apuntes apunts apuntes determinants 2º … · las propiedades de los determinantes de orden 3 son...

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

Tema : Determinantes 2º Bach. Página 1

Apuntes

Apuntes

Apuntes

2º Bachillerato

DeterminantesDefiniciones

Propiedades

Ejercicios Resueltos

Prof. Ximo BeneytoProf. Ximo BeneytoProf. Ximo BeneytoProf. Ximo Beneyto

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

XB Apunts


CALCULO PRÁCTICO DE DETERMINANTES

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

DETERMINANTESVamos a dar a este cuaderno un enfoque eminentemente práctico, sin entrar en demasiadas

consideraciones teóricas acerca de la construcción del concepto de determinante.

Asociado a cada matriz cuadrada, cuyos elementos son números reales, tenemos un número real,

que llamaremos DETERMINANTE de la matriz.

Para representar el determinante de una matriz cuadrada A, emplearemos uno de estos dos

símbolos: det(A) ó ****A****

Orden de un determinante es el número de filas o columnas de la matriz A.

En adelante escribiremos “línea” de un determinante para referirnos a sus filas o a sus columnas.

Vamos a establecer mecanismos de cálculo del determinante de una matriz cuadrada, según sea el orden

del mismo, comencemos por los determinantes de orden 2:

Orden 2

** Regla de cálculo:

Con la definición anterior, se demuestran las siguientes propiedades de los determinantes de orden 2:

1. El valor de un determinante, no varía al cambiar filas por columnas.

Demostración:

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

XB Apunts


[Es decir, una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante]

2. Si una matriz tiene una línea de ceros, el valor de su determinante es cero.

Demostración:

.

Análogamente, demostraríamos los demás casos.

3. Si a una línea de una matriz le sumamos otra u otras líneas multiplicadas por un número, el

valor de su determinante no varía.

Demostración:

( A la segunda fila le hemos SUMADO la primera multiplicada por 2 )

4. Si cambiamos entre sí dos líneas en una matriz, su determinante cambia de signo.

Demostración:

( Hemos cambiado entre sí, primera y segunda fila de la matriz )

5. El determinante de una matriz es nulo ]]]] una línea es combinación lineal de las demás.

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

XB Apunts


( La segunda fila es el doble de la primera)

6. Si se multiplica una línea de una matriz por un número, el valor de su determinante queda

multiplicado por dicho número.

( Recuerda que, en las matrices, al multiplicar una matriz por un número, se multiplicaban todos

los elementos de la matriz por dicho número, en un determinante únicamente se multiplica una

fila o una columna. ).

Demostración:

7. El determinante de un producto de matrices cuadradas de orden 2 es igual al producto de sus

determinantes.

( Interesante propiedad, ya que al ser el determinante un número, nos permite operar con todas las

propiedades de los números reales ).

det (A AAAA B) = det(A) AAAA det(B)

8. Un determinante se descompone en suma de dos determinantes, a partir de la suma de los elementos

de una línea del mismo.

La demostración es muy sencilla, basta con desarrollar los tres determinantes anteriores.

Orden 3

** Regla de cálculo: = aAeAi + dAhAc + gAbAf - (cAeAg + fAhAa + iAbAd)

= 1A1A3 + 3A1A(-1) + 0A2A2 - ((-1)A1A0 + 2A1A1 + 3A2A3) = - 20.

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

XB Apunts


El cálculo de un determinante de orden 3 mediante la definición resulta un tanto complicado para iniciarse

en su cálculo, así pues, daremos unas reglas de cálculo cuya operatividad es más sencilla.

Las propiedades de los determinantes de orden 3 son las mismas que las que hemos establecido para los

determinantes de orden 2, adaptadas al nuevo orden del determinante. Recordemos brevemente estas

propiedades cuya demostración sería análoga a la propuesta para las correspondientes propiedades de

determinantes de orden 2.

1. El valor numérico de un determinante, no varía al cambiar filas por columnas.

[Es decir, una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante]

2. Si una matriz cuadrada tiene una línea de ceros, el valor de su determinante es cero.

3. Si a una línea de una matriz cuadrada le sumamos otra u otras líneas multiplicadas por un

número, el valor de su determinante no varía.

