Determinantes
• Determinantes de segundo orden
• Determinantes de tercer orden
• Determinante de orden n
• Cálculo de Determinantes
• Cálculo de la matriz inversa aplicando determinantes
• Cálculo del rango de una matriz aplicando los determinantes
Determinante de segundo orden
Sea la matriz de orden 2x2,11 12
21 22
a aA
a a
El DETERMINANTE de A es
11 1211 22 12 21
21 22
a aA a a a a
a a
Ejemplo.-
3 43 2 1 4 10
1 2A
11 12 11 2111 22 12 21
21 22 12 22
ta a a aA a a a a A
a a a a
Propiedades de los Determinante de segundo orden
t
Ejemplo:
2 9 2 1A 2 6 9 1 3; A 2 6 1 9 3
1 6 9 6
1.- El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta, es decir
2.- Si se cambian de orden las filas o columnas el determinante cambia de
signo, es decir
11 12 21 2211 22 12 21 21 12 11 22
21 22 11 12
11 12 12 1111 22 12 21 21 12 11 22
21 22 22 21
a a a aA a a a a a a a a
a a a a
a a a aA a a a a a a a a
a a a a
3.- Si dos filas o columnas son iguales el determinante se anula, es decir
11 12 11 1111 12 11 12 11 21 11 21
11 12 21 21
0a a a a
a a a a a a a aa a a a
También será cero cuando una fila o columna sea múltiplo de la otra
Ejemplo:
2 9 9 22 6 9 1 3; 9 1 2 6 3
1 6 6 1
Ejemplo:
2 92 9 9 2 0
2 9
Ejemplo:
2 92 3 9 9 3 2 0
6 27
Propiedades de los Determinante de segundo orden
4.- Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un número k,
el determinante queda multiplicado por k, es decir
11 12 11 2111 22 12 21
21 22 12 22
11 12 11 2111 22 12 21
21 22 12 22
11 12 11 2111 22 12 21
21 22 12 22
11 12 11 2111 22 12 21
21 22 1
k a k a a ak a a k a a k
a a a a
a a a ak a a k a a k
k a k a a a
k a a a ak a a k a a k
k a a a a
a k a a ak a a k a a k
a k a a
2 22a
Ejemplo:
2 9 2 32 15 9 1 21 3 3 2 5 3 1
1 15 6 5
Propiedades de los Determinante de segundo orden
5.- Si una fila o columna es una suma de dos filas o columnas, el determinante
se puede descomponer como suma de determinantes de la siguiente forma
11 11 12 1211 11 22 12 21 12
21 22
11 12 11 1211 22 12 21 11 22 12 21
21 22 21 22
11 12 11 12 11 12
21 21 22 22 21 22 21 22
11 11 12
21 21 22
a b a ba b a a b a
a a
a a b ba a a a b a b a
a a a a
a a a a a a
a b a b a a b b
a b aa
a b a
11 11 22 12 21 21
11 12 11 1211 22 12 21 11 22 12 21
21 22 21 22
11 12 12 11 12 11 12
21 22 22 21 22 21 22
b a a a b
a a b aa a a a b a a b
a a b a
a a b a a a b
a a b a a a b
Ejemplo:
2 8 2 1+7 2 1 2 72 1 1 1 2 6 7 1 1 5 6
1 7 1 1 6 1 1 1 6
Propiedades de los Determinante de segundo orden
6.- De las propiedades 5 y 6 se deduce que si una fila o columna se le suma la
otra fila o columna multiplicada por un valor k, el valor del determinante no
varía, es decir
11 21 12 22 11 12 21 22 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22 21 22 21 22
11 12 11 12 11 12 11 12 11 12
21 11 22 12 21 22 11 12 21 22 21 22
11 12 12 11 12
21 22 22 21 2
0
0
a k a a k a a a a a a a a ak k
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a ak k
a k a a k a a a a a a a a a
a k a a a a
a k a a a a
12 12 11 12 11 12
2 22 22 21 22 21 22
11 12 11 11 12 11 11 11 12 11 12
21 22 21 21 22 21 22 21 22 21 22
0
0
a a a a a ak ka a a a a a
a a k a a a a a a a a ak k
a a k a a a a a a a a a
Ejemplo:
2 7 2 1+3 2 2 1 2 23 1 3 0 1
1 4 1 1 3 1 1 1 1 1
Adjunto del elemento aij del Determinante de tercer orden
Dada la matriz de orden 3 x 3,
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
el ADJUNTO del elemento a i j es
ij1 ; es el menor complementario de a
es el determinante de la matriz A,
menos la fila i y la columna j
i j
ij ij ij
ij
A
Ejemplo.-
1 2
12
1 2 34 6
Si 4 5 6 1 4 8 6 7 107 8
7 8 9
A A
Determinante de tercer orden
Dada la matriz de orden 3 x 3,
