dossier matemÀtiques 4t eso marked definida …...dossier matemÀtiques 4t eso marked definida por...
TRANSCRIPT
DOSSIER MATEMÀTIQUES
4t ESO
- 2 -
ÍNDEX
Unitat 0 REPÀS DE TERCER D’ESO 3 Unitat 1 POTÈNCIES I ARRELS 8 Unitat 2 ÀREES I VOLUMS 14 Unitat 3 TRIGONOMETRIA 23 Unitat 4 RECTES EN EL PLA 34 Unitat 5 POLINOMIS 41 Unitat 6 EQUACIONS I SISTEMES D’EQUACIONS 46 Unitat 7 INEQUACIONS 53 Unitat 8 FUNCIONS I GRÀFICS 57 Unitat 9 ESTADÍSTICA 73 Unitat 10 PROBABILITAT 81
- 3 -
Unitat 0 REPÀS DE TERCER D’ESO Nombres racionals i irracionals
1. Fes un esquema de la classificació dels nombres reals. Posa exemples. 2. A un jove, els seus pares li van donar 30 euros i en va gastar 21. ¿Quin percentatge de
diners va gastar? 3. a) El 45% dels 680 alumnes d'una escola són noies. Quants nois i noies hi ha a l'escola?
b) Quin percentatge d'estalvi representa una rebaixa de 4 € sobre un valor de 32 €? 4. Calcula la fracció generatriu irreductible de les expressions decimals següents:
a) 0, 5
b) 4,95 c) -5,5 3
d) -7,323232. . . .
5. Calcula i simplifica:
a) 75
20:
15
9
25
2
4
5
b)
4
132
31
c)
2
12
44
3
21
72
5:
6
71
2
6. Classifica els següents nombres:
a) 25,6 b) 4,4040040004. . . c) 3 8 d) 15
24 e) 16 f) 59,3
Potències i arrels
7. Escriu com una potència d'exponent positiu, simplificant sempre que sigui possible:
a)
2
13
1 b)
31 4
1
4
1 c) 0823 a d)
1
2
4
1 e)
4533
f)
32
7
3 g)
65
2
5:
2
5 h)
2
5
3
2
2
8. Escriu en forma d'una única potència, amb exponent positiu:
a)
55
8
9
3
2
b)
33
4
93
c)
60
7
1:
13
4
d)
77
3
2:
6
4
e)
3
3
35
18
f)
48
16:4
5
9. Calcula i simplifica
a)
3
4·1
6
5:
4
1
4
12
c)
3
2
27:54
61
e)
22
2
610
1
4
5
2
3
8
1
b)
9
4
3
45
2
31
23
d)
3
31
8
27
3
2
2
1
f) 10010
11100010000 3
10. L'oxigen és un gas que existeix en l'atmosfera, en l'aigua, en l'escorça terrestre, i en la
major part de les substàncies orgàniques vegetals i minerals. En 16 g d'oxigen hi 6,023 · 10
23 àtoms d'oxigen. Quina és la massa d'un àtom d'oxigen?
- 4 -
11. Un terreny quadrat té una superfície de 506,25 m
2. Quant mesura el seu costat?
12. Expressa com una arrel única i calcula:
a) 933
c) 2:16
b) 3
3 35
=
d) 4 256
Expressions algebraiques i equacions
13. Resol les equacions següents:
a) xx 8)5(3
b) 3
94
xx
c) 3
45
2
13
xx
d) )7()1(3)2(3)4(7 xxxx
e) 3
5234
xx
f) xxx
512
7
3
5
g) 15
4)32(5
1)2(
3
1 xxx
h) 1)3(3
1
3
4)1(
2
1 xxx
i) 15
3
5
5
2
3
3
5 xxxx
j) 3
5
14
53
7
3
6
12
14
3
xxxxx
14. El perímetre d’un rectangle és de 26 cm. Calcula la mesura dels seus costats sabent que la
base mesura 3 cm més que l’altura. 15. Si al triple d'un nombre li restem 12, obtenim la meitat d'aquest mateix nombre, més 13.
Quin nombre és ? 16. Una persona fa les 3/5 parts d'un viatge en avió, les 7/8 parts de la resta en tren, i els 50
Km finals en autobús. Quants Km ha recorregut en total ? 17. Comprem 1.600 Kg de sucre a 0,35 € el quilo. Si el transport val 104 € i volem guanyar 180
€ en la seva venda, a quant hem de vendre cada quilo de sucre ? 18. Comprem bolígrafs a 0,22 € cada un, i el doble nombre de llapis a 7 cèntims d'euro cada
un. Quants bolígrafs i llapis podrem comprar amb 18,36 €? 19. Un botiguer compra 10 caixes de patates de 30 Kg cada una a 0,39 € /Kg. Quant guanyarà
si ven les patates a 0,42 € el Kg si sabem que se li han fet malbé 45 Kg? 20. En Miquel té 25 anys menys que el seu pare. Entre tots dos en tenen 79. Troba els anys
que té cadascú.
Sistemes d'equacions
21. Resol els següents sistemes d’equacions:
a. Fes servir el mètode de substitució o d'igualació:
a.1)
335
932
yx
yx
a.2)
7413
412
yx
yx
a.3)
4
6
yx
yx
a.4)
xy
xy
2
5
b. Fes servir el mètode de reducció:
b.1)
02
052
yx
yx
b.2)
32
11
x
yx
- 5 -
b.3)
32
3
24
yx
yx
b.4)
0523
022
yx
yx
c. Fes servir el mètode que vulguis:
c.1)
224
432
yx
yx
c.2)
2
132
6
1
3
1
yx
yx
22. En un garatge hi ha 50 vehicles, entre cotxes i motos. Sabent que el nombre total de rodes
és de 160, trobar el nombre de cotxes i el de motos que hi ha. 23. Disposem de cafè "Classe A" a 1,32 €/Kg, i cafè de "Classe B" a 1,14 €/Kg i volem vendre
una mescla de 150 kg de cafè a 1,2 €/Kg. Si no hem de perdre ni guanyar diners en la operació, quants de quilograms de cada classe haurem de fer servir per a fer la mescla ?
Equacions de segon grau 24. Resol les següents equacions de 2n grau incompletes:
a) 025
3 2 xx
b) 02
17 2 xx
c) 015
2 2 x
d) 074
1 2 x
25. Resol les següents equacions de 2n grau per la fórmula general:
a) 02292 xx
b) 024102 xx
c) 051712 2 xx
d) 0342 xx
e) 0384 2 xx
f) 0422 xx
Triangles i semblança 26. Els costats d'un triangle equilàter mesuren 4 cm. Un de semblant té de perímetre 30 cm. Quina és la raó de semblança? Calcula la longitud dels costats del nou triangle. 27. Els segments AB i CD són paral·lels. Calcula x i y a
partir de les mesures que hi ha indicades en la figura . 28. Un pal vertical de dos metres projecta una ombra de 3 metres. A la mateixa hora, l'ombra de la torre d'una església és de 80 m. Calcula l'altura de la torre. 29. En un triangle isòsceles, cadascun dels costats iguals mesura 15 cm, i el costat desigual mesura 8 cm. Calcula la seva àrea. 30. La base i la diagonal d'un rectangle mesuren respectivament, 20 cm i 25 cm. Calcula el seu
perímetre i la seva àrea.
- 6 -
Les funcions lineals i afins 31. Les equacions de les rectes següents són algunes d'aquestes:
y = 3x - 6 y = - 2x y = 4 y = - 2x + 4 y = x + 4 y = 3x + 2 y = - x - 2
Assigna a cada recta la seva equació, indicant quin és el pendent i l'ordenada a l'origen.
32. Calcula l’equació de la recta en cadascun dels casos següents:
a) Pendent –2 i talla a l’eix d’ordenades en el punt (0,4) b) Passa pel punt (2,-3) i pel seu simètric respecte a l’eix d’ordenades. c) Passa pel punt (-1,-5) i per l’origen de coordenades. d) Passa pels punts (3,2) i (5,-1).
33. . Són paral·leles les rectes 2x + y = 3 i x + 2
1y = 7? Raona la resposta.
34. Pel lloguer d’una bicicleta et cobren una quantitat fixa de 2 €, i per cada minut, 5 cèntims d’euro.
a) Escriu l’equació que expressa el preu segons el temps b) Si has pagat 5 €, quant de temps has tingut llogada la bicicleta?
Les funcions
35. Expressa, amb una equació, la relació funcional que hi ha entre aquestes variables:
a) El nombre total de pàgines de 10 llibres de x pàgines. b) L’àrea d’un triangle de base 5 i altura x. c) La diagonal d’un quadrat en funció del seu costat x.
36. Calcula analíticament els punts de tall amb els eixos de coordenades de les funcions següents:
a) y = 2x + 1 b) y = -x
2 – 4x
c) y = -3 d) y = -x
2 + x +2
7
37. A partir de la gràfica de la funció indica:
a) Dom f =
b) Rec f =
c) f(0)=
d) f(5) =
e) f(-2) =
f) f-1
(2) =
g) f-1
(0) = h) Quin és el punt o punts on s'assoleix el valor màxim: i) En quin interval la funció és creixent: j) En quins punts la funció no és contínua: 38. Estudia les funcions següents ( taula de valors, representació gràfica, domini, recorregut,
creixement i decreixement, màxims i mínims, simetries, punts de tall amb els eixos de coordenades):
a) y = -2x + 1 b) y = 3x
2 + 2x – 6
c) y = -x2 – 4
d) 12
1 xy
e) y = -2x2 + 5x – 1
39. Sabent que una paràbola té el coeficient quadràtic negatiu i que el vèrtex està situat al punt (2, 3), esbrina:
a) Quin tipus d'extrem té (màxim o mínim)? b) Quins són els seus intervals de creixement i decreixement? c) Quants punts de tall té amb l'eix d'abscisses?
40. Calcular l’equació de la parábola sabent:
a) Que tè de coeficient quadràtic -2 i que passa pels punts (-1 , 3) i (1, 2).
b) Que tè el vèrtex al punt (-1, -2) i que passa pel punt (3, 2).
8
Unitat 1 POTÈNCIES I ARRELS Operacions amb potències 1. Expressa el resultat de les operacions següents com una potència d'exponent positiu:
a) (33)
-2 · 3
5 =
b) 2
5 · 2
-3 · 2
6 =
c) [(-3)
3]
-2 =
d) [(-2) · 3 · (-4)]
-2 =
e) (-5)4 · 7
4 =
f) 2
-5 : 4
-2 =
g) (-2)
-4 : (-2)
6 =
h) (-2)
4 : (-2)
-6 =
i) (-7)8 · 7
3 =
j)
3
2
2
4
3
1
3
3
k)
1
2
1
l)
2
13
1
m) 45
33
n) 31 4
1
4
1
o) 65 2:2
p)
1
2
4
1
q)
2
2
3
r)
2
1
1
3
2
s) 45
7:7
t) 31
6
4
1:
4
2
u) 65 )2()2(
v)
1
2
22
1
w)
33
2
5
5
2
2. Calcula aquestes expressions:
a) 22 - 4
2 : 8 + 2
5 =
b) 2 · 3
2 - 5
2 : 5 + 5
0
c) 3
2 · 3 - 3
3 + 1 - 2
-1
d) 4
2 : 2 - 1 - 8
2 : 2
e) 42 + 4
4 - 4
3 =
f) 5
3 · 3
3 : 15
-2 =
g) 2
8 - 2
6 + 2
4 =
h) (2 + 3)
2 - 5
0 =
3. Escriu amb exponent positiu les potències següents:
a) 2
2
b) 53
c)
1
2
3
d) 3
5
4
=
e) 4
5
2
=
f) 27 =
g)
3
3
33
1
h)
33
6
5:
6
1
i)
53
5322
23
9
4. Utilitzant les propietats de les potències expressa de la manera més simple possible. Després calcula el resultat:
a) [(-5)
2 · (-2)
3] : [5
3 · (-2)
2] =
b) (-2)
3 · (-5)
3 · (-2)
2 · (-2)
3 · (-5)
2 =
c) [(-3)
2 · 3
3 · (-4)
2 · 3
-3] : (-3)
3 =
d)
1
2
5
15
35
e)
2
6
0723
21
237
f)
2
115
a
aa
g)
55
8
9
3
2
h)
5
5
5
183
i)
33
4
93
j)
60
7
1:
13
4
k)
48
16:4
5
l)
240
53
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
m)
1
6
023
10
552
n)
2
3
2
3 22
1
o)
233
2
3:
2
3
2
3
p)
22
2
3
4
3
q) 1
32
8
1
r) 3113 522
s) 4
62
2
2
1
2
1
t) 2
22
2
13
3
52
3
11
u)
352
2
1
2
1
2
1
v)
43132 1010
w)
5
9
5
32
x)
32
53
aa
aa
y)
1
22
3
2
2
3
z)
322
232
329
443
5. Transforma aquestes expressions en unes altres equivalents amb tots els exponents positius:
a) 22 yx = b)
1
21
2
3
x
x
10
Notació científica
6. Escriu en notació científica:
a) 30000000000= b) 0,0000087= c) 0,002= d) 65700000=
e) 0,1= f) 12= g) 976849000=
h) 0,65= i) 903000000= j) 0,000078653=
7. Escriu en notació decimal:
a) 3,67·104=
b) 3,67·10
-4=
c) 7·10
3=
d) 7,8·101=
e) 7,9·10
-1=
f) 6,876·10
-10=
g) 5·10
0=
h) 2,76·10
12=
i) 2,8765·10
5=
j) 10
-7=
8. Utilitzant la notació científica escriu les següents magnituds en metres:
a) La Unitat Astronòmica de distància és la distància mitja que separa la Terra del Sol, el seu valor és 149,6 milions de kilòmetres. b) Un any-llum és la distància que recorre la llum en un any (velocitat de la llum = 300000 km/s) c) El C-elegans va ser el primer organisme al qual se li va seqüenciar el seu genoma complert. La seva longitud és de 1mm.
9. Ordena de menor a major els següents números, expressant-los prèviament en notació
científica:
a) 3,23·1018
, 523,17·1016
, 444·1017
b) 3,19·10-12
, 0,033·10-10
, 444·10-14
10. Si X = 3·10
7, Y= 4,25·10
5 y Z = 72,12·10
10, calcula, expressant el resultat en notació
científica:
a) (X+ Y)·Z
b) Z
YX ·
11. L'oxigen és un gas que existeix en l'atmosfera, en l'aigua, en l'escorça terrestre, i en la
major part de les substàncies orgàniques vegetals i minerals. En 16 g d'oxigen hi 6,023 · 10
23 àtoms d'oxigen. Quina és la massa d'un àtom d'oxigen?
