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Topologıa Algebraica Computacional en elprocesamiento de imagenes biomedicas∗
Jonathan Heras1, Gadea Mata1,2 y Marıa Poza1
1Departamento de Matematicas y Computacion, Universidad de La Rioja
2Laboratorio de Plasticidad Sinaptica Estructural, Departamento de EnfermedadesNeurodegenerativas, Centro de Investigacion Biomedica de La Rioja
Jornada Aplicaciones Industriales del Algebra Computacional18 de noviembre de 2011
∗Financiado parcialmente por el Ministerio de Educacion y Ciencia, proyecto MTM2009-13842-C02-01, y por
el European Union’s 7th Framework Programme, proyecto numero 243847 (ForMath)
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Indice de contenidos
1 Contexto
2 Problema Biomedico
3 Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales
4 Demo
5 Resultados
6 Conclusiones y trabajo futuro
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Contexto
Indice de contenidos
1 Contexto
2 Problema Biomedico
3 Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales
4 Demo
5 Resultados
6 Conclusiones y trabajo futuro
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Contexto Agentes involucrados
Agentes involucrados
aaaa
aaaa
aaa aaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaa
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Contexto PSYCOTRIP
PSYCOTRIP
PSYCOTRIP Grupo de Programacion y Calculo Simbolico de laUniversidad de La Rioja
Participantes Julio RubioJonathan HerasGadea MataMarıa Poza
ForMath Formalisation of Mathematics (EU FP7 STREP FET)
Representacion de complejos simplicialesCalculo formalizado de grupos de homologıaRepresentacion del Lema de Perturbacion BasicoIntegracion de sistemas de demostracionAplicacion al procesamiento de imagenes medicas
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Contexto PSYCOTRIP
PSYCOTRIP
PSYCOTRIP Grupo de Programacion y Calculo Simbolico de laUniversidad de La Rioja
Participantes Julio RubioJonathan HerasGadea MataMarıa Poza
ForMath Formalisation of Mathematics (EU FP7 STREP FET)
Representacion de complejos simplicialesCalculo formalizado de grupos de homologıaRepresentacion del Lema de Perturbacion BasicoIntegracion de sistemas de demostracionAplicacion al procesamiento de imagenes medicas
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Contexto PSYCOTRIP
PSYCOTRIP
PSYCOTRIP Grupo de Programacion y Calculo Simbolico de laUniversidad de La Rioja
Participantes Julio RubioJonathan HerasGadea MataMarıa Poza
ForMath Formalisation of Mathematics (EU FP7 STREP FET)
Representacion de complejos simplicialesCalculo formalizado de grupos de homologıaRepresentacion del Lema de Perturbacion BasicoIntegracion de sistemas de demostracionAplicacion al procesamiento de imagenes medicas
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Contexto PSYCOTRIP
PSYCOTRIP
PSYCOTRIP Grupo de Programacion y Calculo Simbolico de laUniversidad de La Rioja
Participantes Julio RubioJonathan HerasGadea MataMarıa Poza
ForMath Formalisation of Mathematics (EU FP7 STREP FET)
Representacion de complejos simplicialesCalculo formalizado de grupos de homologıaRepresentacion del Lema de Perturbacion BasicoIntegracion de sistemas de demostracionAplicacion al procesamiento de imagenes medicas
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Contexto CIBIR
CIBIR
CIBIR Centro de Investigacion Biomedica de La Rioja
Unidad de Plasticidad Sinaptica Estructural
Participantes Miguel MoralesGerman CuestoGadea Mata
Lıneas de Investigacion .
Estudio de los mecanismos moleculares quedeterminan la formacion de nuevas sinapsisEstudio del GlaucomaEstudio de mutaciones en los genes implicados en laEMA (Esclerosis Multiple Amiotrofica)
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Contexto CIBIR
CIBIR
CIBIR Centro de Investigacion Biomedica de La Rioja
Unidad de Plasticidad Sinaptica Estructural
Participantes Miguel MoralesGerman CuestoGadea Mata
Lıneas de Investigacion .
Estudio de los mecanismos moleculares quedeterminan la formacion de nuevas sinapsisEstudio del GlaucomaEstudio de mutaciones en los genes implicados en laEMA (Esclerosis Multiple Amiotrofica)
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Contexto CIBIR
CIBIR
CIBIR Centro de Investigacion Biomedica de La Rioja
Unidad de Plasticidad Sinaptica Estructural
Participantes Miguel MoralesGerman CuestoGadea Mata
Lıneas de Investigacion .