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
el DETERMINANTE de A es la suma de los elementos de una fila o
columna cualquier por sus respectivos adjuntos (podemos tomar los
elementos de la diagonal principal), por ejemplo
11 11 22 22 33 33
22 23 11 13 11 1211 22 33
31 33 31 33 21 22
A a A a A a A
a a a a a aa a a
a a a a a a
Ejemplo.-
3 2 1
3 2 4 2 4 34 3 2 3 2 1 3 4 2 6 1 1 25
1 2 1 2 1 11 1 2
A
Regla de Sarrus del Determinante de tercer orden
Desarrollando los determinantes de orden dos de A, que aparecen en la
definición de Determinante de A, obtenemos la regla de SARRUS
11 12 13
21 22 23 11 11 22 22 33 33
31 32 33
22 23 11 13 11 1211 22 33
31 33 31 33 21 22
11 22 33 12 23 31 13 21 32
13 22 31 11 23 32 12 21 33
a a a
A a a a a A a A a A
a a a
a a a a a aa a a
a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
Que puede recordarse fácilmente, si se tiene en cuenta que conservan el signo los
productos correspondientes a la diagonal principal y a las líneas paralelas a ella
por el vértice opuesto, y cambian de signo los productos correspondientes a la
diagonal secundaria y a las líneas paralelas a esta por el vértice opuesto
11 12 13 11 21 31
21 22 23 12 22 32
31 32 33 13 22 33
t
a a a a a a
A a a a a a a A
a a a a a a
Propiedades de los Determinante de tercer orden
Ejemplo:
3 2 1 3 4 2
4 9 7 24 2 9 2
2 2 0 1 7 0
tA A
1.- El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta, es decir
2.- Al permutar dos filas o columnas el determinante cambia de signo, es decir
11 12 13 21 22 23 11 12 13 31 32 33
21 22 23 11 12 13 21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33 31 32 33 21 22 23
11 12 13 12 11 13 11 12 13
21 22 23 22 21 23 21 22 23
31 32 33 32 31 33 31 32 3
; ;...
;
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
13 12 11
23 22 21
3 33 32 31
;...
a a a
a a a
a a a
Ejemplo:
3 2 1 3 1 2
4 9 7 24 24 4 7 9
2 2 0 2 0 2
Propiedades de los Determinante de tercer orden
3.- Si dos filas o columnas son iguales el determinante se anula, es decir
11 12 13 11 12 13 11 12 13
11 12 13 21 22 23 31 32 33
31 32 33 11 12 13 31 32 33
11 11 13 11 12 11 11 13 13
21 21 23 21 22 21 21 23 23
31 31 33 31 32 31 31 33 33
... 0
... 0
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
También será cero cuando una fila o columna sea múltiplo de la otra
Ejemplo:
1 2 1
1 2 1 0
2 4 2
Ejemplo:
1 2 1
1 2 3 0
2 4 2
Propiedades de los Determinante de tercer orden
4.- Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un número k,
el determinante queda multiplicado por k, es decir
11 12 13 11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33 31 32 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
k a k a k a a a a a a a
a a a k a k a k a a a a
a a a a a a k a k a k a
a a a
k a a a
a a a
k a a a
k a a a
k a a a
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a k a a a a k a
a k a a a a k a
a k a a a a k a
a a a
k a a a
a a a
Ejemplo:
5 1 4 2 1 4
15 2 1 5 3 2 1 5 24 120
35 2 5 7 2 5
Propiedades de los Determinante de tercer orden
5.- Si una fila o columna es una suma de dos filas o columnas, el determinante
se puede descomponer como suma de determinantes de la siguiente forma
11 11 12 13 11 12 13 11 12 13
21 21 22 23 21 22 23 21 22 23
31 31 32 33 31 32 33 31 32 33
11 12 13 13 11 12 13 11 12 13
21 22 23 23 21 22 23 21 22 23
31 32 33 33 31 32 33 31 32
; ...
... ;
a b a a a a a b a a
a b a a a a a b a a
a b a a a a a b a a
a a a b a a a a a b
a a a b a a a a a b
a a a b a a a a a
33
11 11 12 12 13 13 11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33 31 32 33
11 12 13 11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23
31 31 32 32 33 33 31 32 33 31
; ...
