φBy − P = 0, (P2.8)

MB − Fh

3= 0, (P2.9)

donde la resultante del sistema de fuerzas distribuidas triangular es

F =1

2ρgah2, (P2.10)

siendo a = 5m y h = 2m.

Resolviendo el sistema de ecs. (P2.7)–(P2.9) y expresando la solucion en formavectorial obtenemos

~φB = (−105, 18 104)N, (P2.11)

~MB = (0, 0,2

3× 105)Nm. (P2.12)

1.7. Empuje de tierras

Si se deja caer un chorro de arena seca sobre un plano horizontal se forma uncono. Las generatrices de dicho cono forman con el plano horizontal un angulobien definido, llamado angulo de talud natural, de forma que cualquier talud de angulo de talud natural

mayor pendiente serıa inestable. La presencia de humedad en la tierra puedealterar su cohesion, por lo que el angulo de talud natural podrıa verse afectadopor el grado de humedad.

William John Macquorn Ranki-

ne (Edimburgo, 1820; Glasgow,1872): Es uno de los fundadoresde la teorıa de las maquinas defuerza termodinamica; investigo lamaquina de vapor y la resistenciapor friccion en los barcos.

Cuando se requiere que un apilamiento de tierras tenga una pendiente su-perior a la de su angulo de talud natural es necesario emplear un muro decontencion o de sostenimiento que impida el deslizamiento de las tierras. La re-sultante de las fuerzas que ejercen las tierras sobre el muro se denomina empujey, en ciertas circunstancias, guarda gran similitud con el empuje hidrostaticosobre una pared sumergida en un fluido.

Existen dos teorıas aceptadas comunmente para el calculo del empuje de tie-rras: la teorıa de Coulomb (1776) y la teorıa de Rankine (1857). Ambas teorıaspresuponen que el terreno del suelo es no cohesivo (sin componentes arcillosos),homogeneo (no es una mezcla variable de distintos materiales), isotropico (pre-senta propiedades similares en todas las direcciones), semi-infinito (el muro de

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contencion es muy largo y la tierra contenida termina lejos del muro) y biendrenado (no acumula agua).

Tanto en la teorıa de Rankine como en la teorıa de Coulomb se tiene encuenta la friccion interna del terreno, aunque desde enfoques diferentes. En lateorıa de Coulomb, ademas, se considera la friccion entre la pared y la tierraretenida y puede aplicarse a muros de contencion dispuestos con inclinacionarbitraria. Cuando en la teorıa de Coulomb se desprecia la friccion en la paredy se considera que el muro de contencion es vertical, sus resultados coincidencon la teorıa de Rankine si el terraplen tras el muro es horizontal. En lascondiciones expresadas, el empuje que ejerce el muro de contencion (fig. 1.13)esta dado por

E =1

2ρtgw tan2

(

45◦ − ψ

2

)

H2, (1.49)

donde ρt es la densidad de la tierra, w la longitud del muro, H la altura de la

H/3

H

w

→E

FIGURA 1.13: Densidad de fuerzasque actuan sobre un muro de conten-cion vertical segun la teorıa de Ran-kine.

tierra contenida y ψ el angulo de talud natural de dichas tierras. La ec. (1.49)es formalmente identica a la correspondiente al empuje hidrostatico ejercidopor un fluido de densidad

ρ′ = ρt tan2

(

45◦ − ψ

2

)

. (1.50)

Ademas, como en dicho caso, el punto de aplicacion del empuje del terrenoesta aplicado a una altura h = H/3 medida desde la base del muro.

FIGURA 1.14: Realizacion practica deun muro de contencion de tierras.

TABLA 1.1: Angulos de talud natu-ral.

Clase de terreno ψ (◦)

Tierra de aluvion seca 40

Tierra de aluvion mojada 30

Tierra colorada compacta 40

Arcilla seca 40

Arcilla mojada 20

Arena seca 31

Arena humeda 40

Arena mojada 29

Gravilla seca 30

Gravilla humeda 25

Piedra partida 45

1.8. Teorema de Arquımedes

Un cuerpo sumergido (parcial o totalmente) en un fluido experimenta unempuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desplaza-do.

Aun cuando el teorema de Arquımedes tiene validez general, la demostracionde este teorema la efectuaremos para un paralelepıpedo, de dimensiones a×b×c,completamente sumergido en un fluido de densidad ρ (fig. 1.15). Las fuerzassobre las cuatro caras laterales se anulan dos a dos, pues las fuerzas debida a la

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S1.8 Teorema de Arquımedes 21

presion son identicas. El empuje que experimenta el paralelepıpedo surge puesde la diferencia de presiones entre la cara inferior y la cara superior,

b

p bcinf

p bcsup

a

c

→E

FIGURA 1.15: El empuje ~E que actuasobre el paralelepıpedo surge de la di-ferencia de presiones que actua sobrelas caras inferior y superior.

E = (pinf − psup)bc

= ρgabc

= ρgV = P, (1.51)

donde P es el peso que tendrıa el volumen V del paralelepıpedo si estuvieraocupado por el fluido. El punto de aplicacion de dicho empuje es el centroidedel paralelepıpedo y se le denomina centro de empuje o de carena.

centro de empuje


Una barra cilındrica, de seccion S = 5 cm2 y de longitud L = 1m, encuentra atadamediante un cable de 25 cm de longitud al techo de un deposito de agua. El aguadel deposito dista 50 cm del techo y la barra flota parcialmente sumergida en elagua segun se muestra en la figura. Determine

(a) Angulo que forma el cable con la vertical en el equilibrio.

(b) La longitud l de la barra que esta sumergida.

(c) La tension del cable.

Dato adicional: ρbarra/ρagua = 0,84.

Solucion:

(a) El peso de la barra y el empuje que experimenta la porcion de barra sumergidason fuerzas verticales. Por tanto, la unica posibilidad para que exista equilibrio esque la tension que ejerce el cable sea tambien vertical, luego el angulo que formael cable con la vertical es 0◦.

(b) Dibujamos el diagrama de fuerzas. Hay dos fuerzas activas: el peso ~P de la

barra y el empuje ~E, y una fuerza de reaccion vincular: la tension ~T del cable.

En el equilibrio, la suma de todas las fuerzas en la direccion vertical debe ser elvector nulo. Por tanto,

E − P + T = 0. (P3.1)

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PROBLEMA RESUELTO 1.3

B

A

Ademas, la suma de los momentos de todas las fuerzas en un punto tambien debeser el vector nulo. Tomando momentos en el punto B obtenemos:

PL

2cosα− E

(

L− l

2

)

cosα = 0. (P3.2)

Teniendo en cuenta el teorema de Arquımedes, el modulo del empuje vale

E = Slρagua g, (P3.3)

Por otro lado, el modulo del peso vale,

P = SLρbarra g. (P3.4)

Sustituyendo en la ec. (P3.2) y sacando factor comun cosα,[

PL

2− E

(

L− l

2

)]

cosα = 0. (P3.5)

En este problema cosα 6= 0, puesto que en el enunciado nos dicen que la barra

E

a

P

B

T

lA

FIGURA P3a: Diagrama de fuerzasdel apartado (b).

esta parcialmente sumergida (y no totalmente sumergida y horizontal). Por tanto,

SLρbarra gL

2− Slρagua g

(

L− l

2

)

= 0. (P3.6)

Eliminando S g, dividiendo por ρagua y multiplicando por 2,

L2 ρbarraρagua

− 2lL+ l2 = 0, (P3.7)

que es una ecuacion de segundo grado en l. Resolviendo llegamos a que

l = L

(

1±√

1− ρbarraρagua

)

. (P3.8)

Como la longitud sumergida l tiene que ser menor que la distancia total L = 1m,la unica solucion valida es

l = 0,6m. (P3.9)

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S1.8 Teorema de Arquımedes 23

(c) De la ec. (P3.1) podemos despejar la tension del cable,

T = P − E

= SLρbarra g − Slρagua g

= 1,2N. (P3.10)

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Problemas propuestos

1.1. Las lıneas aereas deben mantener una presion de airedentro de la cabina de pasajeros como mınimo equivalentea la que se registra a una altura de 2400m sobre el nivel delmar, para evitar efectos adversos por falta de oxıgeno. Es-time esa presion mınima, suponiendo el aire incompresibleen todo caso, con una densidad de 1,2 kg/m3.

1.2. Se vierten agua y luego aceite (los cuales no se mez-clan) en un tubo en forma de U de 10 cm de diametro,abierto en ambos extremos. Alcanzan el equilibrio como semuestra en la figura. ¿Cual es la densidad ρ del aceite?

PROBLEMA 1.2

1.3. Se vierte una muestra de agua tomada de un derra-me petrolıfero en un recipiente prismatico, de base cua-drada 20 × 20 cm2, apoyado en el suelo mediante cuatropatas de 5 cm de altura. Se observa una capa de petroleode 4 cm de espesor flotando sobre el agua, la cual ocupa55 cm de altura en el recipiente. Si la densidad del petroleoes 0,75 × 103 kg/m3, calcule la fuerza neta que ejerce elagua y la atmosfera sobre el fondo del recipiente.

1.4. La figura representa la seccion de un deposito, abier-to a la atmosfera, que contiene un lıquido de densidadρ = 1200 kg/m3 y, por encima de este, agua, de densi-dad ρagua = 1000 kg/m3, tal y como se indica en la figura.Del deposito parte una tuberıa de 0,03m2 de seccion, tam-bien llena del primer lıquido y cerrada mediante una valvulaV , perpendicular a la tuberıa. Una de las paredes lateralesdel deposito consiste en una compuerta rectangular de 9mde longitud y 1,5m de anchura, articulada en su extremosuperior O y con un tope T en su parte inferior. Para lasituacion descrita, calcule:

(a) La presion del agua a la profundidad del tope T .

(b) La presion del lıquido en la valvula V .

(c) La fuerza neta ejercida por el lıquido y el aire sobre lavalvula V .

Dato adicional: patm ≈ 105 Pa.

PROBLEMA 1.4

1.5. La figura muestra un deposito cilındrico de radioR = 2m que suministra agua caliente a un edificio publico.El deposito tiene un respiradero en su parte superior, de12 cm de diametro, abierto a la atmosfera, y un manome-tro de tubo en U acoplado en su parte inferior, de 5 cmde diametro, parcialmente lleno de un lıquido de densidadρliq = 1,7 × 103 kg/m3. Se observa un desnivel entre lasdos ramas del manometro de 45 cm. Calcule:

(a) La altura H que alcanza el agua en el deposito, me-dida desde la base del mismo.

(b) La fuerza que ejerce el agua sobre el fondo del deposi-to.


R

H

45 cm

16,5 cm

respiradero

manómetro

PROBLEMA 1.5

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SProblemas propuestos 25

1.6. Un deposito prismatico de base 2 × 2m y de altura5m esta abierto a la atmosfera y se encuentra parcialmentelleno de aceite de densidad ρaceite = 0,85 × 103 kg/m3. A40 cm del fondo se ha instalado un manometro que marcauna presion manometrica o diferencial de 3× 104 Pa.

(a) ¿Cual es el peso del lıquido contenido en el recipiente?

(b) ¿Cuanto vale la fuerza que el lıquido ejerce sobre elfondo del recipiente?

(c) ¿Cuanto vale la fuerza neta ejercida sobre una paredlateral por el fluido y el aire?


1.7. Dos depositos abiertos a la atmosfera estan conec-tados mediante una tuberıa estrecha, de 0,002m2 de sec-cion transversal, en la cual hay una llave (L) perpendiculara la tuberıa, que se encuentra completamente cerrada. Eldeposito de la derecha tiene una base cuadrada de 3m delado y sus paredes son planas y verticales, a excepcion deuna de ellas, que esta inclinada 60◦ con respecto a la ho-rizontal. En el deposito de la izquierda se tiene un fluidode densidad ρ1 = 1000 kg/m3, en equilibrio con otro flui-do de densidad ρ2 = 800 kg/m3, mientras que el depositode la derecha esta lleno de un tercer fluido de densidadρ3 = 1200 kg/m3. Los tres fluidos son inmiscibles entre sı.Determine:

(a) La fuerza neta que el fluido de densidad ρ3 y el aireejercen sobre la pared inclinada del deposito de la derecha.

(b) La presion en el fondo del deposito de la izquierda.

(c) La fuerza neta que los fluidos ejercen sobre la llave L.

(d) El sentido en que se desplazaran los fluidos si se abrela llave L (justifique su respuesta).

(e) La altura hasta la que quedara lleno el deposito de laizquierda si se abre la llave L. Suponga para ello que lasuperficie de la base del deposito de la derecha es muchomayor que la del deposito de la izquierda de modo que elnivel del deposito de la derecha no se ve modificado porel transito de fluido entre los dos depositos.

Datos adicionales: H1 = 1,5m, H2 = 0,75m, H3 = 2m.Densidad del agua: ρ = 1000 kg/m3. Aceleracion de la gra-vedad: g = 10m/s2. Presion atmosferica: patm ≈ 105 Pa.

r1

r2

r3

L

H1

H3

H2

60o

PROBLEMA 1.7

1.8. El muro vertical que se muestra en la figura esta em-potrado en el suelo y sirve de contencion de tierra. Sabiendoque el muro posee una masa de 500 kg por metro lineal, queel peso especıfico de la tierra es γ = 4000 kp/m3 y que suangulo de talud natural es de 10◦, determine, de acuerdocon la hipotesis de Rankine, la fuerza (por metro) ejercidasobre el muro, y su punto de aplicacion.

2 m

PROBLEMA 1.8

1.9. Dos recipientes prismaticos, ambos de base cuadra-da de 2m× 2m de seccion y abiertos a la atmosfera, estancomunicados como se indica en la figura. Al principio lallave L esta cerrada. El recipiente de la izquierda contieneinicialmente una altura H1 de un lıquido de densidad ρ1. Elrecipiente de la derecha contiene dos lıquidos distintos: elde abajo de densidad ρ2, y el de arriba de densidad ρ3. Lostres lıquidos son inmiscibles. La seccion y el volumen deltubo de comunicacion se suponen despreciables. Calcule:

(a) El vector fuerza que el lıquido ejerce sobre el fondodel recipiente de la derecha antes de abrir la llave.

(b) El vector fuerza neta que el lıquido y el aire ejercensobre una pared lateral del recipiente de la izquierda antesde abrir la llave.

Tras abrir la llave L y alcanzarse el estado de equilibrio,determine:

(c) El sentido en que se han desplazado los lıquidos.

(d) Los niveles que alcanzan los lıquidos.

DPT

O. F

ISIC

A AP

LIC

ADA

II - E

TSIE

- U


Datos adicionales: ρ1 = 600 kg/m3, ρ2 = 1000 kg/m3,ρ3 = 900 kg/m3, H1 = 3m , H2 = 2m, H3 = 1m yh0 = 1m.

PROBLEMA 1.9

1.10. Una esfera hueca de plastico de volumen 0,650m3

se mantiene por debajo de la superficie de un estanque deagua mediante una cuerda anclada al fondo del estanque.

(a) Calcule la fuerza de flotacion que ejerce el agua sobrela esfera.

Si la tension de la cuerda es de 900N:

(b) Calcule la masa de la esfera y su densidad media.

La cuerda se rompe y la esfera sube a la superficie hastaque se queda flotando en reposo.

(c) Calcule que fraccion de su volumen estara sumergida.

1.11. Para realizar las obras de mantenimiento de una pre-sa se utiliza una plataforma flotante de 280 000N de peso,en forma de cajon hueco de paredes rıgidas, segun mues-tra la figura. A traves de pequenos orificios de la planchasuperior, el interior de la plataforma esta en conexion conla atmosfera. Por motivos de seguridad se requiere que almenos la mitad de la plataforma quede emergida cuandose encuentre cargada. En tal condicion lımite:

(a) ¿Cual es la fuerza neta debida a la presion del aire yel agua sobre el fondo?

(b) ¿Cual es la fuerza neta debida a la presion del aire yel agua sobre la pared frontal de la figura?

(c) ¿Cual es el peso lımite con que se ha cargado la pla-taforma?

Si un defecto de soldadura provoca que penetre agua en elinterior de la plataforma cuando esta se encuentra descar-gada,

(d) ¿Cual es el volumen maximo de agua que puede entraren la plataforma antes de que esta se hunda?

Datos adicionales: Vplataforma = 8 × 6 × 2m3; ρagua =103 kg/m3; 1 atm= 105 Pa.

8 m

6 m

2 m1 m

PROBLEMA 1.11

1.12. La figura muestra un sistema hidraulico formado portres depositos prismaticos de identicas dimensiones, de3m× 3m de base, en los que se almacenan cuatro lıquidosinmiscibles de diferentes densidades. Los depositos A y Bestan abiertos a la atmosfera, mientras que el deposito Cesta cerrado y aloja un cierto gas. Los depositos B y Cestan conectados entre sı mediante una tuberıa de volu-men despreciable. En la situacion de equilibrio de la figura,determine:

(a) El nivel H1 del lıquido en el deposito A para que elmodulo de la fuerza neta que el lıquido 1 y el aire ejercensobre una de sus paredes laterales sea igual al modulo dela fuerza neta que el lıquido 3 y el aire ejercen sobre elfondo del deposito B.

(b) La presion del gas.

En la superficie del lıquido 1, se deposita un recipiente enforma de paralelepıpedo de base cuadrada de 0,5m×0,5mde area y parcialmente lleno de lıquido 2. El peso del re-cipiente vacıo es P = 60N. En la situacion de equilibrioel recipiente flota con su base cuadrada en posicion hori-zontal, y las aristas verticales sumergidas 0,6m. En esascondiciones halle:

(c) El volumen de lıquido 2 dentro del recipiente.

Datos adicionales: Tome patm = 105 Pa y g = 10m/s2. Den-

sidades de los lıquidos: ρ1 = 684 kg/m3, ρ2 = 1200 kg/m3,

ρ3 = 1500 kg/m3 y ρ4 = 500 kg/m3. Dimensiones: H2 = 2m,

H3 = 6m, H4 = 8m y H = 3m.

DPT

O. F

ISIC

A AP

LIC

ADA

II - E

TSIE

- U

SProblemas propuestos 27

gas

4

2

3

1

3

2

1

H4

H

H3

H2

H1

A B C

PROBLEMA 1.12

1.13. La figura muestra un sistema formado por dos deposi-tos de bases rectangulares de 3× 2m2 en los que se alma-cenan tres lıquidos inmiscibles. El deposito de la derechase encuentra abierto a la atmosfera. En el deposito de laizquierda, que se encuentra cerrado, ha quedado atrapadoaire a una presion de 1, 2 atm. Si los niveles de los deposi-tos en la situacion de equilibrio son los mostrados en lafigura, y considerando el volumen del lıquido en la tuberıadespreciable, calcule:

(a) La fuerza neta que el lıquido 3 y el aire ejercen sobreel fondo del deposito de la derecha.

(b) La presion que marcarıan sendos manometros situadosen el fondo de cada uno de los depositos.

(c) La altura de presion en un punto situado a 1, 5 m deprofundidad en el deposito de la izquierda.

(d) El desnivel H entre las superficies libres de los dosdepositos.

Datos adicionales: Tome patm = 105 Pa y g = 10m/s2.Densidades de los lıquidos: ρ1 = 103 kg/m3, ρ2 =800 kg/m3, ρ3 = 1200 kg/m3. H1 = H3 = 2m, H2 = 3m.

PROBLEMA 1.13

1.14. La figura muestra dos depositos conectados medianteuna tuberıa estrecha. El deposito de la derecha, de base cua-drada de 4 m de lado, contiene agua y aceite y esta abiertoa la atmosfera. Una de sus paredes laterales acaba en unacompuerta rectangular (OO′) que abarca toda la anchurade la pared y esta inclinada 60◦ con respecto a la horizon-tal. El deposito de la izquierda esta cerrado y contiene aguaen contacto con aire cuya presion manometrica es 3× 104

Pa. En la tuberıa que comunica ambos depositos hay unallave (L), de 0,0002 m2 de seccion y perpendicular a latuberıa, que permanece completamente cerrada. En estascondiciones, calcule:

(a) La presion del agua en el fondo del deposito de laderecha.

(b) La fuerza neta que el aceite y el aire atmosferico ejer-cen sobre la compuerta.

(c) La fuerza neta que ejerce el agua de ambos deposi-tos sobre la llave. Indique la direccion y sentido de dichafuerza.

Datos adicionales: Tome patm = 105 Pa y g = 10m/s2.Densidades de los lıquidos: ρagua = 103 kg/m3, ρaceite =800 kg/m3.

L

aceite

agua

agua

aire

2 m

2,5 m

4 m

1 m

0,6 m

1,3 m

60º

O

O'

PROBLEMA 1.14

1.15. Dos depositos prismaticos, ambos de base cuadradade 2m de lado, estan comunicados mediante una tuberıade volumen despreciable, como se indica en la figura. Eldeposito de la izquierda, abierto a la atmosfera y de 6m dealtura, contiene inicialmente una altura H1 de un lıquidode densidad ρ1 y una altura H2 de otro lıquido de densi-dad ρ2. Ambos lıquidos son inmiscibiles. El deposito de laderecha, cuya unica abertura es la salida a la tuberıa decomunicacion, esta parcialmente lleno del mismo lıquido dedensidad ρ2. En la parte superior del deposito de la derechase ha instalado un manometro, en contacto con el aire queha quedado encerrado en el. Calcule:

DPT

O. F

ISIC

A AP

LIC

ADA

II - E

TSIE

- U


(a) La presion en el fondo del deposito de la derecha.

