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Matemticas 1. 19. Ecuaciones exponenciales y logartmicas. 1
19. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS.
Ecuaciones exponenciales.
Son ecuaciones en las que la incgnita aparece en el exponente de una o varias potencias.
Si tales potencias no forman parte de trminos de ninguna suma o resta, se sigue el siguiente procedimiento:
Ej: xxx
28
24=
Se descomponen en factores primos las bases de todas las potencias.
( )x
x3
x2
22
22=
Se eliminan los parntesis en los exponentes de todas las potencias.
xx3
x2
22
22=
En cada miembro, se agrupan todas las potencias que tengan una misma base. xx22 22 =
Si queda una igualdad del tipo , entonces n = m, y se resuelve la ecuacin as obtenida, que ha dejado de ser exponencial.
mn aa =
32xxx22 ==
Si las bases de las dos potencias son distintas, se resuelve mediante logaritmos. Ej:
( ) ( ) ( )( )
3log2log22log2x2log2x3log2log2x3log
x2log22log2x3log2logx223log2log32 xx22xx22
+
==+=
====
Si las potencias que tienen la incgnita en el exponente forman parte de trminos de alguna suma o resta, se sigue el siguiente procedimiento: Ej: 824 1xx = +
Se descomponen en factores primos las bases de todas las potencias que tienen la incgnita en el exponente:
( ) 822 1xx2 = + Se obtienen potencias en los que el exponente sea la incgnita:
( ) 8222 x2x = Se hace un cambio de variable, llamando por ejemplo y a las potencias de exponente x:
8y2y2y 2x == Se resuelve la ecuacin obtenida, que ya no es exponencial:
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==2
4y08y2y2
Para cada valor de y obtenido, se halla el correspondiente valor de x: 2x2242 2xx ===
22x = no tiene solucin.
Ecuaciones logartmicas.
Son aqullas en las que la incgnita se encuentra en la base o el argumento de un logaritmo. Slo estudiaremos las ecuaciones en las que tales logaritmos no aparecen multiplicndose ni dividindose. Ej: ( ) 1xlog1xlog +=+ Se sigue el siguiente procedimiento: Si hay logaritmos con bases distintas, se expresan todos en una misma base (normalmente se dejan como logaritmos decimales o neperianos). Si aparecen trminos con logaritmos y trminos sin logaritmos, se llevan a un miembro los logaritmos y al otro los dems trminos.
( ) 1xlog1xlog =+ En cada miembro, se agrupan los logaritmos en uno solo, aplicando las propiedades de los logaritmos:
1x
1xlog =+
Si queda , con lo que desaparecen los logaritmos. Si slo queda logaritmo en un miembro, se aplica la definicin de logaritmo.
10x
1x=
+
Se resuelve la ecuacin obtenida, que ya no es logartmica:
91xx101x ==+
Se sustituyen las soluciones en la ecuacin original. Si producen algn valor menor o igual a cero en la base o el argumento de algn logaritmo, entonces no son vlidas:
091
> , 0191
>+ . Entonces, la solucin 91x = es vlida.
11.. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) xx 93
2
=
b) ( ) x2x 93 =c) 4x 228 =
d) 522x =
e) x1x2
2723 =+
f) 39333 1xx1x =++ +
g) 500.255 2x1x2 = ++
h) 1033 x2x =+
i) 033283 x2x2 =++
j) 081369 1xx =+ +
k) 8132323 1xx1x = +
l) 01222 x2x4 =
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22.. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2log3logx 32 =
b) 2log
233logx =
c) 2log2 100logx =
d) 3log5log3log x22 =
e) alogxalog 33
1 =
f) alogxalog 327 =
g) alogxalog 33 =
h) alogxalog 391=
i) 3logxlog7log +=
j) 25log5xlog 77 =+
k) ( ) x2log3xlog2log =+ l) ( ) ( ) 5log11x2log5x3log =++
m) ( ) ( ) 2log2x3log1x4log =
n) ( ) 06xlogxlog2 =+o) ( ) 0x5logx5log1xlog =+
p) ( ) ( ) ( ) ( )x1log5x2log1xlog3x2log =+ q) ( ) 02xx2logxlog3 2 =+ r) 5log
54xlogxlog4 2 =
33.. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
=
=+
5yx
1ylogxlog
b)
=+
=
1ylogxlog9yx
c)
=
=+
1ylogxlog3ylogxlog
d)
=+
=
2ylogxlog35ylog3xlog2
e)
=
=+
4ylogxlog57ylog5xlog
f)
=+
=
1xlogxlog21yx 22
g)
=+
=++ 952
9521y1x
yx
h)
=
=+ 42
1022yx
yx
i) ( )( )
=+
=
2x4log21y4log
y
x
j) ( )
( )
=+
=
213xlog
23ylog
y
x
k) ( ) ( )
=
=+
222
5logyxlogyxlog
y
x
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