... ;
b
a b a b a b a a a b b b
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a b a b a b a a a b b
32 33b
Ejemplo:
2 4 3 2 1 3 2 3 3
1 2 1 = 1 0 1 + 1 2 1
6 5 4 6 2 4 6 3 4
Propiedades de los Determinante de tercer orden
6.- De las propiedades 5 y 6 se deduce que si una fila o columna se le suma la
otra fila o columna multiplicada por un valor k, el valor del determinante no
varía, es decir
11 12 12 13 11 12 13 12 12 13 11 12 13
21 22 22 23 21 22 23 22 22 23 21 22 23
31 32 32 33 31 32 33 32 32 33 31 32 33
11 12 13 12 11 12 13
21 22 23 22 21 22 23
31 32 33 32
...;
a k a a a a a a a a a a a a
a k a a a a a a k a a a a a a
a k a a a a a a a a a a a a
a a a k a a a a
a a a k a a a a
a a a k a
11 12 12 11 12 13
21 22 22 21 22 23
31 32 33 31 32 32 31 32 33
11 21 12 22 13 23 11 12 13 21 22 23 11 12 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33 31 32 33 31 32 33
.
a a a a a a
k a a a a a a
a a a a a a a a a
a k a a k a a k a a a a a a a a a a
a a a a a a k a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
11 12 13 11 12 13 11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23 21 22 23
31 21 32 22 33 23 31 32 33 21 22 23 31 32 33
..;
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a k a a a a a a
a k a a k a a k a a a a a a a a a a
Ejemplo:
14 9 2 1 2 2 3 3 4 2 1 3 1 1 2 0 3 1
2 1 0 2 1 0
3 1 1 3 1 1
1 4 1 2 1 0 3 1 1 1 4 1
2 1 0 2 2 1 0 3 2 1 0 2 1 0 6
3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1
Adjunto del elemento aij del Determinante de tercer orden n
Dada la matriz de orden n x n,
11 1
1
...
... ... ...
...
n
n nn
a a
A
a a
el ADJUNTO del elemento a i j es
ij1 ; es el menor complementario de a
es el determinante de la matriz A,
menos la fila i y la columna j
i j
ij ij ij
ij
A
Ejemplo.-
3 2
32
1 2 3 41 3 4
5 6 7 8Si 1 5 7 8 1 0 0
9 8 7 65 3 2
5 4 3 2
A A
Determinante de orden n
Dada la matriz de orden n x n,
11 1
1
...
... ... ...
...
n
n nn
a a
A
a a
el DETERMINANTE de A es la suma de los elementos de una fila o
columna cualquier por sus respectivos adjuntos, por ejemplo, si tomamos la
primera fila, será
11 11 12 12 1 1... n nA a A a A a A Ejemplo.-
3 2 7 92 7 9 3 7 9 3 2 9 3 2 7
4 3 2 72 3 2 7 3 4 2 7 0 4 3 7 0 4 3 2
1 2 5 42 5 4 1 5 4 1 2 4 1 2 5
2 3 0 0
2 59 3 44 250
Propiedades de los Determinante de tercer orden
Generalizando las propiedades de determinantes de orden dos y tres, tenemos:
1.- El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta, es decir
2.- Al permutar dos filas o columnas el determinante cambia de signo
3.- Si dos filas o columnas son iguales el determinante se anula
También será cero cuando una fila o columna sea múltiplo de la otra
4.- Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un número k,
el determinante queda multiplicado por k
5.- Si una fila o columna es una suma de dos filas o columnas, el determinante
se puede descomponer como suma de determinantes
6.- De las propiedades 5 y 6 se deduce que si una fila o columna se le suma la
otra fila o columna multiplicada por un valor k, el valor del determinante no
varía
Cálculo de determinantes de orden dos
Basta con al producto de los coeficientes de la diagonal principal y les
restemos el producto de los elementos de la diagonal secundaria
1 2
3 4
Ejemplo.-
1 4 2 3 2
Cálculo de determinantes de orden tres
Podemos aplicar la regla de Sarrus
1 2 1
3 1 2
4 2 3
Ejemplo.-
1 1 3 2 2 4 1 3 2
1 1 4 1 2 2 2 3 3
1
Cálculo de determinantes de orden tres
Para aplicar la Regla de Sarrus podemos añadir las dos primeras filas al
determinante y aplicar los productos como se indica a continuación
1 2 1
3 1 2
4 2 3
Ejemplo.-
