ANALISIS DIMENSIONAL

1.1. UTILIDAD DEL A.D.Para determinar la forma de ecuaciones fsicas a partir de las variables principales y de sus dimensiones. Para comprobar cualitativamente ecuaciones. Para determinar las dimensiones de coeficientes empricos. Para establecer y realizar experimentos, descubriendo aspectos desconocidos del problema. Para formular leyes de similitud de considerable importancia en la investigacin experimental.

1.2. DIMENSIONESLas dimensiones empleadas en la mecnica son: fuerza, masa, longitud y tiempo, las cuales estn relacionadas entre s por la segunda ley de Newton sobre el movimiento:

F = Masa Aceleracindonde la masa (inercial) es expresada a partir de esta relacin, por lo cual solo tres de las cuatro dimensiones empleadas son independientes entre s. Segn la combinacin de las dimensiones se puede hablar de dos sistemas de unidades: Absoluto y Gravitacional.

SistemaDimensionesUnidades

AbsolutoM L TKilogramo - metro - segundo

GravitacionalF L TNewton - metro - segundo

1.3. DIMENSIONES Y CANTIDADES FSICAS VariableSmboloUnidadMLTFLT

FuerzaFNwMLT-2F

MasaMKg.MFL-1T-2

LongitudLMLL

TiempoTSTT

Velocidad linealVm/sLTL

Velocidad angularw s-1T-1T-1

Velocidad del sonidoCm/sLT-1LT-1

Aceleracin linealAm/s2LT-2LT-2

Ejemplo: Se va a resolver el ejemplo anterior con el mtodo del producto de potencias:

Dimensionalmente:

Ejemplo 1.4La fuerza de arrastre que acta sobre un cuerpo (esfera) que se mueve por un fluido de viscosidad m y densidad r, es una funcin del dimetro y de la velocidad del objeto con relacin al fluido. Determinar la forma de la ecuacin de esta fuerza.

Fa = f(D,V,r ,m ,) F(Fa,D,V,r ,m ,) = 0

Sistema gravitacional FLT

Dimensiones variables

[Fa] = F, [D] = L, [V] = LT-1,

[r ] = FL-4T2 , [m ] = FL-2T

Matriz dimensional

desarrollando la densidad en serie de Taylor en torno al valor M, la ecuacin se puede escribir de la siguiente forma:

siendo M el coeficiente de expansin volumtrica, evaluado a la temperatura TM.Normalizando la ecuacion se obtiene la siguiente expresion:

Comparando el trmino de diferencia de temperatura y el trmino convectivo, se obtendr la relacin entre las fuerzas de flotabilidad y las de inercia:

En flujos con conveccin libre, la dependencia de la densidad con la temperatura es determinante, y es conveniente modificar la ecuacin de cantidad de movimiento para tener en cuenta los efectos de flotabilidad. Si las variaciones de velocidad son debidas a la diferencia de temperatura entre los distintos puntos,

el movimiento ser muy lento, y el gradiente de presin se puede expresar de la siguiente forma:

g = p M

siendo M la densidad del fluido evaluada a la temperatura media del fluido, TM.

Introduciendo el gradiente de presin en la ecuacin de cantidad de movimiento: