Download - Valores y Vectores
OBJETIVOS.
General.
Obtención de valores propios para luego obtener los vectores propios tanto en el campo Real como Complejo y aplicaciones de una forma correcta.
Específicos.
Obtener valores propios reales y complejos para su correcta utilización en vectores propios.
Estructurar la matriz P para calcula la potencia n-ésima de una matriz
Concepto de matriz unitaria y hermitiana.
Diagonalizar las matrices.
ÍndiceOBJETIVOS..........................................................................................................................................0
General...........................................................................................................................................0
Específicos......................................................................................................................................0
1. VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS..................................................................................2
1.1. Valores propios y vectores propios....................................................................................2
Definición:..................................................................................................................................2
Determinación de los valores y vectores característicos............................................................2
Pasos para determinar los valores y vectores característicos....................................................3
Ejemplos:....................................................................................................................................4
Valores propios complejos.........................................................................................................7
Ejemplos.....................................................................................................................................7
Espacios característicos..............................................................................................................8
Valores característicos para matrices triangulares...................................................................10
1.2. Diagonalización de matrices.............................................................................................10
Pasos para la Diagonalizacion de matrices...............................................................................11
Matrices cuyos valores propios no son distintos......................................................................12
1.3. Matrices simétricas y diagonalización ortogonal..............................................................12
Propiedad de las matrices simétricas.......................................................................................12
Propiedad de las matrices ortogonales....................................................................................13
Diagonalización Ortogonal.......................................................................................................13
Pasos para diagonalizar ortogonalmente una matriz simetrica................................................14
1.4. Potencias de matrices. Ecuaciones en diferencias............................................................14
1.5. Matrices unitarias y matrices hermitianas........................................................................14
Matrices unitarias.....................................................................................................................14
Matrices hermitiana.................................................................................................................15
Los valores característicos de una matriz de Hermite..............................................................15
Matrices diagonalizables Unitariamente..................................................................................16
Vectores característicos de una matriz hermitiana..................................................................16
1.6. Aplicaciones: Crecimiento de una población....................................................................17
1.7. Aplicaciones. Formas cuadráticas.....................................................................................17
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 1
1. VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS
1.1. Valores propios y vectores propios
Los términos valor característico y vector característico corresponden a los términos eigenvalor y eigenvector, derivados del termino alemán Eigenwert curo significado es “valor propio”.
A x = λ x
Definición:Un vector propio de una matriz A de n x n es un vector diferente de cero tal que Ax = x para λalgún escalar . Un escalar se llama valor propio si existe una solución no trivial x de Ax = λ λ
x; una x como esta se denomina λ vector propio correspondiente.1
Determinación de los valores y vectores característicos.
Para determinar los valores y vectores característicos de una matriz A, n x n sea I la matriz identidad n x n. Al escribir la ecuación Ax = λx en la forma λIx = Ax se obtiene:
( λI−A ) x=0
1 Observe que, por definición un vector propio dese ser distinto de cero, pero un valor propio si puede ser cero.
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 2
Este sistema homogéneo de ecuaciones tiene soluciones diferentes de cero sí y sólo si la matriz de coeficientes ( λI−A ) no es invertible; es decir, sí y sólo si el determinante de ( λI−A ) es cero. Por tanto, se puede establecer el siguiente teorema.
La ecuación det( λI−A )=0 se llama ecuación característica de A. además, cuando se desarrolla en forma de polinomio, este
( λI−A )=λn+cn−1 λn−1+⋯ c1 λ+c0
Se llama polinomio característico de A. Esta definición establece que los valores característicos de una matriz A n x n corresponden a las raíces del polinomio característico de A. Debido a que el grado del polinomio característico de A es igual a n, entonces A de tener cuando mucho a valores característicos distintos.
Veamos explícitamente el polinomio característico para matrices de orden 2 y 3:
Si n= 2, entonces:
∆ A ( λ )=λ2−(a11+a22 ) λ+|a11 a12a21 a22|
Mientras que si n=3 entonces:
∆ A ( λ )=λ3−(a11+a22+a33) λ2+ (M 11+M 22+M 33 ) λ−|a11 a12 a13
a21 a22 a23a31 a32 a33
|Pasos para determinar los valores y vectores característicos.Sea A una matriz de n x n:
1. Forme la ecuación característica de A es un escalar tal que detλ ( λI−A )=0. Será una
ecuación polinomial de grado n en la variable λ.
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 3
Teorema. Valores característicos y vectores característicos de una matriz
Sea A una matriz de n x n:
1. Un valor característico de A es un escalar tal que detλ ( λI−A )=02. Los vectores característicos de A correspondiente a , son las soluciones diferentes λ
de cero de ( λI−A ) x=0
2. Determine las raíces reales de la ecuación característica. Estas son los valores característicos de A.
3. Para todo valor característico , determine los valores característicosλ
correspondientes a , al resolver el sistema homogéneo λ ( I λi−A )x=0. Para llevar a
cabo lo anterior se requiere reducir por renglones una matriz n x n. La forma resultante escalonada reducida debe contener por lo menos un renglón de ceros.
Ejemplos: números reales.
1. A=[4 1 −12 5 −21 1 2 ]
1. Ecuación característica:
∆ A ( λ )=λ3−(4+5+2 ) λ2+(12+9+18 ) λ−|4 1 −12 5 −21 1 2 |
∆ A ( λ )=λ3−11 λ2+39 λ−45
2. Obtención de los valores propios:
( λ−3 ) (λ2−8 λ+15 )( λ−3 ) ( λ−3 ) ( λ−5 )=( λ−3 )2 ( λ−5 )
3. Obtención de vectores propios:
Con λ= 3
A=[1 1 −12 2 −21 1 −1][
xyz ]=[ t−r
rt ]
de donde :r [−110 ] t [101]Con λ= 5
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 4
A=[−1 1 −12 0 −21 1 −3] [
xyz ]=[ t2tt ]
de donde : t [121]Vectores propios: v⃗1=(−1,1,0 ) , v⃗2=(1,0,1 ) , v⃗3=(1,2,1 )
2. A=[1 25 4 ]
1. Ecuación característica:
∆ A ( λ )=λ2−(1+4 ) λ+|1 25 4|
∆ A ( λ )=λ2−5 λ−6
2. Obtención de los valores propios:
( λ−6 ) ( λ+1 )
3. Obtención de vectores propios:
Con λ= 6
A=[−5 25 −2][ xy ]=[ 25t t ]
de donde :25t [152 ]
Con λ= −1
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 5
A=[2 25 5 ][ xy ]=[−t
t ]de donde : t [−11 ]Vectores propios: v⃗1=(1 , 52 ) , v⃗2=(−1,1 , )
3. A=[2 −121 −5 ]
1. Ecuación característica:
∆ A ( λ )=λ2−(2−5 ) λ+|2 −121 −5 |
∆ A ( λ )=λ2+3 λ+2
2. Obtención de los valores propios:
( λ+2 ) ( λ+1 )
3. Obtención de vectores propios:
Con λ= −2
A=[4 −121 −1 ] [ xy ]=[00]
donde queda :[00]Valores y Vectores Característicos
Página 6
Con λ= −1
A=[3 −121 −4 ][ xy ]=[4 tt ]
de donde : t [41 ]Vectores propios: v⃗1=(0,0 ) v⃗2=(4,1 )
Valores propios complejos
La teoría de valor propio –vector propio ya desarrollada para Rn se aplica igualmente bien a
Cn. De manera que un escalar complejo satisface det λ ( λI−A )=0 sí, y sólo si, hay un vector x
diferente de cero en Cntal que Ax=λxAλ se le denomina valor propio complejo y a x vector propio complejo correspondiente a .λ
Ejemplos. Números complejos
4. A=[0 −11 0 ]
1. Ecuación característica:
∆ A ( λ )=λ2−(+0 ) λ+|0 −11 0 |
∆ A ( λ )=λ2+1
2. Obtención de los valores propios:
( λ+ i) ( λ−i )
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 7
3. Obtención de vectores propios:
Con λ= i
A=[−i −11 −i ] [ xy]=[¿t ]
de donde : t [ i1]=i [ 1−i ]Con λ= −i
A=[ i −11 i ] [ xy ]=[−¿
t ]
de donde : t [−i1 ]=−i [1i ]
Vectores propios: v⃗1=(1 ,−i ) v⃗2=(1 ,i )
5. ¿ [5 −13 1 ]
1. Ecuación característica:
∆ A ( λ )=λ2−(5+1 ) λ+|5 −13 1 |
∆ A ( λ )=λ2+2λ+8
2. Obtención de los valores propios:
( λ+1−7 i )¿
3. Obtención de vectores propios:
Con λ=−1+7 i
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 8
A=[6−7 i −13 2−7 i ] [ xy ]=[¿t ]
de donde : t [ i1]=i [ 1−i ]Con λ= −i
A=[ i −11 i ] [ xy ]=[−¿
t ]
de donde : t [−i1 ]=−i [1i ]
Vectores propios: v⃗1=(1 ,−i ) v⃗2=(1 ,i )
Espacios característicos.
De hecho si A es una matriz de n x n con un valor característico , entonces su suma también λes un vector característico correspondiente a , porque:λ
A (cx )=c ( Ax )=c ( λx )=λ (cx )
También es cierto que si x1 y x2 son vectores característicos correspondientes al mismo valor
característico , entonces su suma también es u vector característico correspondiente a , λ λporque:
A ¿
En otras palabras, el conjunto de todos los vectores característicos de un valor característico λ dado, junto con el vector cero, es un subespacio de Rn. Este subespacio especial de Rn se llama espacio característico de .λ
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 9
Teorema. Los Vectores característicos de forman un espacioλ
Si A es una matriz de n x n con un valor característico , entonces el conjunto de todos losλ vectores característicos de , junto con el vector cero,λ
(0 )∪ ( x : x esun vector característico de λ )
Es un subespacio de Rn. Este subespacio se llama espacio característico de λ
Teorema. Sv1 ,⋯ vn ,i son vectores propios que corresponden a distintos valores
propios λ1 ,⋯ λn , de una matriz A de n x n, entonces el conjunto {v1 ,⋯ vn }, es
linealmente independiente
Demostración:
Suponga que {v1 ,⋯ vr }es linealmente dependiente. Como v1 es distinto de cero, el teorema
establece que uno de los vectores presente en el conjunto es una combinación lineal delos
vectores precedentes. Sea p el índice del mínimo tal que v p+1 es una combinación lineal de los
vectores precedentes (linealmente independientes. Entonces existen escalares c1 ,⋯ cn ,tales
que:
c1 v1+⋯+c p v p=v p+1 (5 )
Si se multiplican ambos lados de (5) por A y se usa el hecho de que aA vk= λk vk para cada k, se
obtiene
c1 A v1+⋯+c p A v p=Av p+1
c1 λ1 v1+⋯+c p λp v p= λp+1 vp+1 (6 )
Si se multiplican ambos lados de (5) por λ p+1 y se resta el resultado a (6), se tiene
c1 ( λ1− λp+1 ) v1+⋯+cp (λ p−λ p+1 )v p=0 (7 )
Como {v1 ,⋯ v p } es linealmente independiente, los pesos en (7) son todos iguales a cero. Pero
ninguno de los factores (λ i−λ p+1 ), es cero, porque los valores propios son distintos. De aquí
que c i=0 para i=0 ,⋯ , p .Pero entonces (5) proclama v p+1=0, lo cual es imposible. Por lo
tanto {v1 ,⋯ v p } no puede ser linealmente dependiente y, por lo tanto, debe ser linealmente
independiente.
Valores característicos para matrices triangulares
Si A es una matriz triangular n x n, entonces sus valores característicos son sus elementos de la diagonal principal.
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 10
Ejemplo.
A=[ 2 0 0−1 1 05 3 −3]
Los valores propios:
A=[2− λ 0 0−1 1−λ 05 3 −3− λ]
Entonces los valores propios serían los mismos elementos de la diagonal principal.
1.2. Diagonalización de matrices.
Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable, si A es semejante a una matriz diagonal, eso es, si A=PDP−1 para alguna matriz P invertible y alguna matriz diagonal D.
En otras palabras, a es diagonalizable sí y sólo si, hay suficientes vectores propios para formar una base de Rn. A una base de este tipo se le denomina base de vectores propios
Demostración.Primero, observe que si P es cualquier matriz de n x n con columnas v1 ,⋯ vn , y si D es
cualquier matriz diagonal con entradas diagonales λ1 ,⋯ λn , entoces:
AP=[ v1 v2⋯ vn ]=[ Av1 Av2⋯ Avn ] (1 )
Mientras que
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 11
Teorema de la diagonalización
Una matriz A de n x n sí y sólo si, A tienen n vectores propios linealmente independientes.
De hecho, A=PDP−1 con D como una matriz diagonal, sí y sólo si las columnas de P son n vectores propios de A linealmente independientes. En este caso, las entradas diagonales de D son valores propios de A que corresponden, respectivamente a los vectores propios de P.
PD=P[ λ1 0⋯ 00 λ2⋯ 0⋮ ⋮ ⋮0 0⋯ λn
]=[ λ1 v1 λ2 v2⋯ λn vn ] (2 )
Ahora suponga que A es diagonalizable e igual a PDP−1. Entonces al multiplicar por la derecha esta relación por P se tendrá AP = Pd. En este caso (1) y (2) implican que
[ Av1 Av2⋯ Avn ]=[ λ1 v1 λ2 v2⋯ λn v n ] (3 )
Igualando columnas, se encuentran que
[ Av1=λ1 v1 Av2=λ2 v2⋯ Avn=λn vn ] (4 )
Como P es invertible, sus columnas v1 ,⋯ vn ,deben ser linealmente independientes. También,
como estas columnas son diferentes de cero (4) muestra que λ1 ,⋯ λn , son valores propios y
que v1 ,⋯ vn ,son los vectores propios correspondientes. Este argumento demuestra las partes
“sólo si” del primero, segundo y tercer enunciado del teorema.
Pasos para la Diagonalizacion de matrices.
1. Encontrar los valores propios de la matriz A n x n.2. Encontrar los vectores propios de A linealmente independientes.3. Estructurar P a partir de los vectores del paso 2.4. Estructurar D a partir de los valores propios correspondientes.
Condición suficiente para que una matriz sea diagonalizable.
Demostración. Sea v1 ,⋯ vn , los vectores propios correspondientes a los n valores propios distintos de una
matriz A. entonces {v1 ,⋯ vn } es linealmente independiente.
Para ser diagonalizable, no es necesario que una matriz n x n tenga valores propios distintos.
Matrices cuyos valores propios no son distintos
Si una matriz S de n x n tiene n valores distintos, con vectores propios correspondientes
{v1 ,⋯ vn } y si P = {v1 ,⋯ vn }, entonces P es automáticamente invertible porque sus columnas
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 12
Teorema: Una matriz de orden n x n con n valores propios distintos es diagonalizable
son linealmente independientes,}. Cuando A es diagonalizable, pero tiene menos de n valores propios distintos, aún es posible estructurar a P de alguna forma que la vuelva automáticamente invertible.
1.3. Matrices simétricas y diagonalización ortogonal.
Propiedad de las matrices simétricas
Sea A una matriz simétrica2 n x n λ1 y λ2 son valores característicos distintos de A entonces sus
vectores característicos correspondientes x1 y x2 son ortogonales.
Demostración.
Sean λ1 y λ2 valores característicos distintos de A con vectores característicos
correspondientes a x1 y x2. Así A x1=λ1 x1 y A x2=λ2 x2.
x1 . x2=[ x11 x12⋯ x1n ] [ x21x22⋮x2n
]=x1´ x2
Ahora se puede escribir
λ1 (x1+x2)=(λ1 x1 ) . x2
2 Entonces 0 es un valor propio de A, sí y sólo si A no es invertible (C.Lay, 2007).
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 13
Teorema. Sea A una matriz de n x n cuyos valores propios distintos son λ1 ,⋯ λp .
a. Para 1≤k≤ p , la dimensión del espacio propio para λk es menor o igual que la multiplicidad
de valorλk .
b. La matriz A es diagonalizable si, y sólo si la suma delas dimensiones de los distintos espacios propis es igual a n, y esto sucede si, y sólo si, la dimensión del espacio propio para cada λk es
igual a la multiplicidad de λk.
c. Si A es diagonalizable y Bk es una base para el espacio correspondiente a λk para cada k,
entonces la colección total de vectores en los conjuntos B1 ,⋯B p .forma una base de vectores
propios para Rn
¿ ( A x1 ) . x2
¿ ( A x1 )´ x2
¿ (x1´ A ´ ) x2
¿ (x1´ A ) x2
¿ x1´ ( A x2 )
¿ x1´ ( λ2 x2 )
¿ x1 . (λ2 x2 )=λ2 (x1 . x2 ) .
Esto implica que (λ1−λ2 ) (x1 . x2 )=0 y λ1≠ λ2 se concluye que x1 . x2=0.Por tanto consiguiente
x1 y x2 son ortogonales.
Propiedad de las matrices ortogonales
Una matriz P n x n es si y sólo si, sus vectores columnas forman un conjunto ortonormal.
Diagonalización Ortogonal
Una matriz es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal P tal que
P−1 AP=D es diagonal. El siguiente teorema que el conjunto de matrices diagonalizables
ortogonalmente es precisamente el conjunto de matrices simétricas.