12. Amb la calculadora, calcula i expressa el resultat en notació científica:
a) 1232 10901,8:1075,210325,4
b) 0,0045 ·104500000 -10
-4 : 2,3 · 10
-8
c) 3,67·10
40 )·(7·10
4) =
d) 2,3·10
-4 + 7·10
-4 – 0,003 =
e) (7·1014
) : (2·1011
) =
f) 2,5 ·(2·1010
) - (7·104)=
g) 3,5·1000 ·1000000 =
h) 0,5 : 0,00000019 =
11
Definició d’arrels. Potències d’exponent fraccionari
13. Calcula les següents arrels, vigila amb els signes:
a) 36
b) 100
c) 81
d) 3 27 =
e) 4 10000
f) 3 8 =
g) 9
h) 25
i) 7 1
j) 3 64 =
14. Indica quins dels següents nombres tenen arrels quadrades i arrels cúbiques enteres:
a) 8 281 b) - 46 656 c) -169 d) 729
64
15. Expressa en forma de potència d'exponent fraccionari:
a. 3 2
b. 3
1
a
c. 5 23
d. 3 7
3
e. 3
1=
f. 4 3a
16. Expresa en forma d’arrel:
a) 32/5
b) 102/3
c) 4/32
d) 7/512
e) 4/13
f) 3·7
-1/3
Operacions amb arrels
17. Extreu factors fora del radical:
a) 200
b) 250
c) 40
d) 3 162
e) 72
f) 4 648a
g) 335000a
h) 3 112500
i) 367 cba
j) 3 834 pnm
k) 6 4810 zyx
l) 3 481m
m) 4 1024
n) 5 12964 ba
o) 3 8648 pnm
p) 6 1024
q) 5 1292187 yx
18. Realitza les següents operacions:
a) 102
110210
b) 37752123
c) 318532
d) 18450283
e) 992441331
f) 75321287
g) 6051280980
h) 208055
12
i) 27235243
j) 754123275
k) 1845072583
l) 128325322
m) 33 254
n) 823
52
3
1
o) 81
128648512
p) 25
2
4
123
3
1875
q) 500453
2245
r) 64 842
s) 5184238
t) 333 25223
u) 185
28
3
12
v) 53 6449 mmm
w) xxx 20455
x) 3 33 33 3 432541284
1ababab
y) 3 24 94 2732623 aaa
19. Realitza les següents operacions:
a) 8721
b) 14·7
c) 33 10010
d) 33 6·92
e) 14·7
f) 3 42
g) 43 84
h) 3 10010
i) 55 33
j) 64 274
k) 245·180
l) 3 819
m) 3 632
20. Realitza les següents operacions:
a) 2:8
b) 2:18
c) 001,0
1,0
d) 33 2:54
e) 3 2:2
f) 55 4:8
g) 3 3:5
h) 6
3
16
32
i) 6
4
45
75
21. Realitza les següents operacions:
a) 3 8
b) 8
c) 3 65
d) 3 16
e) 3 32
f)
8
4 22
g)
93 6 4
h) 3 27
i) 55 23
j) 36 44
k) 4 33
l) 2562
m) 3
5·82
n) 3 33 aa
o) 3 65
13
22. Aplicant les propietats dels radicals realitza aquestes operacions:
a) 42
3649
34
b) 4
5
36150
900
c) 63 153:5
d) 8:3232 44
e) 63 22:2
f) 63 9:23
g) 3 632
h) 333 25:36·150
i) 27:5·3 3
23. Calcula fent ús de les identitats notables:
a) 2
31
b) 5757
c) 2
322
d) 5151
a) 2
62
b) 4823222
c) 5631872
d) 22
5151
24. Racionalitza:
a) 2
3
b) 5
5
c) 32
5
d) 3
6
e) 23
2
f) 62
3
g) 2
12
h) 6
32
i)
3
32
j) 21
7
k) 53
1
l) 26
72
m)
25
523
n) 22
22
o) 23
2
=
14
Unitat 2 ÀREES I VOLUMS Polígons
1. Dibuixeu: a) Una línia poligonal oberta formada per 8 segments b) Una línia poligonal tancada formada per 6 segments c) Un polígon convex format per 6 costats d) Un polígon còncau format per 5 costats 2. Un polígon que té 10 vèrtexs. Quants costats té? Quants angles? Quin nom té aquest
polígon? 3. Que són les diagonals d’un polígon?. Quantes diagonals pots dibuixar en un octàgon des
d’un dels vèrtexs? Quantes diagonals té aquest polígon? 4. Escriu sota de cada figura quin tipus de polígon és segons el seu nombre de costats. Indica
a més si és còncau o convex:
a b c d e f g h i
............ .............. ................ ............ ............ ............... .... ........... … … … … … …
j k l m n o p q r
.............. ............. ................. ............ .............. ........... . ............... … … … .. … … …
5. Calculeu el perímetre de les figures següents: a) Un quadrat de 7 cm de costat b) Un triangle equilàter de 8 cm de costat c) Un rombe de 6 cm de costat d) Un dodecàgon regular de 5 cm de costat 6. La suma de tots els angles d’un octàgon regular és de 1080º. Quant mesura cada angle? 7. Quantes diagonals tenen els quatre polígons regulars de menys de set costats?.
Calculeu-ne de cadascun d’ells, la mesura dels angles i el perímetre, si el costat fa 5 cm. Triangles 8. Quant sumen els tres angles d’un triangle? 9. Classifiqueu els triangles segons els seus costats.
COSTATS TIPUS DE TRIANGLE
a= 3cm, b= 6cm, c=8cm
a= 4cm, b= 5cm, c=4cm
a= 3cm, b= 3cm, c=3cm
10. Classifiqueu els triangles segons els seus angles.
ANGLES TIPUS DE TRIANGLE
A= 65º, B=40º, C=75º
A= 30º, B=90º, C=60º
A= 30º, B=120º, C=30º
15
11. En un triangle isòsceles, l’angle desigual és de 120º. Quina és la mesura dels altres dos angles?
12. Dibuixeu en quatre triangles diferents les rectes i punts notables d’aquests triangles. 13. Anomeneu els criteris d’igualtat de triangles. Dibuixeu-ne un de cada tipus. 14. Quina condició s’ha de complir per tal de poder construir un triangle donats tres
segments? 15. Per a cadascun dels següents triangles,
1r. Marca l’angle recte. 2n. Assenyala la hipotenusa. Com es diuen els altres costats? 3r. Determina el costat que falta mitjançant el teorema de Pitàgores. Totes les unitats estan en cm.
Quadrilaters 16. Un paral·lelogram és un quadrilàter convex que té tots els costats paral·lels dos a dos.
Completa la taula següent posant el dibuix i la definició dels 4 tipus de paral·lelograms que hi ha:
Nom del Paral·lelogram
Dibuix Explicació
Quadrat
Rectangle
Rombe
Romboide
16
17. Un Trapezi és un quadrilàter convex tal que només dos dels costats són paral·lels.
Completa la taula següent posant el dibuix i la definició dels 3 tipus de trapezis que hi ha:
Nom del trapezi Dibuix Explicació
Rectangle
Isòsceles
Escalè
18. Tan sols queda un tipus de quadrilàter: el trapezoide. Fes un dibuix i escriu la definició:
Nom Dibuix Explicació
Trapezoide
19. Quant sumen els angles de qualsevol quadrilater? Càlcul d’àrees
20. Calcula l’altura d’un rectangle de 0,064 m de base i 0,006080 m2 d’àrea.
21. Calcula l’àrea d’un quadrat de 23 cm de costat. 22. L’àrea d’un quadrat mesura 3,61 dm
2. Quant mesura el costat?
23. L’àrea d’un rectangle és de 423 cm
2 . Quant mesurarà el costat d’un quadrat que sigui
equivalent? 24. El perímetre d’un quadrat és 0,00002 hm. Calcula’n l’àrea. 25. Calcula l’àrea d’un rombe de 7,8 cm de diagonal major i 0,53 dm de diagonal menor. 26. Calcula la mesura de la diagonal d’un rombe si la seva àrea fa 0,325 cm
2 i la diagonal
menor fa 0,05dm. 27. Calcula l’àrea del rombe que es forma en unir els punts mitjans dels costats d’un rectangle
de 28 cm de base i 21 cm d’altura. 28. Calcula l’àrea d’un romboide de 123 cm de base i 7,6 dm d’altura. 29. Calcula l’àrea d’un triangle rectangle els catets del qual mesuren 7 cm i 4 cm,
respectivament. 30. Un romboide mesura 15 cm de base i 0,7 dm d’altura. Calcula l’àrea dels triangles que es
formen en traçar una diagonal. 31. Calcula la mesura de la base d’un triangle de 23,6 cm
2 d’àrea i 63 mm d’altura.
32. El perímetre d’un triangle isòsceles és 22 cm; la suma de les longituds dels dos costats
iguals és 1,8 dm i l’àrea és 16 cm2 . Quant mesura l’altura d’aquests triangle?
17
33. Calcula l’àrea d’un heptàgon regular de 6,2 cm de costat i 53 mm d’apotema. 34. L’àrea d’un pentàgon regular és 0,675 m
2 i el costat mesura ¾ de metre. Quant mesura
l’apotema? 35. L’àrea d’un hexàgon regular és de 12 dm
2 i la seva apotema, 16 cm. Calcula’n el
perímetre. 36. El perímetre d’un triangle equilàter és igual al d’un dodecàgon regular d’1,1 dm de costat.
Quant mesura el costat del triangle? 37. Calcula l’àrea i el perímetre d’aquesta figura, on els diàmetres de les circumferències es
donen en centímetres:
4 3 5
38. Sabent que el radi de cada cercle fa un metre, calcula l’àrea de les zones ombrejades:
39. Cada cercle fa 3 cm de radi. Calcula l’àrea de la zona ombrejada:
40. Calcula la longitud i l’àrea d’un sector circular de 60º si el radi de la circumferència fa 10 m. 41. Calcula l’àrea d’aquestes figures:
8 m
3 cm
60º
6 cm 42. L’àrea de la superfície d’un disc metàl·lic és de 78,5 cm
2 . Quin radi té? Si l’àrea d’un altre
disc és el doble que l’anterior (és a dir, 157 cm2 ) el seu radi també serà el doble?
Comprova-ho fent els càlculs oportuns.
18
43. Calcula l’àrea de les següents figures:
Poliedres 44. Escriu el nom dels elements d’aquest poliedre.
45. Quines d’aquestes figures son poliedres? Justifica la resposta
46. Indica quin tipus de poliedres és cada un d’aquests:
19
Prismes 47. Calcula la superfície total i el volum d’aquesta figura (unitats en cm):
48. Calcula el volum d’un ortoedre les mesures del qual son 6 cm., 8 cm. i 12 cm. 49. Calcula el volum d’un prisma triangular regular de 15 cm. d’ altura i 6 cm. de aresta bàsica. 50. Volem construir un recipient de forma cúbica que tingui una capacitat de 64000 litres.
Quant haurà de mesurar l’aresta? 51. La cisterna del wàter té forma d’ortoedre i les seves mesures són 45 cm , 17 cm i 30 cm. Si
en una casa viuen 4 persones, que utilitzen una mitjana de 5 vegades al dia el wàter cada una, quin serà el consum diari d’aigua en litres?
Piràmides
52. Calcula la superfície total i el volum de la següent figura (unitats en cm):
53. La piràmide de Keops mesura 146,5 m d’altura i la seua base és un quadrat de 232 m de
costat. Quin és el seu volum? 54. Calcula el volum d’una piràmide hexagonal regular de 6 cm d’aresta bàsica i 10 cm d’aresta
lateral.
20
Cossos de revolució
55. Calcula la superfície total i el volum de les següents figures (unitats en cm):
56. Quants dipòsits cilíndrics de 40 cm de diàmetre i 60 cm d’altura es podrien omplir amb
l’aigua que cap dins d’un globus esfèric d’1 m de radi? 57. Quin serà el volum d’un anell d’or que mesura 2 cm de diàmetre exterior, 1,8 cm de
diàmetre interior i 5 mm d’altura? 58. Quants litres d’aigua caben en un embut de forma cònica de 40 cm de generatriu i 24 cm
de radi? Càlcul àrees i volums (prismes, piràmides i cossos de revolució)
59. Completa
21
60. Calcula l’àrea i el volum de les figures següents:
a) b) c) 61. Calcula la superfície i el volum de la següent figura:
62. Calcula la superfície i el volum de la figura següent (les mesures són en metres):
63. Una esfera de 10 dm de diàmetre està inscrita en un cilindre. Quin és el volum de la part
que queda entre ambdós cossos?
64. Ajustem tres pilotes de tennis de 8 cm de diàmetre dintre d’un recipient cilíndric com el de la fotografia. Quin és el volum d’aire que queda entremig?
22
65. Calcula el volum dels següents objectes: 66. Quants litres d’aigua caben a esta piscina?
40 cm
10 cm
8 cm
Base hexàgon regular
40 cm
8 cm 9,65 cm
5 cm
14 cm
2 m
1 m.
25 m. 12 m.
8 m.
4 m
Unitat 3 TRIGONOMETRIA
Angles
1. Agrupeu els angles de la figura segons els següents criteris: a) angles iguals b) angles complementaris c) angles suplementaris
A
B
D
C
E
F
H
G
IJ
KL
2. Transformeu en graus el angles
a) 150 7 3 0 b) 1300 25 55' 2
c) 650 40 48 d) 2800 21
3. Transformeu en graus, minuts i segons els angles següents
a) 146' 2430 b) 36' 0040
c) 15' 340 d) 87' 65560
4. Efectueu les operacions següents
a) 270 4 32 350 43 50
b) 1320 32 23 890 47 53
c) 3 430 15 32
d) 3530 35 29 7
5. Calculeu el suplementari de l’angle 790
30 12
6. Calculeu el complementari de l’angle 350
25
24
7. Amb l’ajuda del transportador d’angles, doneu la mesura aproximada en graus sexagesimals dels angles següents:
8. Construïu angles de 35
0, 125
0, 220
0 i 330
0
9. Calculeu el valor de l’angle A en cadascuna de les figures següents:
130º
A
45º 60º
A
32º
A
22º
A
40º20º
10. Calculeu els angles A, B, C i D
70º
A
DC
B
50º
AB
32º
11. Expresseu en radiants els angles: a) 30º b) 120º c) 270º d) 90º e) 150º f) 330º
A
B
C
25
12. Expresseu en graus, minuts i segons els angles de:
a) 1 rad b) 3
2 rad c)
7
18 rad
d) 2
3 rad e)
12 rad f )
7 rad
13. Ordeneu del més gran al més petit els angles següents:
1230
, 3
4 rad ,
2
3 d' un angle recte , 2,15 rad
14. Sabent que en una circumferència un arc de 75º d’amplitud fa 24 cm, calculeu el seu radi. 15. Un rellotge assenyala les 12 en punt. Després de 30 minuts, quin angle, mesurat en
radiants, formen les agulles de les hores i dels minuts ? 16. Aquí teniu l’esquema del traçat d’una carretera que uneix dos pobles A i B. A partir de les
dades que es donen, quants quilòmetres haurem de recórrer per anar del poble A al poble B. Si portem una velocitat mitjana de 60 Km/h, quant trigarem ?
A
40 km
170º
15 km
120º
B
17. Quant triga la Terra en girar, sobre si mateixa, un angle de: a) 120º
b) 7
3rad
18. Mercuri triga en donar una volta complerta sobre sí mateix 58’6 dies aproximadament. Quin
angle gira en un dia ? i en una hora ?
Triangles
19. Amida els segments corresponents en la figura i comprova que AB
BC
AB'
B' C'
A
B
C
B’
C’
26
20. Fixeu-vos en la figura de l’esquerra. Si desplacem el triangle OAA’ sobre la recta r fins la
posició que assenyala la figura de la dreta, comproveu que OA
OB
AA'
BB'.
21. Si a cada costat d’un triangle li sumem dues unitats, s’obté un triangle semblant ? 22. Els dos triangles de la figura són semblants, determineu la longitud del costat a’. 23. Determineu si són semblants els parells de triangles següents:
24. Els costats d’un triangle valen a = 9 cm, b = 6 cm i c = 5 cm. Calculeu les mides del triangle
semblant a aquest que té per perímetre 10 cm.
O
A A’
B B’
r r’
O
A A’
B B’
r r’
A
B
C A’
B’
C’ 15 cm
6 cm
12 cm
27
25. Sabent que la raó dels perímetres dels dos triangles semblants de la figura és 3
4,
determineu la longitud del costat b.
Triangles rectangles 26. Amb l’ajuda d’un regle graduat, comproveu que els quocients que s’indiquen tenen
sensiblement el mateix valor
OM
ON
OP
OQ
OR
OS
O
N
M P
Q
S
R
a) de quina raó trigonomètrica es tracta ? b) amb l’ajuda de la calculadora, doneu el valor de l’angle agut tal que tingui la raó
trigonomètrica anterior. c) comproveu amb el transportador d’angles que l’angle trobat en l’apartat anterior
correspon aproximadament. 27. Indiqueu en quin cas aquests tres números poden representar les longituds dels costats
d’un triangle rectangle: a) 3, 5, 7
b) 1, 3 , 2
c) 5 ,4 ,3
d) 115 ,11 ,113
28. Completeu les següents llistes de números perquè els dos primers elements representin
les longituds dels catets d’un triangle rectangle i el tercer la hipotenusa. a) 5, __ , 13 b) 6, 8, __
c) __, 10, 12
d) 6 , __, 32
b b’= 8 cm
28
29. Es vol construir un celler per emmagatzemar bótes de vi de la forma com s’indica en el dibuix. Si d = 60 cm és el diàmetre de les bótes. Quina ha de ser l’altura del celler ?