( A la segunda fila le hemos SUMADO la primera )

4. Si cambiamos entre sí dos líneas en una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.

( Hemos cambiado entre sí, segunda y tercera fila )

5. El determinante de una matriz cuadrada es nulo ]]]] una línea es combinación lineal de las demás.

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

XB Apunts


( La tercera fila es la SUMA de las dos primeras)

6. Si se multiplica una línea de una matriz cuadrada por un número, el valor de su determinante

queda multiplicado por dicho número.

7. El determinante de un producto de matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de

sus determinantes.

det (A AAAA B) = det(A) AAAA det(B)

8. Daremos esta propiedad en forma de ejemplo:

Es decir, un determinante se descompone en suma de dos, a partir de la suma de los elementos de

una línea de dicho determinante.

Veamos a continuación algunas reglas prácticas para el cálculo de determinantes de matrices de

orden 3 y superior a 3.

** Regla de Sarrus (1) ( Solo se puede aplicar en determinantes de orden 3 ).

Añadir a la derecha del determinante sus dos primeras columnas y multiplicar los elementos

que ocupan las diagonales de tres elementos de izquierda a derecha y sumar. Multiplicar

ahora los elementos que ocupan las diagonales de tres elementos de derecha a izquierda y

sumar. Restar, en el orden dado, las sumas obtenidas.

= (1AAAA1AAAA3 + 2AAAA2AAAA0 + (-1)AAAA3AAAA1) - (2AAAA3AAAA3 + 1AAAA2AAAA1 + (-1 AAAA1AAAA0 )) = -20

Orden 3 ** Regla de Sarrus (2) ( Solo en determinantes de orden 3 ).

Multiplicar entre sí los elementos que ocupan el lugar de las figuritas iguales y sumar.

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

XB Apunts


= [ 1AAAA1AAAA3 + 3AAAA1AAAA(-1) + 0AAAA2AAAA2 ] - [ (-1)AAAA1AAAA0 + 2AAAA1AAAA1 + 3AAAA2AAAA3 ] = -20

Orden 3 ** ADJUNTOS ( Sirve en Determinantes de cualquier orden )

Nota : Denominamos Adjunto de un elemento cualquiera aij de una matriz cuadrada, y

notamos Aij, al determinante que resulta de suprimir la fila "i" y la columna "j"

correspondientes a dicho elemento, multiplicado por (-1)i+j

Ejemplo : Sea el determinante:

El adjunto del término a11 será A11 = adj(1) =

9. El valor de un determinante de cualquier orden se obtiene multiplicando cada uno de loselementos de una línea por su respectivo adjunto y sumando los resultados obtenidos.

Para calcular un DETERMINANTE por adjuntos :

i) Seleccionar una fila/columna del determinante

ii) Multiplicar cada elemento de la misma por su adjunto

iii) Sumar los resultados obtenidos.

= 1AAAA(1) -

3AAAA(7) + 0AAAA(5) = -20

[Hemos desarrollado por la primera columna.]

Orden 3 ** ADJUNTOS ( Haciendo ceros previamente; Se puede utilizar en

Determinantes de cualquier orden )

También le conocemos como método del PIVOTE o de GAUSS. Consiste en hacer ceros los

elementos de una fila o columna, a excepción de uno de ellos (PIVOTE), aplicando las propiedades

de los determinantes que hemos mencionado al principio del tema.

Camino:

<<<< Fijar la primera fila ( se puede fijar la fila/columna del determinante que se desee, no

obstante, ya que pretendemos organizar el proceso lo mejor posible, hagámoslo en principio

un poco rígido, y con la práctica adquirida hagamos variaciones que nos simplifiquen el

cálculo )

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

XB Apunts


<<<< Pivotando sobre el primer elemento de la primera fila ( PIVOTE, debe ser distinto de cero

), hacer ceros todos los elementos situados por debajo del mismo. ( Multiplicar el pivote por

el número conveniente y SUMAR , arrastrar toda la operación sobre la fila).

<<<< Fijar la segunda fila

<<<< Pivotar sobre el segundo elemento de la segunda fila, hacer ceros todos los elementos

situados por debajo del mismo.

<<<< Así sucesivamente, hasta conseguir un determinante de un orden sencillo de desarrollar (

Orden 1, 2 ó 3 )

<<<< Si alguno de los PIVOTES es CERO, permutar la posición de dos filas para que sea

distinto de cero, teniendo en cuenta la modificación del signo del determinante.

