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III CICLO
ANTOLOGA PARA
MATEMTICA
ZAPAND
FASCCULO N1
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Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
1
Conjunto de los Nmeros
Reales
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Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
2
Conjunto de los Nmeros Reales.
Conjunto de los Nmeros Naturales
Este es el primer conjunto de los nmeros reales, est compuesto por los nmeros
enteros positivos y el cero; se denota por la letra :
= {0,1,2,3,4,5,6, }
Los tres puntos que utilizamos al final de la definicin de este conjunto indican que
el mismo seguir sin fin.
Caractersticas:
Es ordenado. Es discreto. Es infinito.
En algn momento de la historia los nmeros naturales ya no fueron suficientes para
la cantidad de aplicaciones que surgieron como lo son utilizar cantidades que
indicaban deudas, profundidades, temperaturas, etc. Esta necesidad origino la
aparicin de un nuevo conjunto.
Conjunto de los Nmeros Enteros
Este conjunto est compuesto por los nmeros naturales (positivos y el cero) y los
negativos, se denota por la letra , es decir:
= { , 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4, }
Adems se puede definir como:
= {0} +
: indica nmeros enteros. : indica nmeros enteros negativos. {0}: indica al conjunto que contiene al cero. +: indica nmeros enteros positivos.
Los tres puntos que utilizamos al final de la definicin de este conjunto indican que
el mismo seguir sin fin.
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
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3
Caractersticas:
Es ordenado. Es discreto. Es infinito.
Luego de esto surgi la necesidad de medir magnitudes continuas como lo son:
longitudes, reas, volmenes, pesos, tiempos, etc. Lo que llevo a los matemticos
antiguos a fraccionar la unidad y por consiguiente promovieron la aparicin de un
nuevo conjunto, como lo es el de los nmeros racionales.
Conjunto de los Nmeros Racionales
Este conjunto estar compuesto por todos los nmeros que puedan ser expresados
como fracciones es decir:
= {
, , , 0}
: representa al numerador de la fraccin. : representa al denominador de la fraccin.
Dependiendo del valor del numerador o del denominador estas pueden ser propias,
es decir su numerador es menor a su denominador ( < ), o impropias, lo que indica que su numerador es mayor a su denominador ( > ).
Adems se puede definir como:
= {0} +
: indica nmeros racionales. : indica nmeros racionales negativos. {0}: indica al conjunto que contiene al cero.
+: indica nmeros racionales positivos.
Como caractersticas de este conjunto tenemos que:
Es ordenado. Es infinito. Es continuo.
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuCuadro de texto a b
JosuLnea
JosuLeyendaNumerador menor que el denominor = Fraccin propia.
JosuLeyendaNumerador mayor que el denominor = Fraccin impropia.
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
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4
Es importante observar las siguientes caractersticas entre los tres conjunto
estudiados hasta ahora, por ejemplo:
Donde podemos observar que:
Nmeros Irracionales
Al conjunto de todos los nmeros que poseen una expansin decimal infinita no
peridica se les llama nmeros irracionales, este conjunto se denota por . Como su propio nombre lo dice son nmeros muy distintos en cuanto a
caractersticas a los nmeros presentes en cualquiera de los conjuntos estudiados
anteriormente los cuales podemos resumir en el conjunto de los nmeros racionales.
Algunos elementos de este conjunto:
Las races no exactas por ejemplo:
2 7 303
154
255
Los valores de algunos nmeros trigonomtricos y de algunos logaritmos por
ejemplo:
40 10 25 21
log2 5 log 20 log5 4 log 15
JosuLeyendaracionales
JosuLeyendaenteros
JosuLeyendanaturales
JosuResaltar
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5
Los valores de dos nmeros trascendentes, como lo son:
El cociente entre la longitud de la circunferencia y su dimetro, conocido
como :
= 3.1415926
El numero irracional de la matemtica superior, conocido como :
= 2.7182818
Adems de estos conjuntos matemticamente fue necesario manejar tambin el
concepto de conjunto vaco.
Conjunto Vaco
El conjunto vaco es el conjunto que no posee ningn elemento, se denota por o por { }.
No es correcto referirse al conjunto vaco de la siguiente forma {}.
Conjunto de los Nmeros Reales
Al conjunto que est formado por la unin entre el conjunto de los nmeros
racionales y el conjunto de los nmeros irracionales se conoce como el conjunto de
los nmeros reales. Se denota por .
=
Como ya sabemos los elementos de no poseen caractersticas similares con los elementos de por lo que podemos afirmar que:
=
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
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Adems se puede definir a como:
= {0} +
: indica nmeros racionales. : indica nmeros racionales negativos. {0}: indica al conjunto que contiene al cero. +: indica nmeros racionales positivos.
Como caractersticas de este conjunto tenemos que:
Ordenado: esto pues sigue una secuencia lgica. Infinito: pues es un conjunto incontable. Continuo: cada nmero tiene un antecesor y un sucesor. Denso: entre cada dos nmeros podemos encontrar infinita cantidad de
nmeros.
Completo: pues incluye a todos los nmeros.
De la grafica anterior podemos deducir algunas relaciones entre conjuntos:
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
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Relacin de inclusin y pertenencia.
Simbologa
1. 2. 3. : 4. :
Para denotar que un nmero pertenece a un conjunto determinado utilizamos el
smbolo si no pertenece y si lo que queremos es indicar que un conjunto se
encuentra dentro de otro utilizamos y si no lo est .
# Ejemplo # Ejemplo # Ejemplo # Ejemplo
1 ___
6 0.25 ____ 11 1.20 ____ 16 7 ____
2 10 ____
7 ____ 12 {1,0,3} ____ 17 ____
3 ____
8 0 ____ 13 {4,5} ____ 18 + ____
4 1.4 ____
9 {2} ____ 14 {10,15} ____+ 19 + ____
5 {0,2,4} ___
10 ____ 15 + ____ 20 ____
Nmeros opuestos.
Utilizando el cero como el punto de origen podemos decir que dos nmeros
opuestos son aquellos que se ubican sobre la recta numrica a la misma distancia del
cero con signos contrarios, es decir el opuesto de un nmero se define como:
Por ejemplo:
El opuesto de 10 es (10) es decir 10.
El opuesto de 2 2 es (2 2) es decir 2 2
El opuesto de 3 es ( 3) es decir 3
El opuesto de + 4 es ( + 4) es decir 4
El opuesto de 2 3 es (2 3) es decir 2 + 3
JosuCuadro de texto= 3,14159265369
JosuCuadro de textoe= 2.71828182846
EXPxy()%AC789456123-0.=+
JosuCuadro de texto
JosuCuadro de texto
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Nmero Opuesto Nmero Opuesto Nmero Opuesto
2
7 + 10 9
5 3
2 6 13 3
2 7
5 5 3
11 + 2 5 3
2 + 3
15 2 + 6
Valor Absoluto Si tenemos que representa a un nmero real entonces el valor absoluto de denotado por || se define como:
|| = {, 0
., < 0
Ejemplos
|12| =
Como 12 0, se puede afirmar que:
|12| = 12
|15| =
Como 12 < 0, entonces trabajar con el opuesto de ese numero y se puede afirmar que:
|15| = (15) = 15
JosuCuadro de texto 5 + 3
JosuCuadro de texto 7 - 2
JosuCuadro de texto e -
JosuCuadro de texto 2 -
JosuCuadro de texto2 - 3
JosuCuadro de texto-7 - 10
JosuCuadro de texto 6 - 2
JosuCuadro de texto 5 -
JosuCuadro de texto 11 - 2
JosuCuadro de texto 15 -
JosuCuadro de texto + 9
JosuCuadro de texto 3 - 13
JosuCuadro de texto 3 - 5
JosuCuadro de texto 3 - 5
JosuCuadro de texto 2 - 6
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9
|1 2| =
Como 1 2 < 0, entonces trabajar con el opuesto de ese nmero y se puede afirmar que:
|1 2| = (1 2) = 2 1
| 3| =
Como 3 0, se puede afirmar que:
| 3| = 3
Determine en valor absoluto de las siguientes expresiones.
# Ejemplo # Ejemplo
1 |14| =
6 |1 | =
2 |1 3| =
7 |4| =
3 |3 5| =
8 |1 5| =
4 |10| =
9 |0| =
5 |1 | =
10 | 3| =
JosuCuadro de texto14
JosuCuadro de texto - 1
JosuCuadro de texto3 - 1
JosuCuadro de texto4
JosuCuadro de texto5 - 3
JosuCuadro de texto5 - 1
JosuCuadro de texto10
JosuCuadro de texto0
JosuCuadro de texto e - 1
JosuCuadro de texto - 3
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10
Intervalos Reales
Un intervalo real es un conjunto de todos los nmeros comprendidos entre dos
nmeros y con < , donde se le conoce como extremo inferior y b se conoce como extremo superior.
Los intervalos se denotan de dos formas por compresin o por notacin de
parntesis cuadrados.
Tipos de intervalos
Los smbolos > < se usaran para indicar que el intervalo est abierto en el nmero.
Los smbolos se usaran para indicar que el intervalo est cerrado en el nmero.
Intervalos Abiertos
Nos referimos a un intervalo abierto cuando sus extremos no se toman en cuenta
como elementos del conjunto.
], [ = { / , < < }
Ejemplos
]3,5[ = { / , 3 < < 5 }
]0,4[ = { / , 0 < < 4 }
]5, 2[ = { / , 5 < < 2 }
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuResaltar
JosuCuadro de texto]1,2[= {x/x e R, 1< x
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Intervalos Cerrados
Nos referimos a un intervalo cerrado cuando sus extremos si se toman en cuenta
como elementos del conjunto.
[, ] = { / , }
Ejemplos
[3, 7] = { / , 3 7}
[4,1
2] = { / , 4
1
2}
[0,6] = { / , 0 6}
Intervalos Semi-abiertos
Se consideran intervalos semi-abiertos a aquellos intervalos donde uno de sus
extremos se incluye como elemento del conjunto y el otro se excluye.
[, [ = { / , < }
], ] = { / , < }
Ejemplos
[2,3[ = { / , 2 < 3}
[53
, 1[ = { / , 53
< 1}
]0,5] = { / , 0 < 5}
]4
5,
1
3] = { / ,
4
5<
1
3}
JosuResaltar
JosuResaltar
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12
Intervalos Infinitos
Nos referimos a un intervalo infinito cuando alguno o ambos extremos son un
infinito ya sea o +.
], [ = { / , < }
], ] = { / , }
], +[ = { / , < }
[, +[ = { / , }
Ejemplos
], 3[ = { / , < 3}
], 1] = { / , 1}
]4, +[ = { / , < 4}
[3, +[ = { / , 3}
Intervalos Especiales
Se conocen como intervalos especiales a los siguientes intervalos.
], +[ =
], 0[ =
]0, +[ = +
JosuResaltar
JosuResaltar
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Exprese los intervalos segn corresponda.
# Ejemplo # Ejemplo
1 [1, 4] =
8 ]2, [ =
2 { / , 5 < 7} =
9 ], 1] =
3 { / , < 0} =
10 { / , 3} =
4 ]10, 7] =
11 ]8, +[ =
5 [21, [ =
12 { / , 3 < < 2 } =
6 { / , < 6} =
13 ]3,12[ =
7 { / ,
2
5<
1
8} =
14 { / , 5 11} =
JosuCuadro de texto{x / x ,1 x 4}
JosuCuadro de texto[ 5,7 [
JosuCuadro de texto ] -, 0 [ = R-
JosuCuadro de texto
JosuCuadro de texto
JosuCuadro de texto
JosuCuadro de texto{ x / x , -10 < x -7 }
JosuCuadro de texto
JosuCuadro de texto{ x / x , -2 x < e }
JosuCuadro de texto
JosuCuadro de texto] -, 6 [
JosuCuadro de texto
JosuCuadro de texto
JosuCuadro de texto
JosuCuadro de textoR+
JosuCuadro de textoR-
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14
Prctica
1. Considere las siguientes proposiciones.
I. 23 es un nmero racional.
II. 4
es un nmero irracional.
Cules de ellas son verdaderas?
A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II
2. Considere las siguientes proposiciones.
I. 5,24681012
II. 3,1415 Cules de ellas son verdaderas?
A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II
3. Considere las siguientes proposiciones.
I. 72
2
II. 50 Cules de ellas son verdaderas?
A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II
JosuCuadro de texto x
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
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15
4. Considere las siguientes proposiciones.
I. II. III. = IV. =
Cul de ellas es verdadera?
A) Solo la I B) Solo la II C) Solo la III D) Solo la IV
5. Considere las siguientes proposiciones.
I. { , , 3}
II. {9, 18, 81}
Cules de ellas son verdaderas?
A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II
6. Considere las siguientes proposiciones.
I. pertenece a II. no pertenece a
Cules de ellas son VERDADERAS?
A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
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7. Considere las siguientes proposiciones.
I. es un conjunto ordenado II. es un conjunto completo
Cul de ellas son VERDADERAS?
A) Ambas B) Ninguna C) Sola la I D) Solo la II
8. Considere las siguientes proposiciones.
I. 4
5
4
5
II. 3
2
3
2
Cules de ellas son VERDADERAS?
A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II
9. Considere las siguientes proposiciones.
I. 7
8>
2
3
II. 035,3 < 350.3
Cules de ellas son VERDADERAS?
A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
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17
10. Considere las siguientes proposiciones.
I. 814
es un nmero racional.
II. 6253
es un nmero irracional.
Cules de ellas son verdaderas?
A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II
11. Considere las siguientes proposiciones.
I. 3 > 2
II. 2
5>
5
2
Cules de ellas son verdaderas?
A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II
12. Considere las siguientes proposiciones.
I. N3
15
II. Z3 8
Cules de ellas son VERDADERAS?
A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de texto x
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18
13. Considere las siguientes proposiciones.
I.
2
1,
2
1
4
1
II. 4,3
De ellas Cules son VERDADERAS?
A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II
14. Considere las siguientes proposiciones.
I. 2, 35 < 2,35 II. > 3,14
Cules de ellas son verdaderas?
A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II
15. Un nmero irracional est representado por
A) 0,432
B) 0,010101. . .
C) 1,112112. . .
D) 1,23233233323333. . .
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
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19
16. Un nmero racional est representado por
A) 24
B) 324
C) 663
D) (1
8)
1
17. Si Za
5
4entonces un posible valor de a es
A) 4
B) 5
C) 5
1
D) 5
9
18. Un nmero que pertenece a { / , 2 < 3} es:
A.
B. 16
5
C. 3
D. 2
19. Si x
2
1,1 y x Z entonces un posible valor para x es
A) 2
B) 2
C) 2
1
D) 1
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de texto?
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20
20. El valor absoluto de |5 3| es:
A. 3 5
B. 5 3
C. 5 + 3
D. 5 3
21. El valor absoluto de |2 | es:
A. 2
B. 2
C. 2 +
D. 2
22. El valor absoluto de |5 7| es:
A. 7 5
B. 5 7
C. 5 + 7
D. 5 7
23. El valor absoluto de |2 | es:
A. 2
B. 2
C. 2 +
D. 2
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
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21
24. El opuesto de |2 3| es:
A. 3 2
B. 2 3
C. 2 + 3
D. 2 3
25. El opuesto de 2
3 es:
A. 2
3
B. 3
2
C. 3
2
D. 2
3
26. El opuesto de |5 6| es:
A. 6 5
B. 5 6
C. 5 + 6
D. 5 6
27. El opuesto de 3
7 es:
A. 7
3
B. 7
3
C. 3
7
D. 3
7
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
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22
28. Cul es un elemento de [2, 2[?
A. 2
B. 3
C. 5
D. 1
2
29. Cul es un elemento de [3, 3[?
A. 2
B. 3
C. 5
D. 1
2
30. Cul es un elemento de [2, 1[?
A. 2
B. 3
C. 5
D. 1
2
31. La expresin { / , 3 < 0}corresponde a
A. ]3,0[
B. ]3,0]
C. [3,0[
D. [3,0]
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
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23
32. El conjunto { / , 5 < < 2} escrito en notacin de intervalo es:
A. ]5,2[
B. ]5,2]
C. [5,2[
D. [5,2]
33. El conjunto { / , 4 6} escrito en notacin de intervalo es:
A. ]4,6[
B. ]4,6]
C. [4,6[
D. [4,6]
34. La expresin { / , 2 < 1}corresponde a
A. ]2,1[
B. ]2,1]
C. [2,1[
D. [2,1]
35. El conjunto { / , 0 < } escrito en notacin de intervalo es:
A. ]0, [
B. ]0, ]
C. [0, [
D. [0, ]
36. El conjunto { / , < 5} escrito en notacin de intervalo es:
A. ], 5[
B. ], 5]
C. [, 5[
D. [, 5]
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de texto x
JosuCuadro de textox
JosuCuadro de textox
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24
Propiedades de las potencias
Potencia Cero
Todo nmero diferente de cero elevado a la cero nos da como resultado 1.
0 = 1 0
Ejemplos
(4)0 = 1
(2
5)
0
= 1
(5)0
= 1
()0 = 1, con 0
(0)0 =
Potencia Uno
Todo nmero elevado a la uno nos da como resultado el mismo nmero.
1 =
Ejemplos
71 = 7
(5
3)
1=
5
3
(25
)1
= 25
1 =
-
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25
Potencia de Uno
Uno elevado a cualquier nmero nos da como resultado 1.
1 = 1
Ejemplos
12 = 1
11000 = 1
115 = 1
Potencia de una Potencia
Mantengo la base y multiplico los exponentes.
( ) =
Ejemplos
(23)2 = 26 = 64
(4)3 = 12
(5)3 = 15
Potencia de un Producto
En potencia de un producto elevamos cada uno de los factores al exponente.
( ) = Ejemplos
(53)2 = 52(3)2 = 256
(345)2 = 32(4)2(5)2 = 9810
(22)4 = 24(2)44 = 1684
-
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26
Potencia de un Cociente
En potencia de un cociente elevamos al dividendo y al divisor al exponente.
(
)
=
Ejemplos
(5
3)
3=
53
33=
125
27
(2
)
3
=6
3
(23
74)
3
=239
7312=
89
34312
Multiplicacin de Potencias de Igual Base
Mantengo la base y sumo los exponentes.
= +
Ejemplos
32 33 = 32+3 = 35 = 243
(2)4 (2)6 = (2)4+6 = (2)10 = 1024
(4)2 (4)4 = (4)2+4 = (4)6 = 40966
-
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27
Divisin de Potencias de Igual Base
Mantengo la base y resto los exponentes.
=
Ejemplos
(3)3
(3)1 = (3)31 = (3)2 = 9
(2)9
(2)4 = (2)94 = (2)5 = 325
(2)
12
(2)5 = (2)125 = (2)7 = 714
Potencia Negativa de una Fraccin
Invertimos la base y ponemos el exponente positivo.
(
)
= (
)
Ejemplos
(
)
3= (
)
3=
()3
()3=
33
3
(2
3)
5
= (3
2)
5
= (2
3)
5
=(2)
5
(3)5=
105
15
(2
2)
4= (
2
2)
4
=(2)
4
(2)4=
48
164
-
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28
Potencia Fraccionaria
Transformo la potencia en un radical de forma que el denominador pase a ser el
ndice y el numerador pase a ser el exponente.
() =
Ejemplos
(5)3
4 = (5)34
= 12534
(4)1
2 = (1
4)
1
2=
1
4
(5)2
5 = (5)25
= 2525
Notas
Base positiva elevada a cualquier tipo de exponente nos dar siempre un resultado positivo.
Base negativa elevada a un exponente par nos dar como resultado un nmero positivo, pero si el exponente es impar el resultado ser un nmero
negativo.
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29
Realice las siguientes operaciones aplicando las propiedades de las potencias.
Ejercicio Ejercicio
1 1 =
11 (2)2 =
2 2 4 =
12 3 2 =
3 (2)3 =
13 0 =
4 ( )2 =
14 (
2
)
3
5 (
4
3)
2
=
15 ( )2 =
6 (
3
2)
3
= 16
(2
52)
3
=
7 100 =
17 6 4 =
8 (
3
3)
4
=
18 (10)2 =
9 9 6 =
19 (5)32 =
10
34 =
20 (5)2 =
-
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30
Radicacin
Un radical es una expresin matemtica de la forma:
Donde:
: coeficiente del radical.
: se conoce como raz y representa al signo del radical.
: representa al ndice del radical.
a: es el subradical de la expresin.
m: representa al exponente del subradical.
Para trabajar con radicales de ndice par es importante tomar en cuenta que el
nmero que representa al subradical sea un nmero positivo, puesto que si este es
negativo este nmero no est definido en el conjunto de los nmeros reales, por lo
cual cuando trabajemos con letras en races de ndice par asumiremos que estn bien
definidas.
Ejemplos
54
10
710
Radicales Semejantes
Dos o ms radicales son semejantes si sus ndices y sus subradicales son iguales
respectivamente.
Ejemplos
52, 72, 1
22
3
5
3, 8
3,
3
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
31
Radicales Homogneos
Dos o ms radicales son homogneos si sus ndices son iguales.
Ejemplos
435
, 3105
, 95
, 1
33, 3
Propiedades de los Radicales
Propiedad 1: Extraccin de un subradical de una raz.
= {,
.||,
Ejemplos
(4)55
= 4
164
= (2)44
= |2| = 2
33
=
2 = ||
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
32
Propiedad 2: La n-sima potencia de la raz n-sima de un nmero real.
(
)
= Ejemplos
(24
)4
= 2
(1
42
3)
3
=1
42
(37 )
7= 3
( 215
)15
= 2
Propiedad 3: Factor comn entre el ndice y el exponente de un radical.
=
Ejemplos
24
= 2
2
42
=
()1015
= ()10
5
155
= ()23
= 223
()48
= ()4
4
84
=
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
33
Propiedad 4: Introduccin del coeficiente en el radical.
=
Ejemplos
53 = 52 3 = 25 3 = 75
2 325
= (2)5 325
= 325 325
= 9675
237
= 7237
= 2107
Propiedad 5: Raz de una raz.
=
Ejemplos
1
3
34
= 1
3
43=
1
3
12
535
= 553
= 515
= 3
23
= 232 = 2
6
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
34
Propiedad 6: Raz de un producto.
=
Ejemplos
433
= 43
33
= 43
168124
= 164
84
124
= 223
24 = 6 4 = 6 4 = 26
Propiedad 7: Raz de un cociente.
=
Ejemplos
32
243
5=
325
2435 =
2
3
2063
1043 =
206
104
3= 22
3
4
2=
4
2=
2
Conociendo estas propiedades podemos realizar operaciones bsicas.
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
35
Aplique las propiedades anteriores segn corresponda
Ejercicio Ejercicio
1 123
=
11 612
=
2
36 =
12 ( )2
=
3 23
=
13
4=
4 26
=
14
6
3
3
=
5 (3
)6
=
15 44
6 43
= 16
8
12
4
=
7 10155
=
17 693
=
8 33
=
18 (
)
=
9 242
=
19 325
=
10
20
10
5
=
20 334
=
-
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36
Operaciones con Radicales
Suma o Resta de Radicales
Para sumar o restar radicales lo primero que hay que verificar es que estos sean semejantes entre s, s lo son entonces se suman o se restan los
coeficientes y se conserva el radical.
En algunos casos no se puede decir a simple vista si los radicales involucrados son semejantes entre si, por lo que debemos trabajar con los
subradicales de manera que al factorizarlos podamos extraer parte de ellos
del subradical de forma que podamos conseguir radicales semejantes.
Si esto se logra se pueden sumar o restar si no ya no se podr realizar la operacin y este ser el resultado.
Por ejemplo:
350 1172 + 2200
Iniciamos factorizando los subradicales buscando encontrar radicales semejantes
50 2 72 2 200 2 25 5 36 2 100 2 5 5 18 2 50 2 1 9 3 25 5 52 2 3 3 5 5 1 22 32 2 1 52 22 2
Los transformamos al producto de sus potencias agrupndolos de acuerdo al ndice
del radical
= 352 2 1122 32 2 + 252 22 2
Aplicando las propiedades de las potencias extraemos los trminos que se puedan
del subradical
= 3 52 11 2 32 + 2 5 22
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
37
Realizamos las multiplicaciones indicadas
= 152 662 + 202
Finalmente efectuamos las sumas y resta y obtenemos:
= 312
Por lo tanto
350 1172 + 2200 = 312
2 1653
+ 6283
32 2 2723
Iniciamos factorizando los subradicales buscando encontrar radicales semejantes
16 2 27 3 8 2 9 3 4 2 3 3 2 2 1 33 1 23 2
Los transformamos al producto de sus potencias agrupndolos de acuerdo al ndice
del radical
= 2 23 2 3 23
+ 623 3 23
32 2 3323
Aplicando las propiedades de las potencias extraemos los trminos que se puedan
del subradical
= 2 2 223
+ 6 223
3 3 2 223
Realizamos las multiplicaciones indicadas
= 42 223
+ 62 22 3
92 223
Finalmente efectuamos las sumas y resta y obtenemos
= 2 23
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
38
Realice las operaciones indicadas
Ejercicio Ejercicio
1 448 1018 227 =
6 83 33 + 23 =
2 12 227 + 375 =
7 6 + 2 =
3 0,04 20,01 + 30,16 =
8 210243
20003
=
4 1
2163
1
32503
=
9 3
41893
1
54483
=
5 345 1020 + 80 =
10 58 162 + 232 =
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
39
Multiplicacin y Divisin de Radicales
Para multiplicar o dividir radicales estos deben ser homogneos, si lo son se deben multiplicar o dividir los coeficientes con los coeficientes y los
subradicales con los subradicales, es decir:
=
o
=
En caso que los radicales no sean homogneos debemos proceder a
homogenizarlos antes de realizar la multiplicacin o la divisin.
Para homogenizar radicales seguimos el siguiente procedimiento:
Calculamos el mnimo comn mltiplo de los ndices involucrados, el cual se convertir en el nuevo ndice de las races.
Luego tomamos este nuevo ndice y lo dividimos por cada uno de los ndices anteriores y el cociente de esta divisin se convertir en el nuevo
exponente de los subradicales.
Ahora luego de haber realizado este proceso podemos realizar la multiplicacin o la divisin correspondiente.
Ejemplos
350 22 =
Verificamos inicialmente si los radicales son homogneos al ser lo
procedemos a la multiplicacin segn la regla anterior
= 3 250 2
Luego de esto obtenemos:
= 621002
En este caso podemos extraer trminos del subradical por lo que procedemos
a factorizarlos para expresarlos como potencias
= 621022
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
40
Se extraen los trminos posibles y tenemos:
= 62 10
Finalmente se realizan las multiplicaciones indicadas y el resultado es:
= 603
Por lo tanto 350 22 = 603
524
223
Verificamos inicialmente si los radicales son homogneos, como en este caso
no lo son procedemos a buscar el mnimo comn mltiplo de los ndices.
m. c. m
4 3 2 2 3 2 1 3 3 1 1 12
De lo anterior que tenemos que el nuevo ndice es 12. Luego tomamos este nuevo ndice y lo dividimos por cada uno de los ndices anteriores es decir
12 4 = 3 y 12 3 = 4. Estos cocientes sern los nuevos exponentes de los subradicales. Por lo que obtenemos:
= (52)312
(22)412
Desarrollamos las expresiones obteniendo:
= 125612
16812
Realizamos la multiplicacin:
= 20001412
En este caso podemos extraer trminos del subradical por lo que procedemos
a factorizarlos para expresarlos como potencias
= 20002 1212
Se extraen los trminos posibles y tenemos:
= 2000212
Por lo tanto 524
223
= 2000212
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
41
En el caso de las divisiones tenemos que:
1543
33
Verificamos inicialmente si los radicales son homogneos al serlo
procedemos a la divisin segn la regla estudiada.
= 154
3
3
Luego de esto obtenemos:
= 533
En este caso podemos extraer trminos
= 53
Por lo tanto 1543
33 = 5
3
856
2
Verificamos inicialmente si los radicales son homogneos, como en este caso
no lo son procedemos a buscar el mnimo comn mltiplo de los ndices.
m. c. m
6 2 2 3 1 3
1 1 6
De lo anterior que tenemos que el nuevo ndice es 6. Luego tomamos este nuevo ndice y lo dividimos por cada uno de los ndices anteriores es decir
6 6 = 1 y 6 2 = 3. Estos cocientes sern los nuevos exponentes de los subradicales. Por lo que obtenemos:
=(85)6
(2)36
Desarrollamos las expresiones obteniendo:
= 85
83
6
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
42
Realizamos la divisin:
= 26
Finalmente aplicamos la propiedad del factor comn entre el ndice y el
exponente de un radical, ya que ambos son divisibles entre 2 y obtenemos:
= 3
Por lo tanto 856
2=
3
Realice las operaciones indicadas
Ejercicio Ejercicio
1 43 10423 =
2 2543
53 =
3 23
236
34
=
4 946
34 =
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
43
5 3 323 =
6 8023
1026=
7 1
23
1
334
=
8 43
63 =
9 35 1020 8 =
10 453
23 =
-
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44
Racionalizacin de denominadores
El proceso de racionalizacin consiste en convertir un denominador irracional en un
denominador racional.
Caso 1.
Cuando el denominador de la fraccin es un solo radical, debemos multiplicar el
numerador y es denominador por un radical que posea el mismo ndice del radical
del denominador, y cuyo subradical sea un trmino complete lo necesario para poder
convertir este radical en un nmero racional.
Ejemplos
4
2=
Iniciamos la racionalizacin observando que el trmino que necesitamos para
poder convertir a un nmero racional al radical es un nmero que lo convierta
en una potencia al cuadrado. Por esto multiplicaremos por un radical cuyo
subradical sea el mismo trmino del inicial.
=4
2
2
2
Realizamos la multiplicacin y tenemos:
=42
(2)2
Ahora extraemos el subradical.
=42
2
Finalmente simplificamos la expresin y por lo tanto.
4
2= 22
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
45
2
3 =
Iniciamos la racionalizacin observando que el trmino que necesitamos para
poder convertir a un nmero racional al radical es un nmero que lo convierta
en una potencia al cubo. Por esto multiplicaremos por un radical cuyo
subradical sea el mismo trmino inicial elevado a la 2.
2
3
23
23 =
Realizamos la multiplicacin y tenemos:
2 23
33 =
Ahora extraemos el subradical.
2 23
=
Finalmente simplificamos la expresin y por lo tanto.
2
3 =
23
3
5=
Iniciamos la racionalizacin nuevamente observando que el trmino que
necesitamos para poder convertir el radical a un nmero racional es un
nmero que lo convierta al trmino en una potencia al cuadrado. Por esto
multiplicaremos por un radical cuyo subradical sea el mismo trmino inicial.
=3
5
5
5
Realizamos la multiplicacin y tenemos:
=35
52
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
46
Ahora extraemos el subradical.
=15
5
Por lo tanto: 3
5=
15
5
Caso 2.
Cuando nuestro denominador es compuesto por dos trminos debemos multiplicar el
numerador y el denominador por el conjugado de su denominador, que se consigue
de la siguiente forma si los trminos estn unidos por suma el conjugado ser los
mismos trminos pero ahora unidos por resta, y viceversa.
Ejemplos
15
72
Iniciamos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del
denominador.
=15
72
(7+2)
(7+2)
Realizamos las operaciones y tenemos:
=15(7+2)
(7)2
(2)2
Efectuamos lo indicado en la expresin:
=15(7+2)
72
De lo anterior obtenemos:
=15(7+2)
5
Simplificamos y finalmente obtenemos:
15
7 2= 3(7 + 2)
-
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47
21
2+1
Iniciamos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del
denominador.
=21
2+1
(21)
(21)
Realizamos las operaciones y tenemos:
=(21)(21)
(2)2
(1)2
Efectuamos lo indicado en la expresin:
=(21)(21)
21
Simplificamos y finalmente obtenemos:
2 1
2 + 1= 2 1
54
5+2
Iniciamos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del
denominador.
=54
5+2
(52)
(52)
Realizamos las operaciones y tenemos:
=(54)(52)
(5)2
22
Efectuamos lo indicado en la expresin:
(54)(52)
54
Simplificamos y finalmente obtenemos:
5 4
5 + 2= 5 2
-
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48
Racionalice los denominadores de las siguientes expresiones.
Ejercicio Ejercicio
1 3 16
3 + 4=
2 20
7 + 2=
3 2
4 =
4 9
3=
5 12
7 5
6 2
=
7 2 3
2 + 3
8 27
11 2=
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
49
Prctica
37. La expresin (5)3
(5)2
equivale a
A) (5)6
B) (5)5
C) 1
(5)6
D) 1
(5)5
38. La expresin (3)4
(3)5
equivale a
A) (3)9
B) (3)20
C) 1
(3)20
D) 1
(3)9
39. La expresin (6)1
(6)2
equivale a
A) (6)2
B) (6)3
C) 1
(6)3
D) 1
(6)2
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
50
40. La expresin 43
2 es equivalente a:
A) 6
B) 8
C) 1
6
D) 1
8
41. La expresin 251
2 es equivalente a:
A) 5
B) 50
C) 1
5
D) 1
50
42. La expresin 272
3 es equivalente a:
A) 6
B) 1
C) 1
6
D) 1
9
43. La expresin (33
()34)
1
2 es equivalente a:
A)
B) 1
C) 2
D) 1
2
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
51
44. La expresin (24
()48)
1
2 es equivalente a:
A)
B) 1
C) 2
D) 1
2
45. La expresin ( 3
)3
()4 es equivalente a:
A) 5
B) 74
C) 77
D) 58
46. La expresin ()2
(2)4 es equivalente a:
A) 5
B) 211
C) 212
D) 216
47. La expresin 3268 es equivalente a:
A) 84
10
B) 163
4
C) 432
4
D) 4234
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
52
48. La expresin 8812 es equivalente a:
A) 84
10
B) 166
4
C) 262
4
D) 2234
49. La expresin 108 3
es equivalente a:
A) 2273
B) 343
C) 633
D) 123
50. La expresin 243 3
es equivalente a:
A) 393
B) 333
C) 633
D) 93
51. El resultado de 56 (23)63
es:
A) 100
B) 108
C) 1600
D) 3200
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
53
52. El resultado de 106 (33)63
es:
A) 300
B) 308
C) 2700
D) 72900
53. Considere las siguientes proposiciones.
I. 63
= 1
II. 23 = 124
Cules de ellas son verdaderas?
A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II
54. Considere las siguientes proposiciones.
I. 64
= 68
II. 33 = 274
Cules de ellas son verdaderas?
A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
54
55. El resultado de 81 (25)2 44
es
A) 30
B) 450
C) 152
D) 3024
56. El resultado de 32 (5)5 35
es
A) 30
B) 103
C) 2535
D) 1035
57. La expresin 223
es equivalente a
A) 45
B) 43
C) 166
D) 165
58. La expresin 42 es equivalente a
A) 84
B) 324
C) 164
D) 44
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
55
59. La expresin 4852 es equivalente a
A) 43
B) 423
C) 423
D) 4223
60. El resultado de 18 + 232 + 572 es:
A) 686
B) 352
C) 356
D) 2433
61. El resultado de 75 248 + 27 es:
A) 102
B) 103
C) 104
D) 105
62. El resultado de 50 92 8 es:
A) 62
B) 82
C) 92
D) 162
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
56
63. El resultado de 1
2
3
16
4 +3
1
27
3 es:
A) 3
4 3
4
B) 34
+ 9
C) 1
4 3
4+ 1
D) 1
8 3
4+
1
3
64. La expresin (0,3)2 + 0,02733
es equivalente a:
A) 33
B) 2
3
C) 3
5
D)
3
65. La expresin (0,4)2 0,00833
es equivalente a:
A) 33
B) 2
3
C) 3
5
D)
5
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
57
66. El resultado de 50 + 32 es:
A) 324
B) 924
C) 2504
D) 33624
67. Una expresin equivalente a 253
3 es:
A) 326
B) 35 23
C) 32 46
D) 34 23
68. La expresin 1
5
1
2523 es equivalente a:
A) 5
B) 55
C) 56
D) 5
6
69. El resultado de 453
23 corresponde a
A) 23
B) 2 23
C) 233
D) 83
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
58
70. El resultado de 1253
43 corresponde a
A) 33
B) 2 33
C) 333
D) 63
71. El resultado de 3652
6 corresponde a
A) 6
B) 26
C) 26
D) 6
72. El resultado de 21
3 es:
A. 73
B. 633
C. 73
3
D. 21+3
3
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
59
73. El resultado de 2
5 es:
A. 2
B. 25
C. 2
10
D. 10
5
74. La expresin de 14
7 es equivalente a
A. 27
B. 147
C. 27
7
D. 77
2
75. La expresin 52732
es equivalente a
A. 1206
B. 156
8
C. 527
16
D. 153
6
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
60
76. El resultado de 2
3+2 es:
A. 3 + 2
B. 2(3 + 2)
C. 3 2
D. 2(3 2)
77. El resultado de 3
2 es:
A. 3
2
B. 3+2
4
C. 3(+2)
4
D. 3
+2
78. El resultado de 6
11+5 es:
A. 11 5
B. 6(11 5)
C. 11 + 5
D. 6(11 + 5)
-
Colegio Universitario Boston Nmeros Reales
61
Soluciones
Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta
1 A 26 B 51 C 76 D
2 C 27 D 52 D 77 C
3 D 28 B 53 D 78 A
4 C 29 C 54 A
5 C 30 A 55 C
6 A 31 B 56 D
7 A 32 A 57 C
8 B 33 D 58 B
9 C 34 C 59 C
10 C 35 C 60 B
11 D 36 B 61 B
12 A 37 D 62 A
13 A 38 D 63 C
14 D 39 C 64 C
15 D 40 D 65 D
16 A 41 C 66 A
17 D 42 D 67 C
18 C 43 B 68 D
19 C 44 A 69 A
20 B 45 C 70 A
21 A 46 B 71 C
22 A 47 C 72 A
23 A 48 C 73 D
24 B 49 B 74 A
25 D 50 B 75 B
-
Colegio Universitario Boston lgebra
62
lgebra
-
Colegio Universitario Boston lgebra
63
Suma y resta de polinomios
Para sumar o restar polinomios se deben agrupar por trminos semejantes.
Entonces se suman o restan los coeficientes numricos y se conserva exactamente
igual el factor literal.
De aparecer parntesis en la expresin se deben sacar los trminos de ellos de
manera que si el parntesis esta multiplicado por un nmero positivo los signos de
los trminos no se vern afectados, sin embargo si el signo del nmero que est
delante del parntesis es negativo afectar los signos de todos los trminos que estn
dentro del parntesis.
Por ejemplo:
5 + 2 3 + 4 =
En este caso podemos observar que los factores literales de 5 + 2 son
iguales por lo que los monomios involucrados son semejantes entonces
realizamos la suma 5 + 2 = 7 y conservamos el factor literal y luego
de manera similar con 3 + 4 y realizamos la resta 3 + 4 = 1 y se
conserva el factor literal .
Por lo tanto 5 + 2 3 + 4 = 7 + .
9 62 (4 22) =
Para este caso se tiene que dos trminos de la expresin aparecen dentro
de parntesis por lo que primero debemos sacarlos del mismo tomando en
cuenta el signo negativo que hay delante del parntesis.
9 62 4 + 22
Ahora agrupamos los que los trminos cuyos factores literales son
iguales por lo que 9 4 son semejantes entonces realizamos la
resta 9 4 = 5 y conservamos el factor literal . Y de manera similar
con 62 + 22, de forma que 6 + 2 = 4, y se conserva el factor
literal 2.
Por lo tanto 9 62 (4 22) = 5 42.
-
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64
Realice las siguientes operaciones.
# Ejemplo # Ejemplo
1 3 + 9 4 =
6 (3 + 52) (7 112) =
2 64 + 54 + 24 =
7 (10 62) ( 22) =
3 22 4 + =
8 ( 82 + 4) (4 2 + 32) =
4 84 34 3 + 24 =
9 (14 32) (5 222) =
5 3 + 22 + 52 42 =
10 4 62 (4 22) =
Multiplicacin de expresiones algebracas.
Para multiplicar expresiones algebraicas, se deben realizar los siguientes pasos:
Multiplicar los signos (ley de los signos para la multiplicacin). Multiplicar los coeficientes numricos. Multiplicar las letras (multiplicacin de potencias de igual base).
-
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65
Multiplicacin de monomios
La multiplicacin de monomios se realiza de la siguiente manera: Se multiplican los
coeficientes numricos y si existen factores o coeficientes literales en comn en los
trminos o monomios a multiplicar, el producto de ellos se consigue aplicando la
regla de multiplicacin de potencias de igual base se mantiene la base y se suman
los exponentes ( = +). Por ejemplo:
(423) (52) =
En primera instancia se multiplican los coeficientes numricos y con los
factores literales aplicamos la regla de multiplicacin de potencias de igual
base, de manera que tenemos:
= 4 5 2+1 3+2
Finalmente se concluyen las operaciones y tenemos que:
(423) (52) = 2035
(243)(73) =
Iniciamos multiplicando los coeficientes numricos y con los factores
literales aplicamos nuevamente la regla de multiplicacin de potencias de
igual base, de manera que tenemos:
= 2 7 4+3 3+1
Finalmente se concluyen las operaciones y tenemos que:
(243)(73) = 1474
-
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66
(2
543) (113) =
Iniciamos multiplicando los coeficientes numricos y con los factores
literales aplicamos nuevamente la regla de multiplicacin de potencias de
igual base, de manera que tenemos:
=2
5 11 4+3 3+1
Finalmente se concluyen las operaciones y tenemos que:
(2
543) (113) =
2
5 74
Multiplicacin entre polinomios.
Ahora bien si tenemos que realizar la multiplicacin entre polinomios lo realizamos
de la siguiente forma:
Multiplicamos cada trmino del primer polinomio por cada uno de los trminos del segundo polinomio.
Luego de esto sumamos o restamos todos los monomios semejantes que aparezcan despus de realizar la multiplicacin.
Finalmente lo ordenamos de forma descendente.
-
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67
Por ejemplo:
2(2 5 + 3) =
En este caso aplicaremos la distribucin en la multiplicacin de forma que se
realizan las siguientes operaciones:
2 2 = 23, 2 5 = 52, 2 3 = 6.
Por lo tanto se tiene que 2(2 5 + 3) = 23 52 + 3.
(3 + 1)(2 5 + 4) =
En este caso aplicaremos la distribucin en la multiplicacin de forma que se
realizan inicialmente las siguientes operaciones con el primer trmino:
3 2 = 33, 3 5 = 152, 3 4 = 12.
Luego de manera similar realizamos las operaciones con el segundo trmino
1 2 = 2, 1 5 = 52, 1 4 = 4.
De los pasos anteriores se obtiene que:
= 33 152 + 12 2 5 + 4
Ahora se realizan las sumas de los trminos semejantes:
152 2 = 162 12 5 = 7
Finalmente se concluye que:
(3 + 1)(2 5 + 4) = 33 162 + 7 + 4.