30. Calculeu l’altura d’una piràmide de base quadrada de 5 m de costat i 10 m d’aresta lateral. 31. En un dia de sol es pot trobar l’altura d’un edifici, un arbre o qualsevol monument, fent
servir la seva ombra i un bastó. Situeu el bastó en posició vertical, de manera que l’extrem de la seva ombra coincideixi amb l’ombra de l’objecte a mesurar. Sembla ser que el llegendari Tales va utilitzar aquest procediment per mesurar l’altura d’una piràmide. Expliqueu el dibuix.
32. Escriu les raons trigonomètriques de l’angle i :
33. Troba les raons trigonomètriques dels angles i :
34. Escriu les raons trigonomètriques dels angles i :
4 cm
3 cm x
2 cm
3 cm
36 cm
15 cm
29
35. Sabent que sin = 3
2, troba x i y.
36. Troba cos i cos en el triangle rectangle de la figura:
37. Si cos = 0’75, troba x i y.
38. Troba tg i tg en el triangle rectangle de la figura:
39. Si tg =3
5, troba x i y.
10 cm
x
y
x
y
6 cm
12 cm
13 cm x
12 cm
x
y
x
26 cm 10 cm
30
40. Fixa’t en el triangle i completa les dades:
cm 5
BC
AC
AB
41. Fixa’t en el triangle i completa les dades:
CB
AC
m 4 AB
42. Un individu observa amb un angle de 38 graus la cornisa d’un edifici, a una distància de 56 metres. Calcula l’alçada de l’edifici.
43. Calculeu l’alçada d’una torre si des d’un punt situat a 50 m del seu peu l’angle d’elevació
del punt més alt de la torre és de 70º. 44. Calculeu l’alçada d’un edifici si des d’un punt situat a 150 m de la seva base l’angle amb el
que es veu el punt més alt és de 40º i 30’. 45. Fixa’t en el triangle i completa les dades:
3 m
AB DC
BC AC
AD DB
24º
62º
31
46. Un turista observa la torre Eiffel des de terra en un punt en què forma un angle de 45º. S’acosta 125 m al peu de la torre i aleshores l’angle format és de 60º. Calcula l’altura de la torre.
47. Calcula la longitud de l’ombra que projecta un arbre de 3,5 m d’altura quan la inclinació dels
raigs solars és de 38 º. 48. En els triangles rectangles següents, calculeu la raó trigonomètrica que s’indica i, amb
ajuda de la calculadora, el valor de l’angle agut corresponent.
cosec C
C
8
5
B
6
5
cos B
5
4
cot C
B8
3
tg B
4
15C
sin C
49. Des d’un punt de terra veiem que el cim d’una torre forma un angle de 30º amb la línia
horitzontal. Si ens apropem 75 m cap al peu de la torre, aquest angle es fa de 60º. Busqueu l’altura de la torre.
50. Des d’un far de 25 m d’alçada s’observa una barca amb un angle de depressió de 28º 30’.
Calculeu la distància de la barca al peu del far ( l’angle de depressió és el format per la visual i l’horitzontal ).
51. El costat d’un pentàgon regular fa 8 cm. Trobeu els radis de les circumferències
circumscrita i inscrita del pentàgon.
52. Un observador veu un edifici amb galeries comercials i pisos sota un angle de 30º, Si mira cap al penúltim balcó aquest angle es fa de 25º. Sabent que la distància entre el penúltim balcó i la part més alta de l’edifici és de 10 m. Calculeu:
a) l’altura de l’edifici b) la distància de l’observador a l’edifici
10 m
30º 25º
C
32
53. Les diagonals d’un rombe mesuren 30 cm i 16 cm. Calcula’n el perímetre, l’àrea i els angles.
54. Quin angle formen els raigs solars amb l’horitzontal si sabem que a una determinada hora
un xiprer de 15 m d’alçària projecta una ombra de 6 m? 55. L’angle d’elevació d’un globus captiu, observat des d’un punt del terra situat a 350 m del
seu ancoratge, és de 60º. Calcula l’altitud a la qual es troba el globus suposant que l’observació es fa un dia sense vent.
56. Des de la cúpula d’un far, situada a 125 m sobre el nivell del mar, s’observa un vaixell sota
un angle de depressió de 65º. Quina distància separa el vaixell de la cúpula del far? 57. S’ha col·locat a la terrassa d’una casa una antena d’1,5 m d’alçària. Des d’un punt del
carrer mesurem els angles d’elevació de la base de l’antena i del seu extrem superior, que són 46º i 50º, respectivament. Quina alçària té la casa?
58. Dos satèl·lits són a una distància de 470 km d’un observatori. Si l’angle que formen les
visuals des de l’observatori als satèl·lits és de 39º54’, quina distància separa els satèl·lits?
59. Un bus baixa al fons d’un llac per recollir un objecte seguint la trajectòria rectilínia
d’inclinació 30º. Compleix el seu objectiu i surt a la superfície en un altre punt del mateix pla vertical seguint una altra trajectòria rectilínia d’inclinació 35º. Si la distància en la superfície entre el punt d’entrada i el de sortida és de 100 m, esbrina la profunditat del llac.
33
60. Dos observatoris, situats a la mateixa latitud i separats 1200 km, localitzen l’epicentre d’un sistema amb angles de 218º i 126º respecte del nord. A quina distància de l’epicentre estan situats?
61. Amb les dades de la figura, calcula l’amplària del riu i l’alçària de l’arbre.
62. Calcula l’alçària de l’edifici de la figura si α = 15º, ß = 20º i d = 10 m.
63. Els operadors dels radars de dos portaavions observen el vol d’un helicòpter situat en el mateix pla vertical que els vaixells. D’acord amb les dades de la figura, a quina altitud vola l’helicòpter?
34
UNITAT 4 RECTES EN EL PLA Vectors 1. Dóna les components d’aquests vectors:
2. Dibuixa els punts en uns eixos cartesians i determina les components del vector que permet passar en cada cas de A a B
a) )1,0(A i )0,1(B
b) )3,1(A i )4,5( B
c) )1,1( A i )0,0(B
d) )1,2(A i )1,3(B
3. Determina el vector posició dels punts següents:
4. Les components d’un vector lliure són )5,2( . Dibuixa en uns eixos de coordenades els
vectors fixos obtinguts en aplicar el vector lliure en els punts origen següents:
a) )2,4(M
b) )5,3( N
c) )0,0(P
d) )3,1(Q
5. Dibuixa en uns eixos de coordenades els vectors posició dels punts següents:
a) )4,3( M
b) )6,2(N
c) )0,3(P
d) )4,7(Q
e) )2,5( R
f) )4,3( S
6. Indica les components dels vectors dibuixats al pla. Has de determinar el desplaçament horitzontal i vertical que cal fer per passar del punt origen al punt extrem.
35
7. Dibuixa en cada cas tres vectors equipol·lents als vectors donats.
8. Troba les coordenades del punt B sabent que el vector AB té com a components
2,3 AB , i que el punt origen és 6,5A .
9. Els vectors AB i CD són equipol·lents. Coneixem les coordenades dels punts A , B i C :
1,4A , 5,3B i 0,3C . Determina gràficament les coordenades del punt D .
Operacions amb vectors 10. Fes aquestes sumes de vectors, tant gràficament com analíticament:
a) nm , on 3,5m i 8,3n b) po , on 4,4o i 2,6p
11. Fes el producte dels nombres pels vectors:
a) m·5 , on 4,2m
b) n·3 , on 7,3 n
c) p·2 , on 1,1p
12. Calcula els vectors oposats als donats:
a) 7,3u
b) 2,4 v
c) 3,6w
d) 5,4 x
13. Fes aquestes restes de vectors , tant gràficament com analíticament:
a) nm , on 2,5m i 4,3 n
b) po , on 3,4o i 2,4p
c) rq , on 5,6o i 3,1r
14. Tenim aquests vectors en el pla:
a) Suma a cada vector el vector 3,4 u
b) Resta a cada vector el vector 4,2v
15. Dibuixa els vector de posició 3,2 a
i 1,4b
. A continuació, representa
gràficament els vectors indicats:
a) bau
b) bv ·3
c) aw
d) baz
36
16. Podem sumar tres vectors, tal com mostra la figura
Suma aquests vectors i representa també les sumes gràficament.
a) onm , on 3,5m , 6,3n i 4,2 o
b) onm , on 4,2m , 3,6n i 1,0o
17. Fes l’operació cba , on 2,4a
, 5,3 b
i 4,2c
18. Un home camina 50 metres cap a l’est; després, 30 m cap al sud; després, 20 m cap a
l’oest, i , finalment, 10 m cap al nord. Representa gràficament quin és el vector desplaçament des del punt de sortida fins al punt d’arribada.
19. Fes les operacions indicades amb els vectors següents:
5,3u , 2,2v i 3,4w
a) vu
b) wu
c) v3
d) vu
e) uv
f) w5
g) wv 2
h) wvu
20. Fes les operacions indicades amb els vectors donats:
1,1u , 0,3v i 6,2w
a) uv
b) u3
c) wuv 2
d) wuv 3
e) uv 22
f) uu 23
21. Determina les components dels vectors a partir dels punts donats:
a) AB , on 7,4A i 6,2B
b) CD , on 6,2C i 5,0D
c) EF , on 4,3 E i 4,6 F
d) GH , on 2,8G i 5,3 H
Mòduls dels vectors
22. Dóna les components dels vectors dibuixats i calcula els seus mòduls:
23. Determina els mòduls dels vectors:
a) AB , on 3,6A i 4,2B
b) CD , on 3,5 C i 0,3D
c) EF , on 6,2E i 4,1F
37
24. Troba les components dels vectors fixos que determinen cada parella de punts i comprova que són vectors equipol·lents:
a) 2,4A I 5,3B b) 1,2 C I 2,9D
25. Els punts 3,2A , 3,0 B i 1,6 C són els vèrtexs d’un triangle. Calcula el
seu perímetre buscant primer els vectors AB , BC i CA i a continuació troba els seus
mòduls.
26. Calcula el radi d’una circumferència sabent que els punts 1,3A , 4,2 B són
diametralment oposats.
27. Troba les coordenades dels extrems dels vectors fixos AB que resulten d’aplicar el vector
lliure 3,1u als punts d’origen indicats:
a) 0,2A b) 4,1A c) 6,3 A
28. El vector u té l’origen en el punt 1,0 i l’extrem en el punt 3,2 . El vector v ,
equipol·lent a l’anterior, té l’origen en el punt 4,2 . Troba les coordenades de l’extrem
de v .
29. Donats els vectors 2,3u i
5
1,2v , calcula:
a) u
b) v
c) vu
d) vu ·
e) vvuu ·· f)
u
u
30. Quant ha de valer la segona component n del vector nu ,2 , perquè tingui la mateixa
direcció que ?3,1 w
31. Tenen la mateixa direcció els vectors de components 3,4 i 9,12 ? Tenen el mateix
sentit?
32. Calcula la longitud de les diagonals del quadrilàter de vèrtexs 3,4A ,
2,3 B , 2,4C i 4,5D
Punts mitjos de segments
33. Determina en cada cas els aspectes següents:
- La distància entre A i B .
- El punt mitjà dels segment BC .
- Estan alineats els tres punts?
a) 2,3A , 4,5B i 7,7C
b) 1,1A , 2,3 B i 11,9 C
c) 3,2/1 A , 4/1,3B i 7,2 C
34. Calcula els punts que divideixen en tres parts iguals el segment PQ , on 0,1P i
3,2 Q
38
35. El punt B del segment AB és 2,4 B i el seu punt mitjà és 0,5 . Troba les
coordenades de l’altre extrem.
36. Dóna les coordenades d’un punt que estigui alineat amb 2,4A i 7,2B .
37. Quant ha de valer x perquè els punts 4,1A , 2,3B i xC ,7 estiguin
alineats?
38. Són vèrtexs d’un triangle els punts 3,2P , 1,3 Q i 0,5R ?
39. Els punts 3,1A , 1,2B i 5,6C són vèrtexs consecutius del paral·lelogram
ABCD . Troba:
a) El vèrtex D . b) El punt d’intersecció de les diagonals.
c) La longitud BC .
d) El perímetre del paral·lelogram.
40. Calcula la distància entre els punts 4,5C i 8,2D .
41. Determina les coordenades del punt mitjà d’aquests segments:
a) AB , on 7,2A i 3,3B
b) CD , on 0,0C i 6,1 D
c) EF , on 5,3E i 3,9F
42. Donat el segment d’extrems 6,4A i 8,8B , troba un punt P de manera que la
distància de P a A sigui tres vegades més gran que la distància de P a B . Equacions de les rectes
43. Indica per a cada recta el pendent i les coordenades d’un punt:
a) 35 xy
b) 10,52,2, kyx
c) yx 72
d) 63
1 xy
e) 9,38,5, kyx
44. Donada la recta 15
2
xy , escriu un vector director i un punt d’aquesta.
45. Indica a quines rectes pertany el punt 5,2B
a) 3 xy
b) 62
1 xy
c) 3,20,1, kyx
d) 1,15,2, kyx
e) 8
5
3
2
yx
46. L’equació vectorial d’una recta és: 5,24,3, kyx . Expressa-la amb l’equació
explícita.
39
47. Determina el pendent de cada recta:
a) 53 xy
b) 10,26,7, kyx
c) 0754 yx
d) 63
15 xy
48. Troba dos punts de cada recta:
a) 2,5·4,2, kyx
b) 23 xy
c) 4·25 xy
49. Determina en cada cas l’equació vectorial de la recta que passa pel punt A i té com a
vector director v :
a) 5,1A i 5,0v b) 0,0A i 2,1v
50. Escriu l’equació explícita de la recta que passa per les parelles següents de punts A i B :
a) 0,0A i 3,1B
b) 6,10A i 8,0B
c) 3,1 A i 4,7B
51. Escriu l’equació explícita de cadascuna de les rectes:
52. Troba l’equació punt-pendent de les rectes següents:
a) Passa pel punt 5,2 P i té pendent 4
b) Té pendent 3 i talla l’eix OY en el punt 2,0
c) Passa pels punts 6,2A i 4,3 B
53. Escriu en cada cas un vector director de la recta:
a) 7,36,4, kyx
b) 42 xy
c) 2·34 xy
54. Volem saber si el punt 7,3A pertany a la recta 12 xy . Explica quin mètode
aplicaràs per comprovar-ho.
40
Posició relativa de les rectes
55. Observa aquest plànol de Barcelona.
a) Considerant els carrers com a rectes, dóna el nom de dos carrers que siguin paral·lels, dos que siguin secants no perpendicular, i dos que siguin perpendiculars. b) Hi pot haver dos carrers coincidents?
56. Troba la posició relativa de les rectes següents:
a) 4 xy i 32 xy
b) 82 xy i )7(26 xy
c) 6,33,2, kyx i 42 xy
d) 7 xy i 813 xy
57. Troba l’equació de la recta pel punt 7,1P i pel punt on es tallen les rectes 32 xy
i 5 xy .
58. Troba els punts de tall amb els eixos de la recta 093 yx .
59. Calcula l’equació d’una recta paral·lela a 1,83,2, kyx i que passi pel punt
3,2 .
60. Troba les equacions d’aquestes rectes.
61. Dues rectes secants es tallen en el punt 5,3A .
a) Quantes rectes diferents pots escriure? b) Escriu l’equació de dues rectes secants que es tallen en el punt donat.