= =

= 1AAAA(-5)AAAA4 = -20

Una vez aprendido el método, conviene seleccionar como PIVOTE el 1, esté donde esté, y

hacer ceros el resto de la fila o columna.

Orden n

** ADJUNTOS

i) Seleccionar una fila/columna del determinante

ii) Multiplicar cada elemento de la misma por su adjunto

iii) Sumar los resultados obtenidos.

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

XB Apunts


DETERMINANTE DE VANDERMONDE

Orden n

** ADJUNTOS ( Previas transformaciones elementales ):

Tal como se explicó en el caso de orden 3, pero ya generalizado a cualquier orden.

10. Si se multiplica cada uno de los elementos de una línea por los adjuntos respectivos de

una línea paralela, el valor obtenido es cero.

Bien, hasta aquí las técnicas más habituales para obtener el valor de un DETERMINANTE.

En la sección de problemas resueltos se dan ejemplos de estos métodos.

Hay situaciones en las que un determinante se puede resolver por un método

abreviado, sin más que tener en cuenta ciertas situaciones peculiares, vamos a

estudiar alguna de ellas como complemento del tema:

Lo estudiaremos para el caso n = 3, ya que su generalización con el método sugerido es

realmente sencillo.

Un determinante de Vandermonde de orden 3, es un determinante con la siguiente

estructura:

Desarrollo...

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

XB Apunts


DETERMINANTES DE MATRICES TRIANGULARES

Así pues, el valor del determinante de Vandermonde de orden tres es:

= (b - a)(c - a)(c - b).

Una matriz cuadrada es del tipo TRIANGULAR, cuando todos los elementos situados por

encima/debajo de la diagonal principal son nulos. El valor del determinante de una matriz

triangular inferior/superior, es el producto de los elementos de la diagonal principal.

Basta con efectuar el desarrollo por los adjuntos de la primera columna/fila y reiterar el

procedimiento hasta llegar al elemento ann. Sobre un determinante de Orden 4, sería:

(Obviando los adjuntos multiplicados por cero)

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

XB Apunts


DETERMINANTES DE MATRICES DIAGONALES

DETERMINANTE DE UNA BASE

Una matriz cuadrada A, es una matriz diagonal, cuando todos sus elementos son ceros

excepto, tal vez, los situados en la diagonal principal. ( Recordemos que la diagonal

principal está formada por los elementos de la forma aii i=1,..,n ). El valor del determinante

de una matriz diagonal, es el producto de los elementos situados en la diagonal principal.

Como en el estudio anterior, basta con efectuar el desarrollo por los adjuntos de la primera

fila/columna y reiterar el desarrollo hasta llegar al elemento ann.

Sobre un determinante de Orden 5, sería:

[ El concepto BASE corresponde al tema de Espacio Vectorial. Ver cuaderno 1 ]

Sea (E(K),+,AAAA), un Espacio Vectorial sobre un cuerpo K. Un Sistema de vectores del Espacio

E, { e1, e2,...., en } es una base de (E(K),+,AAAA), si el determinante cuyas filas/columnas son los

vectores fila/columna e1 ,e2,....,en , es distinto de cero, donde e1 , e2 ,...., en , representan las

componentes de estos vectores en una base cualquiera del espacio considerado.

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

Tema : Exercicis resolts de Determinants Pàgina 12E

{ e1, e2,...., en } es una base ]]]] det ( e1, e2,...., en ) ………… 0

Ejemplo: Comprobar que el Sistema de vectores {(1, 2, 1), (2, 0, 3), (1, 1, 1)} es una Base

del Espacio Vectorial ( úúúú3(úúúú), +, AAAA ).

= 0 + 2 + 6 - ( 0 + 3 + 4 ) = 1 ………… 0

Tenemos que B = { (1, 2, 1), (2, 0, 3), (1, 1, 1) } es una Base de (úúúú3(úúúú), +, AAAA).

TTTT Observa lo práctica que nos puede resultar esta propiedad para comprobar, de

forma rápida, si un conjunto de n vectores forman una base de un Espacio Vectorial

de dimensión "n".