-
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68
( + 3)( 2) =
En este caso aplicaremos la distribucin en la multiplicacin de forma que se
realizan inicialmente las siguientes operaciones con el primer trmino:
= 2, 2 = 2,
Luego de manera similar realizamos las operaciones con el segundo trmino
3 = 3, 3 2 = 6.
De los pasos anteriores se obtiene que:
= 2 2 + 3 6
Ahora se realizan las sumas de los trminos semejantes:
2 + 3 =
Finalmente se concluye que:
( + 3)( 2) = 2 + 6.
-
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69
Realice las siguientes operaciones.
# Ejemplo # Ejemplo
1 3(2 + 5 + 3) =
6 6(22 + 5) =
2 ( + 2)(2 2 + 4) =
7 (2 + 3)(2 5 4) =
3 ( + 5)( 7) =
8 (633) (95) =
4 (2 + 1) =
9 ( + 11)( 4) =
5 (423) (52) =
10 3(22 3 + 7) =
-
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70
Productos Notables.
Al realizar operaciones en Algebra, notamos la necesidad de realizar
multiplicaciones en repetidas ocasiones, a este tipo de producto se le conoce con el
nombre de productos notables.
Cuadrado de la suma de dos monomios.
Si tenemos un binomio de la forma ( + )2 elevado al cuadrado, esto es
equivalente a expresarlo como el producto de sus factores.
( + )2 = ( + )( + )
Al realizar la multiplicacin de estos binomios obtenemos:
( + )( + ) = 2 + + + 2
= 2 + 2 + 2
De ah que:
( + )2 = 2 + 2 + 2
Adems de lo anterior podemos decir que:
El cuadrado de la suma de dos trminos es igual al cuadrado del primer trmino
ms el doble del primero trmino por el segundo, ms el cuadrado del segundo
trmino.
Por ejemplo:
( + 5)2 =
Iniciamos expresndolo como el producto de sus factores:
= ( + 5)( + 5)
-
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71
En este caso aplicaremos la distribucin en la multiplicacin de forma que se
realizan inicialmente las siguientes operaciones con el primer trmino:
= 2, 5 = 5,
Luego de manera similar realizamos las operaciones con el segundo trmino
5 = 5, 5 5 = 25.
De los pasos anteriores se obtiene que:
= 2 + 5 + 5 + 25
Ahora se realizan las sumas de los trminos semejantes:
5 + 5 = 10
Finalmente se concluye que:
( + 5)2 = 2 + 10 + 25.
.
(2 + )2 =
Iniciamos expresndolo como el producto de sus factores:
= (2 + )(2 + )
En este caso aplicaremos la distribucin en la multiplicacin de forma que se
realizan inicialmente las siguientes operaciones con el primer trmino:
2 2 = 42, 2 = 2,
-
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72
Luego de manera similar realizamos las operaciones con el segundo trmino
2 = 2, = 2.
De los pasos anteriores se obtiene que:
= 42 + 2 + 2 + 2
Ahora se realizan las sumas de los trminos semejantes:
2 + 2 = 4
Finalmente se concluye que:
(2 + )2 = 42 + 4 + 2.
Cuadrado de la diferencia de dos monomios.
Si tenemos un binomio de la forma ( )2 elevado al cuadrado, esto es
equivalente a expresarlo como el producto de sus factores.
( )2 = ( )( )
Al realizar la multiplicacin de estos binomios obtenemos:
( )( ) = 2 + 2
= 2 2 + 2
De ah que:
( )2 = 2 2 + 2
-
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73
Adems de lo anterior podemos decir que:
El cuadrado de la diferencia de dos trminos es igual al cuadrado del primer
trmino menos el doble del primero trmino por el segundo, ms el cuadrado del
segundo trmino.
Por ejemplo:
( 4)2 =
Iniciamos expresndolo como el producto de sus factores:
= ( 4)( 4)
En este caso aplicaremos la distribucin en la multiplicacin de forma que se
realizan inicialmente las siguientes operaciones con el primer trmino:
= 2, 4 = 4,
Luego de manera similar realizamos las operaciones con el segundo trmino
4 = 4, 4 4 = 16.
De los pasos anteriores se obtiene que:
= 2 4 4 + 16
Ahora se realizan las sumas de los trminos semejantes:
4 + 4 = 8
Finalmente se concluye que:
( 4)2 = 2 8 + 16.
-
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74
.(2 3)2 =
Iniciamos expresndolo como el producto de sus factores:
= (2 3)(2 3)
En este caso aplicaremos la distribucin en la multiplicacin de forma que se
realizan inicialmente las siguientes operaciones con el primer trmino:
2 2 = 42, 2 3 = 6,
Luego de manera similar realizamos las operaciones con el segundo trmino
3 2 = 6 3 3 = 9.
De los pasos anteriores se obtiene que:
= 42 6 6 + 2
Ahora se realizan las sumas de los trminos semejantes:
6 + 6 = 12
Finalmente se concluye que:
(2 3)2 = 42 12 + 9.
Producto de la suma por la diferencia de dos monomios.
La suma de dos monomios multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del
primer monomio menos el cuadrado del segundo monomio.
( + )( ) = 2 2
-
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75
Al realizar la multiplicacin de estos binomios obtenemos:
( + )( ) = 2 + + 2
= 2 2
Por ejemplo:
( 3)( + 3) =
En este caso aplicaremos la distribucin en la multiplicacin de forma que se
realizan inicialmente las siguientes operaciones con el primer trmino:
= 2, 3 = 3,
Luego de manera similar realizamos las operaciones con el segundo trmino
3 = 3, 3 3 = 9.
De los pasos anteriores se obtiene que:
= 2 + 3 3 9
Ahora se realizan las sumas de los trminos semejantes:
3 + 3 = 0
Finalmente se concluye que:
( 3)( + 3) = 2 9.
-
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76
(2 + 5)(2 5) =
En este caso aplicaremos la distribucin en la multiplicacin de forma que se
realizan inicialmente las siguientes operaciones con el primer trmino:
2 2 = 42, 2 5 = 10,
Luego de manera similar realizamos las operaciones con el segundo trmino
5 2 = 10, 5 5 = 25.
De los pasos anteriores se obtiene que:
= 42 10 + 10 25
Ahora se realizan las sumas de los trminos semejantes:
10 + 10 = 0
Finalmente se concluye que:
(2 + 5)(2 5) = 42 25.
-
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77
Efectue las siguientes operaciones
# Ejemplo # Ejemplo
1 (5 + 3)2 =
6 (2 3)2 =
2 (10 6)2 =
7 (4 + 11)2 =
3 ( + 5)( 5) =
8 (2 + 9)2 =
4 (2 + 4)2 =
9 ( 7)( + 7) =
5 ( 11)( + 11) =
10 (5 3)2 =
Divisin de Polinomio por un Monomio.
Para calcular el cociente de dividir un polinomio entre un monomio se realizan los
siguientes pasos:
Se ordena el polinomio del dividendo de forma decreciente.
Se divide cada trmino del polinomio por el monomio del divisor, aplicando la propiedad de la divisin de potencias de igual base donde se mantiene la
base y se restan los exponentes, adems de la regla de signos.
Los resultados de lo anterior es el cociente de la divisin.
-
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78
Por ejemplo:
(166 325 82 + 243 44) (42) =
Iniciamos ordenando el dividendo de forma descendente, y tenemos que:
166 325 44 + 243 82
Ahora realizamos la divisin
=166
42
325
42
44
42+
243
42
82
42
Trmino a trmino se tiene:
166
42= 462 = 44,
325
42= 852 = 83
44
42= 42 = 2
243
42= 632 = 6
82
42 = 222 = 2
Finalmente se obtiene que:
(166 325 82 + 243 44) (42) = 44 + 83 + 2 6 + 2.
-
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79
(64 93 + 2) (32) =
Como el dividendo esta ordenado realizamos la divisin:
=64
32
93
32+
2
32
Trmino a trmino se tiene:
64
32= 242 = 22
93
32 = 332 = 3
2
32 =
122
3=
1
3
Finalmente se obtiene que:
(64 93 + 2) (32) = 22 3 + 1
3
Realice las siguientes operaciones.
# Ejemplo
1 (646 482 + 123 44) (42)
2 (184 723 + 332) (32) =
-
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80
3 (306 65 + 603 484) (63)
4 (104 753 + 456) (52) =
5 (726 815 904) (94)
Divisin de Polinomio entre Polinomio
Para realizar una divisin de polinomios debemos seguir una serie de pasos al pie de
la letra, esto con el objetivo de ejecutar con xito este tipo de ejercicios.
Para iniciar debemos ordenar el dividendo y el divisor de forma descendente y completar con un cero los trminos que no aparezcan representados entre el
de mayor exponente y el de menor exponente.