62. Determina l’angle que fan les rectes següents a l’eix d’abscisses:
a) 42 xy
b) 3 xy
c) 32,0 xy
d) 15,0 xy
41
Unitat 5 POLINOMIS
Expressions algebraiques i operacions amb polinomis 1. Siguin els següents polinomis:
238 34 xxxA xxxxB 353 26 5324 23 xxxxC
Empleneu la taula següent:
Grau
Coeficient de grau tres
Coeficient de grau u
Terme independent
xA
xB
xC
2. Donats els polinomis de l’exercici 1, calculeu:
a) xA + xC b) xB - xA =
c) xCxBxA d) xAxCxB
3. Donats els polinomis A(x) = 2x
2 - x + 1, B(x) = - x + 3 i C(x) = -3x
2 + 2, calculeu:
a) A(x) · [B(x) + C(x) ]
b) B(x) · [A(x) - C(x) ]
c) [A(x) + B(x)] · [B(x) - C(x) ] 4. Siguin els polinomis següents:
524 23 xxxA 235 2 xxxB 2
13 34 xxxC
Calculeu:
a) xBxA · b) xCxA · c) xBxC ·
5. Donats els polinomis: 653 2 xxxA i 12 xxxB trobeu:
a) xBxA 23 b) 2xA c) xBxAxA ·
6. Donats els polinomis: 123 2 xxxA , xxxxB 35 3 i 12 24 xxxC ,
calculeu:
a) xBxCxA b) xCxAxB · c) 2xA
7. Utilitzeu les identitats notables per a desenvolupar les expressions següents:
a) 223 x b) 22 4x c) xx 55 d) 6262 xx
e) 223 x f) 215 x g) 2223 x h) 22 77 xx
i) (x + 2)·(x - 2) j) (y2 - 1)·(y
2 + 1) k) (2x
2 - 1)
2 l)
2
25
x
m) 5252 xx n)
22
22x
xx
x o)
2
1
2
1abab
42
p) 5252 yy q) 5353 xyxxy r)
2
15
2
15 xx
8. Feu les operacions següents:
a) (x + 5)2 - (x - 5)
2
b) 16 - 9b2 - (4 + 3a)·(4 - 3a)
c) (2x + 1)2 - (2x - 1)
2 =
d) (5 + 4a)·(5 - 4a) - 25 + 16a2 =
e)
12
3
12 2
2
xxx
f)
2214
3
2 2
2
xxx
9. Donats els polinomis A(x) = 2x
2 - 3/2, B(x) = 2x + 1, calculeu:
a) A(x)2 + B(x)
2 b) 2)()( xBxA c) 2)()( xBxA
10. Escriviu com a producte de factors, identificant, si cal, identitats notables:
a) 3x2 - 6x b) 9x
2 + 6x + 1 c) 36y
4 - 4x
2
d) 364 2 x e) 144 2 xx f) 24129 xx
g) xx 3 h)
4925
2x i) 16
3
8
9
2
xx
11. Trobeu el quocient i el residu de les divisions següents:
a) 2:2235 245 xxxxx b) 12:176 224 xxx
c) 1:176 224 xxx d) 2:2235 2245 xxxxx
e) 132:112796 2234 xxxxxx
12. Tenim dos polinomis P(x) de grau 5 y Q(x) de grau 3.
a) Quin serà el grau de P(x) · Q(x)?
b) Quin serà el grau de P(x) : Q(x)?
c) Quin serà, com a màxim, el grau del residu de dividir P(x) entre Q(x)?
13. Indiqueu quina és l'expressió algebraica corresponent a les frases següents
a) La diferència entre el doble d'un nombre i el triple del següent.
b) El producte de dos nombres parells consecutius.
c) Si en una reunió hi ha x noies i la meitat de nois, quantes persones hi ha a la reunió.
d) Si en un aparcament hi ha a automòbils i b motocicletes, quantes rodes hi ha?
e) Si l'edat d'un pare és el doble de la de la filla més 3, quina és l'edat de la filla respecte del pare?
f) Si ens reparen una rentadora i p és el valor de la reparació, de quant serà la factura que té un 16% d'IVA?
14. Feu les següents divisions pel mètode de Ruffini, i indiqueu, en cada cas, els polinomis
quocient i el residu:
a) )1(:)1( 3 xx b) )1(:)123( 5 xxx
43
c) )2/1(:)1232( 46 xxxx d)
2
3:52
3
23
xxx
15. Calculeu el quocient i el residu de les divisions següents:
a) (7x3 – 5x
2 + 3x – 7): (x + 2)
b) (4x4 – 3x
3 + 2x
2 – x ): (x – 2)
c) (x4 – 16): (x + 2)
16. Donats els següents polinomis:
1133)( 23 xxxxA 5)( 2 xxB 23)( xxC
Calculeu:
a) )()·()( xCxBxA b) )(:)( xBxA
c) Quin és el valor numèric del polinomi )(xC quan 2x ?
d) Quin és el valor numèric del polinomi )()·()( xCxBxA quan x = 1?
e) Trobeu el valor numèric del polinomi Q(x) = 4x3 - 3x - 1 per a x = 2 i per x = -1.
17. Calculeu el valor numèric de l'expressió 22 1 yx
a) per a x = -1 i y = 2 b) per a x = 2 i y = -1 c) per a x = 1/2 i y = -1/2
Teorema del residu i aplicacions 18. Donat el polinomi P(x) = x
4 – 7x
3 + 12x – 6, utilitzeu el teorema del residu per determinar el
residu de la divisió del polinomi P(x) entre (x – 2) i entre (x + 3)
20. Calculeu el residu de la divisió )1(:)1( 4 tt sense fer la divisió.
21. Calculeu el valor del residu sense fer la divisió: )1(:)73( 23 xxx
22. Sabent que la següent divisió és exacta, trobeu el coeficient k:
3:352 23 xxkxx
23. Determineu en cada cas el valor de k, per tal que les següents divisions siguin exactes:
a) (x6 – x
4 + 3x
3 – kx
2 + x – 5): (x – 1)
b) (x5 + 3x
3 + 2x
2 + kx – 5): (x + 1)
c) (x5 – 7x
4 + 2x
3 + 8x
2 - x – k): (x + 2)
24. Trobeu el valor de m en els següents polinomis, tenint en compte que:
a) 325 34 xmxx és divisible per x + 1
b) 5382 22325 mxmxxx és divisible per x - 1.
25. Determineu el valor del paràmetre a per tal que en dividir el polinomi 323 axax entre
(x + 1), el residu sigui 2/3.
26. Trobeu el valor de m en el polinomi 325 34 xmxx tenint en compte que és divisible
per (x - 1). 27. Donat el polinomi Q(x) es verifica que Q(-7) = 10. Quin és el valor del residu de la divisió Q(x) : (x + 7)?
44
28. Calculeu el valor de m per tal que el residu de la divisió (x4 – 7x
3 + mx
2 – 5x +2) : (x – 2)
sigui 7. Factorització de polinomis 29. Comproveu quins dels nombres següents: 1, -2, i -1/2, són arrels del polinomi
6953)( 234 xxxxxP
30. Extraieu factor comú i utilitzeu les identitats notables per a factoritzar els polinomis
següents i digueu, en cada cas, quines són les seves arrels: a) x
3 + 6x
2 + 9x b) 5x
4 – 20x c) x
3- 4x
d) 2x4 + 8x
2 e) 6x
3 – 54x f) xx
x 2
3
4
31. Trobeu les arrels i factoritzeu els següents polinomis:
a) xxxP 254)( 3
b) xxxQ 34)( 2
c) 22)( 23 xxxxR
d) xxxS 312)(
32. Escriviu tres polinomis de tercer grau que tinguin per arrels:
a) 2, -2 i 7 b) 2 i -1 c) Únicament 3
33. Escriviu un polinomi de grau 4 que no tingui arrels.
34. Descomponeu en producte de factors els polinomis següents i escriviu en cada cas les
seves arrels:
a) xx 182 3 j) xxx 4146 23
b) 62 tt k) 4472 23 ttt
c) xx 163 l) xxx 43 23
d) 122 tt m) 14 t
e) 15133 23 xxx n) xxxx 55 234
f) 3523 xxx o) 12233353 234 xxxx
g) xxxx 3872 234 p) 2345 2xxxx
h) 13 x q) 2013136 23 xxx
i) 84 16xx r) xxx 462 24
35. Escriviu un polinomi de grau quatre que sigui divisible per (x - 1). 36. Un polinomi P(x) té per arrels x = -2 i x = 4, pot ser el grau de P(x) més gran que dos? 37. Escriviu un polinomi de grau dos, de la forma ax
2 + bx + c, que sigui divisible per
(x + 3), i tal que a = -1
Fraccions algebraiques
38. Donada la fracció 1
22
x
x, determineu una d'equivalent que tingui en el numerador un
polinomi de grau 3. 39. Completeu les fraccions següents de manera que siguin equivalents:
a) xx
x
12
?
4
52
b)
?
313 2
2
xx
x
x
c) ?
9
2
3 2
x
x
x d)
?
444
2
x
x
xx
45
40. Simplifiqueu les fracciones algebraiques següents, traient factor comú i/o identificant
identitats notables en el numerador i en el denominador:
a) 2
2
22
33
yxy
xyx
b)
882
822
2
xx
x c)
xyx
xyx
22 2
23
d)
123
632
2
y
yy
41. Factoritzeu el numerador i el denominador de les següents fraccions algebraiques i simplifiqueu-les:
a)xxx
xx
43
1623
3
d)
1
122
2
t
tt g)
1
322
2
x
xx
b) 122
3
xx
xx e)
9
342
2
x
xx h)
xx
xx
2
2 12
c) 234
23
20164
50202
xxx
xxx
f)
94
322
t
t i)
2
16)2( 2
x
x
42. Opereu i simplifiqueu en cas que es pugui. De vegades cal simplificar primer:
a)
2
3
1
x
x
b) 16
62
2
136 2
a
aa
c)3
1·
1
9 22
x
x
x
x
d) 1
6
3
32 2
2
2
x
xx
xx
xx
e) 9
164:
153
162
24
x
x
x
x
f) 1
12:
12
12
2
2
t
tt
tt
t
a) 12
4
48
14 2
xx
x g)
2
2
2
2
)3(
43:
65
168
x
xx
xx
xx
43. Calculeu i simplifiqueu:
a) 2
2 15
x
x
x
x
b)
x
x
x
x
x
x
3
331
2
2
c) xx
x
xx
5
1
22
d) 2
5
24
22
xx
x
x
e) 1
7
)1(3
2
1
7
xxx
x
x
x f)
1
1
1
13
1
22
x
x
x
x
x
x
g) 2
1
)2( 2
x
x
x
x h)
xxxx 84
1
63
1022
i) 1
2
1
15
1
32
x
x
x
x
x j)
32
4
1
52
3
12
xx
x
x
x
x
x
k) 1
7
12
52
2
x
x
xx l)
)5)(2(
3
)2(
42
xx
x
x
44. Realitzeu les operacions següents, simplificant sempre que sigui possible:
a)
xx
x
1:
1
1 b)
2
4:
2
3·
2
51
xx
x
x
x
c)
xx
x
x
x
x 4·
2
2
2
2 d)
tt
ttt
321
21
2
46
Unitat 6 EQUACIONS I SISTEMES D’EQUACIONS
Resolució d'equacions polinòmiques i aplicacions 1. Indiqueu quina afirmació és correcta:
a) x = 0 és solució de 32
32
x
b) x = 5 és solució de 2
13)1(3
xxx
d) x = -1, x = 1 són solució de 012 x
e) x = 0, x = -3, x = 3 són solució de 032 xx
f) x = 1, x = -1 són solució 02 xx
2. Resoleu les equacions següents:
a) 2)5(2)1(310)1(410 xxx
b) xxx
23
)6(2
2
6
c) 4
5)1(2
3
4
x
x
d) xxx
512
7
3
5
e) 3
28
4
23
xx
f) 418)94(552 xxx
g) 2
2192
2
11 xx
x
h) 4
522)3(5
axxxa
3. Classifiqueu si les següents equacions són completes o incompletes:
a) 186)3( 2 xx
b) 03)4( 2 x
c) 16)3)(3( xx
d) xxx 7)5)(32(
4. Indiqueu, sense resoldre-les, quantes solucions tenen les equacions següents:
a) 013122 xx
b) 02142 xx
c) 01862
1 2 xx
d) 0322 xx
e) 0169 2 tt
f) 21156 xx
g) 09
4
27
4
3
2
tt
5. a) Calculeu el valor del paràmetre m per tal que l'equació 4x2 -2mx + 5 = 0 tingui una única
solució.
b) Escriviu una equació de segon grau que no tingui solució.
6. Resoleu les equacions de segon grau següents:
a) 035 2 xx
b) xx 43)2( 2
c) 01522 xx
d) 0)32)(1( xx
e) 0)7)(52( xx
f) 21)2(3 2 x
47
g) 02
17 2 xx
h) 047
4 2 x
i) 0384 2 xx
j) 062 tt
k) 0252 x
l) 092 x
m) 0483 2 y
n) 0652 xx
o) 012 2 tt
p) 0832 tt
q) 02 yy
r) 52122
xx
s) 1321232 xxxx
t)
43
2
3
112
2
xxx
x
u) 054 2 xx
v) 0)32)(1( xx
w) 0)3( xx
x) 132
16
4
)1(3 22
ttt
y) 122
14
3
)23( 22
xxx
z) )1)(1(156 xxx
7. a) Donada l'equació de segon grau x
2 + bx + c = 0, amb solucions x1 i x2, completeu les
igualtats següents:
x1 + x2 =
x1 · = c
b) Sense resoldre l'equació 01032 xx , digueu quines són les seves solucions.
8. Determineu les equacions de 2n grau que tenen per suma i producte de les seves arrels els
valors següents:
a) S = 5, P = 6 d) S = 2, P = -15
b) S = 2 , P = -15 e) S = 13 , P = 3
c) S = 2
1, P =
9
1 f) S =
3
31, P =
3
3
9. Escriviu equacions que tinguin per arrels:
a) 4
,1
2
1
x
x b)
bax
bax
2
1 , c)
2
,2
1
2
1
x
x d)
31
,31
2
1
x
x
10. a) Indiqueu com es factoritza l'equació de segon grau 02 cbxax , si les seves arrels
són x1 i x2.
cbxax 2=
b) Escriviu una equació de segon grau que tingui per solucions 3 i -8, i que el coeficient del terme de segon grau sigui 2.
11. Factoritzeu els polinomis següents i escriviu en cada cas les seves arrels:
c) xx 182 3
d) xxx 4146 23
e) 62 tt
f) 6x3 – 14x
2 + 4x
g) x3 -
25
x
h) 4y2 – 25
i) 3y2 – 27
j) x6 – x
4
48
12. Donada l'equació -3x2 + 2x + 16 = 0 i sabent que una arrel és -2, trobeu l'altra arrel sense
resoldre l'equació.
13. Calculeu K perquè les dues arrels de l’equació 0383 2 Kxx siguin iguals.
14. Calculeu m a l’equació 0302 mxx , sabent que una arrel és el quàdruple de l’altra.
15. Determineu b a l’equació 0212 bxx , sabent que la diferència de les seves arrels és
4. 16. Si a un nombre li sumem 4 unitats, en resulta el seu triple disminuït en 12 unitats. Cerqueu
el nombre. 17. Un pare té el triple d'edat que la seva filla. Si el pare tingués 20 anys menys i la filla 10 més, els dos tindrien la mateixa edat. Esbrineu l'edat de cadascun. 18. D'un recipient traiem la meitat del seu contingut, i després la seva tercera part, i encara ens
queden 4 litres. Quants litres hi havia en el recipient? 19. En un institut hi ha 734 persones, entre professors, alumnes i personal no docent. Per cada professor hi ha 15 alumnes i per cada 8 professors h ha una persona de personal no docent. Quants alumnes, professors i personal no docent hi en aquest institut? 20. En una central formatgera mesclen dos tipus de llet: una de 0,80 € el litre, i una altra de 0,94 € el litre, de manera que la mescla de 350 litres els surt a 84 cèntims d'euro. Quants litres de llet de cada mena mesclen? 21. Calculeu l'alçada d'un triangle equilàter de costat 1 dm. 22. Trobeu un nombre sabent que el triple del seu quadrat és igual a sis vegades aquest nombre. 23. Calculeu les longituds dels costats d'un triangle rectangle sabent que un catet fa 3 cm més
que l'altre i que la hipotenusa fa 3 cm més que el catet gran. 24. Un camp rectangular té 24 àrees de superfície i 20 m més de llargada que d'amplària. Trobeu les dimensions del camp. 25. Quin és el nombre enter i positiu que elevat al quadrat i sumat amb el doble del seu
consecutiu dóna 485? 26. Tres segments mesuren, respectivament, 8, 22 i 24 cm. Si afegim a tots tres la mateixa longitud, podem construir un triangle rectangle. Trobeu aquesta longitud. 27. Augmentant un costat d’un quadrat en 4m i els costats adjacents en 6m, s’obté un rectangle
de doble àrea que el quadrat. Determineu el costat del quadrat. 28. Calcula els costats d’un triangle rectangle sabent que són tres nombres enters consecutius. 29. Resoleu les equacions biquadrades següents:
a) x4 – 13 x
2 + 36 = 0
b) y4 + 13 y
2 + 36 = 0
c) 12x4 – 7x
2 + 1 = 0
d) 123
2 24
tt
e) 010029 24 xx
f) 24 40169 xx
g) 010021 24 xx
h) 04
1
4
5 24 xx
i) 01109 24 xx
j) ttt 23)(23122
k) 08)1(2 22 x
l) 1222 x
49
30. Resoleu les equacions racionals següents:
a) 4
4
2
3
xx
b) 23
t
c) y
yy
2
1
4
15)1(4
d) 1
)1(5
1
12
t
t
t
t
e) 2
2 22534
xx
f) 52
)1(9
1
)52(2
x
x
x
xx
g) 1
122
2
xx
h) 1
4
1
22
xx
x
i) 1264
2
2 x
x
j) 1
)3()3(2
5
822
x
xx
x
31. Resoleu les següents equacions irracionals:
a) yy 2
b) tt 11
c) 0423 x
d) 112 xx
e) 737 xx
f) 7312 xxx
g) xx 25163
h) ttt 236
i) 126 xx
j 14 xxx
k) 6412 yy
l) 4542 xx
m) 573 2
12 xx
32. Resoleu les equacions següents:
a) 0)2)(52)(1( xxx
b) 05523 ttt
c) 2)21()23)(12( yyy
d) 0176 23 xx
e) 04839 234 tttt
f) 1)1)(2( xx
g) 0814 y
h) 084 yx
i) 044116 234 xxxx
j) 054 23 yyy
k) 1
)3(2
1
4
1
32
x
x
xx
l) 01
2313
x
x
x
x
m) 1
2532
tttt
t
n) 12)2()13( 2 yy
o) 024)1(6)13( 42 xxxx
p) 21010 yy
q) 341322 tt
r) 322
3
1
1
xx
s) xx
x
1
5
5
t) 2
)2)(1(
3
1
32
1 332 xxxxxx
u) 3
1
2
)1(
x
a
xa, on a és una constant
50
Resolució de sistemes d'equacions i aplicacions 33. Resoleu els sistemes següents:
a)
52
1154
yx
yx b)
032
142
yx
yx
c)
623
132yx
yx
d)
8106
453
yx
yx e)
5
2
5
25
yx
yx
f)
2
5
2272
yx
yx
g)
574
12
1
3
2
yx
yx
h)
0)(312
)3(24)2(2
yx
yxx i)
115)2(3
42)(2
3
yx
yyx
j)
23
2
2
123
xyx
yx
k)
26)1(42
04)1(3
yx
yx) l)
4
153
2
12
73
6
32
yx
yyx
m)
4
11
42
2
02
2
3xyx
yxyx
n)
2
102)(2
523
xxy
yx
g) o)
3
512
3
5
2
14
3
yx
yxy
yxx
p)
7
34
5
3
2
yx
yx
yx
q)
2
4
3
2
12
4
3
2
yx
yx
r)
0132
7
32
5
01
4
1
3
yx
yx
34. Un llibrer ven 84 llibretes a dos preus diferents: uns a 0,40 € i els altres a 0,35 €, obtenint
per la venda 18,45€. Quantes llibretes ha venut de cada classe? 35. Un home li diu al seu fill: quan passi la tercera part dels anys que jo tinc, tu tindràs la meitat de la meva edat actual. Sí, contestà el fill, però fa només 4 anys, la teva edat era 11 vegades la meva. Quina és l’edat actual del fill? 36. Trobeu un nombre de dues xifres, sabent que la xifra de les desenes és el doble de la xifra de les unitats i que si s'inverteix l'ordre, el nombre disminueix 18 unitats. 37. La distància entre dues ciutats A i B és de 7 Km. Si dues persones surten alhora d’aquestes
ciutats, l’una a l’encontre de l’altra, i l’una va a 12 Km/h i l’altra a 9Km/h, quant de temps tardaran a trobar-se? 38. Busqueu un nombre de dues xifres sabent que la suma de totes dues és 8 i que, en dividir-
lo pel que resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres, s’obté 4 de quocient i 3 de residu. 39. Per a pagar una factura de 9300 € un turista abona 500 yen-yins i 450 soles. Posteriorment, per a cancel·lar una altra d'import 17000€ ,abona 1000 yen-yins i 500 soles. Quin és el canvi d'aquestes monedes en relació a l'euro? 40. Trobeu la fracció que val 1/3 quan afegim 1 al numerador, i que val 1/4 si afegim 1 al denominador.
51
41. Si barregem un tipus de cafè a 3,4 €/kg amb un altre de 4,6 €/kg, aconseguim 3 kg de cafè que es pot vendre a 4,2 €/kg. Quina quantitat de cada tipus de cafè hem barrejat? 42. Un vaixell navega a 20 km/h en un riu quan va en la direcció del corrent. Si va en direcció
contrària al corrent, recorre 12 km en una hora. Determineu la velocitat de l'aigua del riu i la del vaixell en aigües tranquil·les. 43. La suma d'un nombre més el seu invers és 37/6. Trobeu aquest nombre.
44. En barrejar dos líquids, obtenim un volum de cinc litres, la densitat del qual és de 0,85 kg/l.
Esbrineu el volum de cada un dels líquids que s'han barrejat, sabent que les seves densitats són, respectivament, 0,7 i 1,2 kg/l. 45. La llet desnatada d'una determinada marca conté un 0,25 % de matèria grassa, i la llet
entera un 4%.Calculeu la quantitat de llet que cal mesclar de cada tipus per a aconseguir llet semidesnatada amb un 1,5% de greix. 46. Tenim dos capitals de 3000 i 7000 €, dipositats a diferent rèdit, que junts produeixen 430 €
cada any. Si els rèdits s'inverteixen, els interessos d'un any sumen 470 €. Trobeu aquests dos rèdits. 47. En una festa a la qual assisteixen 60 joves, ballen en parelles el 15% de les noies amb el
10% dels nois; els altres ballen sols. Quants nois i quantes noies assisteixen a la festa? 48. En uns grans magatzems rebaixen els pantalons un 30% i les camises un 20%. La Júlia paga 82 € per uns pantalons i una camisa. Si els hagués comprat abans de les rebaixes li haurien costat 111,50 €. Quin era el preu sense rebaixar de l'abric i la camisa? 49. Volem repartir uns diners entre uns quants nois. Si donem 25 € a cadascun, sobren 13 €, mentre que si donem 26 €, en falten 1. Quants nois hi ha? Quants diners tenim? 50. Un botiguer té 20 litres de vi d'1,3 €/L, i el vol barrejar amb un altre vi de qualitat inferior,
que va a 0,8 €/L, de manera que la mescla surti a 1 €/L. Quants litres de vi inferior necessita? 51. He comprat dues cintes de vídeo i tres discos per 47 €. El meu veí ha comprat tres cintes de vídeo i quatre discos a la botiga d'un altre poble per 56,70 €. Si ha pagat 0,6 € menys per cada cinta i 1,5 € menys per cada disc, a quin preu he pagat les cintes i els discos? 52. Resoleu els sistemes:
a)
2965
11532
2
zyx
zyx
zyx
d)
9485
322
532
zyx
zyx
zyx
b)
7
6
5
zy
zx
yx
e)
12632
8423
532
zyx
zyx
zyx
c)
8243
0452
823
zyx
zyx
zyx
f)
16
223
23
zy
zyx
yx
53. Els perímetres de les cares d’una caixa de sabates són 54 cm, 80 cm i 98 cm,
respectivament. Calculeu la mida dels costats, l’àrea total i el volum de la caixa de sabates.
52
54. La suma de les tres xifres d’un nombre és 7. La xifra de les centenes és igual a la suma de
les desenes més el doble de les de les unitats. Si es permuten entre sí les xifres de les centenes i les unitats, el nombre disminueix en 297 unitats. Determineu el nombre. 55. La xifra de les desenes d’un nombre de tres xifres és igual a la suma de les altre dues, i la
suma de les tres xifres és 10. Si invertim l’ordre de les xifres, en resulta un nombre més gran que el donat en 99 unitats. Calculeu el nombre inicial. 56. Resoleu els sistemes següents:
a)
24
29022
yx
yx b)
xy
yx
33
1322
c)
04
3
2522
yx
yx
d)
1
)(24 2
xy
yxxyx e)
xy
xyx
21
016622
f)
5
722
yx
yxyx
g)
222
12
22
22
yx
yx h)
xy
xyx
416
0149
2
22
i)
13
2
111
yx
yx
57. El producte de dos nombres és 4, i la suma dels seus quadrats 17. Calculeu aquests nombres.
58. Calculeu una fracció equivalent a 7
5, sabent que els seus termes elevats al quadrat sumen
1184. 59. Trobeu les longituds dels costats d'un rectangle si el seu perímetre és 28 cm i una de les seves diagonals té 10 cm de longitud.
60. Quan es divideix un nombre de dues xifres pel producte de les mateixes, s’obté de quocient
2; i al dividir el nombre que en resulta d’invertir les seves xifres, per la suma d’aquestes, el quocient és 7. De quin nombre es tracta? 61. Calculeu dos nombres tal que suma, producte i quocient siguin iguals entre sí.
62. Determineu un nombre que sumat amb la seva arrel quadrada sigui 132.
63. Dos nombres sumen 62 i els seus quadrats 1954. Calculeu-los.
64. L’àrea d’un triangle rectangle és 60 m
2 i la suma dels seus catets és 23. Calculeu els
costats del triangle. 65. Un quadrat té 33 m
2 més que l’altre, i aquest un metre menys de costat que el primer.
Calculeu els costats dels dos quadrats. 66. La raó entre els costats de dos quadrats és 3 i la suma dels quadrats de les seves
diagonals és 100 cm2. Esbrineu aquests costats.
67. El perímetre d’un triangle rectangle és de 70 m i la hipotenusa 29 m. Calculeu la longitud de tots tres costats. 68. La suma de les àrees de dos quadrats és 3250 m
2 i la seva diferència 800 m
2. Calculeu la
mesura dels seus costats. 69. Dos operaris realitzen una feina en 3 hores. Un d'ells la faria en tan sols 4 hores. Calculeu el temps que trigaria l'altra en fer-la tot sol.
53
Unitat 7 INEQUACIONS
Intervals a la recta real 1. Escriu en forma de conjunt i en forma d'interval els següents conjunts numèrics:
a) Tots els nombres reals més petits o iguals que 3 b) Tots els nombres reals més grans que -3 i més petits que 5 c) Tots els nombres reals més grans que 3 2. Representa sobre la recta numèrica els intervals anteriors
3. Representa els següents conjunts numèrics:
a) 2 xxA
b) 74 xxB
c) 0 xxC
4. Digues quins intervals estan representats:
5. Escriu l'interval solució de les següents operacions. Per fer-ho pots ajudar-te de la seva representació gràfica
a) 6 ,33 ,4
b) ,03 ,
c) 8 ,44 ,1
d) ,27 ,3
6. Representa a la recta el conjunt de nombres que són solució de cadascuna de les inequacions següents:
a) x > 2 b) x 1 c) x - 3/2
Inequacions polinòmiques de primer grau 7. Expressa en forma d'inequació:
a) El doble d’un nombre més 3 és més petit que 17. b) El doble de la meva edat és més petit que 36 c) El triple d’un número més 12 és més gran o igual que -6. 8. Assenyala si aquestes afirmacions són certes o falses:
a) 17 < - 12 és una desigualtat incorrecta b) Una inequació, o no té solució, o en té una o en té infinites.
c) La solució de x + 5 3 és una semirrecta
d) La solució de y + 3 x + 1 és un semipla 9. Indica si aquestes inequacions són equivalents:
a) 8 - 2x < 0 i x < 4
b) 42
x i x - 8
c) x + 2 < 3x + 7 i x < 5/2
d) - (x +1/2) 3/2 i x -2
54
10. Resol les inequacions següents, dona la solució en forma d’interval i representa’l
gràficament.
a) x + 2 7
b) 2x + 6 14
c) 2(x + 5) 4x
d) –(x + 5) 3x + 4(x – 3)
e) )5(213 xx
f) )1(7)6(2 xxx
g) 15)5(32 xx
h) 3
54
5
43
xx
i) 3
52
2
6
xx
j) 3
5
2
1
3
71
xx
k) 52
513
x
xx
l) 2
1
6
31
x
x
m) 223
12
xxx
x
n) 3
2
4
1
6
13
xxx
x
o) 3
3
4
1
6
2
24
xxxx
p) 25
21
xxx
q) 3
235
5
13 xx
r) 5
1
5
16
2
)2(3
xx
x
11. Amb 150 € podem comprar 10 CD, però no podem comprar 11. Entre quins valors oscil·la el preu dels CD's? 12. Entre dos amics tenen 150 €. El capital d’un és més petit que la tercera part del de l’altre.
Expressa amb una inequació aquesta relació i en un interval de la recta real els capitals possibles del que en té menys diners. 13. Un repartidor de paquets cobra un sou base de 450 € mensuals, i per cada paquet urgent
cobra un plus de 30 €. Si necessita guanyar com a mínim un sou de 1000 €, quants paquets urgents haurà de repartir com a mínim en un mes? 14. Un noi va comprar, el dia de Sant Jordi, un llibre i 3 roses. Si va gastar 30€ i les roses
costaven menys de 4 €, quina inequació té per solució els possibles preus del llibre. 15. Barregem vi de 1,2 €/L amb vi de 2,3 €/L, per formar 50 L de vi en total. Si el volem vendre a un preu de 2 €/L, calcula quants litres de vi de 1,2 €/L hem de barrejar com a mínim, per no tenir pèrdues.
Inequacions de grau superior. Inequacions racionals
16. Resol les inequacions següents:
a) 0)1)(6( xx
b) )1)(1( xx 0
d) x2 - 8x + 12 > 0
e) x2 - 2x - 3 > 0
f) 4x2 + 4x - 3 0
g) x2 + 1 < 0
h) 02 2 xx
i) x(x + 1)(x - 2) > 0
j) x3 - 9x 0
k) 013 x
l) 033 23 xxx
m) 02
1
x
n) 013
x
x
o) 02
5
x
x
p) 01
52
x
x
q) 02
12
x
x
r) 02
)5)(7(
x
xx
s) 01
3
x
xx
55
17. Relaciona cada inequació amb la seva solució:
Inequació Solució
x2 - 5x - 6 < 0 x = - 0,5
x2 + x + 4 0
4x2 + 4x + 1 0 (-1, 6)
- x2 - 5 > 0 IR
Sistemes d'inequacions amb una incògnita 18. Per cadascuna de les següents solucions de sistemes d'inequacions, representa-les gràficament i indica quina és la solució del sistema
a)
5
5
x
x b)
9
6
x
x c)
3
2/5
x
x
19. Resol els sistemes d'inequacions següents:
a)
xx
xx
53
215 b)
612
7213
xx
c)
04
34
32
x
x
d)
2123
38
345
25
xx
xx
e)
18)6(4
313
xx
xx
f)
21)1(2
13
1
xx
xx
g)
4
22
3
53
3)6(2
xx
xx
h)
5
4)
2
1(2
2324x
x
xx
20. Un terreny té forma de triangle isòsceles. S'han utilitzat menys de 90 metres d'estacada per tancar-lo. Si aquest terreny té els costats iguals 15 metres més llargs que el costat desigual què és pot dir de les dimensions d'aquest terreny? 21. El tiratge d’una revista mensual té uns costos d’edició de 30 000 euros, als quals s’han de sumar 1,50 euros de despeses de distribució per cada revista publicada. Si cada exemplar es ven a 3,50 euros i s’obtenen uns ingressos de 12 000 euros per publicitat, quantes revistes s’han de vendre per començar a obtenir beneficis? 22. Si l’àrea d’un quadrat és més petita o igual que 64 centímetres quadrats, calcula els
possibles valors de la seva diagonal. 23. Resol les inequacions següents:
a) 513 x b) 234 x
56
Sistemes d'inequacions amb dues incògnites 24. Escriu les inequacions que tenen com a solució els semiplans següents:
a)
b)
25. Donat el sistema
6
33
xy
xy i els punts )2,3(A , )3,5(B , )5,8,2(C , )0,0(E i
)5,7,5,1(F :
a) Indica quins punts són solució del sistema b) Quins són solució només de la primera inequació? Quins ho són només de la segona? c) Quins no són solució de cap de les inequacions?
