documento elaborado por: julio césar lópez...

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219 4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Integral Definida Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

Aplicaciones de la Integral Definida (Teoría y Ejercicios Resueltos) Página 1 de 64

Documento elaborado por: Julio César López Zerón

Cálculo I Integral – agosto 2014, 6ªEd



El documento presentado a continuación tiene como objetivo fundamental, brindar a los

estudiantes el apoyo necesario para facilitar su entendimiento y comprensión analítica sobre el

tema relacionado con la integral definida y sus aplicaciones.

Ésta guía metodológica cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de

los temas que posiblemente serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece

que en ningún momento este trabajo de recopilación pretende reemplazar el libro de texto y

mucho menos, proporcionar un formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en

determinado examen; fundamentalmente se hace ésta aclaración para evitar especulaciones y

conjeturas desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I Integral,

dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de

Cálculo, así como guías, exámenes, pruebas y otros documentos similares tanto de universidades

nacionales como de universidades extranjeras, que a criterio del catedrático, generan un valor

agregado en el conocimiento de los futuros profesionales de la ingeniería.

Espero que este material complementario redactado en el formato más didáctico posible, sea del

agrado de los lectores y agradeceré las observaciones y sugerencias que me puedan facilitar y/o

potenciar el mejoramiento progresivo del trabajo realizado, las mismas pueden ser enviadas a la

dirección: [email protected]

Atentamente.

Julio César López Zerón Ingeniero Civil CICH4363

Máster en Administración de Proyectos Máster en Dirección Empresarial

Catedrático Facultad de Ingenierías Universidad Tecnológica Centroamericana (UNITEC)

Tegucigalpa M.D.C.; Honduras, C.A.



Contenido Capítulo I: Cálculo de Áreas Planas ......................................................................... 5 Capítulo II: Cálculo de Sólidos de Revolución ....................................................... 17

II.1.-) Método de los Discos y Arandelas ............................................................ 19

II.2.-) Método de los Cascarones Cilíndricos ...................................................... 23

II.3.-) Método de las Secciones Planas Conocidas ............................................. 47 Capítulo III: Longitud de Curva ............................................................................. 52 Capítulo IV: Integrales Impropias ......................................................................... 57

IV.1.-) Integrales con Integrandos no Acotados ................................................ 57

IV.2.-) Integrales con Intervalos de Integración de Longitud Infinita .............. 60



CapítuloI:CálculodeÁreasPlanas

Figura No.1A – Región limitada por f(x) & g(x) en [a,b]



Tomando como referencia la figura No.1A y 1B, tenemos una región limitada por las curvas y=f(x) e y=g(x), donde ambas son funciones continuas definidas en (a,b) con f(x)≥g(x) para cada x en (a,b). Para calcular su área se considera por separado las áreas limitadas por y=f(x) & y =g(x), motivo por el cual, el área limitada por dichas funciones en el intervalo presentado esta definido por:

ba

dxxgxfA

Y en el caso contrario, de acuerdo a los esquemas planteados en la figura No.1B, si las curvas que limitan la región son funciones de “y”, por ejemplo x=f(y), x=g(y) definidas en (c,d) con f(y)≥g(y), entonces el área de la región viene dada por:

dc

dyygyfA

Figura No.1C – Región limitada por f(y) & g(y) en [c,d]

Figura No.1B – Desglose de cálculo para región limitada por f(x) & g(x) en [a,b]



Básicamente el concepto de área entre curvas utilizando el apoyo de integrales definidas, se podría resumir de la siguiente forma: A continuación se presenta un resumen gráfico del proceso matemático relacionado con el cálculo de un área plana entre curvas;



Ejemplo No.1.1 Determinar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones

4x5

2x52y

192x

y2

24

1

2

b

a

u27235dx1

92x

52x5

2A

dxhA

xhdA

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejemplo No.1.2 Determinar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones

5xy

13xy

1x22xy

2

24

3

23

0

2

b

c 2c

a 1T

u349

3316dx1x22

x5xdx1x22x13

xA

dxhdxhA

xhdA

h

dx

h2h1




2xyxy2

21

22

d

c

u29dyyy2A

dyhA

yhdA

--------------------------------------------------------------------------------------------------

h

dy




23x;2x

xxseny

2

23

00

2

23

0

0

2

23

2

b

d 3d

c 2c

a 1T

u2211A

xcosxxsenxcosxxsenxcosxxsenA

xsenxcosxdxxcosxcosxxcosvdxdudxxsendvxu

dxxxsen

dxxxsen0dx0xxsendx0xxsendxxfA

dxhdxhdxhA

x;0x0arcsenx0xsen

0xsen;0x0xxsen

Figura No.5 – Región del Ejemplo 1.4

h1 h2

h3




2x;0xxcosyxseny

2T

2

45

45

4

40T

2

45

45

4

40T

b

d 3d

c 2c

a 1T

u24122212A

xcosxsenxsenxcosxcosxsenA

dxxsenxcosdxxcosxsendxxsenxcosA

dxhdxhdxhA

45x

4x1arctanx1xtan1

xcosxsen

xcosxsen


h1

h2 h3

dx

dx dx



Ejemplo No.1.6 Determinar el área de la región “R” limitada una elipse de semieje mayor a=3, semieje menor b=2 y centro en el origen.

22

0

2

0

2

0

22

0

2

3

0

23

0

2b

a

2

22

u849.182sen2112d2cos112dcos24dcos3cos8

21arcsen1sensen333x,eriorsuplímite

00arcsen0sensen300x,eriorinfitelimsen3xsi

iablevarlaaregresardebeseylímiteslosmantienensecontrariocaso,originaliablevarlaaregresarquetenernoparaegraciónintdelímitesloscambiarrecomiendaseiablevardecambiounhacerAl

dcos3dx

cosx911sen3x

dxx9118dxx9

1124dxh4A

.planteadaegralintla4pormosmultiplica,total

áreaelencontrarparayelipselade41undeáreaelestoconcalculando,3y0entreegrarlointe

yhdetípicorectánguloeltomarpodemosrsimplificapara,elipseladesimetríaladevistaEn*

x9112yresultadocomodando,"y"iablevarlapara

despejarnecesitase,verticalescostípisrectánguloconostrabajaremComo

14y

9x

brindadasticascaracterislasconelipseunadeEcuación

h=y h=2y

=y - (-y) =2y

+y

-y


h=-y




3xy

3,0Ppuntoelengentetanrectasu&3x4xy 2

2

2

2.1232.1

032

2.122.1

02

2

2.122.1

02

2

2.122.1

02b

c 2c

a 1

22

222

1111

u0667.1490667.0576.0A

x6x25x3

1x31dx6x5xdxxA

dx3x4x3xdx3x4x3x4A

dx3x4x3xdx3x4x3x4dxhdxhA

3,0P0x0x3x43x4x).3

8.1,2.1P59,5

6P56x06x503x3x43x3x4).2

1,2P2x02x0,3P3x03x

06x5x06x5x3x3x4x).1

curvasentrecortedePuntos

3x4y304x4yymxmxyxxmyy40'f4x2x'f

TangentectaRe


h1

h2

y=4x-3y=-x+3

y=-x2+4x-3




2expuntoelengentetanrectasuy;4y;0x;xlny


y = ln(x)

y = e-2x+1

P(e-4,-4)

P(e2,2)

P(e-4,-4)

Figura No.10 – Ampliación Ejemplo 1.9



2

e

e

e

e

22

e

0

22

e

e

e

e2e

02

e

e2e

02

22

4

22

222211

112

22

22

und6763.34806.7065.110916.0A

xxlnxx2x

ex52x

eA

egralintúltimaenpartesaplicardxxlndx1xedx5xeA

dxxln1xedx41xeA

genciatandepuntoeleseporque;exesfuncionesdoséstasentreunióndepuntoel1xexln).2

ex4xln).1


1xey21e

xyelneexeyymxmxy

xxmyypendientedefórmulaUtilizar;ee

1e'fx1x'fxlnxf

eln,ePenTangentectaRe

2

4

2

4

4

2

4

2

4

4

2

4

4



CapítuloII:CálculodeSólidosdeRevolución Sea f una función definida en el intervalo [a,b], recibe el nombre de sólido de revolución, el sólido generado al girar alrededor del eje X, la región limitada por la gráfica y=f(x), el eje X y las gráficas de x=a y x=b. El eje X es un eje de simetría de dicho sólido (ver figura No.12). Para determinar el volumen de ese tipo de sólidos, se seguirá un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el volumen de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.

Figura No.12 – Sólido de Revolución

Figura No.11 – Ejemplos de objetos cotidianos cuya elaboración parte de Sólidos de Revolución



Ahora, si se consideran dos funciones f y g continuas en el intervalo cerrado (a,b), tales que f(x)≥g(x) para x ϵ (a,b). Sea R la región del plano (ver figura No.13) limitada por las curvas con ecuaciones y=f(x), y=g(x) y las rectas con ecuaciones x=a, x=b. Se desea determinar el volumen V del sólido de revolución generado al girar la región R alrededor del eje X. El sólido generado se muestra en la figura No.14.

Figura No.13 – Región de giro

Figura No.14 – Sólido de revolución generado



II.1.‐)MétododelosDiscosyArandelas

Figura No.14 – Sólido generado por el Método de Discos

Figura No.15 – Sólido generado por el Método de Arandelas



Figura No.16 – Esquema típico de secuencia para calcular el volumen de una esfera

Figura No.17 – Introducción gráfico/conceptual del Método de Discos para trabajar con sólidos de revolución

Figura No.18 – Introducción gráfico/conceptual del Método de Arandelas para trabajar con sólidos de revolución



Método de los Discos para Sólidos de Revolución

Figura No.19 – Método de los Discos con eje de revolución horizontal (funciones

e integral en términos de “x”)

Figura No.20 – Método de los Discos con eje de revolución vertical (funciones e integral en términos

de “y”)



Método de las Arandelas para Sólidos de Revolución Suponga que una región está acotada por las curvas y=f(x) e y=g(x), que su proyección sobre el eje X es el intervalo a x b donde f(x) g(x). Dicha región girará alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de coordenadas X, para generar un sólido hueco (ver figura No.15) llamado sólido de revolución. La sección transversal del sólido correspondiente al intervalo (a,b) es una arandela o circulo, según sea el caso, cuya área es: 22 xrxRxA

Donde R(x) (radio mayor o exterior) y r(x) (radio menor o interior) son respectivamente las distancias de los puntos (x, f(x)) y (x, g(x)) al eje de rotación. El volumen del sólido viene dado por:

ba

22 dxxrxRV

De forma similar, si la región esta acotada en términos de y, el volumen del sólido generado es:

ba

22 dyyryRV

R

r

Figura No.21 – Método de las Arandelas para un eje de revolución horizontal (funciones e integral en términos de “x”)



II.2.‐)MétododelosCascaronesCilíndricos

Figura No.22 – Descripción Método de Cascarones Cilíndricos



Consideremos una región plana limitada por las curvas y=f(x), y=g(x) con f(x) g(x) para cada x ϵ (a,b) y supongamos que ésta gira alrededor de una recta paralela al eje Y. Tomemos una banda de ancho dx (ver figura No.22) dentro de la región y paralela al eje de giro, haciéndola girar alrededor del eje de revolución se genera una capa cilíndrica de radio promedio r(x), ancho dx y altura h(x)=f(x)-g(x). El diferencial de volumen de la capa cilíndrica es aproximadamente:

dxxhxr2dV

Donde r(x) es la distancia de la banda cilíndrica al eje de giro y h(x) es su altura. Integrando respecto de x con a x b se obtiene el volumen del sólido que genera la región cuando rota alrededor del eje de revolución:

ba

dxxhxr2V

De forma similar, si la región esta acotada en términos de y, el volumen del sólido generado es:

dc

dyyhyr2V

Figura No.23 – Método de Cascarones con eje de revolución vertical (funciones e integral en términos de “x”)

Figura No.24 – Método de Cascarones con eje de revolución horizontal (funciones e integral en términos de “y”)



Resumen Gráfico/Conceptual de los Métodos Estudiados para Cálculo de Volúmenes

Figura No.25 – Método de DISCOS con eje de rotación horizontal (integral en términos de “x”)

Figura No.26 – Método de ARANDELAS con eje de rotación horizontal (integral en términos de “x”)