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

Apunts XB


EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Hallar el valor de los siguientes DETERMINANTES :

TTTT 1.1.-

TTTT 1.2.- [ Aplicando la Regla de Sarrus ]=

[2.2.2+ 1.3.3+ 1.1.1]-[3.2.1+ 1.3.2+ 2.1.1]= 18-14 = 4

TTTT 1.3.- [ Aplicaremos el método del PIVOTE ]

[Desarrollando por adjuntos de la 1ª Columna:]

[ Desarrollando por adjuntos de la 1ª Columna ]

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

Apunts XB


TTTT 1.4.- = [Vamos a "enrollarnos" un poco con este determinante, se le

llama CIRCULANTE de orden 5 ]

[ A cada elemento de la 1ª fila le sumamos los elementos de su columna ¡ Cómo todos suman

lo mismo ! ]

[ Desarrollando por los adjuntos de la 1ª fila ]

[ Repetimos el procedimiento de restar a cada columna, la anterior ]

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

Apunts XB


2.- Si obtener el valor de los determinantes que se indican, utilizando las

propiedades conocidas,

a) b) c)

a)

b)

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

Apunts XB


c)

3. Calcular

Vamos a proceder con cautela antes de buscar una expresión general para Dn.

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

Apunts XB


Y ya estamos en condiciones de afrontar Dn operando como hemos sugerido anteriormente.

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

Apunts XB


Sumando a cada fila la anterior multiplicada por (-1) ( Excepto la primera fila, ¡ Claro !).

Desarrollando por los elementos de la última columna

= (-1)n+1 AAAA x AAAA (-1)n-1 AAAA xn-1 + y AAAA Dn-1

= (-1)2n AAAA xn + y AAAA Dn-1 = xn + y AAAA Dn-1

Escribamos pues Dn y su relación con Dn-1 para diferentes valores de Dn.

Observamos que no es suficiente con sumar ambos miembros de la igualdad, vamos a

multiplicar:

y AAAA Dn-1, y2 AAAA Dn-2,...., y

n-4 AAAA D4, yn-3 AAAA D3, y

n-2 AAAA D2 , yn-1 AAAA D1

para poder simplificar las expresiones a ambos lados de la igualdad.

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

Tema : Test de comprensió de Determinants Pàgina 19

Así pues : Y, recordando una fórmula similar:

X.B.

APUNTS

DETERMINANTS

Apunts de Ximo Beneyto

Tema : Problemes Propostos de Determinants Pàgina 20

TEST DE COMPRENSIONNOTA: El TEST debe responderse con unos conocimientos básicos del tema MATRICES.

1.- Sea det(A), tal que det(A) = 1, siendo A una matriz cuadrada de orden 3.

A) det ( A + A ) = 2

B) det ( 3 AAAA A ) = 27

C) det ( 3 AAAA A ) = 3

2.- Sea det(A) un determinante cuyas columnas son los vectores y sea det(B) otro

determinante cuyas columnas son los vectores

A) det (A) = det ( B) pues las columnas de B son combinación lineal de las columnas de A

B) det (A) = -2 det (B)

C) det (A) = det (B)

3.- Sea A una matriz cuadrada ORTOGONAL ( A2 = I )

A) det (A) = 0

B) det (A) = I

C) El det (A) puede valer 1 ó -1

4.- Si A es una matriz de orden n cuyo determinante vale 2

A) det (2 AAAA A ) = n2 AAAA det (A)

B) det (2 AAAA A ) = 2n AAAA det (A)

C) A no tiene inversa

5.- Dadas las matrices A, B / ›››› una matriz Q regular / B = Q-1 AAAA A AAAA Q

A) det (B) = det (A) AAAA det (Q)2

B) det (B) = det (A)

C) det (A) = det (Q)

6.- Sean A, B, C tres matrices del mismo orden X = A AAAA B AAAA C

A) det (X) = det (B) AAAA det (A) AAAA det (C)

B) det (X) no se puede calcular pues no sabemos si alguno de los otros determinantes dan

cero.

C) seguro que det (X) = 0

7.- Si dos matrices A y B del mismo orden cumplen que det (A) = det (B)

A) A = B necesariamente

B) A y B son regulares

C) A y B pueden ser semejantes

SOLUCION

1.b 2.c 3.c 4.b 5.b 6.a 7.c

apuntes apunts apuntes determinants 2º … · las propiedades de los determinantes de orden 3 son...

Documents