26. Resol gràficament aquests sistemes:
a)
23
12
yx
yx b)
2
4
yx
yx
c)
4
3
yx
y d)
1
2
y
x
e)
6
03
1
yx
yx
x
f)
02
)1(53
02
5
yx
yx
x
57
Unitat 8 FUNCIONS
Noció de funcions
1. Dues de les gràfiques següents no corresponen a cap funció. Indica quines i raona la resposta.
a) b) c) d)
2. Indica en cada funció la variable independent i la variable dependent:
a) El temps que triga a omplir-se una piscina i els litres per minut que aboca una
aixeta.
b) El preu d’una trucada telefònica i el temps que dura la conversa.
c) El temps que està funcionant un motor elèctric i l’energia que consumeix.
d) El preu per kg d’un producte i la seva demanda.
3. Indica raonadament en cada cas si la relació que es dóna entre les magnituds és funcional.
a) El temps invertit per un tren a fer un recorregut entre dues estacions i la velocitat
que ha mantingut.
b) Les hores que dedica un alumne a preparar un examen i la qualificació numèrica
obtinguda.
c) La temperatura mitjana mensual d’una zona i les precipitacions caigudes aquell
mes.
d) Els metres cúbics d’aigua consumits per una família i l’import de la factura
corresponent.
4. En un taller mecànic facturen l’hora de treball dels seus tècnics a 27 €:
a) Quant haurem de pagar per aquest concepte en una reparació en què un mecànic
ha treballat dues hores tres quarts?
b) Indica quina és la variable independent i quina la variable dependent en aquesta
relació.
c) Escriu l’expressió algebraica de la funció que assigna al nombre d’hores
treballades per un mecànic la quantitat a pagar.
d) Representa gràficament aquesta funció.
5. Associa cada funció amb un dels conjunts de punts següents:
A. f(x) =x
94x B. g(x) = 43
x2
C. h(x) =2
11x
1. (6, 16), (3, 7) i (0, 4)
2. (3, 7), (1, 13) i (−3, 1)
3. (3, 7), (1, 6) i (−3, 4)
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
58
6. a) Els punts A = (4, 8) i B = (4, −2) poden pertànyer a la gràfica d’una mateixa funció? En cas afirmatiu, posa’n un exemple, i en cas contrari, raona la resposta.
b) I els punts C = (−3, 5) i D = (3, 5)?
7. Donada la funció f(x) = 3
8x2 , calcula:
a) f(4) b) f(−5) c) f(10) d) f(2
3)
8. Escriu la fórmula de la funció que ens dóna el radi d’un cercle en funció de l’àrea de la seva
circumferència. 9. Una funció assigna a cada nombre x el resultat de sumar cinc a la seva meitat.
a) Completa aquesta taula de valors de la funció:
x −10 0 8 10 25
f(x)
b) Escriu una fórmula que expressi la funció i dibuixa la seva gràfica.
Domini
10. a) Donada la funció f(x) = x
x
4
1, amb quina dificultat ens trobem a l’hora de calcular la
imatge de x = 0? Aquest nombre pertany al domini f(x)?
b) Per a cada una de les funcions següents, indica dos nombres que siguin del domini i un
que no ho sigui: A. f(x) = 42
1
x B. g(x) =
x
x 4
11. Indica quins dels valors següents pertanyen al domini de cada funció: {−4, −3, −1, 0, 1, 2,
1,5}
a) f(x) = 1x b) 1xf(x)2
c) x
1f(x) d) f(x) = 7x − 8
12. La gràfica correspon a la funció f(x) = 1
2
x.
a) Mira de calcular la imatge de x = 1. Què observes?
b) Quin és el domini d’aquesta funció?
c) Es tracta d’una funció continua?
Y
X
59
Creixement i decreixement
13. Indica els intervals de creixement i decreixement de les funcions que tenen les gràfiques següents. Completa una taula com la de l’activitat anterior.
a) b)
14. Considerem la funció que té aquesta gràfica:
a) Indica els intervals de creixement i decreixement.
b) Quin augment dels valors de la variable independent es produeix de x = −11 a x = −5?
15. Calcula la taxa de variació mitjana de la funció f(x) = 5
4x2 als intervals:
a) [−4, 1] b) [1, 4] c) [0, 6]
16. Calcula la taxa de variació mitjana de la funció y = (x + 3)2 a l’interval [0, 5].
17. Quina de les funcions següents presenta una taxa de variació mitjana més gran en l’interval [0, 6]?
a) y = −x2 + 3x + 1 b) y = x
3
c) y = (2x + 4)2 d) y = 1720
18. La taula és d’una funció amb taxa de variació mitjana constant igual a −0,5. Completa-la.
x −6 0 8 15
y 3
19. Sabem que la taxa de variació mitjana de la funció y = f(x) és sempre 2,40. Quan el valor de la variable x augmenta en 5 unitats, quina variació es produeix en els valors de y?
X
Y
Y
X
Y
60
20. a) La taxa de variació mitjana de la funció f(x) a l’interval [−5, 2] és 1,25. Quina és la diferència entre la imatge de x = 2 i la imatge de x = −5?
b) La taxa de variació mitjana de f(x) a l’interval [4, 11] és −3,5. Sabent que la imatge de x = 11 és 5, calcula la imatge de x = 4.
21. Quina relació hi ha entre el creixement i el decreixement d’una funció d’una banda, i el signe de la seva taxa de variació mitjana de l’altra?
22. Considera la gràfica següent:
a) Ordena els intervals següents de taxa de variació mitjana més alta a més baixa:
● [−12, −10] ● [−4, 4] ● [4, 6] ● [9, 12]
b) Indica un interval on la taxa de variació sigui igual a −3.
23. Pot ser que la taxa de variació mitjana d’una funció a l’interval [0, 8] sigui positiva i que f(1) > f(3)? Explica-ho.
24. La taula recull els intervals de creixement i decreixement d’una funció. Dibuixa la gràfica d’una funció que tingui aquest comportament.
x (−∞, −2) (−2, 3) (3, 7) (7, +∞)
f(x) Creixent Decreixent Creixent Decreixent
Màxims i mínims
25. a) Digues si els punts següents són màxims, mínims o punts d’inflexió d’aquesta funció:
(−8, 2), (−6,4), (−3,2), (0, 0), ( 3, 3) i (8, 2)
b) Indica els intervals on aquesta funció és convexa i els intervals on és còncava.
X
Y
X
Y
61
26. Representa gràficament una funció amb els extrems i els punts d’inflexió de la següent taula:
x −3 0 2,5 5
y 5 0 −3 0
Màxim P. inflexió
Mínim P. inflexió
27. Dibuixa la gràfica d’una funció que no tingui cap extrem relatiu.
28. La funció f(x) té un extrem relatiu al punt (−10, 2), és decreixent a l’interval (−15, −10) i creixent a (−10, 0). L’extrem relatiu és un màxim o un mínim?
29. Una de les següents taules correspon a una funció de gràfica còncava i l’altra a una de gràfica convexa. Indica quina correspon a cada cas i per què ho podem saber?
a)
x −6 −5 −4 −3 −2 0
y −3 0 2 3 3,5 3
b)
x −2 2 4 6 8 10
y −1 0 2 8 20 40
30. Aquesta és la gràfica de la funció f(x):
Indica per a cada cas un interval de la funció f(x) que tingui les propietats indicades:
a) Convexa i decreixent.
b) Còncava i creixent.
c) Convexa i creixent.
d) Còncava i decreixent.
31. Quina funció presenta una taxa de variació mitjana cada vegada més gran?
a) b) b)
c) d)
Y
X
62
Continuïtat i discontinuïtat
32. La funció f(x) = 1
12 x
té aquesta gràfica:
a) Per a quins valors de x la funció és discontínua?
b) Què passa si intentem calcular la imatge dels valors de x on aquesta funció presenta discontinuïtats?
33. Escriu l’expressió de la funció definida a trossos que té aquesta gràfica:
34. a) Escriu l’expressió d’una funció que presenti una discontinuïtat a x = 3.
b) Dibuixa la gràfica d’una funció qualsevol que presenti discontinuïtats per a x = −5, per a x = 0 i per a x = 5.
35. Representa gràficament la següent funció definida a trossos i indica els punts de discontinuïtat:
xsix
xsi
xsix
xf
51
502
02
)(
36. Dibuixa la gràfica de la funció següent. Quines discontinuïtats presenta?
xsi
xsi
xsi
xf
23
221
23
)(
X
Y
X
Y
63
Simetria. Periodicitat
37. Només una de les funcions següents és simètrica respecte a l’origen de coordenades, indica quina:
a) y = −2x2
b) y = (x − 2)3
c) y = 3x3 − x
38. Considera la gràfica de la funció f(x):
Descriu-ne els aspectes següents:
a) Creixement i decreixement.
b) Extrems relatius.
c) Concavitat i convexitat.
d) Discontinuïtats.
e) Simetria.
39. a) La funció f(x) és simètrica respecte a l’eix d’ordenades. Completa la taula:
x −5 −3 −1 1 3 5
f(x) 8 4 −2
b) La funció g(x) és simètrica respecte al punt (0, 0). Completa la taula:
x −5 −3 −1 1 3 5
g(x) 2 −1 7
40. Completa la taula sabent que f(x) és una funció periòdica i que el seu període és 12.
x 0 4 8 12 20 28 36 52
f(x) 0 −1 10
41. Quina o quines de les funcions següents tenen simetria respecte a l’eix d’ordenades? Dit d’una altra manera, en quines funcions f(x) = f(−x) per a qualsevol valor de x?
a) f(x) = x3 b) f(x) = 7x + 1
c) f(x) = 2x2 + 5 d) f(x) = x
4 + 2x
2
42. Aquestes gràfiques són incompletes:
A. B.
a) Completa-les de manera que siguin simètriques respecte a l’eix d’ordenades.
X
Y
64
b) Completa-les de manera que presentin una simetria central respecte a l’origen de coordenades.
Activitats d’aplicació
43. La gràfica mostra l’evolució de la temperatura mitjana anual de l’aigua del mar a una milla a
l’est de les illes Medes.
a) Per què apareixen quatre línies poligonals en aquesta gràfica?
b) Quins anys la temperatura mitjana anual de l’aigua a la superfície va ser de 17º o
superior?
c) Quina va ser la temperatura mitjana a 20 m de profunditat l’any 1974? I l’any 2001?
d) Quin any la temperatura mitjana de l’aigua a 50 m de profunditat va ser màxima? I
mínima?
e) Com varia la temperatura en augmentar la profunditat? Dibuixa una gràfica
aproximada de la relació entre profunditat i temperatura per a l’any 2006.
f) Quin any creus que la temperatura mitjana de l’aigua del mar en conjunt ha estat
superior? Raona la resposta
g) L’evolució de les temperatures en el període 1974-2006 mostra alguna tendència?
44. En un tractat d’arquitectura trobem aquesta gràfica:
a) Quina és la variable independent de la funció representada?
b) Quina és la variable dependent? En quines unitats es mesura?
c) Quina és la resistència del formigó als tres dies d’haver-se fargat?
d) Quina setmana s’assoleix una resistència de 30N/mm2?
e) En quin període augmenta més ràpidament la resistència del formigó?
Resistència del formigó a la compressió després del fargat
N/mm2
10
30
40
20
Dies
65
45. Un servei de correus té les tarifes que es recullen a la taula següent per al lliurament de paquets fins a 2 kg a la Unió Europea.
a) Quant costa enviar un paquet de 995 g? I un de 1 005 g? La funció que relaciona el pes del paquet i el preu a pagar és continua?
b) Representa gràficament la relació que mostra la taula.
c) En quin cas un augment d’uns pocs grams suposa un augment més gran de la quantitat a pagar?
46. La gràfica mostra la potència que produeix per hora un aerogenerador segons la velocitat del vent.
a) Quina és la potència produïda quan el vent té una velocitat de 8 m/s?
b) Quina velocitat del vent és necessària per tal que l’energia produïda arribi als 450 kW per hora?
c) En augmentar la velocitat del vent es produeix sempre un augment de la quantitat d’energia produïda? Explica-ho.
d) Quant augmenta la producció d’energia en passar la velocitat del vent de 0 m/s a 5 m/s? I en passar dels 5 m/s als 10 m/s? I en passar dels 10 als 15 m/s? En quin d’aquests períodes l’augment és més gran?
e) Per a quines velocitats del vent és pot considerar estable la potència produïda?
f) Suposem una velocitat mitjana anual del vent igual o superior als 10 m/s. Calcula el mínim valor econòmic de la producció anual si es factura l’energia elèctrica a 0,12 € el kWh.
47. La velocitat d’un vehicle en un moment donat era de 70 km/h. El cotxe va mantenir una acceleració constant de manera que un minut després la velocitat era de 110 km/h.
a) Calcula la taxa de variació mitjana en aquest interval de la funció que relaciona temps en segons i velocitat en km/h.
b) Explica quin significat té en aquest cas la taxa de variació mitjana.
Unió Europea Preu (€)
Fins a 200 g 9,22
Fins a 500 g 12,18
Fins a 1 kg 16,01
Fins a 1,5 kg 19,49
Fins a 2 kg 22,97
m/s
66
48. La gràfica mostra la relació que hi ha entre el volum i la pressió d’una massa de gas a temperatura constant que es comprimeix o s’expandeix en un recipient.
a) Com varia la pressió en augmentar el volum?
b) Quan es produeix un canvi més gran de pressió per a un mateix increment de volum, quan es parteix d’un volum petit o d’un volum gran? Justifica la resposta.
c) Comprova que el producte dels valors de la pressió pels del volum és constant.
d) Creus que la corba arribarà a tallar els eixos de coordenades? Per què?
49. Hem omplert un recipient en una aixeta que raja un litre d’aigua cada 20 s. La gràfica mostra l’altura a què arriba l’aigua en el recipient en funció del temps.
a) De quin recipient es tracta? Raona la teva tria. 1) 2) 3) 4)
b) Quin és el volum del recipient omplert?
c) Dibuixa un croquis de la gràfica d’aquesta mateixa funció per a cada un dels recipients següents:
75 s
temps
altu
ra
Pressió (atm)
Volum (dm3)
67
50. La funció ent(x) fa correspondre a cada valor de x el nombre enter inferior més pròxim; així
ent(7) = 7 i ent (7,42) = 7.
a) Quina és la imatge de x = 2,40? I la de x = −3,15?
b) Fes-ne la representació gràfica.
c) Indica les discontinuïtats d’aquesta funció.
51. La gràfica mostra l’evolució de les marees en un port del Mediterrani durant 48 hores:
a) A quines hores és màxim el nivell de les aigües? I mínim?
b) Quina és la diferència entre l’altura màxima a què arriben les aigües i la mínima?
c) Indica el signe de la taxa mitjana de variació als intervals [2, 7], [20, 24], [35, 37] i [40, 43].
d) Quina particularitat té el punt de la gràfica corresponent a les 14 h i 30 min?
e) Indica algun interval de temps on el nivell de les aigües pugi cada vegada més ràpid.
Funció constants, lineals i afins
52. Un banc ofereix als seus clients la remuneració següent: per cada 100 euros que
mantinguin dipositats durant un any, els reemborsarà 104,5 euros.
a) Escriu la funció que et permet calcular el capital final d’un client conegut el capital
que ha invertit.
b) Quin és el benefici que obtindrà un client si inverteix 7 125 euros?
c) Escriu l’expressió de la funció algèbrica corresponent al benefici.
d) Quina quantitat ha invertit una persona que ha obtingut 650 euros de benefici?
53. El preu d’un detergent és de 7,25 euros si el paquet és de 4,5 kg, i de 5,75 euros si el
paquet és de 3,5 kg. Hi ha relació de proporcionalitat lineal entre aquests valors?
54. Un majorista compra un producte al fabricant a x euros la unitat. El majorista el reven al
botiguer minorista un 15 % més car, i aquest el ven finalment als seus clients un 24 % més
car del que li ha costat a ell. Escriu l’expressió algèbrica de la funció que dóna el preu de
venda final conegut el preu x que ofereix el fabricant.