Estudio de los mecanismos moleculares quedeterminan la formacion de nuevas sinapsisEstudio del GlaucomaEstudio de mutaciones en los genes implicados en laEMA (Esclerosis Multiple Amiotrofica)
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Contexto CIBIR
CIBIR
CIBIR Centro de Investigacion Biomedica de La Rioja
Unidad de Plasticidad Sinaptica Estructural
Participantes Miguel MoralesGerman CuestoGadea Mata
Lıneas de Investigacion .
Estudio de los mecanismos moleculares quedeterminan la formacion de nuevas sinapsisEstudio del GlaucomaEstudio de mutaciones en los genes implicados en laEMA (Esclerosis Multiple Amiotrofica)
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Contexto La empresa Spine-Up
La empresa Spine-Up
Nombre de la empresa Spine-Up (Spin-off de la
Universidad de Barcelona)
Objetivo social
InvestigacionDesarrolloInnovacionDisenoFabricacionComercializacionDistribucion
→{
FarmacosMetodos
}→
InvestigacionDiagnosisTratamiento
→{
EnfermedadesPatologıas
Gestion de patentes
Procesamiento de imagenes medicas
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Contexto La empresa Spine-Up
La empresa Spine-Up
Nombre de la empresa Spine-Up (Spin-off de la
Universidad de Barcelona)
Objetivo social
InvestigacionDesarrolloInnovacionDisenoFabricacionComercializacionDistribucion
→{
FarmacosMetodos
}→
InvestigacionDiagnosisTratamiento
→{
EnfermedadesPatologıas
Gestion de patentes
Procesamiento de imagenes medicas
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Contexto La empresa Spine-Up
La empresa Spine-Up
Nombre de la empresa Spine-Up (Spin-off de la
Universidad de Barcelona)
Objetivo social
InvestigacionDesarrolloInnovacionDisenoFabricacionComercializacionDistribucion
→{
FarmacosMetodos
}→
InvestigacionDiagnosisTratamiento
→{
EnfermedadesPatologıas
Gestion de patentes
Procesamiento de imagenes medicas
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Problema Biomedico
Indice de contenidos
1 Contexto
2 Problema Biomedico
3 Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales
4 Demo
5 Resultados
6 Conclusiones y trabajo futuro
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Problema Biomedico Contando sinapsis
Sinapsis
Sinapsis son los puntos de conexion entre neuronas
Importancia: Capacidades computacionales del cerebro
Modificar el numero de sinapsis mediante el empleo defarmacos puede ser un importante avance en el tratamientode enfermedades neurologicas
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 9/27
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Problema Biomedico Contando sinapsis
Conteo manual de sinapsis usando ImageJ
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 10/27
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Problema Biomedico Contando sinapsis
Dificultades y objetivo
Dificultades
Esfuerzo considerable de tiempo
Este proceso se aplica sobre baterıas de neuronas
Objetivo
Proporcionar un metodo fiable y automatico para contar sinapsis
Creacion de un nuevo plugin para ImageJ llamado SynapCountJ
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 11/27
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Problema Biomedico Contando sinapsis
Dificultades y objetivo
Dificultades
Esfuerzo considerable de tiempo
Este proceso se aplica sobre baterıas de neuronas
Objetivo
Proporcionar un metodo fiable y automatico para contar sinapsis
Creacion de un nuevo plugin para ImageJ llamado SynapCountJ
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 11/27
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Problema Biomedico Contando sinapsis
Automatizacion conteo sinapsis
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Problema Biomedico Contando sinapsis
Automatizacion conteo sinapsis
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 12/27
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales
Indice de contenidos
1 Contexto
2 Problema Biomedico
3 Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales
4 Demo
5 Resultados
6 Conclusiones y trabajo futuro
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 13/27
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
El metodo
Imagen digital