(b) La presion que marca el manometro (presion ma-nometrica).

Se produce una rotura en la cubierta del deposito de laderecha, de modo que su parte superior se llena de aire apresion atmosferica.

(c) Razone si el nivel del lıquido en el deposito de la de-recha ascendera o descendera.

(d) Calcule el nivel del lıquido en el deposito de la derecha,una vez reestablecido el equilibrio.

Datos adicionales: ρ1 = 600 kg/m3, ρ2 = 1000 kg/m3. Pre-sion atmosferica: patm = 105 Pa. Valores iniciales: H1 =3m , H2 = 2m, H3 = 3,5m y h0 = 0,75m. PROBLEMA 1.15

Cuestiones

1.1. La presion en un fluido en equilibrio sometido a uncampo gravitatorio

(a) esta dirigida verticalmente hacia abajo.

(b) esta dirigida normalmente sobre cualquier superficie.

(c) tiene el mismo valor en todos los puntos de una su-perficie vertical.

(d) Todas las otras respuestas son incorrectas.

1.2. Un recipiente de fondo horizontal, abierto a laatmosfera y en el seno de un campo gravitatorio ~g = −g~k,esta lleno de un lıquido incompresible de densidad ρ has-ta una altura h. Si se sustituye ese lıquido por otro cuyadensidad es el doble, ¿hasta que altura hay que llenar elrecipiente para que la presion que el segundo lıquido ejer-ce sobre el fondo sea el doble que la que ejercıa el lıquidoinicial?

(a) h.

(b) h+ patm/ρg.

(c) h+ 2patm/ρg.

(d) h+ patm/2ρg.

1.3. La presion a 40m de profundidad en el mar es apro-ximadamente

(a) 1 atm.

(b) 4 atm.

(c) 5 atm.

(d) 40 atm.

1.4. Se suelta una burbuja de aire a 10m de profundidadbajo el agua. A medida que la burbuja asciende, suponiendotemperatura constante, el volumen que ocupa el aire

(a) aumentara porque la presion del agua disminuye.

(b) permanecera constante.

(c) disminuira porque la presion del agua aumenta.

(d) aumentara aunque la presion del agua es la misma entodos los puntos.

1.5. En una prensa hidraulica, la superficie del embolopequeno es de 25 cm2 y la del embolo mayor 100 cm2.¿Que fuerza debemos aplicar sobre el embolo mayor pa-ra sostener un cuerpo de 100 kp de peso colocado sobre elembolo pequeno?

(a) 400 kp.

(b) 25 kp.

(c) 50 kp.

(d) No se puede calcular sin conocer la densidad del fluidoque conecta los embolos.

DPT

O. F

ISIC

A AP

LIC

ADA

II - E

TSIE

- U

SCuestiones 29

1.6. En la figura se muestra una alberca de grandes di-

mensiones que se cierra mediante una compuerta articuladaen su parte inferior y dispuesta verticalmente. Para vaciarla alberca, la compuerta se libera y se abate lentamentehacia el exterior. Entonces, podemos afirmar que durantela apertura de la compuerta, y en tanto que el agua de laalberca no la rebase, el empuje hidrostatico neto sobre lacompuerta

(a) no cambia.

(b) aumenta.

(c) disminuye.

(d) No puede responderse a esta pregunta sin conocer lasdimensiones de la compuerta.

CUESTION 1.6

1.7. De acuerdo con la hipotesis de Rankine, la fuerza to-tal ejercida por un terreno de densidad ρ0 sobre una paredde un muro de contencion vertical

(a) es equivalente a la que ejercerıa un hipotetico fluidocon la misma densidad ρ0 que la tierra en cuestion.

(b) es equivalente a la de un fluido hipotetico cuya den-sidad se obtendrıa a partir de ρ0 y del angulo de taludnatural del terreno, ψ.

(c) es la misma para terrenos con el mismo angulo detalud natural ψ.

(d) puede calcularse en modulo si se sustituye el terrenopor un fluido hipotetico de densidad adecuada, pero larecta de accion de la fuerza total que ejerce el terreno nocoincidira con la que corresponde al fluido.

dpto. fisica aplicada ii - etsie - us - universidad de...

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