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46
Hora
Nivel (m)
68
55. Una variable x està relacionada amb una altra variable y per una funció lineal amb constant
de proporcionalitat r = 7,25. La variable y està relacionada a la vegada amb una altra
variable z segons la funció lineal de constant s = 0,4.
a) Completa la taula següent sabent que correspon a la funció lineal que relaciona x
amb z.
x 0 1 8
z 58
b) Escriu l’equació d’aquesta funció.
56. Una variable x està relacionada amb una altra variable Y per la funció lineal y = 3/2 x.
Aquesta variable Y està, per altra banda, relacionada amb z segons una funció lineal que
passa pel punt (5, 1). Troba la constant de proporcionalitat de la funció que relaciona x
amb z.
57. Troba la raó de proporcionalitat d’una funció lineal sabent que les tres cinquenes parts
d’aquesta raó excedeixen en dues unitats el pendent de la recta que apareix al gràfic
següent:
58. En una etapa ciclista es diu que el pendent d’un tram recte de carretera és del 14 %. Si un
ciclista avança sobre l’asfalt 360 m, quin ha estat l’augment d’altitud?
59. La gràfica següent mostra el preu que cobra una empresa pel transport d’una càrrega
determinada en funció dels quilòmetres recorreguts.
69
a) Sabent que es cobren 1,5 euros més per fer 10 km més, escriu l’equació de la
funció afí associada a aquesta gràfica.
b) Indica quina serà l’ordenada a l’origen i explica el seu significat en aquest cas.
60. Observa aquesta taula:
x 12 21 51
y 8 16 34
a) Suposa que la taula correspon a una funció lineal i un dels parells de valors
corresponents està equivocat. Pots dir quin és?
b) T’asseguren que un d’aquests parells de valors corresponents és erroni, però et
diuen que ara es tracta d’una funció afí. Pots dir quin parell de valors és l’erroni? Per
què?
61. L'equació d'una funció afí és y = mx + 1, i la imatge de x = 2 és y = 9. Quin és el signe del
coeficient m? Respon sense fer càlculs escrits i raona la resposta.
62. Una de les rectes següents és paral·lela a la donada per l’equació y 4x + 3 = 0. Indica
quina és:
a) Recta que passa pels punts (3, 5) i (1, 9).
b) Recta que talla els eixos de coordenades en els punts (0, 8) i (2, 0).
c) Recta de pendent 4 i ordenada a l’origen 3.
63. Les gràfiques de les funcions y = 2 x + 3, i y = 32
x + 10, tenen un punt comú. Quin és?
64. Troba l’ordenada a l’origen d’una funció afí sabent que té pendent 21
i que talla l’eix
d’abscisses quan x = = 9.
65. L’ordenada a l’origen d'una funció és 4, i la gràfica d’aquesta funció és una recta que
passa pel punt (8, 4). Es pot tractar d’una funció afí? Per què?
66. Representa gràficament la funció y = 2x − 5.
a) Calcula la seva variació mitjana a l’interval [0, 3].
b) Sense fer cap càlcul, indica la taxa de variació mitjana de l’interval [29, 52]? Com l’obtens?
67. Quina és la taxa de variació mitjana d’una funció constant a qualsevol interval? Per què?
Funció quadràtica
68. La gràfica de la funció f(x) = ax2+ bx conté els punts (1, −2) i (−2, 16). Calcula els valors
d’a i b.
70
69. Considerem la funció y = 4
2x
.
a) Completa aquesta taula de valors i representa la funció gràficament.
x −2 −1 0 1 2 4
y
b) Troba la taxa de variació mitjana d’aquesta funció a l’interval [−2, 2]. Què indica el resultat obtingut?
70. Estudia les funcions quadràtiques següents:
- Vèrtex
- Concavitat - convexitat
- Punts de tall
- Creixement – decreixement
- Màxim – Mínim
- Simetria
a) y =2
1x
2 + 10 b) y = 9 x
2 +2x 7
c) y = (x +2)2 d) y = x
2 + 2x 7
e) 2
51xy
2 f) y = (3x +2)
2
g) y = (x + 11) 2 h) y =
2
1+ x 9x
2
i) y= 0,5 x2 +x
71. Escriu l’equació d’una funció que tingui per gràfica una paràbola de vèrtex (2, 8), de
manera que, sense fer càlculs, puguis assegurar que talla l’eix d’abscisses en dos punts.
72. Un viticultor, per fer el seu vi, necessita unes proporcions fixes de tres classes de raïm. De
la primera classe és una quantitat determinada, de la segona el triple que de la primera, i
de la tercera classe la cinquena part del producte de les dos primeres.
a) Expressa els quilograms totals que necessita en funció dels quilograms de la
primera classe.
b) Si vol obtenir 1 395 ampolles de vi, quants quilos de raïm de cada classe necessita
si de cada quilo de raïm pot treure una ampolla de vi?
73. Un ciclista va a una velocitat constant de 10 m/s. A partir d’un punt que anomenarem
origen, just quan passa el ciclista, un cotxe comença la seva marxa amb una acceleració
constant de 4 m/s2. Això vol dir que l’espai que recorre el cotxe en funció del temps pot
expressar-se com
71
yx
e = 2t2 (e =
2
1a·t
2 =
2
14·t
2).
Dibuixa les gràfiques espai-temps dels dos mòbils i indica, sobre el gràfic, el moment en què el
cotxe torna a trobar-se amb el ciclista.
74. Desenvolupa els quadrats de l’equació y = (x 10)2 + (x +1)
2, i expressa-la en la forma
y = ax2 + bx + c.
75. En un complex hoteler es vol construir una piscina circular de 45 m de diàmetre. Dins del
perímetre d’aquesta piscina es volen fer dos solàriums també circulars units per un pont de 5 m, com es veu a la figura. Troba els diàmetres dels solàriums de manera que l’àrea de piscina que cobreixin sigui mínima.
76. Calcula l’equació de la paràbola que té el vèrtex en el punt V (1,-2) i que passa pel punt
(2,3). 77. Calcula l’equació de la paràbola que té com a coeficient quadràtic –3 i passa pels punts
(2,3) i (-3,5) 78. Calcula l’equació la paràbola que passa pels punts (3,5), (0,7) i (1,2).
Funció de proporcionalitat inversa
79. Expressa l’equació de la funció que relaciona els nombres enters amb el seu invers i representa-la gràficament.
80. Els alumnes d’una classe de Batxillerat han de repartir-se les despeses del viatge de final
de curs, que té un pressupost tancat de 3.000 euros. a) Escriu la fórmula corresponent a aquesta funció i fes-ne una representació gràfica esquemàtica. b) Indica les imatges de 10 i 15. c) Calcula les antiimatges de 100 i 500.
81. a) Expressa la funció que relaciona la base d’un rectangle de 100 cm
2 en funció de l’altura.
b) Indica el domini i el recorregut. c) Confecciona una taula de valors i representa gràficament aquesta funció. d) Indica què passa amb la base quan l’altura es fa cada vegada més gran. Com s’expressa matemàticament això i què significa? e) Indica què passa amb la base quan l’altura es fa cada vegada més petita. Com s’expressa matemàticament això i què significa?
72
Equacions i funcions exponencials
82. Resol les següents equacions exponencials:
a) 255 3 x f) 162
2x
b) 17 42 x g) 164
3 1 x
c) 273 x2x2
h)
128
12 5x2
d) 1255x i) 3 1x32x 93
e) 00001,010 1x j)
43
1243
x
83. Resol les següents equacions exponencials:
a) 28222 21 xxx d) 655 1 xx
b) 63333 21 xxx e) 2833 21 xx
c) 855352 1 xx f) 36333333 4321 xxxxx
84. Resol les següents equacions exponencials:
a) 6332 xx d) 04254 xx
b) 033283 22 xx e) 4
3
13
1
x
x
c) 8
17
2
12
2
x
x f) 022322 xx
85. Resol les següents equacions exponencials:
a) 2214 2
82 xx f) 117333 11 xxx
b) 99224 xx g)
53 39 xx
c) 1222 12 xx h)
13
134
x
x
d) 24222 12 xxx i) 032024 31 xx
e) 231 22 xxx ee j) 279 1 x
73
Unitat 9 ESTADÍSTICA Població, mostra i variable 1. Indica quina és la població i la variable estadística de cadascun dels estudis estadístics
següents. Assenyala, a més, de quin tipus és la variable estadística: a) Preferències esportives dels alumnes de la teva classe. b) Temps mitjà invertit pels treballadors catalans en desplaçaments des del domicili fins al
centre laboral. c) Nombre de vegades que van al teatre, en un any, els habitants de la teva localitat.
2. Assenyala en quins dels estudis estadístics de l’exercici 1 caldria prendre una mostra.
Justifica la resposta. 3. Clasifica les variables estadístiques següents:
a) El pes dels alumnes de l’IES. b) Els colors dels cotxes dels professors. c) Les carreres universitàries que elegeixen els alumnes. d) El nombre d’habitants dels pobles de la comarca. e) Els tipus de música que escolten els joves. f) Les temperatures de l’any.
4. Volem investigar sobre el nivell d’estudis dels habitants de la nostra població. Decidim
d’analitzar una mostra de 50 persones triades a l’atzar. Argumenta quin dels mètodes següents et sembla més adequat: a) Preguntem als alumnes a la sortida d’un centre escolar. b) Preguntem a la gent que passeja un dissabte a la tarda pel carrer més cèntric. c) Agafem una guia de telèfons i, amb els ulls tancats, n’assenyalen 50 números.
5. En un estudi estadístic la població del qual són tots els ciutadans catalans, se selecciona
una mostra entre els habitants de cinc comarques. Creus que aquesta mostra és representativa?
6. Volem efectuar un estudi estadístic per a esbrinar els programes de televisió preferits pels
estudiants de Magisteri. Sabem que el 70% dels matriculats en aquests estudis són dones. Com hauríem de triar una mostra de 40 alumnes des del punt de vista del mostreig estratificar?
7. La representativitat, el cost i el temps són factors que cal considerar conjuntament a l’hora
de decidir les dimensions d’una mostra. Per què estan interrelacionats? 8. Classifiqueu les següents variables estadístiques:
a) Nombre d’hores setmanals que dediquem a la lectura. b) Marques de vins del Priorat. c) Alçada dels alumnes d’un centre educatiu. d) Nombre de càries en la població infantil d’una determinada ciutat. e) Dia de la setmana que a nivell familiar solem anar a comprar al mercat o al
supermercat. f) Distància recorreguda per anar de casa a l’escola.
Taules de freqüències 9. Un equip de bàsquet ha anotat en 20 partits els punts següents:
80, 101, 92, 80, 110, 83, 101, 75, 80, 107, 75, 85, 80, 110, 101, 92, 85, 110, 85, 80. Construeix la taula de freqüències corresponent.
74
10. Les qualificacions obtingudes per un grup de 49 alumnes en una prova són les següents: 3,0 5,5 4,4 6,0 4,3 7,2 4,7 6,5 6,7 4,0 5,9
5,8 1,4 3,2 5,8 4,6 4,1 3,5 6,8 5,0 5,9 2,1 4,2 4,5 4,1 4,8 2,8 4,7 7,7 6,0 3,0 5,7 4,5 4,9 3,3 4,8 4,7 7,7 6,0 3,0 5,7 4,5 4,9 3,3 4,8 4,7 5,2 3,8 6,1
Agrupa en set intervals les dades anteriors i construeix la taula de freqüències corresponent.
11. S’ha preguntat als 24 alumnes d’una classe el nombre de vegades que han anat al cinema durant el darrer mes. Les respostes han estat:
2, 0, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 0, 2, 4, 0, 5, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 2.
Elabora la taula de freqüències corresponent. 12. Les precipitacions mitjanes anuals en els darrers 50 anys, expressades en centilitres, que
s’han mesurat en una estació meteorològica són les següents:
3,20 3,55 4,75 3,60 4,50 6,25 4,20 2,50 2,39 3,00 4,60 4,50 2,55 3,30 3,30 3,75 3,90 5,20 5,70 2,50 4,55 7,25 5,70 4,05 6,35 5,75 3,50 5,60 4,60 5,35 4,10 4,75 3,90 3,50 3,95 4,10 6,10 4,45 7,25 3,90 6,10 3,85 3,45 4,50 6,35 4,20 5,50 4,60 4,85 6,20
Agrupa aquestes dades en deu intervals i construeix la taula de freqüències corresponent. 13. Es va preguntar a 25 dels 40 alumnes d’una classe si els agradava més el peix o la carn;
15 van contestar que prefereixen peix i els altres 10, carn.
a) Identifica la mostra i la variable estadística d’aquest estudi, indicant el tipus
b) Troba les freqüències absoluta i relativa corresponents a les preferències pel
peix.
c) Podem assegurar que cap dels alumnes d’aquesta classe no és estrictament
vegetarià? Per què?
14. En una enquesta feta a 300 persones es demanava si se seguia amb freqüència un
conegut programa de TV3. La freqüència relativa de la resposta sí va ser 0,36. Quantes persones entrevistades van contestar sí?
15. Els pesos (en kg) i les alçades (en cm) d’un grup de nois i noies són els indicats. Elabora per a cada cas les taules amb les freqüències absolutes, relatives i acumulades.
Pesos: 86 - 94 - 55 - 72 - 65 - 88 - 73 - 61 - 45 - 49 - 62 - 91 - 53 - 66.
Alçades: 249 - 310 - 213 - 253 - 231 - 250 - 293 - 275 - 286 - 233 - 287 - 244.
75
16. Els resultats de la jornada 35 de la Lliga de Futbol Espanyola de Primera Divisió corresponents a la temporada 1994-1995 van ser els següents:
Sevilla – Celta 2 – 3
Deportivo – Betis 2 – 0
Barça – Madrid 5 – 0
Valladolid – Logronyès 2 – 1
Oviedo – Albacete 1 – 3
R. Sociedad – At. Madrid 5 – 0
Tenerife – Sporting 3 – 0
València – Racing 1 – 1
Ath. Bilbao – Compostel·la 5 – 3
Es vol fer un estudi estadístic del nombre de gols que van marcar els equips de Primera Divisió durant aquesta jornada. Elabora’n la taula de freqüències i respon aquestes preguntes:
a) Quants gols es van marcar aquesta jornada?
b) És cert que el més freqüent és que els equips marquessin un sol gol?
c) Quin és el percentatge dels equips que van aconseguir més de 3 gols?
Diagrames 17. Representa les dades de l’exercici 10 mitjançant un diagrama de barres i un pictograma. 18. Representa les dades de l’exercici 11 mitjançant un histograma i traça el polígon de
freqüències. 19. La taula següent recull la distribució d’alumnes del curs 95-96 en els diversos nivells:
Ensenyaments Alumnes
Infantil/Preescolar 1103465
Primària/EGB 3870277
Secundària/E. Mitjans 2679076
Universitària 1529769
Elabora el diagrama de sectors corresponent. 20. Les dades corresponents a un exercici de flexió de braços efectuat per 250 alumnes de 1r
de Batxillerat figuren en la taula següent:
Nombre de flexions
Nombre d’alumnes
[0,5) [5,10)
[10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45)
41 43 61 56 32 11 4 1 1
Representa gràficament aquestes dades mitjançant un histograma i traça el polígon de freqüències corresponent.
76
21. S’ha preguntat als alumnes d’una classe a quin país volen organitzar el viatge de final de curs. Els resultats han estat aquests:
Itàlia 25 - França 12 - Anglaterra 7 - Suïssa 15 - Holanda 30.
Organitza aquests resultats en una taula de freqüències i calcula les freqüències absoluta i relativa i el percentatge. Desprès realitza un diagrama de barra, un de sectors i un pictograma.
22. D’una enquesta feta a tots els alumnes d’una escola sobre les seves preferències de lleure, s’ha obtingut els següents percentatges:
Música 5,8 %
Esports 37,2 %
Vídeo jocs 30,1 %
Lectura 14,9 %
Cinema 12,0 %
a) Representeu el corresponent diagrama de sectors.
b) Si sabem que el nombre d’alumnes d’aquesta escola és de 425, quants d’ells prefereixen l’esport?