Complejo simplicial
Complejo de cadenas
Homologıa
triangulacion
estructura algebraica
calcular
interpretar
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
El metodo
Imagen digital
Complejo simplicial
Complejo de cadenas
Homologıa
triangulacion
estructura algebraica
calcular
interpretar
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 14/27
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
El metodo
Imagen digital
Complejo simplicial
Complejo de cadenas
Homologıa
triangulacion
estructura algebraica
calcular
interpretar
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 14/27
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
El metodo
Imagen digital
Complejo simplicial
Complejo de cadenas
Homologıa
triangulacion
estructura algebraica
calcular
interpretar
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
El metodo
Imagen digital
Complejo simplicial
Complejo de cadenas
Homologıa
triangulacion
estructura algebraica
calcular
interpretar
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 14/27
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales
Imagen digital
Complejo simplicial Complejo de cadenas
Grupos de homologıa
C0 = verticesC1 = aristasC2 = triangulos
H1 = Z⊕ Z⊕ ZH0 = Z⊕ Z
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 15/27
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales
Imagen digital
Complejo simplicial Complejo de cadenas
Grupos de homologıa
C0 = verticesC1 = aristasC2 = triangulos
H1 = Z⊕ Z⊕ ZH0 = Z⊕ Z
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 15/27
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales
Imagen digital
Complejo simplicial Complejo de cadenas
Grupos de homologıa
C0 = verticesC1 = aristasC2 = triangulos
H1 = Z⊕ Z⊕ ZH0 = Z⊕ Z
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 15/27
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales
Imagen digital
Complejo simplicial Complejo de cadenas
Grupos de homologıa
C0 = verticesC1 = aristasC2 = triangulos
H1 = Z⊕ Z⊕ ZH0 = Z⊕ Z
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 15/27
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales
Imagen digital
Complejo simplicial Complejo de cadenas
Grupos de homologıa
C0 = verticesC1 = aristasC2 = triangulos
H1 = Z⊕ Z⊕ ZH0 = Z⊕ Z
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 15/27
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Imagen digital a Complejo simplicial
Definicion
Sea V un conjunto ordenado, llamado conjunto de vertices, un sımplice sobre V escualquier subconjunto finito de V
Definicion
Un complejo simplicial (abstracto) sobre V es un conjunto de sımplices C sobre Vsatisfaciendo la propiedad:
∀α ∈ C , si β ⊆ α⇒ β ∈ C
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Imagen digital a Complejo simplicial
Definicion
Sea V un conjunto ordenado, llamado conjunto de vertices, un sımplice sobre V escualquier subconjunto finito de V
Definicion
Un complejo simplicial (abstracto) sobre V es un conjunto de sımplices C sobre Vsatisfaciendo la propiedad:
∀α ∈ C , si β ⊆ α⇒ β ∈ C
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Imagen digital a Complejo simplicial
Definicion
Sea V un conjunto ordenado, llamado conjunto de vertices, un sımplice sobre V escualquier subconjunto finito de V
Definicion
Un complejo simplicial (abstracto) sobre V es un conjunto de sımplices C sobre Vsatisfaciendo la propiedad:
∀α ∈ C , si β ⊆ α⇒ β ∈ C
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Imagen digital a Complejo simplicial
Definicion
Sea V un conjunto ordenado, llamado conjunto de vertices, un sımplice sobre V escualquier subconjunto finito de V
Definicion
Un complejo simplicial (abstracto) sobre V es un conjunto de sımplices C sobre Vsatisfaciendo la propiedad:
∀α ∈ C , si β ⊆ α⇒ β ∈ C
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Imagen digital a Complejo simplicial
Definicion
Sea V un conjunto ordenado, llamado conjunto de vertices, un sımplice sobre V escualquier subconjunto finito de V
Definicion
Un complejo simplicial (abstracto) sobre V es un conjunto de sımplices C sobre Vsatisfaciendo la propiedad:
∀α ∈ C , si β ⊆ α⇒ β ∈ C
