determinantes determinantes de segundo orden determinantes de tercer orden determinante de orden n...

Determinantes

• Determinantes de segundo orden

• Determinantes de tercer orden

• Determinante de orden n

• Cálculo de Determinantes

• Cálculo de la matriz inversa aplicando determinantes

• Cálculo del rango de una matriz aplicando los determinantes

Determinante de segundo orden

Sea la matriz de orden 2x2,11 12

21 22

a aA

a a

El DETERMINANTE de A es

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a a

a a

Ejemplo.-

3 43 2 1 4 10

1 2A

11 12 11 2111 22 12 21

21 22 12 22

ta a a aA a a a a A

a a a a

Propiedades de los Determinante de segundo orden

t

Ejemplo:

2 9 2 1A 2 6 9 1 3; A 2 6 1 9 3

1 6 9 6

1.- El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta, es decir

2.- Si se cambian de orden las filas o columnas el determinante cambia de

signo, es decir

11 12 21 2211 22 12 21 21 12 11 22

21 22 11 12

11 12 12 1111 22 12 21 21 12 11 22

21 22 22 21

a a a aA a a a a a a a a

a a a a

a a a aA a a a a a a a a

a a a a

3.- Si dos filas o columnas son iguales el determinante se anula, es decir

11 12 11 1111 12 11 12 11 21 11 21

11 12 21 21

0a a a a

a a a a a a a aa a a a

También será cero cuando una fila o columna sea múltiplo de la otra

Ejemplo:

2 9 9 22 6 9 1 3; 9 1 2 6 3

1 6 6 1

Ejemplo:

2 92 9 9 2 0

2 9

Ejemplo:

2 92 3 9 9 3 2 0

6 27


4.- Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un número k,

el determinante queda multiplicado por k, es decir

11 12 11 2111 22 12 21

21 22 12 22

11 12 11 2111 22 12 21

21 22 12 22

11 12 11 2111 22 12 21

21 22 12 22

11 12 11 2111 22 12 21

21 22 1

k a k a a ak a a k a a k

a a a a

a a a ak a a k a a k

k a k a a a

k a a a ak a a k a a k

k a a a a

a k a a ak a a k a a k

a k a a

2 22a

Ejemplo:

2 9 2 32 15 9 1 21 3 3 2 5 3 1

1 15 6 5


5.- Si una fila o columna es una suma de dos filas o columnas, el determinante

se puede descomponer como suma de determinantes de la siguiente forma

11 11 12 1211 11 22 12 21 12

21 22

11 12 11 1211 22 12 21 11 22 12 21

21 22 21 22

11 12 11 12 11 12

21 21 22 22 21 22 21 22

11 11 12

21 21 22

a b a ba b a a b a

a a

a a b ba a a a b a b a

a a a a

a a a a a a

a b a b a a b b

a b aa

a b a

11 11 22 12 21 21

11 12 11 1211 22 12 21 11 22 12 21

21 22 21 22

11 12 12 11 12 11 12

21 22 22 21 22 21 22

b a a a b

a a b aa a a a b a a b

a a b a

a a b a a a b

a a b a a a b

Ejemplo:

2 8 2 1+7 2 1 2 72 1 1 1 2 6 7 1 1 5 6

1 7 1 1 6 1 1 1 6


6.- De las propiedades 5 y 6 se deduce que si una fila o columna se le suma la

otra fila o columna multiplicada por un valor k, el valor del determinante no

varía, es decir

11 21 12 22 11 12 21 22 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22 21 22 21 22

11 12 11 12 11 12 11 12 11 12

21 11 22 12 21 22 11 12 21 22 21 22

11 12 12 11 12

21 22 22 21 2

0

0

a k a a k a a a a a a a a ak k

a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a ak k

a k a a k a a a a a a a a a

a k a a a a

a k a a a a

12 12 11 12 11 12

2 22 22 21 22 21 22

11 12 11 11 12 11 11 11 12 11 12

21 22 21 21 22 21 22 21 22 21 22

0

0

a a a a a ak ka a a a a a

a a k a a a a a a a a ak k

a a k a a a a a a a a a

Ejemplo:

2 7 2 1+3 2 2 1 2 23 1 3 0 1

1 4 1 1 3 1 1 1 1 1

Adjunto del elemento aij del Determinante de tercer orden

Dada la matriz de orden 3 x 3,

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

el ADJUNTO del elemento a i j es

ij1 ; es el menor complementario de a

es el determinante de la matriz A,

menos la fila i y la columna j

i j

ij ij ij

ij

A

Ejemplo.-

1 2

12

1 2 34 6

Si 4 5 6 1 4 8 6 7 107 8

7 8 9

A A

Determinante de tercer orden

Dada la matriz de orden 3 x 3,

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

el DETERMINANTE de A es la suma de los elementos de una fila o

columna cualquier por sus respectivos adjuntos (podemos tomar los

elementos de la diagonal principal), por ejemplo

11 11 22 22 33 33

22 23 11 13 11 1211 22 33

31 33 31 33 21 22

A a A a A a A

a a a a a aa a a

a a a a a a

Ejemplo.-

3 2 1

3 2 4 2 4 34 3 2 3 2 1 3 4 2 6 1 1 25

1 2 1 2 1 11 1 2

A

Regla de Sarrus del Determinante de tercer orden

Desarrollando los determinantes de orden dos de A, que aparecen en la

definición de Determinante de A, obtenemos la regla de SARRUS

11 12 13

21 22 23 11 11 22 22 33 33

31 32 33

22 23 11 13 11 1211 22 33

31 33 31 33 21 22

11 22 33 12 23 31 13 21 32

13 22 31 11 23 32 12 21 33

a a a

A a a a a A a A a A

a a a

a a a a a aa a a

a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

Que puede recordarse fácilmente, si se tiene en cuenta que conservan el signo los

productos correspondientes a la diagonal principal y a las líneas paralelas a ella

por el vértice opuesto, y cambian de signo los productos correspondientes a la

diagonal secundaria y a las líneas paralelas a esta por el vértice opuesto

11 12 13 11 21 31

21 22 23 12 22 32

31 32 33 13 22 33

t

a a a a a a

A a a a a a a A

a a a a a a

Propiedades de los Determinante de tercer orden

Ejemplo:

3 2 1 3 4 2

4 9 7 24 2 9 2

2 2 0 1 7 0

tA A


2.- Al permutar dos filas o columnas el determinante cambia de signo, es decir

11 12 13 21 22 23 11 12 13 31 32 33

21 22 23 11 12 13 21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33 31 32 33 21 22 23

11 12 13 12 11 13 11 12 13

21 22 23 22 21 23 21 22 23

31 32 33 32 31 33 31 32 3

; ;...

;

a a a a a a a a a a a a



a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

13 12 11

23 22 21

3 33 32 31

;...

a a a

a a a

a a a

Ejemplo:

3 2 1 3 1 2

4 9 7 24 24 4 7 9

2 2 0 2 0 2


3.- Si dos filas o columnas son iguales el determinante se anula, es decir

11 12 13 11 12 13 11 12 13

11 12 13 21 22 23 31 32 33

31 32 33 11 12 13 31 32 33

11 11 13 11 12 11 11 13 13

21 21 23 21 22 21 21 23 23

31 31 33 31 32 31 31 33 33

... 0

... 0

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a


Ejemplo:

1 2 1

1 2 1 0

2 4 2

Ejemplo:

1 2 1

1 2 3 0

2 4 2



el determinante queda multiplicado por k, es decir

11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33 31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

k a k a k a a a a a a a

a a a k a k a k a a a a

a a a a a a k a k a k a

a a a

k a a a

a a a

k a a a

k a a a

k a a a

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a k a a a a k a

a k a a a a k a

a k a a a a k a

a a a

k a a a

a a a

Ejemplo:

5 1 4 2 1 4

15 2 1 5 3 2 1 5 24 120

35 2 5 7 2 5



se puede descomponer como suma de determinantes de la siguiente forma

11 11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 21 22 23 21 22 23 21 22 23

31 31 32 33 31 32 33 31 32 33

11 12 13 13 11 12 13 11 12 13

21 22 23 23 21 22 23 21 22 23

31 32 33 33 31 32 33 31 32

; ...

... ;

a b a a a a a b a a

a b a a a a a b a a

a b a a a a a b a a

a a a b a a a a a b

a a a b a a a a a b

a a a b a a a a a

33

11 11 12 12 13 13 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33 31 32 33

11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23 21 22 23

31 31 32 32 33 33 31 32 33 31

; ...

