Download - PROYECTO METODOS
UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
“TRUJILLO”
FACULTAD:
INGENIERÍA.
CARRERA:
INGENIERÍA CIVIL.
TEMA:
TRABAJO REALIZADO EN EL VACIADO DE UN
LÍQUIDO.
CURSO:
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA.
DOCENTE:
ALVITES CALIPUY, MELBA ELIZABETH.
INTEGRANTES:
Aguilar Moscoso. Jose Calderon Suarez, Jhon
TRUJILLO – PERÚ2016
TRABAJO REALIZADO EN EL VACIADO DE UN DEPÓSITO
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 2
RESUMEN
El presente proyecto “TRABAJO REALIZADO EN EL VACIADO DE UN LÍQUIDO”
tiene como objetivo, usar integración numérica para evaluar el trabajo realizado en el
vaciado de un depósito.
Para desarrollar el problema planteado se usa la regla de integral definida, regla
Trapezoidal, regla Simpson 1/3 y regla Simpson 3/8, luego se hace una comparación
de los resultados, y se define cual método es más exacto.
La regla Trapezoidal Simple presenta un error relativo porcentual de 2.22%
El análisis muestra que la regla de Trapezoidal Simple presenta un error del 2.22% y
que la regla Trapezoidal compuesta presenta un erro del 0.0%9.
Además, las reglas de Simpson 1/3 y Simpson 3/8, tanto simple como compuestas
presentan un error del 0.00%.
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 3
INTRODUCCIÓN:
El presente trabajo aporta, la elaboración de un programa en MATLAB para aproximar
integrales definidas al valor real de dichas funciones.
El contenido del trabajo está organizado de forma modular que se ajusta a los
problemas expuestos con condiciones fijas de frontera.
En este proyecto se resolverá un ejercicio aplicativo a la Ingeniería, del cual
resolveremos tanto el método analítico, es decir, se hallará la solución del modelo
matemático; como en el computador.
Los cálculos hechos con computador se presentan mediante un algoritmo.
Utilizaremos los distintos métodos de integración para cumplir los objetivos trazados
en la investigación del proyecto.
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 4
INDÍCETRABAJO REALIZADO EN EL VACIADO DE UN DEPÓSITO......................................2
RESUMEN...................................................................................................................3
INTRODUCCIÓN:........................................................................................................4
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:........................................................................6
OBJETIVOS:................................................................................................................6
Objetivo general:......................................................................................................6
Objetivos específicos:..............................................................................................6
MARCO TEÓRICO:.....................................................................................................7
Trabajo para el vaciado de un depósito...................................................................7
Regla Trapezoidal Simple........................................................................................7
Regla Trapezoidal Compuesta................................................................................8
Regla de Simpson 1/3 Simple.................................................................................8
Regla de Simpson 1/3 Compuesta..........................................................................9
Regla de Simpson 3/8 Simple.................................................................................9
Regla de Simpson 3/8 Compuesta........................................................................10
MODELO MATEMÁTICO:.........................................................................................10
SOLUCIÓN:...............................................................................................................11
ALGORITMO COMPUTACIONAL:............................................................................17
RESULTADOS:.........................................................................................................19
CONCLUSIONES:.....................................................................................................20
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:.........................................................................20
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 5
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:
¿Se podrá usar integración numérica para evaluar el trabajo realizado en el vaciado de
un depósito?
OBJETIVOS:
Objetivo general:
Usar integración numérica para evaluar el trabajo realizado en el vaciado de un
depósito.
Objetivos específicos:
Usar la regla trapezoidal y Simpson para la solución del problema.
Diseñar un algoritmo en matlab de las reglas trapezoidal y Simpson.
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 6
MARCO TEÓRICO:
Trabajo para el vaciado de un depósito.
Para levantar un objeto se ha de contrarrestar la fuerza de la gravedad. Por
consiguiente, el trabajo realizado al levantar un objeto viene dado por:
Trabajo=( pesodel objeto)∗(alturaa la quese eleva)
Trabajo en fuerza variable:
W=∫a
b
F(x )dx
Regla Trapezoidal Simple.
La razón por la que se llama regla trapezoidal es que si f(x) es una función con valores
positivos, entonces ∫a
b
f ( x )dx se aproxima al área del trapecio mostrado en la Figura X.
I=∫a
b
f ( x )dx≅ h2[ f (x0 )+ f (x1)]
Dónde: X0 = a, X1 = b, h = b – a (es el tamaño de paso)
Regla Trapezoidal Compuesta.