Figura No.27 – Método de CASCARONES con eje de rotación vertical (integral en términos de “x”)



Ejemplo General No.2.1 (Método de Discos-Arandelas) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones

4yrevolucióndeeje;03yx;6x3xy 2 (Recomendable utilizar arandelas)

Figura No.28 – Área plana y sólido de revolución para

ejemplo 2.1

y=-4

-4

ri re x+y-3=0

y=-x2-3x+6



3

1

3

2345

1

32341

3

234

2223234

222

222

222

2

2

2

u5024,1

5024,1

10791,1

10257

x51x23x4x23x5

1

dx51x46x12x6xdxxAV

51x46x12x6x

xx1449100x30x10x30x9x3x10x3x

xx144910x3x10x3x

x710x3x

4x346x3xxA

1x;3x1x3x03x2x0

6x3xx30

x36x3x

cortedePuntos



Ejemplo General No.2.2 (Método de Cascarones Cilíndricos) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones

7yrevolucióndeeje;19y

25x

22 (Recomendable utilizar cascarones cilíndricos)


ejemplo 2.2

Importante: El método de cálculo utilizado es cascarones cilíndricos, el esquema 3D está hecho con arandelas porque el programa utilizado no posee la función de elegir método para calcular el sólido.

y=7

7 radio de

giro rg=7-y

y

x-x

x-(-x)=2x



32

3

3

23

2232

3

32

32

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

32

3

323

323

32

22222

und210/R

0y9113Cu3

22

9duu29

ydydu29ydy9

2du

y911u

dxy911y

und2102cos2sen22cos2sen2210

cossen210

2sen21210

d2cos12420

dcos3140

dcos3cos140

21arcsen1sensen33

21arcsen1sensen33

dcos3dx

cosy911sen3x

dyy911140

dyy911y20dyy9

11140dyy91110y72V

y7revolucióndeEje

y91110x2alturay9

115x9y

125x19y

25x




Xrevolucióndeeje;0x;xy;xy 3

3

1

0

73

1

0621

0

62

232

u598.0V21

47

13

1V

x71x3

1V

dxxxdxxAV

xx

0x0xxA

y=x y=x3

ri

re

y=0


ejemplo 2.3




xER;x5y;x41y 22

3

2

0

53

2

042

2

242

2

2

442

2222

u307.184V3

1766380502V

x163x3

10x252V

dxx1615x10252V

dxx1615x1025V

dxxAV

x161xx1025A

0x410x5xA


ejemplo 2.4

y=5-x2

y=1/4x2

ri

re




1yER;3y;xsec1y

3

30

30

2

3

3

2

3

3

2

22

u436.153342V

03342V

xtanx42V

dxxsec42V

dxxsec4V

dxxAV

xsec4xA

1xsec113xA


ejemplo 2.5

re

1

3 ri

y=3 y=1+sec(x)



Ejemplo General No.2.6 (REPASO sobre Método de Discos-Arandelas) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones

0yER).1.6.2;x2y;xy 2

32

0

222 und1564

dx0x0x2V

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1yER).2.6.2;x2y;xy 2

32

0

222 und15104

dx1x1x2V

re

y=2x

riy=x2

re

y=2x

ri

y=x2

-1 y=1

Figura No.33 – Área plana para el sólido de revolución, ejemplo 2.6.1




4yER).3.6.2;x2y;xy 2

32

0

222 und532dxx24x4V

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0xER).4.6.2;x2y;xy 2

34

0

22und

38

dy02y0yV

re

y=2x

ri

y=x2

4

y=4

re

y=2x

ri

y=x2





3xER).5.6.2;x2y;xy 2

34

0

22

und3

16dyy32y3V

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2xER).6.6.2;x2y;xy 2

34

0

22und8dy22

y2yV

re

y=2x

ri

y=x2

x=3

3

re

y=2x

ri y=x2

x=-2

-2






1yER;0y;0x;e,2Pengentetanrectasuyey 2x

2

2

12222xx21

0xx2

2

1

2222x1

0

22x

c

b 2b

a 1

22x

x

2222

22x

2222211

112xx

2

und947.431148.238322.20V

dx1exe1exee2edxe2eV

dx)1(exe)1(edx)1(0)1(eV

dxhdxhV

exeydearribaporestáey,2x1enademás;0ydearribaporestá

eycurvala1x0enporque,porcionesdosentrabajasevolumendeegralintLa

1xexe0exe).2

genciatandepuntoeleseporque;2xesfuncionesdoséstasentreunióndepuntoelexee).1


exeye2exeyymxmxy

xxmyypendientedefórmulaUtilizar;e2'fex'fexf

e,2PenTangentectaRe

y=ex

-1

h1

h2

y=e2x-e2

Figura No.39 – Área plana para el sólido de revolución, ejemplo 2.7




1xER;0y;0x;e,2Pengentetanrectasuyey 2x

2

2

122x1

0x

2

122x1

0x

c

b 22b

a 11

22x

x

2222

22x

2222211

112xx

2

und9512.30872.13079.17V

dx1xexee2dx1xe2V

dx1xexee2dx1x0e2V

dxrgh2dxrgh2V

exeydearribaporestáey,2x1enademás;0ydearribaporestá

eycurvala1x0enporque,porcionesdosentrabajasevolumendeegralintLa

1xexe0exe).2

genciatandepuntoeleseporque;2xesfuncionesdoséstasentreunióndepuntoelexee).1


exeye2exeyymxmxy

xxmyypendientedefórmulaUtilizar;e2'fex'fexf

e,2PenTangentectaRe

y=ex h1

h2

y=e2x-e2


-1

x

x

radio de giro (rg1) = x-(-1)

radio de giro (rg2) = x-(-1)




0xER;0y;1xxy 2

2

1

022

1

0

2

b

a

und151

V

dx1x2xx2V

dxx01xx2V

dxrgh2V

y=x(x-1)2

h

radio de giro (rg)=x

y=0

x=0




Ejemplo General No.2.10 (Método de Arandelas) (REFERENCIA EJERCICIO 1.7) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las siguientes funciones alrededor de la recta y = – 4

3xy


3

2

2.1

2222.1

0

222

22i

e

22i

e

2

2.12

i2

e2.1

02

i2

e

und75736v

dx1x4x7xdx1x4x1x4V

1x4x43x4x2r

7x43x2r

1x4x43x4x1r

1x443x41r

dx2r2rdx1r1rV


h1

h2

y=4x-3y=-x+3

y=-x2+4x-3

re1

ri1

re2

ri2



Ejemplo General No.2.11 (Método de Cascarones) (REFERENCIA EJERCICIO 1.7) Determinar el volumen del sólido creado al girar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las siguientes funciones alrededor de la recta x = – 4

3xy


3

2

2.122.1

02

22

22

2

2.1

2.1

0

und75824v

dx6x5x4x2dxx4x2V

6x5x3x4x3x2h

4x4x2rg

x3x4x3x41h

4x4x1rg

dx2h2rg2dx1h1rg2V


h1

h2

y=4x-3y=-x+3

y=-x2+4x-3

x

rg1

x=-4

rg2

x



Ejemplo General No.2.12

Esquemas Gráficos Detallados y Resumen Final de Casos Típicos Cálculo de Áreas Planas entre Curvas

Cálculo de Sólidos de Revolución → Arandelas y Cascarones Cilíndricos Ejercicio Resuelto No.2.12.1 Determinar el área de la región “R” limitada por las gráficas de las ecuaciones presentadas;

5xy

13xy

1x22xy

2

2

4

3

23

0

2

b

c 2c

a 1T

u349

3316A

dx1x22x5xdx1x22

x13xA

dxhdxhA

xhdA

h1

h2

dx

dx



Ejercicio Resuelto No.2.12.2 Determinar el volumen generado en la rotación del área limitada por las gráficas de las ecuaciones presentadas y alrededor de la recta y = 5

5xy

13xy

1x22xy

2

3

4

32

22

3

0

222

b

c22c

a22

T

u15988V

60673

201093V

dx5x51x22x5

dx13x51x22

x5V

dx2ri2redx1ri1reV

h1h2

re1

ri1

re2

ri2



Ejercicio Resuelto No.2.12.3 Determinar el volumen generado en la rotación del área limitada por las gráficas de las ecuaciones presentadas y alrededor de la recta y = -5

5xy

13xy

1x22xy

2

3

4

3

222

3

0

222

b

c22c

a22

T

u5404V

20309

201307V

dx51x22x55x

dx51x22x513

xV

dx2ri2redx1ri1reV

h1h2

re1 ri1

re2

ri2



Ejercicio Resuelto No.2.12.4 Determinar el volumen generado en la rotación del área limitada por las gráficas de las ecuaciones presentadas y alrededor de la recta x = 0

5xy

13xy

1x22xy

2

3

4

3

23

0

2

b

c 22c

a 11T

u392V

2410728

872V

dx1x22x5xx2dx1x22

x13xx2V

dxhrg2dxhrg2V

h1h2

rg2=x

x

x

rg1=x



Ejercicio Resuelto No.2.12.5 Determinar el volumen generado en la rotación del área limitada por las gráficas de las ecuaciones presentadas y alrededor de la recta x = 5

5xy

13xy

1x22xy

2

3

4

3

23

0

2

b

c 22c

a 11T

u3128V

245328

1532V

dx1x22x5xx52dx1x22

x13xx52V

dxhrg2dxhrg2V

h1h2

rg2=5-x

x

x

rg1=5-x



Ejercicio Resuelto No.2.12.6 Determinar el volumen generado en la rotación del área limitada por las gráficas de las ecuaciones presentadas y alrededor de la recta x = -2

5xy

13xy

1x22xy

2

3

4

3

23

0

2

b

c 22c

a 11T

u60V

85728

1832V

dx1x22x5x2x2dx1x22

x13x2x2V

dxhrg2dxhrg2V

h1h2

x

x

rg1=x-(-2)

rg2=x-(-2)



II.3.‐)MétododelasSeccionesPlanasConocidas Si se corta un sólido transversalmente con un plano perpendicular al eje X que pase por un punto x entre “a” y “b”, se obtiene un corte del sólido denominado sección transversal del sólido. Supongamos que el área de la sección es una función A(x) que varía continuamente con x, donde x ϵ (a,b). Así se tiene la siguiente definición: Sea un sólido que se proyecta en el eje X desde x=a hasta x=b. Si A(x), con a x b, es el área de la sección transversal del sólido correspondiente al punto x, entonces el volumen del sólido es:

ba

dxxAV

Figura No.44 – Esquema de un volumen y su sección transversal conocida

Figura No.45 – Esquema de un volumen y su sección transversal conocida



Ejemplo General No.2.3 Calcular el volumen del sólido de forma piramidal, cuya base es un triángulo rectángulo isósceles de cateto “a” y de sección en forma triangular semejante a la base, el sólido tiene altura “h”.

32

3332

2h

0

3222

2

h

022

2

2h

0 2

22h

02

2

h

0

u6ha

h31hh

h2a

y31hyyh

h2a

dyyhy2hh2a

dyh

yh2a

dyx21V

hyha

xha

yhx

semejantetriángulohastapirámidedebaseladesdealturay

pirámidedealturahsemejantetriángulodeladoxtriangularbasedeladoa:sea

x21xx2

1bh21isóscelestriánguloA

dy)y(AV

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Figura No.46 – Sólido y sección plana conocida para el ejemplo 2.3



Ejemplo General No.2.4 La base de un sólido es un triangulo rectángulo isósceles de lado “a”. La sección del sólido es un semicírculo cuyo plano que lo contiene es perpendicular a uno de los lados de este triángulo y la base.

3

2333a

0322

a

022a

02a

02

22

2

a

0

u12a

a31aa

4x3

1axxa4

dxxax2a4

dxxa4

dxy4V

xay0ax1y1a00amhipotenusacomosirvequectaRe

y42yrdiámetroes"yeje"dondesemicirculdelArea

dxosemicírculáreadx)x(AV


Figura No.48 – Plano XY donde se desplazan los semicírculos, la franja vertical sombreada representa un semicírculo viendo la figura No.47 desde arriba o en dirección al eje Z



Ejemplo General No.2.5 La base de un sólido es la región acotada por y = x2, y = 4; la secciones transversales son triángulos rectángulos isósceles cuya hipotenusa está en el plano XY, su plano es perpendicular al plano XY.

34

0

24

0

4

02

2

4

0

u82y

ydydyxV

º45deánguloelconricastrigonométrelacionestrabajarpuedeseoespecialteoremaconencontrada"h"altura

x2xxseríafórmulaladonde1.nofiguralaenrojocolordegruesalíneaconresaltadaciatandislareferenciacomotomandocalculada"b"base

xxx221bh2

1triánguloA

dytriánguloáready)y(AV


Figura No.50 – Triángulo rectángulo isósceles que representa la sección plana conocida

Figura No.49 – Plano XY donde se desplazan los triángulos, la línea horizontal resaltada representa un triángulo viendo la figura No.51 desde arriba o en dirección de eje Z

-x x

x-(-x)=2x



CapítuloIII:LongituddeCurva En matemáticas, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. Siguiendo el esquema de procedimientos para determinar áreas de regiones planas y volúmenes de sólidos de revolución, se hacen infinitas particiones de la curva y se establece una suma infinita. La longitud del diferencial ds, está dada por:

22 dydxds 1) Si y=f(x), entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma:

dxx'f1dxdxdy

1dxdx

dydxdx

dxdydx

ds 22

2

2222

Finalmente; ba

2dxx'f1L

2) Si x=f(y), entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma:

dyy'f1dxdydx

1dydy

dydxdy

dydydx

ds 22

2

2222

Finalmente; dc

2dyy'f1L

Figura No.52 – Esquema del fragmento de una curva y su partición diferencial



Ejemplo No.3.1

.l.u254.52401261

807

631

101

61

801

632x10

1x61

dxx103

x65

dxx103

x65

L

x103

x65

x1009

21x

3625

x1009

21x

3625

1dxdy

1

x103x6

5dxdy

x101

6xy

2x1;x10

16

xy

2

1

35

2

1442

1

244

244

88

882

443

5

35

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejemplo No.3.2

.l.u667.103

323

642

1

38242

11213232273

22

1y2y32

21

dyy21

y21

dyy21

y21

L

y21

y21

y41

21y

41

y41

21y

41

1

y21y2

11dydx

1

y21y2

1dydx

yy31x

9y1;3yy31x

9

1

21

23

9

12

12

19

1

22

12

1

22

12

11

1

22

12

12

21

21

21

23



Ejemplo No.3.3

.l.u2x2dxx

1dx

x1

L

x1

xx1

1x

x11

dxdy

1

xx1

xx1

x1x

1x1x

x1x1x2

x12x1x2

x22x1x2

1x1x2

x21

x1x21

xx2

x21dxdy

xarcsenxxy

1x0;xarcsenxxy

10

1

0

1

0

22

211

2

2

2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Ejemplo No.3.4

.l.u0035.2

1sec1sec

ln21sec

1w1w

ln21w

1wln211wln2

1wdw1w2

11w2

1dw

21B

21A

1BA0BA

1w1wBABAw

1w1w1wB1wA

1wB

1wA

1w1wdw

dwdw1w1w

11

1

1w0w

1w1w1

11w

11

11w0w0w0wdw

1ww

dtansecdwsecw

d1sectansecsec

dtan

tansecsec

dtantan

tansec

dtan

secdsec

tansec

dsecdu

80.69eu451u

uarctantanusecu1tanu

duu

u1

ududx

eu1x1u0x

euulnxeudxe1L

e1e1dxdy

1edxdy

ey

1x0;ey

80.69

45

2

2

22

2

2

80.69

45 2

280.69

45 2

2

80.69

45

380.69

45

380.69

452

2

2

e

1

2

xx1

0x2

x22x2

xx

x



CapítuloIV:IntegralesImpropias Anteriormente se afirmó que si la función f(x) es continua y positiva en el intervalo [a,b] con a y b finitos, entonces:

ba

dxxf

Representa el área bajo la curva, usando el Teorema Fundamental del Cálculo para poder obtener su valor numérico. Sin embargo, en muchas aplicaciones, físicas o matemáticas, se formulan integrales donde no se cumplen ciertas condiciones expuestas anteriormente. A continuación se describen algunas de ellas: a) El integrando f(x) es tal que

xflim

rx con r ϵ [a,b], tomando límite lateral de ser el caso.