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Complejo simplicial a complejo de cadenas
Definicion
Un complejo de cadenas C∗ es un par de secuencias C∗ = (Cq , dq)q∈Z donde:
Para cada q ∈ Z, la componente Cq es un R-modulo, el grupo de cadenas degrado q
Para cada q ∈ Z, la componente dq es un morfismo dq : Cq → Cq−1, la funciondiferencial
Para cada q ∈ Z, la composicion dqdq+1 es nula: dqdq+1 = 0
0← C0d1←− C1
d2←− C2 ← 0
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Complejo simplicial a complejo de cadenas
Definicion
Un complejo de cadenas C∗ es un par de secuencias C∗ = (Cq , dq)q∈Z donde:
Para cada q ∈ Z, la componente Cq es un R-modulo, el grupo de cadenas degrado q
Para cada q ∈ Z, la componente dq es un morfismo dq : Cq → Cq−1, la funciondiferencial
Para cada q ∈ Z, la composicion dqdq+1 es nula: dqdq+1 = 0
0← C0d1←− C1
d2←− C2 ← 0
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Complejo simplicial a complejo de cadenas
Definicion
Un complejo de cadenas C∗ es un par de secuencias C∗ = (Cq , dq)q∈Z donde:
Para cada q ∈ Z, la componente Cq es un R-modulo, el grupo de cadenas degrado q
Para cada q ∈ Z, la componente dq es un morfismo dq : Cq → Cq−1, la funciondiferencial
Para cada q ∈ Z, la composicion dqdq+1 es nula: dqdq+1 = 0
0← C0d1←− C1
d2←− C2 ← 0
C0 = Z [vertices]C1 = Z [aristas]C2 = Z [triangulos]
d0(v) = 0d1(v1v2) = v2 − v1
d2(v1v2v3) = v2v3 − v1v3 + v1v2
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Complejo simplicial a complejo de cadenas
Definicion
Un complejo de cadenas C∗ es un par de secuencias C∗ = (Cq , dq)q∈Z donde:
Para cada q ∈ Z, la componente Cq es un R-modulo, el grupo de cadenas degrado q
Para cada q ∈ Z, la componente dq es un morfismo dq : Cq → Cq−1, la funciondiferencial
Para cada q ∈ Z, la composicion dqdq+1 es nula: dqdq+1 = 0
0← C0d1←− C1
d2←− C2 ← 0
0← Z26 d1←− Z36 d2←− Z18 ← 0
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Homologıa
Definicion
Si C∗ = (Cq , dq)q∈Z es un complejo de cadenas:
La imagen Bq = im dq+1 ⊆ Cq es el (sub)-modulo de q-bordes
El nucleo Zq = ker dq ⊆ Cq es el (sub)-modulo de q-ciclos
Definicion
Sea C∗ = (Cq , dq)q∈Z es un complejo de cadenas. Para cada grado n ∈ Z, el n-esimogrupo de homologıa de C∗ se define como el cociente:
Hn(C∗) = Zn/Bn
Geometricamente:
H0 mide el numero de componentes conexas
H1 mide el numero de agujeros
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Homologıa
Definicion
Si C∗ = (Cq , dq)q∈Z es un complejo de cadenas:
La imagen Bq = im dq+1 ⊆ Cq es el (sub)-modulo de q-bordes
El nucleo Zq = ker dq ⊆ Cq es el (sub)-modulo de q-ciclos
Definicion
Sea C∗ = (Cq , dq)q∈Z es un complejo de cadenas. Para cada grado n ∈ Z, el n-esimogrupo de homologıa de C∗ se define como el cociente:
Hn(C∗) = Zn/Bn
Geometricamente:
H0 mide el numero de componentes conexas
H1 mide el numero de agujeros
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Metodo general
Imagen Biomedica Imagen Digital
SynapCountJ fKenzo
Complejo Simplicial Complejo de Cadenas Homologıa
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Metodo general
Imagen Biomedica Imagen Digital
SynapCountJ fKenzo
Complejo Simplicial Complejo de Cadenas Homologıa
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Metodo general
Imagen Biomedica Imagen Digital
SynapCountJ fKenzo
Complejo Simplicial Complejo de Cadenas Homologıa
SynapCountJ
Nuevo plugin para ImageJ
Mejora la interaccion con ImageJ para contar sinapsis
http://imagejdocu.tudor.lu/doku.php?id=pluginutilities:synapsescountj:start/
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Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales Metodologıa
Metodo general
Imagen Biomedica Imagen Digital
SynapCountJ fKenzo
Complejo Simplicial Complejo de Cadenas Homologıa
fKenzo
Kenzo: sistema de calculo simbolico dedicado a la Topologıa Algebraicaimplementado en Common Lisp
fKenzo: interfaz grafica para Kenzo
Incorpora nuevas funcionalidades a Kenzo entre ellas el calculo de homologıa deimagenes digitales
J. Heras, V. Pascual, J. Rubio y F. Sergeraert. fKenzo: a user interface forcomputations in Algebraic Topology. Journal of Symbolic Computation 46(6):685–698, 2011.
