Resistencia de Materiais. Tema 4. Relacións entre movementos e deformacións
ARTURO NORBERTO FONTÁN PÉREZ Fotografía. Ponte Salginatobel (Robert Maillart, Suiza, 1930).
Van principal: 90 m.
Contido. Tema 4. Relacións entre movementos e deformacións nos medios elásticos
2
1. Tensor de deformacións. 2. Direccións principais de deformación. 3. Direccións de deformación tanxencial máxima. 4. Condicións de compatibilidade.
Resistencia de materiais. Tema 4 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Fotografía. Ponte Rossgraben (Robert Maillart, Suiza, 1932).
Van principal: 82 m.
4.1. Tensor de deformacións
3
Un medio elástico en equilibrio baixo un conxunto de accións exteriores defórmase e os seus puntos cambian de posición, así un punto P(x, y,z) terá unha nova posición P’(x’, y’, z’), onde o vector u é o vector de movementos:
A aplicación dun vector de movementos a cada punto equivale a expor que a presenza de accións exteriores
crea un campo de movementos no medio elástico. Nese campo de movementos o elemento diferencial PQ, de lonxitude dx, pasará a ser P’Q’, de lonxitude dr:
ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Resistencia de materiais. Tema 4
1
2
3
r x ur y vr z w
= + = + = += +
r x u
1
2
3
u u u1x y zdr dx
v v vd d d dr 1 dyx y z
dr dzw w w1x y z
∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ = + ⇒ = + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂
r x u
∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂
u u udu dx dy dzx y zv v vdv dx dy dzx y zw w wdw dx dy dzx y z
yx
QQ'
P'
Px u
u+du
r
dxdr
4.1. Tensor de deformacións
4
A matriz anterior pode descompoñerse en: I é a matriz unidade, de modo que I·dx representa unha translación como sólido ríxido, R·dx é unha matriz que representa unha rotación elemental como sólido ríxido, e E·dx é unha matriz que representa a deformación que sufriu dx.
Os termos da diagonal εxx, εyy, εzz representan a aproximación lineal da variación lonxitudinal dun elemento situado no eixo x, y e z respectivamente.
A compoñente da deformación paralela ao vector dx é a deformación lonxitudinal e a outra compoñente
denomínase deformación tanxencial. E é o tensor de deformacións.
ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Resistencia de materiais. Tema 4
( )d d= + + ⋅r I R E x
R
∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ − ⋅ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ⋅ − ⋅ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ⋅ − − ⋅ − ∂ ∂ ∂ ∂
1 u v 1 u w02 y x 2 z x
1 u v 1 v w02 y x 2 z y
1 u w 1 v w 02 z x 2 z y
xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
u 1 u v 1 u wx 2 y x 2 z x
1 u v v 1 v w2 y x y 2 z y
1 u w 1 v w w2 z x 2 z y z
ε ε εε ε εε ε ε
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ + ⋅ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ + ⋅ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
E
QQ'
P'
P u
dx
drI·dx
R·dx
E·dx
4.1. Tensor de deformacións
5
Se supoñemos un rectángulo elemental de lados paralelos aos eixos coordenados, a variación de ángulo (tendo en conta só os termos de primeira orde) correspondente ao punto O pode expresarse como:
polo que: Os elementos de E situados fóra da diagonal principal representan a semisuma das deformacións tanxenciais
dos lados de rectángulos elementais paralelos aos eixos coordenados. Esa deformación recibe o nome de deformación angular. Por elo, E é o tensor de deformacións en teoría de pequenas deformacións, que se soe escribir como:
ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Resistencia de materiais. Tema 4
O
A C
B
B'
A'
O'
C'
xu
w
dz
dx∂
+ ⋅∂uu dxx
∂+ ⋅∂ww dzz
∂+ ⋅∂uu dzz
∂+ ⋅∂ww dxx
' ' ' ∂ ∂− = +
∂ ∂u wAOB A O Bz x
' ' 'xz1 AOB A O B2
ε = ⋅ −
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
u 1 u v 1 u w
x 2 y x 2 z x
1 u v v 1 v w
2 y x y 2 z y
1 u w 1 v w w
2 z x 2 z y z
x xy xz
xy y yz
xz yz z
1 12 2
1 12 21 12 2
ε γ γ
γ ε γ
γ γ ε
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
E
4.1. Tensor de deformacións
6
Cando as deformacións son elevadas non se debe prescindir dos infinitésimos de segunda orde. O tensor de deformación en teoría de grandes deformacións:
Defínese o vector deformación εn dunha dirección n a aquel que contén a deformación unitaria nesa
dirección:
ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Resistencia de materiais. Tema 4
ε
ε
ε
γ
∂ ∂ ∂ ∂ = + ⋅ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + ⋅ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ⋅ + + ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + ⋅ + ⋅ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2
x
2 2 2
y
2 2 2
z
xy
u 1 u v wx 2 x x x
v 1 u v wy 2 y y y
w 1 u v wz 2 z z z
u v u u v v wy x x y x y x
γ
γ
∂⋅∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
xz
yz
wy
u w u u v v w wz x x z x z x zv w u u v v w wz y y z y z y z
x xy xz
nx
ny xy y yz
nz
xz yz z
1 12 2 l
1 1 m2 2
n1 12 2
ε γ γεε γ ε γε
γ γ ε
⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
n E nε
Contido. Tema 4. Relacións entre movementos e deformacións nos medios elásticos
7
1. Tensor de deformacións. 2. Direccións principais de deformación. 3. Direccións de deformación tanxencial máxima. 4. Condicións de compatibilidade.
ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Fotografía. Pasarela Töss (Robert Maillart, Suiza, 1933).
Van principal: 38 m.
Resistencia de materiais. Tema 4
4.2. Direccións principais de deformación
8
A compoñente lonxitudinal ε da deformación será: e a deformación tanxencial: Denomínanse direccións principais de deformación a aquelas nas que só existe deformación lonxitudinal, é
dicir, nas que o vector deformación εn é paralelo a n: Para que este sistema de ecuacións homoxéneo teña solución debe anularse o determinante: Onde J1, J2, J3 son coeficientes independentes dos eixos coordenados e coñécense como invariantes do
tensor de deformacións:
ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Resistencia de materiais. Tema 4
( )ε ε= ⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ ⋅ =n n E n E I n 0ε
x xy xz3 2
xy y yz 1 2 3
xz yz z
2 22 2 0 J J J 02 2
ε ε γ γγ ε ε γ ε ε εγ γ ε ε
−− = ⇒ − ⋅ − ⋅ − =
−
[ ]x xy xz
T Tn xy y yz
xz yz z
2 2 2x y z xy xz yz
2 2 ll m n 2 2 m
2 2 n
l m n l m l n m n
ε γ γε γ ε γ
γ γ ε
ε = ε ε ε γ γ γ
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
n n E n =ε
2 212γ ε⋅ = −nε
1 x y z
2 2 22 xy xz yz x y x z y z
3
J1 1 1J4 4 4
J
ε ε ε
γ γ γ ε ε ε ε ε ε
= + +
= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅
= E
u
n
I·nR·n
E·n
u
n
I·nR·n
E·nε
4.2. Direccións principais de deformación
9
Sempre haberá tres raíces reais ε1, ε 2, ε 3, que reciben o nome de deformacións principais. As direccións asociadas a cada unha delas denomínanse direccións principais e obtéñense resolvendo: En estados tensionais bidimensionais o tensor de deformacións redúcese. Por exemplo, no plano xz: Se se calculan as deformacións principais da forma que se indicou anteriormente, pode comprobarse que: O círculo de Mohr permite representar o estado de deformacións nun punto dun sólido.
ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Resistencia de materiais. Tema 4
( ) , ,i i
2 2 2
0 i 1 2 3
l m n 1
ε− ⋅ ⋅ = =
+ + =
E I n
1 2 3ε ε ε≥ ≥
x xz
xz z
22
ε γγ ε
=
E
( )2 22 2
x z x z xz x z x z xz xz1 2
x z
tan 22 2 4 2 2 4
ε ε ε ε γ ε ε ε ε γ γε ε αε ε
+ − + − = + + = − + ⋅ = −
Contido. Tema 4. Relacións entre movementos e deformacións nos medios elásticos
10
1. Tensor de deformacións. 2. Direccións principais de deformación. 3. Direccións de deformación tanxencial máxima. 4. Condicións de compatibilidade.
ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Fotografía. Ponte Schwandbach (Robert Maillart, Suiza, 1933). Van principal: 77 m.
Resistencia de materiais. Tema 4
4.3. Direccións de deformación tanxencial máxima
11
Utilizando as direccións principais de deformación como eixos de coordenadas, os planos nos que é máxima a deformación angular son:
Os valores de l, m, n que fan máxima a expresión anterior son: Pode comprobarse que os planos asociados a estas direccións forman ángulos de 45° cos de direccións
principais ε1, ε3 e conteñen ao da dirección ε2. O valor máximo da deformación angular é:
ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Resistencia de materiais. Tema 4
( ) ( )
1 2 3T 2 2 2
1 2 32
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3
l m n
l m n
1 l m n l m n2
ε ε ε
ε ε ε ε
γ ε ε ε ε ε ε ε
= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ = − = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅
n
n
n
E n i j k
n
ε
ε
ε
.= = =2 2m 0 l n 0 5
1 3máx
12 2
ε εγ −⋅ =
Contido. Tema 4. Relacións entre movementos e deformacións nos medios elásticos
12
1. Tensor de deformacións 2. Direccións principais de deformación. 3. Direccións de deformación tanxencial máxima. 4. Condicións de compatibilidade.
ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Fotografía. Ponte Vessy (Robert Maillart, Suiza, 1937). Van principal: 56 m.
Resistencia de materiais. Tema 4
4.4. Condicións de compatibilidade
13
O tensor de deformacións en teoría lineal permite obter as expresións dos movementos u, v, w de calquera punto do medio continuo:
Este sistema de 6 ecuacións só ten 3 incógnitas, polo que só terá solución se hai relacións entre elas. É dicir,
as compoñentes do tensor de deformacións non poden ter unhas expresións calquera, senón que teñen que cumprir certas condicións. Isto é debido a que non poden existir discontinuidades nin superposicións no medio elástico trala deformación.
Pode demostrarse que esas condicións que deben cumprir os elementos do tensor de deformacións son 6 ecuacións e denomínanse condicións de compatibilidade:
ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
Resistencia de materiais. Tema 4
2 22 2y xy xy yzx z xz
2 2
22 2 2y xy yzx z xz xz
2 2
2 22 2y yz xy yzz x xz
2 2
2y x x y x y z z y x
2z x x z x z y z y x
2z y y z y z x z y x
ε γ γ γε ε γ
ε γ γε ε γ γ
ε γ γ γε ε γ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = ⋅ = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = ⋅ = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = ⋅ = + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
x y z
xy xz yz
u v wx y z
u v u w v wy x z x z y
ε ε ε
γ γ γ
∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