1 1 3 2 2 4 1 3 2 1 1 4 1 2 2 2 3 3
1
1 2 1
3 1 2
4 2 3
1 2 1
3 1 2
Cálculo de determinantes de orden tres
Puede también desarrollarse el determinante por una fila o columna (o por su
diagonal) utilizando los Adjuntos
Ejemplo.-
3 2 13 2 4 2 4 3
4 3 2 3 2 11 2 1 2 1 1
1 1 2
3 4 2 6 1 1 25
Cálculo de determinantes de orden tres
También podemos utilizar las propiedades de los determinantes, para
conseguir que una fila o columna, tenga todos sus elementos nulos a
excepción de uno y entonces puede desarrollarse el determinante por esa fila
o columna
Ejemplo.-
1 1 2 1ª 1 1 2
4 3 2 2ª 4 1ª 0 1 6
1 2 1 3ª 1ª 0 1 3
1 61 9
1 3
fila
fila fila
fila fila
Cálculo de determinantes de orden tres
O podemos utilizar las propiedades de los determinantes, para triangular la
matriz de la que se busca el determinante. Y el determínante será el producto
de los elementos de su diagonal principal
Ejemplo.-
1 1 2 1ª 1 1 2
4 3 2 2ª 4 1ª 0 1 6
1 2 1 3ª 1ª 0 1 3
1ª 1 1 2
2ª 0 1 6 1 1 9 9
3ª 2ª 0 0 9
fila
fila fila
fila fila
fila
fila
fila fila
Cálculo de determinantes de orden n
Podemos desarrollar el determinante por una fila o columna (o por su
diagonal) utilizando los Adjuntos
Ejemplo.-
3 2 7 92 7 9 3 7 9
4 3 2 72 3 2 7 3 4 2 7
1 2 5 42 5 4 1 5 4
2 3 0 0
3 2 9 3 2 7
0 4 3 7 0 4 3 2
1 2 4 1 2 5
2 59 3 44 250
Cálculo de determinantes de orden n
También podemos utilizar las propiedades de los determinantes, para
conseguir que una fila o columna, tenga todos sus elementos nulos a
excepción de uno y entonces puede desarrollarse el determinante por esa fila
o columna
Ejemplo.-
1ª1 2 3 1 1 2 3 1
2ª 3 1ª3 5 0 6 0 1 9 9
3ª 7 1ª7 1 3 8 0 15 18 15
4ª 2 1ª2 3 5 1 0 1 1 1
1 9 918 15 15 15 15 18
1 15 18 15 1 9 91 1 1 1 1 1
1 1 1
24
fila
fila fila
fila fila
fila fila
Cálculo de determinantes de orden n Podemos desarrollar el determinante por una fila o columna (o por su
diagonal) utilizando los Adjuntos
Ejemplo.-
1ª1 2 3 1 1 2 3 1
2ª 3 1ª3 5 0 6 0 1 9 9
3ª 7 1ª7 1 3 8 0 15 18 15
4ª 2 1ª2 3 5 1 0 1 1 1
1ª1ª 1 2 3 1
2ª2ª 0 1 9 9
3ª3ª 15 4ª 0 0 3 0
84ª 2ª 0 0 8 8 4ª 3ª
3
fila
fila fila
fila fila
fila fila
filafila
filafila
filafila fila
fila fila fila fila
1 2 3 1
0 1 9 91 1 3 9 24
0 0 3 0
0 0 0 8
Cálculo de matriz inversa utilizando determinantes
Dada una matriz A cuadrada de orden n, si su determinante es distinto de
cero, existe la matriz inversa A -1 , tal que A . A -1 = I (matriz identidad)
11 12 1
21 22 2
1 2
11 21 1
12 22 21
1 2
si y 0;
1 1
n
n
n n nn
n
n
n n nn
a a a
a a aA A
a a a
A A A
A A AA adj A
A A
A A A
Aij es el adjunto del elemento aij
-1
Ejemplo:
1 1 1 0 1 0
0 3 0 3 1 12 1 0
1 1 2 0 2 011 1 1 =
2 1 0 1 3 1 3 1 11 0 3
1 1 1 1 1 2 1 2 11 0 3 1 0 1 0 1 1
3 3 13 3 1 2 2 2
1 4 6 2 2 3 1
21 1 1 1 1 1
2 2 2
Cálculo del rango de una matriz utilizando los determinantes
Teniendo en cuenta que el rango de una matriz A de orden m x n, es el
menor NÚMERO k de filas o columnas linealmente independientes.
Utilizando determinantes, es equivalente a hallar el mayor valor k, tal que
toda submatriz cuadrada B (resultado de liminar m-k filas y n-k columnas )
de A tiene determinante no nulo. Al determinante |B| se le denomina menor
de orden k. 3 1 0 5 1
2 9 4 3 1El rango de la matriz es 4, ya que
2 2 2 1 1
1 0 3 2 1
podemos encontrar una submatriz B de A de orden 4x4 tal que
3 1 0 5
2 9 4 3617 0
2 2 2 1
1 0 3 2
B
Ejemplo.-
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
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diapósitivas
Mas ayuda del tema de la página
lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/m
atematicas.htm)
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