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Demo
Indice de contenidos
1 Contexto
2 Problema Biomedico
3 Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales
4 Demo
5 Resultados
6 Conclusiones y trabajo futuro
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Resultados
Indice de contenidos
1 Contexto
2 Problema Biomedico
3 Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales
4 Demo
5 Resultados
6 Conclusiones y trabajo futuro
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Resultados Evolucion sinaptica
Evolucion sinaptica
Figura: Conteo manual de sinapsispara dos tratamientos Figura: Conteo de sinapsis utilizando
SynapCountJ para dos tratamientos
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Resultados Comparativa de tiempos
Comparativa de tiempos
Imagen ∼ 100 sinapsis
Lote ∼ 13 imagenes
Estudio 3 o 4 lotes
XXXXXXXXXXXconteo demetodo
manual SynapCountJ
imagen 5 minutos 30 segundos
lote 1 hora 2 minutos
estudio 4 horas 6 minutos
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Conclusiones y trabajo futuro
Indice de contenidos
1 Contexto
2 Problema Biomedico
3 Topologıa Algebraica e Imagenes Digitales
4 Demo
5 Resultados
6 Conclusiones y trabajo futuro
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Conclusiones y trabajo futuro
Conclusiones
Conclusiones:
Aplicacion Topologıa Algebraica Computacional al analisis de imagenesbiomedicas
(Semi-)automatizacion del estudio de propiedades de estructuras sinapticas
Metodologıa para el analisis de imagenes biomedicas por medio de tecnicashomologicas
Publicaciones:
Homological Processing of Biomedical digital images: automation andcertification. J. Heras, G. Mata, M. Poza, and J. Rubio. In Computer Algebra inAlgebraic Topology and its applications session of the 17th InternationalConferences on Applications of Computer Algebra (ACA 2011)
SynapCountJ: un software para el estudio de la densidad sinaptica. G. Mata, G.Cuesto, M. Morales, J. Rubio y J. Heras. En XIV Congreso Nacional de laSociedad Espanola de Neurociencia (SENC 2011)
Nuevos contactos:
Microscopios Leica
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Conclusiones y trabajo futuro
Conclusiones
Conclusiones:
Aplicacion Topologıa Algebraica Computacional al analisis de imagenesbiomedicas
(Semi-)automatizacion del estudio de propiedades de estructuras sinapticas
Metodologıa para el analisis de imagenes biomedicas por medio de tecnicashomologicas
Publicaciones:
Homological Processing of Biomedical digital images: automation andcertification. J. Heras, G. Mata, M. Poza, and J. Rubio. In Computer Algebra inAlgebraic Topology and its applications session of the 17th InternationalConferences on Applications of Computer Algebra (ACA 2011)
SynapCountJ: un software para el estudio de la densidad sinaptica. G. Mata, G.Cuesto, M. Morales, J. Rubio y J. Heras. En XIV Congreso Nacional de laSociedad Espanola de Neurociencia (SENC 2011)
Nuevos contactos:
Microscopios Leica
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 25/27
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Conclusiones y trabajo futuro
Conclusiones
Conclusiones:
Aplicacion Topologıa Algebraica Computacional al analisis de imagenesbiomedicas
(Semi-)automatizacion del estudio de propiedades de estructuras sinapticas
Metodologıa para el analisis de imagenes biomedicas por medio de tecnicashomologicas
Publicaciones:
Homological Processing of Biomedical digital images: automation andcertification. J. Heras, G. Mata, M. Poza, and J. Rubio. In Computer Algebra inAlgebraic Topology and its applications session of the 17th InternationalConferences on Applications of Computer Algebra (ACA 2011)
SynapCountJ: un software para el estudio de la densidad sinaptica. G. Mata, G.Cuesto, M. Morales, J. Rubio y J. Heras. En XIV Congreso Nacional de laSociedad Espanola de Neurociencia (SENC 2011)
Nuevos contactos:
Microscopios Leica
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 25/27
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Conclusiones y trabajo futuro
Trabajo Futuro
Aplicacion de herramientas topologicas al estudio de problemas mas complejos
en el contexto del analisis de imagenes biomedicas:Conteo y clasificacion de espinas
Deteccion de la estructura neuronal
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Conclusiones y trabajo futuro
Trabajo Futuro
Aplicacion de herramientas topologicas al estudio de problemas mas complejos
en el contexto del analisis de imagenes biomedicas:Conteo y clasificacion de espinas
Deteccion de la estructura neuronal
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Gracias por vuestra atencion ¿Preguntas?
Topologıa Algebraica Computacional en elprocesamiento de imagenes biomedicas
Jonathan Heras1, Gadea Mata1,2 y Marıa Poza1
1Departamento de Matematicas y Computacion, Universidad de La Rioja
2Laboratorio de Plasticidad Sinaptica Estructural, Departamento de EnfermedadesNeurodegenerativas, Centro de Investigacion Biomedica de La Rioja
Jornada Aplicaciones Industriales del Algebra Computacional18 de noviembre de 2011
J. Heras, G. Mata y M. Poza Topologıa Algebraica Computacional en el procesamiento de imagenes biomedicas 27/27