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 7
La regla del trapecio se amplía si subdividimos el intervalo [a, b] en “n” sub intervalos,
todos de la misma longitud, h=b−an
I=∫a
b
f ( x ) dx≅ h2[ f (x0 )+2∗∑
k=1
n−1
f (xk )+ f (xn)]
Dónde:
X0 = a, Xn = b, h=b−an
Regla de Simpson 1/3 Simple.
La regla se Simpson 1/3 se obtiene cuando se utiliza polinomios de Lagrange de
segundo orden, con tres nodos:
I=∫a
b
f ( x ) dx≅ h3[ f (x0 )+4∗f (x1)+f ( x2)]
Dónde:
X0 = a, X1 = a + h, X2 = b, h=b−a2
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 8
Regla de Simpson 1/3 Compuesta.
La regla se Simpson se mejora al dividir el intervalo de integración en varios
segmentos de un mismo tamaño.
Dónde:
X0 = a, Xn = b, h=b−an
Regla de Simpson 3/8 Simple.
La regla se Simpson 3/8 se obtiene cuando se utiliza polinomios de Lagrange de tercer
orden, usando cuatro puntos.
Dónde:
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 9
X0 = a, X1 = a + h, X2 =a + 2*h, X3 = b, h=b−a3
Regla de Simpson 3/8 Compuesta.
La regla se Simpson 3/8 se mejora al dividir el intervalo de integración en varios
segmentos de un mismo tamaño.
Dónde:
X0 = a, Xn = b, h=b−an
Es importante notar que para el método de Simpson 3/8, el número de intervalos “n”,
solo puede ser múltiplo de 3.
MODELO MATEMÁTICO:
Un depósito de agua semiesférico de 10 metros de radio se vacía mediante bombeo.
Hallar el trabajo realizado cuando el nivel del agua desciende desde 2 a 4 metros por
debajo de la cúspide del depósito.
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 10
SOLUCIÓN:
La sección transversal a x metros de la parte más alta del depósito, es un disco de
radio:
r=√90−x2
Luego su área es:
A ( x )=π∗(90−x2)
Entonces:
W=∫a
b
F(x )dx
W=∫a
b
m(x)∗g dx
W=∫a
b
ρ∗V ( x)∗gdx
W=∫2
4
1000∗9,8∗(π ¿¿ x∗(90−x2))dx¿
W=∫2
4
9800∗π∗x∗(90−x2 )dx [N∗m ]
W=∫2
4
9,8∗π∗x∗(90−x2 )dx [kN∗m]
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 11
Solución por Integral Definida (Valor verdadero)
W=∫2
4
9,8∗π∗x∗(90−x2 )dx [kN∗m]
u = 90-x2
du = -2*x dx
W=−9,8∗π∗∫2
4 u2du [kN∗m]
W=−4,9∗π∗(u22 )2
4
[kN∗m ]
W=−4,9∗π∗¿¿¿
W=−4,9∗π∗¿
W=−4,9∗π∗(2738−3698 )[kN∗m ]
W=−4,9∗π∗(−960 )[kN∗m ]
W=14778.05184 [kN∗m ]
Solución: Regla Trapezoidal Simple
Datos:
a = 2
b = 4
h = 4 – 2 = 2
f(x) = 9,8* π *x*(90-x2)
Solución:
W ≅ h2[ f (a )+ f (b)]
W ≅ 22[ f (2 )+ f (4)]
f(2) = 5295.4685
f(4) = 9113.13197
W ≅ [5295.4685+9113.13197]
W ≅ 14408.60047 [kN.m]
Error relativo porcentual:
Et=14778.05184−14408.60047
14778.05184∗100%=2.5%
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 12
Solución: Regla Trapezoidal Compuesta
Datos:
a = x0 = 2
b = xn = 4
n = 5
h=4−25
=0,4
f(x) = 9,8* π *x*(90-x2)
Solución:
W ≅ h2[ f (x0 )+2∗∑
k=1
n−1
f (xk )+ f (xn)]
W ≅ 0,42
[ f (2 )+2∗( f (2,4 )+ f (2,8 )+ f (3,2 )+f (3,6 ))+ f (4 )]
f(2,0) = 5295.468577
f(2,4) = 6224.5154
f(2,8) = 7082.6276
f(3,2) = 7857.9828
f(3,6) = 8538.758355
f(4,0) = 9113.13197
W ≅ 0,2∗[5295.467+2∗(29700.88 )+9113.13197 ]
W ≅ 14762.07179 [kN.m]
Error relativo porcentual:
Et=14778.05184−14762.07179
14778.05184∗100%=0.11%
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 13