... ;

b

a b a b a b a a a b b b

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a b a b a b a a a b b

32 33b

Ejemplo:

2 4 3 2 1 3 2 3 3

1 2 1 = 1 0 1 + 1 2 1

6 5 4 6 2 4 6 3 4




varía, es decir

11 12 12 13 11 12 13 12 12 13 11 12 13

21 22 22 23 21 22 23 22 22 23 21 22 23

31 32 32 33 31 32 33 32 32 33 31 32 33

11 12 13 12 11 12 13

21 22 23 22 21 22 23

31 32 33 32

...;

a k a a a a a a a a a a a a

a k a a a a a a k a a a a a a

a k a a a a a a a a a a a a

a a a k a a a a

a a a k a a a a

a a a k a

11 12 12 11 12 13

21 22 22 21 22 23

31 32 33 31 32 32 31 32 33

11 21 12 22 13 23 11 12 13 21 22 23 11 12 13

21 22 23 21 22 23 21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33 31 32 33 31 32 33

.

a a a a a a

k a a a a a a

a a a a a a a a a

a k a a k a a k a a a a a a a a a a

a a a a a a k a a a a a a


11 12 13 11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23 21 22 23 21 22 23

31 21 32 22 33 23 31 32 33 21 22 23 31 32 33

..;


a a a a a a k a a a a a a

a k a a k a a k a a a a a a a a a a

Ejemplo:

14 9 2 1 2 2 3 3 4 2 1 3 1 1 2 0 3 1

2 1 0 2 1 0

3 1 1 3 1 1

1 4 1 2 1 0 3 1 1 1 4 1

2 1 0 2 2 1 0 3 2 1 0 2 1 0 6

3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1

Adjunto del elemento aij del Determinante de tercer orden n

Dada la matriz de orden n x n,

11 1

1

...

... ... ...

...

n

n nn

a a

A

a a

el ADJUNTO del elemento a i j es

ij1 ; es el menor complementario de a

es el determinante de la matriz A,

menos la fila i y la columna j

i j

ij ij ij

ij

A

Ejemplo.-

3 2

32

1 2 3 41 3 4

5 6 7 8Si 1 5 7 8 1 0 0

9 8 7 65 3 2

5 4 3 2

A A

Determinante de orden n

Dada la matriz de orden n x n,

11 1

1

...

... ... ...

...

n

n nn

a a

A

a a

el DETERMINANTE de A es la suma de los elementos de una fila o

columna cualquier por sus respectivos adjuntos, por ejemplo, si tomamos la

primera fila, será

11 11 12 12 1 1... n nA a A a A a A Ejemplo.-

3 2 7 92 7 9 3 7 9 3 2 9 3 2 7

4 3 2 72 3 2 7 3 4 2 7 0 4 3 7 0 4 3 2

1 2 5 42 5 4 1 5 4 1 2 4 1 2 5

2 3 0 0

2 59 3 44 250


Generalizando las propiedades de determinantes de orden dos y tres, tenemos:


2.- Al permutar dos filas o columnas el determinante cambia de signo

3.- Si dos filas o columnas son iguales el determinante se anula



el determinante queda multiplicado por k


se puede descomponer como suma de determinantes



varía

Cálculo de determinantes de orden dos

Basta con al producto de los coeficientes de la diagonal principal y les

restemos el producto de los elementos de la diagonal secundaria

1 2

3 4

Ejemplo.-

1 4 2 3 2

Cálculo de determinantes de orden tres

Podemos aplicar la regla de Sarrus

1 2 1

3 1 2

4 2 3

Ejemplo.-

1 1 3 2 2 4 1 3 2

1 1 4 1 2 2 2 3 3

1


Para aplicar la Regla de Sarrus podemos añadir las dos primeras filas al

determinante y aplicar los productos como se indica a continuación

1 2 1

3 1 2

4 2 3

Ejemplo.-

1 1 3 2 2 4 1 3 2 1 1 4 1 2 2 2 3 3

1

1 2 1

3 1 2

4 2 3

1 2 1

3 1 2


Puede también desarrollarse el determinante por una fila o columna (o por su

diagonal) utilizando los Adjuntos

Ejemplo.-

3 2 13 2 4 2 4 3

4 3 2 3 2 11 2 1 2 1 1

1 1 2

3 4 2 6 1 1 25


También podemos utilizar las propiedades de los determinantes, para

conseguir que una fila o columna, tenga todos sus elementos nulos a

excepción de uno y entonces puede desarrollarse el determinante por esa fila

o columna

Ejemplo.-

1 1 2 1ª 1 1 2

4 3 2 2ª 4 1ª 0 1 6

1 2 1 3ª 1ª 0 1 3

1 61 9

1 3

fila

fila fila

fila fila


O podemos utilizar las propiedades de los determinantes, para triangular la

matriz de la que se busca el determinante. Y el determínante será el producto

de los elementos de su diagonal principal

Ejemplo.-

1 1 2 1ª 1 1 2

4 3 2 2ª 4 1ª 0 1 6

1 2 1 3ª 1ª 0 1 3

1ª 1 1 2

2ª 0 1 6 1 1 9 9

3ª 2ª 0 0 9

fila

fila fila

fila fila

fila

fila

fila fila

Cálculo de determinantes de orden n

Podemos desarrollar el determinante por una fila o columna (o por su


Ejemplo.-

3 2 7 92 7 9 3 7 9

4 3 2 72 3 2 7 3 4 2 7

1 2 5 42 5 4 1 5 4

2 3 0 0

3 2 9 3 2 7

0 4 3 7 0 4 3 2

1 2 4 1 2 5

2 59 3 44 250

Cálculo de determinantes de orden n

También podemos utilizar las propiedades de los determinantes, para

conseguir que una fila o columna, tenga todos sus elementos nulos a

excepción de uno y entonces puede desarrollarse el determinante por esa fila

o columna

Ejemplo.-

1ª1 2 3 1 1 2 3 1

2ª 3 1ª3 5 0 6 0 1 9 9

3ª 7 1ª7 1 3 8 0 15 18 15

4ª 2 1ª2 3 5 1 0 1 1 1

1 9 918 15 15 15 15 18

1 15 18 15 1 9 91 1 1 1 1 1

1 1 1

24

fila

fila fila

fila fila

fila fila

Cálculo de determinantes de orden n Podemos desarrollar el determinante por una fila o columna (o por su


Ejemplo.-

1ª1 2 3 1 1 2 3 1

2ª 3 1ª3 5 0 6 0 1 9 9

3ª 7 1ª7 1 3 8 0 15 18 15

4ª 2 1ª2 3 5 1 0 1 1 1

1ª1ª 1 2 3 1

2ª2ª 0 1 9 9

3ª3ª 15 4ª 0 0 3 0

84ª 2ª 0 0 8 8 4ª 3ª

3

fila

fila fila

fila fila

fila fila

filafila

filafila

filafila fila

fila fila fila fila

1 2 3 1

0 1 9 91 1 3 9 24

0 0 3 0

0 0 0 8

Cálculo de matriz inversa utilizando determinantes

Dada una matriz A cuadrada de orden n, si su determinante es distinto de

cero, existe la matriz inversa A -1 , tal que A . A -1 = I (matriz identidad)

11 12 1

21 22 2

1 2

11 21 1

12 22 21

1 2

si y 0;

1 1

n

n

n n nn

n

n

n n nn

a a a

a a aA A

a a a

A A A

A A AA adj A

A A

A A A

Aij es el adjunto del elemento aij

-1

Ejemplo:

1 1 1 0 1 0

0 3 0 3 1 12 1 0

1 1 2 0 2 011 1 1 =

2 1 0 1 3 1 3 1 11 0 3

1 1 1 1 1 2 1 2 11 0 3 1 0 1 0 1 1

3 3 13 3 1 2 2 2

1 4 6 2 2 3 1

21 1 1 1 1 1

2 2 2

Cálculo del rango de una matriz utilizando los determinantes

Teniendo en cuenta que el rango de una matriz A de orden m x n, es el

menor NÚMERO k de filas o columnas linealmente independientes.

Utilizando determinantes, es equivalente a hallar el mayor valor k, tal que

toda submatriz cuadrada B (resultado de liminar m-k filas y n-k columnas )

de A tiene determinante no nulo. Al determinante |B| se le denomina menor

de orden k. 3 1 0 5 1

2 9 4 3 1El rango de la matriz es 4, ya que

2 2 2 1 1

1 0 3 2 1

podemos encontrar una submatriz B de A de orden 4x4 tal que

3 1 0 5

2 9 4 3617 0

2 2 2 1

1 0 3 2

B

Ejemplo.-

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

En las siguientes

diapósitivas

Mas ayuda del tema de la página

lasmatemáticas.es

Videos del profesor

Dr. Juan Medina Molina

(http://www.dmae.upct.es/~juan/m

atematicas.htm)

En la siguiente diapósitiva

determinantes determinantes de segundo orden determinantes de tercer orden determinante de orden n...

Documents