23. Segons un diari, les aportacions de l’ECHO (European ommunity Humanitarian Office) a les
principals agències humanitàries de l’ONU són les següents
Agència Milions d’euros
ACNUR (Alt Comissionat de les Nacions Unides per als Refugiats)
520
PAM (Programa Alimentari Mundial)
205
UNICEF (Fons de les Nacions Unides per a la Infància)
40
OMS (Organització Mundial de la Salut)
14
PNUD (Programa de les Nacions Unides per al desenvolupament)
1
UNDHA (Departament d’Afers Humanitaris de les Nacions Unides)
1
Construeix un diagrama de barres i un diagrama de sectors que reflecteixin aquestes dades. Paràmetres estadístics
24. El nombre de faltes d’ortografia comeses per 40 alumnes de 1r de Batxillerat en un dictat es mosta en la taula següent:
Nombre faltes
0 1 2 3 4 5 6
Nombre alumnes
7 9 13 6 3 1 1
Calcula la moda, la mitjana aritmètica i la mediana.
77
25. La taula següent reflecteix la mida del tòrax d’un grup d’homes adults. Calcula la moda, la
mitjana aritmètica i la mediana.
Mida del tòrax (cm) Nombre d’individus
[80,85) [85,90) [90,95) [95,100)
[100,105) [105,110) [110,115) [115,120)
9 91 509 937 694 201 31 2
26. El nombre de pisos habitats d’una determinada comunitat autònom, com també les superfícies corresponents són:
Superfície (m2) Nombre de pisos habitats (milers)
[0,30) [30,60) [60,90) [90,120)
[120,150) [150,180) [180,210) [210,240) [240,270) [270,300)
30 486
4036 350 92 36 21 12 8 6
Calcula la variància i la desviació estàndard. 27. En la taula següent hi apareix el pes (en grams) de 100 comprimits d’un determinat
medicament.
Pes (g) Nombre de vegades
[4,45, 4,55) [4,55, 4,65) [4,65, 4,75) [4,75, 4,85) [4,85, 4,95) [4,95, 5,05) [5,05, 5,15) [5,15, 5,25) [5,25, 5,35)
1 2
10 21 33 18 9 4 2
a) Construeix l’histograma i el polígon de freqüències. b) Calcula la mitjana aritmètica i la desviació estàndard. c) Calcula el primer i el tercer quartils i el percentil 15 d) Quin percentatge de comprimits pesa menys de 4,87 g? 28. Consultats els 26 alumnes d’una classe sobre la quantitat de monedes que porten a sobre,
sense tenir en compte el seu valor, s’ha obtingut: 7, 9, 2, 5, 7, 4, 9, 3, 2, 6, 1, 6, 7, 3, 7, 6, 9, 5, 5, 7, 3, 2, 4, 3, 6, 8,
Es demana:
a) La taula de distribucions de freqüència, ampliant-la també amb les freqüències acumulades.
b) La representació gràfica del diagrama de línies.
c) Quin valor pren la moda, la mediana i la mitjana aritmètica?
78
29. S’estudia d’una mostra de 35 treballadors de l’empresa COFISA el nombre de dies de treball perdut per malaltia durant el 1r. trimestre de l’any 2006:
Dies perduts per malaltia I trimestre de l’any 2006
2 1 0 1 1 3 0
0 2 7 5 0 1 3
0 0 4 1 2 4 0
5 3 0 6 0 4 0
2 6 2 3 0 1 1
Es demana: a) Determineu la distribució de freqüències i la seva representació gràfica en un diagrama de
barres i polígon de freqüències.. b) Calculeu la mitjana aritmètica, la moda, la mediana, els quartils, el recorregut, la variància i
la desviació estàndard de la variable nombre de dies de treball perdut. 30. Disposem d’un llistat dels preus de 50 automòbils d’un establiment de vehicles d’ocasió:
Preus dels automòbils en estoc
7.000 2.500 5.000 4.000 5.000 7.000 4.000 7.500 8.000 5.000 5.000 7.500 3.000 7.000 10.000 15.000 5.000 7.500 12.000 8.000 4.000 5.000 3.000 5.000 10.000 3.000 4.000 5.000 7.000 5.000 3.000 4.000 7.000 4.000 7.000 5.000 4.000 7.000 10.000 7.500 7.000 8.000 7.500 7.000 7.500 8.000 7.000 7.000 12.000 8.000
Es demana: a) Obteniu la distribució per intervals i assigneu les freqüències absolutes b) Calculeu la distribució de freqüències i dibuixeu l'histograma c) Calculeu les mesures de posició i dispersió
31. A partir de l’histograma:
a) Reproduïu la taula de distribucions de freqüència.
b) Determineu l’interval modal, la mediana i la mitjana aritmètica.
79
32. Una urbanització s’ha dividit en parcel·les que tenen la següent superfície:
Superfície (m2) Número de parcel·les ( ni )
100-400 400-700
700-1300 1300-2500
73 124 311 77
Determineu: a) La mida de parcel·la més freqüent en la urbanització b) Superfície mitjana i mediana per parcel·la c) Quina grandària hauria de tenir una parcel·la per estar considerada entre el 25% de més
gran mida? d) Quina grandària hauria de tenir una parcel·la per estar entre el 40% de menor mida? Comparació de mostres 33. De dues regions d’un determinat país s’estudia la renda familiar disponible (en milers
d’euros). La informació recollida és:
REGIÓ 1 REGIÓ 2
Renda Nombre de famílies
Renda
Nombre de famílies
10-20 20-30 30-40 40-50 50-100
24 36 20 20 50
5-15 15-25 25-55 55-75 75-95
10 42 35 20 13
Calculeu: a) La renda mitjana de cada regió i la seva variància. b) Comparar les dues regions i veure en quina la distribució es més representativa. c) Quin és el nivell de renda obtingut per un major nombre de famílies en la primera regió? d) Si en la segona regió es classifica a una família dins del grup del 50% de famílies menys
afavorides, quina seria la renda màxima que podria rebre?
34. El nombre de visites mèdiques que han sol·licitat 30 persones de dos CAP al llarg d’un any són:
a) Calcula la mitjana de visites de cada cap i la desviació típica.
b) Calcula el coeficient de variació de cada conjunt de dades. En quin cas la dispersió relativa és més gran?
c) Calcula, pel al CAP !, quin tant per cent de les dades es troba a l’interval ).2,2( SXSX
Comprova que és més del 75%.
80
35. Aquestes són les temperatures mínimes i màximes mitjanes obtingudes en 40 estacions meteorològiques repartides per tot Catalunya al llarg de l’any 2005
a) Calcula la mitjana de les màximes i la mitjana de les mínimes
b) Calcula la desviació típica de les màximes i de les mínimes.
c) En quin cas hi ha més dispersió, en les màximes o en les mínimes? Per què creus que és així?
36. Aquestes són les edats dels jugadors de dos equips de futbol: Equip A
19 24 27 33 19 24 23 29 31 28
24 27 33 30 28 20 22 27 21 26
26 18 14 28
Equip B
24 26 22 21 18 27 24 28 22 19
24 32 19 24 26 23 24 18 21 23
23 31 28 20
Calcula la mitjana d’edats de cada equip, la desviació típica i el coeficient de variació. En quin equip les edats estan més agrupades al voltant de la mitjana?
37. Aquest és el nombre de faltes comeses per partit per dos defenses entrals al llarg de 18 jornades: Jugador A
6 8 12 6 5 3 9 5 7
3 7 8 11 5 7 8 9 7
Jugador B
12 15 13 3 10 6 14 16 6
8 11 8 5 7 10 12 8 16
a) Calcula la mitjana i els quartils.
b) Amb les mesures anterior, quin jugador consideres que és més regular?
38. La taula mostra el saldo mitjà en euros per mesos de dos comptes bancaris:
G F M A M J J A S O N F
C1 3100 3880 6440 4020 5100 7550 5230 7050 4225 6540 2900 5720
C2 4280 4350 4800 5025 4775 4650 4420 4340 4450 4600 4760 4550
Calcula en cada cas la desviació típica i el coeficient de variació. En quin cas sembla més fàcil preveure el saldo aproximat del mes següent?
81
Unitat 10 PROBABILITAT Experiments aleatoris 1. Indiqueu quina de les següents experiències no és aleatòria: a) Treure una carta d’una baralla i observar que ha sortit. b) Fer reaccionar dues substàncies i observar el compost que s’obté. c) Escollir a dit un determinat alumne de la vostra classe per tal que sigui el delegat. d) Escollir una bola d’una bossa que conté boles blanques i negres i observar el color que té. e) Llançar una moneda tantes vegades com calgui fins que surti cara. 2. Considereu l’experiment aleatori d’escriure paraules amb les quatre lletres de la paraula
ROMA sense repetir-ne cap. Es demana: a) Quants elements té l’espai mostral d’aquesta experiència? b) Quants elements formen part dels següents esdeveniments?
A:”paraules que tenen sentit i acaben en R” B:”paraules que comencen per R” C:”paraules que acaben en OR”.
3. La nostra experiència consisteix en tirar dos cops un dau i observar quines són les puntuacions obtingudes en cadascun d’ells.
a) Quants resultats possibles podem obtenir? b) Quins elements té l’esdeveniment A:”treure una suma de 7 punts”? c) Quins elements té l’esdeveniment B:”treure una puntuació parell al primer dau i una
puntuació múltiple de 3 al segon”?
d) Quants elements tenen els esdeveniments A ∪ B, A ∩ B i A ?
4. Respecte de l’experiment aleatori de tirar dos daus a la vegada indica els elements que
composen els esdeveniments següents: “sortir els dos nombres iguals”, “la suma dels dos nombre és més gran que 7”, “sortir un 6 com a mínim” i “la diferència del dos nombres és mes gran que 1”.
5. En l’experiment aleatori de contar el nombre de gols del Barça durant un partit, són
esdeveniments les expressions següents?: “marcar més de tres gols”, “marcar molts gols”, “marcar menys gols que els normals” i “marcar menys gols que la mitjana de la lliga anterior”.
6. En referència a l’experiment de tirar dos daus a la vegada indica, entre els esdeveniments
següents, quines parelles són incompatibles (disjunts):”sortir dos nombres iguals”, “la suma dels dos nombres és major que set”, “la diferència dels dos nombres és 2”, “surt com a mínim un sis” i “la suma dels dos nombres és menor que 5”.
7. Assenyala tots els esdeveniments possibles relacionats amb l’experiment de tirar una
moneda. Fes el mateix però de l’experiment de tirar dues monedes. 8. En una revisió mèdica els alumnes es classifiquen com: alts, mitjans i baixos. Agafant com
experiment aleatori la revisió mèdica d’un alumne, quin és el conjunt de resultats?. Quins són tots els esdeveniments possibles?
9. Pel que fa a l’experiment de tirar dos daus, un de blau i un altre de vermell, els
esdeveniments A, B i C, són: A=”la suma dels dos nombres és major que 6”, B=”en el dau vermell hi surten més punts que en el blau” i C=”la suma dels punts és 6 o 7”. Descriu, per mitjà d’una frase, als esdeveniments següents:
10. En l’experiment aleatori l’espai mostral del qual és E={1,2,3,4,5,6} Considerem els esdeveniments següents:
A={2,5,6} B={1,3,4,5} C={4,5,6} D={3}
Forma els esdeveniments complementaris.
82
11. Donats els esdeveniments de l’exercici anterior calcula
a) AB=
b) AC=
c) BC=
d) A(BC)=
e) AB
f) AC= 12. En una bossa hi ha vuit boles numerades de l’1 al 8. Fem un experiment que consisteix a
extreure una bola, anotar-ne el nombre i introduir-la novament a la bossa. Considerem els esdeveniments següents: A={3,5,7,8}
B={1,2,3,4,5}
C={3,6,8}
A partir d’això, forma aquests altres esdeveniments: AB= ABC=
Llei de Laplace
13. Es disposa d’una bossa amb 5 boles blanques, 3 negres i 2 vermelles i s’extreu una d’elles a l’atzar, quina és la probabilitat que...
a) la bola sigui blanca? b) la bola sigui negra? c) la bola no sigui negra? d) la bola no sigui vermella?
14. A l’extreure una carta a l’atzar d’un joc de cartes espanyoles, quina és la probabilitat que surti...
a) un REI? b) una FIGURA? c) un AS o un CAVALL? d) un AS o un OR?
15. Hem pogut constatar que de cada 25 persones que entren a una oficina de correus, 3 són esquerrans. Es demana:
a) Quina és la probabilitat que elegida una persona a l’atzar, d’entre les que visiten aquesta oficina, sigui esquerrana? b) Sabem que al llarg del dia entren unes 500 persones. Quantes d’elles no són esquerranes?
16. Si es tira un dau quina és la probabilitat d’obtenir un nombre de punts més gran que 4?. I la
d’obtenir un nombre parell de punts?
17. En un experiments que consisteix a llançar una dau cúbic i anotar el resultat de la cara superior, calcula les probabilitats següents:
a) Que surti parell. b) Que surti imparell.
c) Que surti un múltiple de 3. d) Que surti un múltiple de 5.
18. D’una urna on hi ha vuit boles vermelles, cinc boles grogues i set de verdes, l’extraiem una a l’atzar. Determina les probabilitats següents:
a) Que sigui vermella b) Que sigui verda. c) Que sigui groga d) Que no sigui vermella. e) Que no sigui groga.
19. Si extraiem una carta d’una baralla espanyols de 40 cartes, què és mes probable en cada cas:
a) Que surti la sota de bastons o el rei d’espases. b) Que surti un oro o una figura. c) Que surti un oro o una carta que no sigui oros. d) Que surti una figura o que no surti una figura.
83
Experiments aleatoris compostos 20. En una urna hi han 4 boles vermelles, 2 boles blanques i 5 boles negres. Remenem bé les
boles de la urna i, sense mirar (de forma aleatòria), en traiem una parella (les dues boles al mateix temps). Et demanem:
a) Dibuixa el diagrama d’arbre de l’experiència aleatòria i, fent servir el principi de Laplace, anota les probabilitats corresponents damunt de cadascuna de les arestes de l’arbre b) Escriu tots els successos amb què ens podem trobar en realitzar l’experiència c) Calcula la probabilitat que les dues boles siguin del mateix color d) Calcula la probabilitat que les dues boles siguin de colors diferents e) Calcula la probabilitat que almenys una de les dues boles sigui vermella f) Calcula la probabilitat que cap de les dues boles sigui negra
21. Considereu l’experiència aleatòria “llançar una moneda tres vegades i observar en cada
llançament si surt cara o creu”. Determineu la probabilitat dels esdeveniments següents: a) A:”obtenir una cara”. b) B:”obtenir al menys una cara”. c) C:”obtenir cara en el tercer llançament”.
22. Si es tiren dues monedes quina és la probabilitat d’obtenir: a) dues cares b) una cara c) dues creus
23. Quina és la probabilitat de que en tirar tres monedes juntes surti com a mínim una cara? 24. Quina és la probabilitat de que en tirar dos daus s’obtingui un doble? 25. Quina és la probabilitat d’obtenir una suma de 8 punts en tirar tres daus a la vegada? 26. Si es tiren dos daus, què és més probable que la suma dels punts doni 12, o bé, que el
producte doni 12?. 27. Una urna conté 20 boles blanques i 30 negres. Si s’extreu quatre boles, quina és la
probabilitat de que siguin les quatre blanques? 28. En una urna hi ha 50 boles, sis d’elles porten premi. Si s’extreu un grup de cinc boles,
determina la probabilitat d’obtenir: a) un sol premi, b) tres i solament tres premis, c) al menys un premi.
29. En un armari hi ha cinc parells diferents de sabates. N’escollin dues a l’atzar. Quina és la
probabilitat dels esdeveniments següents? a) Que formin parella
b) Que siguin dues sabates del mateix peu (dret o esquerre).
30. Una de les normes del parxís consisteix a “anar a casa” si surt 6 tres vegades seguides. Quina és la probabilitat que això passi?
31. Tenim quatre llibres els títols dels quals comencen per lletres diferents. Quina és la
probabilitat que, en col·locar-los a l’atzar, quedin ordenats alfabèticament? 32. Has oblidat el PIN del teu mòbil. Només recordes que té dos uns, un tres i un nou.
a) Quins són tots els possibles nombres PIN que pots provar? b) Quina és la probabilitat que tens d’encertar el teu número a la primera? I en els tres primers intents que et permet el teu mòbil?
33. De l’experiment que consisteix a extreure una cara d’una baralla espanyola de 40 cartes,
troba les probabilitats següents: a) Que sigui un rei o un as. b) Que sigui un rei o una copa. c) Que sigui un rei i una copa.