Dividimos el primer trmino del dividendo y entre el primer termino del divisor, este cociente se multiplica por cada uno de los trminos de divisor,
-
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81
estos resultados se ubican bajo el monomio semejante que les corresponda
cambindoles el signo y se realiza la suma correspondiente.
Con el polinomio obtenido de esta suma se aplica nuevamente el paso anterior, aplicando esto hasta que el polinomio que obtengamos en el
dividendo sea de un grado menor al polinomio que aparezca en el divisor.
Ejemplos
(9 + 122) ( + 3)
Iniciamos ordenando de manera descendente y completando tanto el
dividendo como el divisor.
(122 + 0 9) ( + 3)
Se divide el primer trmino del dividendo por el primer termino del divisor,
es resultado de esto es el primer termino del cociente.
122
= 12
Este resultado se ubica en el cociente:
122 + 0 9 + 3
12
Ahora multiplicamos el 12( + 3) = 122 + 36. Y colocamos el opuesto del resultado anterior debajo de dividendo 122 36 .
122 + 0 9 + 3
122 36 12
Una vez realizado este pas, se suman el dividendo y el opuesto del producto
y se baja el siguiente trmino.
122 + 0 9 + 3
122 36 12
0 36 9
Ahora dividimos nuevamente el primer trmino del dividendo entre el
primero del divisor:
-
Colegio Universitario Boston lgebra
82
36
= 36
Este resultado se ubica en el cociente:
122 + 0 9 + 3
122 36 12 36
0 36 9
Multiplicamos el 36( + 3) = 36 108. Y colocamos el opuesto del resultado anterior debajo de dividendo 36 + 108.
122 + 0 9 + 3
122 36 12 36
0 36 9
36 + 108
Se suman el dividendo y el opuesto del producto.
122 + 0 9 + 3
122 36 12 36
0 36 9
36 + 108
0 + 99
En este momento se detiene el procedimiento ya que el primer trmino del
dividendo es de un grado menor que el primer termino del divisor. De no ser
as se debe continuar con el procedimiento.
Por lo tanto se tiene que:
12 36, es el cociente de la divisin. 99, es el residuo de la divisin.
# Ejemplo
1 (143 2) (2 + 4) =
-
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83
2 (163 44 + ) ( 1) =
3 (5 + 23 + 32) (3 + 2) =
4 (123 + 6 2) ( 2) =
5 (3 + 10 + 42) (3 + )
Prctica
1. El resultado de resolver ( + + ) ( + ) es
-
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84
A) 2 + 2 + 2
B) 2 2
C) 2 2 2
D) 2 2
2. El resultado de efectuar (53 12 + 36) + ( 10 73) obtenemos como resultado
A) 123 2 + 36
B) 23 2 + 36
C) 23 + 2 + 36
D) 23 + 22 + 36
3. Al reducir (2) + 6 3 el resultado es igual a
A) 3
B)
C) 5
D) 53
4. La expresin 32 5 + 8 2 2 + 2 es equivalente a
A) 7 + 13
B) 22 7 + 10
C) 22 + 7 + 10
D) 24 7 + 10
5. La expresin ( 5) ( 2 4) es equivalente a
-
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85
A) 1
B) 9
C) 2 + 1
D) 2 + 9
6. La expresin 63 42 nmm 235
1
4
3 es equivalente a
A) nmm 235
3
4
3
B) 2465
19
4
21nmm
C) nmm 235
19
4
21
D) nmm 235
21
4
21
7. El resultado de resolver ( + + ) ( + ) es A) 2
B) 2 2
C) 2 2 2
D) 2 2
8. El resultado de efectuar (63 11 + 30) + ( 3) obtenemos como resultado
A) 73 10 + 30
B) 53 10 + 30
C) 53 10 + 30
D) 53 + 12 + 30
9. Al reducir (5) + 6 3 el resultado es igual a
-
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86
A) 3
B)
C) 2
D) 23
10. La expresin 52 3 + 9 22 2 + 1 es equivalente a
A) 5 + 10
B) 32 5 + 10
C) 32 + 5 + 10
D) 34 5 + 10
11. La expresin ( 3 15) ( 32 4) es equivalente a
A) 11
B) 19
C) 32 + 3 11
D) 32 + 3 19
12. La expresin 53 42 + nmm 232
1
4
1 es equivalente a
A) nmm 235
3
4
3
B) 2462
7
4
21nmm
C) nmm 232
7
4
21
D) nmm 235
21
4
21
13. La expresin
63
4
3
1
5
1 22 amam es equivalente a
-
Colegio Universitario Boston lgebra
87
A) 4230
61ma
B) 130
11 2
am
C) 3
5
30
1 2
am
D) 3
5
30
11 2
am
14. El resultado de resolver 2( + 2) es
A) 2 + 4
B) 22 + 4
C) 22 + 4
D) 2 + 4
15. El resultado de efectuar 25
7
2
3
3
2yyxy
es igual a
A) 0
B) 45
7xy
C) 2y2
D) y2
16. Al resolver la potencia (3b3)3
-
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88
A) 27b3
B) 9b3
C) 273b9
D) 93b9
17. La expresin 2(3 1)(3 + 1) es equivalente a
A) 183 + 1
B) 183 2
C) 183 6 1
D) 183 122 2
18. La expresin 25
7
7
5
2
3
3
2babab
se simplifica en
A) 0
B) 2
C) 2
D) 22
19. La expresin ()(72)(22) es equivalente a
A) 742
B) 753
C) 753
D) 742
20. La expresin 3(25 2 + 1) es equivalente a
-
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89
A) 9
B) 28 2 + 1
C) 25 + 23 1
D) 28 + 24 + 3
21. La expresin
xyxyyx
2
12
8
7 22 es equivalente a
A) 223 244
7xyyxyx
B) 2232
1
16
7xyyxyx
C) 222
1
16
7yxyyx
D) 232
1
16
7xyxyyx
22. La expresin 34
3yxx
es equivalente a
A) 324
3yx
B) 324
3yx
C) 324
3
4
3xyx
D) 324
3
4
3xyx
-
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90
23. La expresin (2x 1) (22x +1) es equivalente a
A) 122
4 x
B) 122
2 x
C) 23x 1
D) 23x
24. La expresin (723)(34) es equivalente a
A) 1037
B) 2137
C) 2127
D) 21212
25. La expresin (5 + 3)2 es equivalente a
A) 52 + 3
B) 252 + 3
C) 252 + 9
D) 252 + 30 + 9
26. La expresin (6 7)2 es equivalente a
A) 62 7
B) 362 84 + 49
C) 362 49
D) 362 + 84 + 49
-
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91
27. La expresin (9 + 4)2 es equivalente a
A) 92 + 4
B) 812 + 16
C) 812 + 72 + 16
D) 812 72 + 16
28. La expresin (8 5)2 es equivalente a
A) 82 5
B) 642 80 + 25
C) 642 25
D) 642 + 80 + 25
29. La expresin (5 3)(5 + 3) es equivalente a
A) 252 9
B) 252 + 9
C) 252 + 30 + 9
D) 252 30 + 9
30. La expresin (4 + 13)(4 13) es equivalente a
A) 162 + 104 + 169
B) 162 169
C) 162 + 169
D) 162 104 + 169
-
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92
31. Si 0 la expresin x
xx
6
612 3 es equivalente a
A) 33
B) 123
C) 2 + 1
D) 22 + 1
32. La expresin 54
36
6
18
ba
bacorresponde a
A) 322
B) 622
C) 322
D) 2
23
b
a
33. La expresin 2
23
12
1224
x
xx es equivalente a
A) x
1
B) 243
C) 2 1
D) 2 122
34. La expresin x
xxx )1(2 es equivalente a
A) 3 1
B) + 1
C) 3 3
D) 2 2
-
Colegio Universitario Boston lgebra
93
35. El cociente de ( -20a3b5 + 15a2b) (-5a2b) es igual a
A) 4 + 3
B) 35
C) 44 3
D) 4 1
36. Al dividir aaaa 5
3
4
1
5
3
3
1 23
obtenemos como cociente
A) 12
5
9
5 2
aa
B) 12
5
9
5 2
aa
C) 12
5
9
5 2 aa
D) 12
5
9
5 2
aa
37. La expresin 226 5525 mmm es equivalente a
A) 42
B) 54
C) 54 1
D) 53 1
38. La expresin + 2( 3 5) es equivalente a
A) 6 4
B) 6 9
C) 6 102
D) 7 52 + 6
-
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94
39. La expresin 8 (163 + 82) ( 4 2) es equivalente a
A) 4 2
B) 4 + 2
C) 8 163 2
D) 8 163 + 2
40. La expresin 3 2 + (3)2 + (52 2) es equivalente a
A) 72
B) 82
C) 92
D) 11a2
41. El resultado de efectuar 3 2(1 ) + 2 corresponde a
A)
B) 5 + 32
C) 5 2
D)
42. La expresin ( + + ) (2 + ) se simplifica en
A) + 2
B) 2 2 22
C) 2
D) 22 2
-
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95
43. La expresin 2 + 2( 4 6) es equivalente a
A) 8 4
B) 8 10
C) 8 102
D) 8 102 + 2
44. La expresin 7 (203 + 152) ( 5 2) es equivalente a
A) 3 3
B) 3 + 3
C) 8 133 3
D) 8 133 + 3
45. Al dividir (32 13 10) ( 5) el cociente es A) 3 2
B) 3 + 2
C) 3 10
D) 3 + 10
46. Al efectuar 4 (22 5 3) (2 + 1) se obtiene
A) + 5
B) 5
C) 3 + 3
D) 3 3
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47. El cociente de (2 15 + 56) ( 7) es:
A. 8
B. + 8
C. 2 7
D. 22
48. El residuo de (3 + 22 + 5) ( + 2) es:
A. 9
B. 13
C. 3
D. 7
49. El cociente de (3 + 32 4) ( + 2) es equivalente a:
A. 2 +
B. 2 + 5
C. 2 + 2
D. 2 + 5 + 10
50. El cociente de (3 + 2 12) ( 2) es equivalente a:
A. 2 12
B. 2 + 6
C. 2 + 2 + 6
D. 2 + 14
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97
Factorizacin de Polinomios
Cuando nos referimos al concepto de factorizacin estamos hablando de presentar
alguna expresin matemtica como el producto de sus factores, para lograr este
objetivo existen muchos mtodos, a nosotros en este curso nos interesan el estudio
de tres de ellos:
Factorizacin por Factor Comn.
