19. ecuaciones exponenciales y...

Download 19. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICASmatetorres.wikispaces.com/file/view/ejercicios_ecuaciones_05_4ESO... · Matemáticas 1. 19. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. 3

If you can't read please download the document

Upload: vantruc

Post on 06-Feb-2018

222 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

  • Matemticas 1. 19. Ecuaciones exponenciales y logartmicas. 1

    19. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS.

    Ecuaciones exponenciales.

    Son ecuaciones en las que la incgnita aparece en el exponente de una o varias potencias.

    Si tales potencias no forman parte de trminos de ninguna suma o resta, se sigue el siguiente procedimiento:

    Ej: xxx

    28

    24=

    Se descomponen en factores primos las bases de todas las potencias.

    ( )x

    x3

    x2

    22

    22=

    Se eliminan los parntesis en los exponentes de todas las potencias.

    xx3

    x2

    22

    22=

    En cada miembro, se agrupan todas las potencias que tengan una misma base. xx22 22 =

    Si queda una igualdad del tipo , entonces n = m, y se resuelve la ecuacin as obtenida, que ha dejado de ser exponencial.

    mn aa =

    32xxx22 ==

    Si las bases de las dos potencias son distintas, se resuelve mediante logaritmos. Ej:

    ( ) ( ) ( )( )

    3log2log22log2x2log2x3log2log2x3log

    x2log22log2x3log2logx223log2log32 xx22xx22

    +

    ==+=

    ====

    Si las potencias que tienen la incgnita en el exponente forman parte de trminos de alguna suma o resta, se sigue el siguiente procedimiento: Ej: 824 1xx = +

    Se descomponen en factores primos las bases de todas las potencias que tienen la incgnita en el exponente:

    ( ) 822 1xx2 = + Se obtienen potencias en los que el exponente sea la incgnita:

    ( ) 8222 x2x = Se hace un cambio de variable, llamando por ejemplo y a las potencias de exponente x:

    8y2y2y 2x == Se resuelve la ecuacin obtenida, que ya no es exponencial:

  • Matemticas 1. 19. Ecuaciones exponenciales y logartmicas. 2

    ==2

    4y08y2y2

    Para cada valor de y obtenido, se halla el correspondiente valor de x: 2x2242 2xx ===

    22x = no tiene solucin.

    Ecuaciones logartmicas.

    Son aqullas en las que la incgnita se encuentra en la base o el argumento de un logaritmo. Slo estudiaremos las ecuaciones en las que tales logaritmos no aparecen multiplicndose ni dividindose. Ej: ( ) 1xlog1xlog +=+ Se sigue el siguiente procedimiento: Si hay logaritmos con bases distintas, se expresan todos en una misma base (normalmente se dejan como logaritmos decimales o neperianos). Si aparecen trminos con logaritmos y trminos sin logaritmos, se llevan a un miembro los logaritmos y al otro los dems trminos.

    ( ) 1xlog1xlog =+ En cada miembro, se agrupan los logaritmos en uno solo, aplicando las propiedades de los logaritmos:

    1x

    1xlog =+

    Si queda , con lo que desaparecen los logaritmos. Si slo queda logaritmo en un miembro, se aplica la definicin de logaritmo.

    10x

    1x=

    +

    Se resuelve la ecuacin obtenida, que ya no es logartmica:

    91xx101x ==+

    Se sustituyen las soluciones en la ecuacin original. Si producen algn valor menor o igual a cero en la base o el argumento de algn logaritmo, entonces no son vlidas:

    091

    > , 0191

    >+ . Entonces, la solucin 91x = es vlida.

    11.. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) xx 93

    2

    =

    b) ( ) x2x 93 =c) 4x 228 =

    d) 522x =

    e) x1x2

    2723 =+

    f) 39333 1xx1x =++ +

    g) 500.255 2x1x2 = ++

    h) 1033 x2x =+

    i) 033283 x2x2 =++

    j) 081369 1xx =+ +

    k) 8132323 1xx1x = +

    l) 01222 x2x4 =

  • Matemticas 1. 19. Ecuaciones exponenciales y logartmicas. 3

    22.. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2log3logx 32 =

    b) 2log

    233logx =

    c) 2log2 100logx =

    d) 3log5log3log x22 =

    e) alogxalog 33

    1 =

    f) alogxalog 327 =

    g) alogxalog 33 =

    h) alogxalog 391=

    i) 3logxlog7log +=

    j) 25log5xlog 77 =+

    k) ( ) x2log3xlog2log =+ l) ( ) ( ) 5log11x2log5x3log =++

    m) ( ) ( ) 2log2x3log1x4log =

    n) ( ) 06xlogxlog2 =+o) ( ) 0x5logx5log1xlog =+

    p) ( ) ( ) ( ) ( )x1log5x2log1xlog3x2log =+ q) ( ) 02xx2logxlog3 2 =+ r) 5log

    54xlogxlog4 2 =

    33.. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

    a)

    =

    =+

    5yx

    1ylogxlog

    b)

    =+

    =

    1ylogxlog9yx

    c)

    =

    =+

    1ylogxlog3ylogxlog

    d)

    =+

    =

    2ylogxlog35ylog3xlog2

    e)

    =

    =+

    4ylogxlog57ylog5xlog

    f)

    =+

    =

    1xlogxlog21yx 22

    g)

    =+

    =++ 952

    9521y1x

    yx

    h)

    =

    =+ 42

    1022yx

    yx

    i) ( )( )

    =+

    =

    2x4log21y4log

    y

    x

    j) ( )

    ( )

    =+

    =

    213xlog

    23ylog

    y

    x

    k) ( ) ( )

    =

    =+

    222

    5logyxlogyxlog

    y

    x

    19. Ecuaciones exponenciales y logartmicas. Ecuaciones exponenciales. Ecuaciones logartmicas.