Demostración.Se supone que A es diagonalizable ortogonalmente, entonces existe una matriz ortogonal P tal que
D=P−1 APes diagonal. Además como P−1=P t, se tiene
A=PDP−1=PDP t
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 14
Teorema. Fundamental de las matrices simétricas.
Sea A una matriz de n x n es diagonalizable ortogonalmente y tiene valores característicos reales sí y sólo si, A es simétrica
Lo cual implica que
At=(P DPt )t=((P t )tDt )Pt=PDPt=A
Por consiguiente, A es simétrica.
Pasos para diagonalizar ortogonalmente una matriz simetrica.
Sea A una matriz simétrica n x n.
1. Determine todos los valores característicos de A y la multiplicidad de cada uno.2. Par cada valor característico de multiplicidad 1, elija un vector característico unitario.
(Elija cualquier vector característico y después normalícelo)3. Para cada valor característico de multiplicidad k ≥2, encuentre un conjunto de k
vectores característicos linealmente independientes. Si este conjunto no es ortonormal, aplique el método de ortonormalización de Gram-Schmich.
4. La composición de los pasos 2 y 3 da un conjunto ortnormal de n vectores característicos. Use estos vectores característicos para formar las columnas de P. La matriz P−1 AP=Pt AP=Dsera diagonal. (Los elementos en la diagonal principal de D son los vectores característicos de A).
1.4. Potencias de matrices. Ecuaciones en diferencias.
1.5. Matrices unitarias y matrices hermitianas.
Matrices unitarias
Una matriz real A es ortogonal si y solo A−1=A t. Enel sistema complejo las matrices que
tienen la pripiedad de A−1=A¿ son mas utiles y se denomina matrices unitarias
Definicion.Una matriz compleja A se denomina unitaria si:
A−1=A¿
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 15
Teorema. Matrices unitarias
Una matriz compleja A n x n es unitaria sí y solo si sus vectores renglón(o columna)forman un conjunto ortonormal en Cn
Matrices hermitiana
Una matriz real se denomina simétrica si es igual a su propia transpuesta. En el sistema complejo, el tipo más útil de matriz es aquel que es igual a su propia transpuesta conjugada.
Definición.
Se dice que una matriz a es hermitiana si
A=A¿
Los valores característicos de una matriz de Hermite
Si A es una matriz Hermite, entonces sus valores característicos son números reales.
Demostración.Si es un valor característico de A yλ
v=(a1+b1i , a2+b2 i⋯ an+bn i)
Es un vector característico correspondiente, entonces
Av=λv
Al multiplicar ambos lados de esta ecuación por v¿ se tiene
v¿Av=v¿ ( λv )=λ ( v¿v )=λ (a12+b12+a22+b22⋯ an2+bn
2 )
Número real
Luego, como
( v¿Av )¿=v¿ A¿ (v¿ )¿=v¿Av
Se concluye que v¿Aves una. Matriz hermitiana de 1 x 1, v¿Aves un número entonces es posible concluir que λ es real.
Matrices diagonalizables Unitariamente
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 16
Si A es una matriz hermitiana n x n, entonces
1. A es diagonalizable unitariamente y2. A tiene un conjunto de N vectores característicos ortonormales.
Vectores característicos de una matriz hermitiana
Si A e suma matriz hermitiana con vectores característicos v1 y v2correspondientes a distintos
valores característicos λ1 y λ2, entonces v1 y v2 son ortogonales. Es decir,
v1 . v2=0
1.6. Aplicaciones: Crecimiento de una población.La matriz L sellamamatriz de Leslie. En genral, si se tiene una polacion con calsesetareas de igual duración, L será una matriz de n x n con la siguiente estructura
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 17
Comparación de las matrices hermitianas y las matrices Unitarias
A es una matriz simétrica real
1. Los valores característicos de A son reales
2. Los vectores característicos correspondientes a valores correspondientes distintitos son ortogonales.
3. Existe una matriz unitaria tal que
Pt APEs diagonal
A es una matriz hermitiana compleja
1. Los valores característicos de A son reales.
2. Los vectores característicos correspondientes a valores correspondientes distintitos son ortogonales
3. Existe una matriz unitaria tal que
P¿ APEs diagonal.
1.7. Aplicaciones. Formas cuadráticas.
Valores y Vectores CaracterísticosPágina 18