Solución: Regla Simpson 1/3 Simple
Datos:
a = 2
b = 4
h=4−22
=1
Solución:
W ≅ h3[ f (x0 )+4∗f (x1)+ f (x2)]
W ≅ 13[ f (2 )+4∗f (3 )+f (4)]
f(2) = 5295.4686
f(3) = 7481.3889
f(4) = 9113.13197
W ≅ 13[5295.4686+4∗7481.3889+9113.13197 ]
W ≅ 14778.05186 [kN.m]
Error relativo porcentual:
Et=14778.05184−14778.05186
14778.05184∗100%=0.00%
Solución: Regla Simpson 1/3 Compuesta
Datos:
a = x0 = 2
b = xn = 4
n = 6
h=4−26
=13
f(x) = 9,8* π *x*(90-x2)
Solución:
W ≅ h3¿
W ≅ 19[ f (2 )+4∗( f (2,33 )+ f (3 )+ f (3,67))+2∗( f (2,67 )+ f (3,33 ))+ f (4 )]
f(2,00) = 5295.467
f(2,33) = 6066.718
f(2,67) = 6812.246
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 14
f(3,00) = 7481.389
f(3,33) = 8090.1818
f(3,67) = 8647.2889
f(4,00) = 9113.13197
W ≅ 19∗[5295.467+4∗(22195.3959 )+2∗(14902.4278 )+9113.13197]
W ≅ 14777.22646 [kN.m]
Error relativo porcentual:
Et=14778.05184−14777.22646
14778.05184∗100%=0.00%
Solución: Regla Simpson 3/8 Simple
Datos:
a = x0 = 2
b = x3 = 4
h=4−23
=23
f(x) = 9,8* π *x*(90-x2)
Solución:
W ≅ 3∗h8
[ f ( x0 )+3∗f (x1 )+3∗f ( x2 )+ f (x3)]
W ≅ 14
[ f (2 )+3∗f (2,67 )+3∗f (3,33)+ f (4 )]
f(2,00) = 5295.4685
f(2,67) = 6812.248
f(3,33) = 8090.18
f(4,00) = 9113.13197
W ≅ 14
[5295.4685+3∗6812.248+3∗8090.18+9113.13197 ]
W ≅ 14778.97 [kN.m]
Error relativo porcentual:
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 15
Et=14778.05184−14778.97
14778.05184∗100%=0.00%
Solución: Regla Simpson 3/8 Compuesta
Datos:
a = x0 = 2
b = xn = 4
n = 6
h=4−26
=13
f(x) = 9,8* π *x*(100-x2)
Solución:
W ≅ 3∗h8
¿
W ≅ 18[ f (2 )+3∗(f (2,33 )+ f (3,33 ) )+3∗( f (2,67 )+ f (3,67 ) )+2∗(f (3 ) )+ f (4)]
f(2,00) = 5295.468577
f(2,33) = 6066.7185
f(2,67) = 6812.2458
f(3,00) = 7481.3887
f(3,33) = 8090.181
f(3,67) = 8647.288
f(4,00) = 9113.13197
W ≅ 18∗[5295.468577+3∗(6812.2458 )+3∗(8647.288 )+2∗(7481.3887 )+9113.13197 ]
W ≅ 14778.05184 [kN.m]
Error relativo porcentual:
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 16
Et=14778.05184−14778.05184
14778.05184∗100%=0.00%
ALGORITMO COMPUTACIONAL:
Funciónfunction y=f(x)y=9.8*pi*x*(90-(x^2));end
Trapecio Simple Resultadofunction int=trapsim(f,a,b)%Variables de entrada:%f:función a integrar%a, b son los límites de integraciónint=((b-a)/2)*(feval(f,a)+feval(f,b));end
>>
int=trapsim('f',2,4)
int =
1.4409e+04
Trapecio Compuesto Resultadofunction int=trapcom(f,a,b,n)%Variables de entrada:%f:función a integrar%a, b son los límites de integración%n: numero de subtervalos% ============================h=(b-a)/n;%crear al vector de coordenadas xfor i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h;ends=0;for j=2:n s=s+feval(f,x(j));endint=(h/2)*(feval(f,a)+2*s+feval(f,b));
end
>>
trapcom('f',2,4,5)
ans =
1.4763e+04
Simpson 1/3 Simple Resultadofunction int=simp1_3(f,a,b)%Variables de entrada:%f:función a integrar%a, b son los límites de integraciónh=(b-a)/2;x1=a+h;
>>
int=simp1_3('f',2,4)
int =
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 17
int=h/3*(feval(f,a)+4*feval(f,x1)+feval(f,b));end
1.4778e+04
Simpson 1/3 Compuesto Resultadofunction int=simpcom(f,a,b,n)% Variables de entrada:% f: función a integrar% a,b son los límites de integración% n: número se sub intervalos%====================h=(b-a)/n;% Generamos el vector k; es decir las coordenadas de x.for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h;end% Realizamos las sumatorias% Pares:s=0;for j=2:2:n s=s+feval(f,x(j));end% Imparess1=0;for j=3:2:n-1 s1=s1+feval(f,x(j));end% Hallando la integralint=(h/3)*(feval(f,a)+4*s+2*s1+feval(f,b)); end
>>
int=simpcom('f',2,4
,6)
int =
1.4778e+04
Simpson 3/8 Simple Resultadofunction int=simp3_8(f,a,b)%Variables de entrada:% f:función a integrar% a, b son los límites de integraciónh=(b-a)/3;x2=a+h;x3=a+2*h;int=((3*h)/8)*(feval(f,a)+3*feval(f,x2)+3*feval(f,x3)+feval(f,b));end
>>
int=simp3_8('f',2,4)
int =
1.4778e+04
Simpson 3/8 Compuesto Resultadofunction int=simpcomp3_8(f,a,b,n)%variables de entrada:f,a,b,nh=(b-a)/n;% Generamos el vector k; es decir las coordenadas de x.for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h;end% Realizamos las sumatorias% primera sumas=0;for j=2:3:n-1 s=s+feval(f,x(j));end
>>
int=simpcomp3_8('
f',2,4,6)
int =
1.5713e+04
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 18
%segunda sumas1=0;for j=3:3:n s1=s1+feval(f,x(j));end%tercera sumas2=0;for j=4:3:n-2 s2=s2+feval(f,x(j));end% Hallando la integralint=((3*h)/8)*(feval(f,a)+3*s+3*s1+3*s2+feval(f,b)); end
RESULTADOS:
- Los resultados del trabajo realizado por los distintos métodos se muestran
en la siguiente tabla:
Integral Resultados
Por Integral Definida (Valor Verdadero) 14778.05184
Regla Trapezoidal Simple 14408.60047
Regla Trapezoidal Compuesta 14762.07179
Regla Simpson 1/3 Simple 14778.05186
Regla Simpson 1/3 Compuesta 14777.22646
Regla Simpson 3/8 Simple 14778.97
Regla Simpson 3/8 Compuesta 14778.05184
- Los errores relativos porcentuales obtenidos en cada método, se muestran
a continuación.
Integral Error Relativo Porcentual
Por Integral Definida (Valor Verdadero) 0.00%
Regla Trapezoidal Simple 2.5%
Regla Trapezoidal Compuesta 0.11%
Regla Simpson 1/3 Simple 0.00%
Regla Simpson 1/3 Compuesta 0.00%
Regla Simpson 3/8 Simple 0.00%
Regla Simpson 3/8 Compuesta 0.00%
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 19
CONCLUSIONES:
- La regla Trapezoidal Simple presenta un error relativo porcentual de 2.5%
- La regla Trapezoidal Compuesta presenta un error relativo porcentual de
0.11%.
- Las reglas de Simpson 1/3 y Simpson 3/8, tanto simple como compuestas,
presentan un error del 0.00%.
- Las reglas de Simpson son más exactas que la Trapezoidal, debido a que
presenta menor error.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
TareaPlus (2012). Trabajo Vaciado de Tanques. [En línea] Recuperado el 23
de noviembre de 2015, de https://www.youtube.com/watch?v=ds3r3B6j99U
Zaballa, I. (s.f.). Prácticas de Ampliación de Métodos Numéricos con Matlab.
[En línea] Recuperado el 24 de noviembre de 2015, de
http://www.ehu.eus/izaballa/Ana_Matr/Matlab/practicas.pdf
Chapra (s.f.). Métodos Numéricos para Ingenieros (quinta edición). Mexico:
Interamericana.
METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍAPágina 20