Introducción al álgebra superior

Unidad 2. Conjuntos de números

Documento dirigido al Facilitador(a)

Este documento tiene la intención de servir como muestra para que usted prepare uno

muy similar, sustituyendo los ejercicios por algunos creados por usted, en donde funcione

el mismo mecanismo para hacer las demostraciones, es decir, deben ser procesos

regidos por los números naturales y se lo envíe a los estudiantes para que los resuelvan.

Favor de no enviar este archivo, tal cual, ya que los problemas serían resueltos y corren el

riesgo de ser publicados y compartidos en internet, por lo que las siguientes generaciones

de estudiantes, quizá ya lo tendrían resuelto.

Con la finalidad de proporcionarle un apoyo en la moderación de las actividades, a

continuación le presentamos un ejemplo de cada una de las actividades de la Unidad 2.

Conjuntos de números.

Actividad 1. Propiedades de los números naturales

La finalidad de esta actividad es que el alumno demuestre algunas propiedades de los

números naturales y que aprenda que ellos son la base de la cultura matemática y ésta se

vea como un proceso histórico-social.

Una notación adecuada en matemáticas puede llevar a descubrimientos importantes, en

el caso de los números naturales la evolución fue muy lenta, la necesidad de cálculo se

manifiesta desde los albores de la civilización, pasamos desde una notación auxiliar hasta

la llegada de la notación indo arábiga, esta última permitió además el desarrollo de

algoritmos que fue un paso a la abstracción en cuanto a operaciones aritméticas.

Las propiedades algebraicas de los números naturales se demuestran usando inducción,

principio de buen orden, esto se debe a su definición recursiva. Por ejemplo, queremos

demostrar la propiedad asociativa de la suma:

Para , se tiene: ( ) ( ) . Esta es una proposición que

depende de tres variables .

Ahora observemos la propiedad conmutativa de la suma:

Para se tiene . Esta es una proposición que depende de dos

variables .

Para hacer estas demostraciones debemos fijar una variable y mover la otra. Con la pura

definición será muy difícil hacer estas demostraciones, sin embargo podemos resolver

casos particulares:

1. Demuestra que , utilizando sólo la definición: ( )

( ( )) ( ( ( ))) ( ( )), por otro lado ( ) ( ( )).

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2. Demuestra , utilizando la definición de producto y propiedades

de la suma: ( ) (( ) ) (( ) ) (( ( ))

( ( )), por otro lado ( ) ( ( )).

3. Demuestra utilizando sólo la definición de suma la identidad .

4. Demuestra utilizando sólo la definición de producto y las propiedades de la

suma u otras ya demostradas que

Nota.

El trabajo con la lectura y el foro será el mismo, sólo se tendrán que plantear nuevos

ejercicios de ser necesario.

Actividad 2. Inducción matemática

La finalidad de la presente actividad es que el estudiante resuelva problemas de suma y

productos de enteros, divisibilidad y números primos mediante el uso de demostraciones

utilizando la inducción matemática.

1. Demuestra por inducción matemática las siguientes identidades:

a)

( )( ).

b) .

/ .

/ .

/ .

/

.

c)

, con .

d) ∑

( )

.

e) ∑ ( ) .

Es importante hacer siempre la base de la inducción, el siguiente ejercicio te dará una

experiencia muy útil:

Para , con positivo, sea ( ) la proposición abierta

∑ ( ⁄ )

.

2. Demuestra que ( ) ( ), para cualquier entero positivo. ¿Es cierta ( )

para toda entero positivo? Justifica tu respuesta.

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Actividad 3. Principio del buen orden

Mediante esta actividad el alumno comprenderá la importancia del Principio del buen

orden para hacer ciertas demostraciones.

Se puede demostrar la ley conmutativa de la suma, para todo

Construyamos el conjunto * +, supongamos que es distinto del

vacío, por el Principio del buen orden, tiene un elemento mínimo , este elemento es

distinto de uno, se puede demostrar usando inducción matemática que ( ),

, y entonces , por lo tanto , así ( ) para algún

natural, por una justificación idéntica los son distintos de uno, así existe un número

natural distinto de uno tal que , ya que es distinto de uno existe

natural tal que ( ).

1. Termina la demostración desarrollando ( ) ( ), utilizando la

definición de suma y la condición de minimalidad de

2. Llega a la contradicción :

( ) ( ) ( ( ) ), -

Actividad 4. Divisibilidad y congruencia

La finalidad de la presente actividad es que el alumno resuelva problemas del teorema

fundamental de la aritmética, utilizando los conceptos de divisibilidad y congruencia.

Definición: se dice que divide a y se denota si existe tal que .

Ejemplo: Probar que para todo , es divisible por 3. Para resolver este

problema haremos inducción sobre .

Para , es divisible por 3, así hemos probado la base de la inducción.

(Paso inductivo) Supongamos que es divisible por 3, por demostrar que

es divisible por 3. (descompusimos en dos factores y

sumamos 0) ( ) (factorizamos el 4), por hipótesis de inducción es

múltiplo de 3, por lo que ( ) también y 3 es divisible por 3, así la suma es

divisible por 3. Así por el principio de inducción la proposición es válida para todo

natural.

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Ejercicios:

1. Probar que para todo natural:

es un múltiplo de 11.

es múltiplo de 7.

no es divisible por 3 (sugerencia: considera de la forma

con ).

2. Calcular y sabiendo que ( ) y que .

Se definieron en 2.2.4 el algoritmo de la división y el máximo común divisor, el primero de

ellos nos dice que dados dos enteros y con positivo existen dos enteros y

llamados el cociente y el residuo que satisfacen con .

Ejercicios:

3. Probar que todo entero distinto de es de la forma o .

4. Denotemos por ( ) el residuo al dividir entre . Prueba las siguientes

propiedades:

a. ( ) ( ( ) ( ))

b. ( ) ( ( ) ( )).

5. Sean y enteros distintos de cero, si y la división de por

tiene cociente 15 y residuo 7, hallar y .

En el segundo teorema de 2.2.4 hallamos un número que era divisor común y se puede

expresar como combinación lineal de y . Esto es suficiente para resolver el siguiente

ejercicio.

6. Hallar todos los con que cumplen las siguientes condiciones:

El teorema fundamental nos garantiza que cualquier número entero se puede expresar de

manera única como producto de potencias de primos, por ejemplo .

7. Representar los siguientes enteros como productos de potencias de primos

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( ) .

8. Hallar el menor múltiplo positivo de que sea un cuadrado.

Trabajar con congruencias módulo es más fácil que manejar el número pues para cada

natural existen clase de residuos . Así para hallar el residuo módulo

de no necesitas hacer todas las cuentas simplemente aplica las

propiedades de las congruencias, ya que ( ) tenemos que ( )

( ), ( ) y ( ), ( ) por lo tanto

( ) y entonces el residuo es .

El criterio de divisibilidad para y puede ser obtenido de manera muy fácil usando

congruencias ya que ( ) con o , entonces tenemos que

( ) para o así si expresamos cualquier número

en su expansión decimal en base , se tiene ∑

∑ ( ) . El criterio que se obtiene es que un número es divisible entre ó

si y sólo si la suma de sus dígitos es divisible entre ó .

9. Encontrar la última cifra de .

10. Probar que .

11. Calcular la cantidad de números tal que sea divisible por

donde y son dígitos .

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Evidencia de aprendizaje. Números naturales y enteros

La finalidad de la actividad es integrar los conocimientos y demostrar lo aprendido, por lo

que el estudiante deberá resolver seis ejercicios similares a los que se presentan a

continuación:

1) Demuestra, usando inducción matemática, que: ( )( ).

2) Prueba que la suma de los cuadrados de tres números no divisibles por 3 es divisible

por 3.

3) Escribe el máximo común divisor de 99 y 68 como combinación lineal de estos

números.

4) Halla todas las soluciones en enteros no negativos , , que son soluciones de la

ecuación. .

5) ¿Cuál es el menor entero positivo tal que ( ) es un cuadrado en .

6) Halla positivo y más pequeño posible tal que:

a) ( ).

b) ( ).

Respuestas

Estimado Facilitador(a):

A continuación le presentamos la solución a los problemas planteados en la evidencia de

aprendizaje, es recomendable que retroalimente al estudiante para que él identifique sus

errores y llegue por sí mismo al resultado, por lo tanto no es recomendable que usted le

diga la respuesta correcta.

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1) Demuestra, usando inducción matemática, que: .

/ ( )

Retroalimentación: En el primer inciso, la base de la inducción nos da la identidad

( )( ) .

/ , supongamos válido para n, por demostrar para n+1.

( )

( )

(

)

( )

( )(Aplicamos asociatividad e hipótesis de inducción).

2) Prueba que la suma de los cuadrados de tres números no divisibles por 3 es divisible

por 3. Retroalimentación: Observemos que si un número no es divisible por 3 entonces es de la forma 3k+1 o 3k+2 y sus cuadrados 9k2+6k+1=3(3k+2)+1 y 9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1, es decir sus cuadrados dejan residuo 1, así los tres cuadrados son de la forma 3n+1 y al sumarlos dan un múltiplo de 3. 3) Escribe el máximo común divisor de 99 y 68 como combinación lineal de estos

números. Retroalimentación: Aplicando el algoritmo de la división se obtiene 99=68∙1+31,68=31∙2+6,31=6∙5+1, sustituyendo hacia atrás:1=31-6∙5=31-(68-31∙2)∙5=31∙11-68∙5=(99-68∙1)∙11-68∙5=99∙11-68∙16. 4) Halla todas las soluciones en enteros no negativos x, y, que son soluciones de la

ecuación. . Retroalimentación: 303=x2-y2=(x+y)(x-y), así x+y y x-y son factores de 303=101∙3 donde 101 y 3 son primos, por las condiciones del problema 101=x+y y 3= x-y, resolviendo da x=52, y=49. 5) ¿Cuál es el menor entero positivo a tal que ( ) es un cuadrado en . Retroalimentación: Aplicando el Teorema fundamental de la aritmética, 9360=24∙32∙5∙13, así que dividiendo entre 65 da 24∙32, que es un cuadrado perfecto. 6) Halla a positivo y más pequeño posible tal que:

a) ( ). b) ( ).

Retroalimentación: Las soluciones son:

a. Ya que 1230≡0(5) y 4≡4(5) sumándolas tenemos 1234≡4(5). Así a=4.

b. ( ) ( ), así a=1.