Factorizacin por Trinomio Cuadrado Perfecto.
Factorizacin por Diferencia de Cuadrados.
Mtodo por factor comn.
Para realizar este tipo de factorizacin cumpliremos el siguiente procedimiento:
Debemos tomar los coeficientes numricos de los diferentes monomios que aparezcan en la expresin y calcular su mximo comn divisor (MCD). Lo
que significa encontrar el producto de los divisores comunes de los mismos.
Seguidamente verificamos si las variables que aparecen en el polinomio estn presentes en todos los monomios, si es as tomamos la variable que tenga el
menor exponente para que forme parte de nuestro factor comn.
Es decir que el factor comn est formado por el MCD y por todas las variables que estn presentes en todos los trminos del polinomio que tengan
menor exponente.
Finalmente debemos formar el otro factor el cual encontramos luego de dividir cada trmino del polinomio por el factor comn. Cabe resaltar que el
polinomio que se forma como el otro factor podra ser factorizado por
cualquiera de los otros dos mtodos que estudiaremos a continuacin.
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98
Ejemplos.
1. Factorice la siguiente expresin: 1043 524 + 1532.
El primer paso es encontrar el factor comn.
MCD Factor Literal.
10 5 15 5 22
2 1 3 5
Factor comn es 522.
Luego se divide cada termino por el factor comn.
1043
522= 22
524
522= 2
1532.
522= 3
Por lo tanto el otro factor que obtenemos es (22 2 + 3).
Finalmente tenemos que
1043 524 + 1532 = 522(22 2 + 3)
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99
2. Factorice la siguiente expresin: 1453
3
212
5+
724
2
Para este caso lo primero que debemos realizar es presentar el polinomio con
su denominador comn.
14053 1262 + 10524
30
Luego encontramos el factor comn.
MCD Factor Literal
140 126 105 7 2
10 18 15 7
Factor comn es 7
302.
El otro factor que obtenemos es (104 18 + 152).
Por lo tanto tenemos que
14
353
21
52 +
724
2=
7
302(104 18 + 152)
Mtodo por agrupacin.
Se aplica en polinomios que no tienen factor comn en todos sus trminos.
Para realizar este tipo de factorizacin seguimos el siguiente procedimiento:
Se forman grupos de igual cantidad de trminos que tengan factor comn, se sustrae dicho factor comn en cada uno de los grupos. Debe quedar un
parntesis comn.
Se extrae dicho parntesis como factor comn.
Y finalmente se forma el otro factor usando los resultados obtenidos en la primera factorizacin efectuada.
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100
Ejemplo.
1. Factorice la siguiente expresin: 22 + + 22 +
El primer paso es agrupar los trminos que tengan factor comn.
(22 + ) + (22 + )
Luego determinamos el factor comn de cada agrupacin.
(22 + ) + (22 + )
Ahora como tenemos parntesis iguales se toma este como un factor comn,
y se forma el otro factor.
(22 + )( + )
Por lo tanto tenemos que:
22 + + 22 + = (22 + )( + )
Mtodo por trinomio cuadrado perfecto.
Para realizar este tipo de factorizacin seguimos el siguiente procedimiento:
Ordenamos el trinomio de forma decreciente, y calculamos la raz cuadrada de los trminos que estn en los extremos del mismo.
Multiplicamos estos resultados entre si y luego por dos, si esto nos da el trmino del centro tenemos un trinomio cuadrado perfecto.
Tomamos los resultados obtenidos en el paso uno los encerramos entre parntesis unindolos con el signo del trmino del centro y este parntesis lo
elevamos al cuadrado.
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101
Ejemplos.
1. Factorice la siguiente expresin: 42 12 + 92
Ordenamos los trminos del trinomio y calculamos las races de los trminos
que se encuentran en los extremos
42 92
2 3
Verificamos con respecto al trmino que se encuentra en el centro
2 2 3
12
Finalmente tenemos que
42 12 + 92 = (2 3)2
2. Factorice la siguiente expresin: 252 + 40 + 16
Ordenamos los trminos del trinomio y calculamos las races de los trminos
que se encuentran en los extremos
252 16
5 4
Verificamos con respecto al trmino que se encuentra en el centro
2 5 4
40
Finalmente tenemos que
252 + 40 + 16 = (5 + 4)2
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102
Mtodo por diferencia de cuadrados.
En trminos matemticos la palabra diferencia se maneja como resta, es decir que
para este caso manejaremos restas de cuadrados, cabe sealar que no existe mtodo
de factorizacin para una suma de cuadrados al menos en los nmeros reales.
Para realizar este tipo de factorizacin seguimos el siguiente procedimiento:
Calculamos la raz cuadrada de los dos trminos que aparecen involucrados.
Si las races son exactas entonces formamos dos parntesis, uniendo estos dos trminos uno con suma y otro con resta.
Nota:
El orden en que se ubiquen estos parntesis no altera el resultado, sin embargo se
recomienda ubicar primero el positivo y luego el negativo esto pes existen casos
donde se deber realizar este tipo de factorizacin en varias ocasiones.
Ejemplos.
1. Factorice la siguiente expresin: 2 92
Realizamos el clculo de las races trminos que se nos plantean en la
diferencia
2 92 3
Por lo tanto tenemos que
2 92 = ( + 3)( 3)
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103
2. Factorice la siguiente expresin: 164 1
Realizamos el clculo de las races trminos que se nos plantean en la
diferencia
164 1
42 1
En el resultado que obtenemos, nuevamente encontramos una diferencia de
cuadrados por lo que debemos realizar la factorizacin de dicho parntesis.
164 1 = (42 + 1)(42 1)
42 1
2 1
Finalmente el resultado que obtenemos es
164 1 = (42 + 1)(2 + 1)(2 1)
En algunos casos podemos encontrarnos con ejercicios en los cuales debemos
aplicar varios mtodos al mismo tiempo para llegar a obtener la factorizacin
completa de un polinomio. Para este tipo de casos seguimos el siguiente orden:
Combinacin de casos.
1. Factorizacin por factor comn. 2. Factorizacin por diferencia de cuadrados si tiene 2 trminos. 3. Factorizacin por trinomio cuadrado perfecto si tiene 3 trminos.
1 Factor Comn
2 Trinomio Cuadrado Perfecto Si tenemos 3 Tminos
FACTORIZACIN
2 Diferencia de
Cuadrados Si tenemos 2
Trminos
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104
Ejemplos.
1. Factorice la siguiente expresin: 3 3
El primer paso es encontrar el factor comn.
Factor Literal:
Realizamos la primera factorizacin.
(2 2)
Al obtener el resultado anterior notamos que en el parntesis nos queda
indicada una diferencia de cuadrados.
(2 2)
2 2
Por lo que finalmente obtenemos como resultado:
3 3 = ( + )( )
2. 43 242 + 36
El primer paso es encontrar el factor comn.
MCD Factor Literal
4 24 36 4
1 6 9 4
Realizamos la primera factorizacin.
4(2 6 + 9)
Al obtener el resultado anterior notamos que en el parntesis nos queda
indicado un trinomio cuadrado perfecto.
4(2 6 + 9)
2 9