b) El intervalo de integración no es finito, por ejemplo:

1. [a, +∞) 2. (-∞,a] 3. (-∞, ∞

Las integrales con alguna de las condiciones anteriores se conocen con el nombre de Integrales Impropias. En general, la técnica es transformar la integral impropia en un límite con una integral definida sobre un intervalo finito donde se pueda aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo. IV.1.‐)IntegralesconIntegrandosnoAcotados Caso No.1 Si f(x) es continua en [a,b) y

xflim

bx , entonces

rabr

ba

dxxflimdxxf

Figura No.53 – Figura del Caso No.1 sobre Integrales con Integrados no Acotados



Caso No.2 Si f(x) es continua en (a,b] y

xflim

ax , entonces

brar

ba

dxxflimdxxf

Caso No.3 Si f(x) es continua en [a,b] excepto en r ϵ (a,b), donde se tiene

xflim

rx , entonces

br

ra

ba

dxxfdxxfdxxf

En los casos 1 y 2, si los límites existen y son finitos se dirá que la integral impropia de la izquierda converge, en caso contrario divergen. En el caso 3, si las integrales impropias de la derecha convergen ambas, se dirá que la integral impropia de la izquierda converge; si alguna de las integrales impropias de la derecha diverge se dirá que la integral impropia de la izquierda diverge. Ejemplo No.4.1 Calcule la siguiente integral impropia

econvergent333

w1333lim3w13limx13limx13lim

x1

dxlim

x1

dxlim

x1

dx

x1

dx

izquierdalaporcomoderechalaportotan,1xaacercarnosdebemosporquepartesdosenegralintladividirdebemosqueasí

egrandointelaminerdetinporqueprohibidovalorunes1x,casoesteen;x1

dx

3

33

1w

3

1ww

43

1w0

w3

1w

4

w3

21w

w

03

21w

4

13

2

1

03

2

4

03

2

Figura No.54 – Figura del Caso No.2 sobre Integrales con Integrados no Acotados



Ejemplo No.4.2 Calcule la siguiente integral impropia

divergente202lim

0arcsenwarcsenlimxarcsenlimx1

dxlim

x1

dx

1w

1w0

w

1w

w

0 21w

1

0 2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ejemplo No.4.3 Calcule la siguiente integral impropia

divergenteestotalegralintla,divergenteesIComo

divergente04

ln1ln41

1151

ln1u5u

lnlim41

1x5x

lnlim41

C1x5x

ln41C1xln4

15xln41dx

1x4

1

5x4

1dx

1x5x1

41B4

1A

1B5A0BA

1x5xB5ABAx

1x5xB5BxAAx

1x5x5xB1xA

1xB

5xA

1x5x1

dx1x5x

1

dx1x5x

1limdx

1x5x1

dx1x5x

1dx

1x5x1

dx1x5x

1dx

5x6x1

1

1u

u

11u

u

01u

1

0

3

1

1

0

3

0

3

0 2




)divergemte(e1e1

ln21

02

ln21

e1e1

ln21

1111

ln21

e1e1

ln21

e1e1

ln21

e1e1

ln21

e1e1

ln21

lime1e1

ln21

lim

e1e1

ln21

limee

dxlim

eedx

:Entonces

dxedu

eu

Ce1e1

ln21

Cu1u1

ln21

1udu

dx1e

e

dx1e

eee

eedx

eedx

0

0

w

w

0w1

1

0w

w

1

x

x

0w

1

w xx0w

1

0 xx

x

x

x

x

2x2

x

1

0 x2

x1

0 x

x

xx

1

0 xx

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ IV.2.‐)IntegralesconIntervalosdeIntegracióndeLongitudInfinita Caso No.1

Si f(x) es continua en [a,+∞) entonces:

wawa

dxxflimdxxf

Caso No.2

Si f(x) es continua en (-∞, a] entonces:

aww

a dxxflimdxxf

Caso No.3

Si f(x) es continua en (-∞, +∞] entonces:

a

a dxxfdxxfdxxf

En los casos 1 y 2, si los límites existen y son finitos se dirá que la integral impropia de la izquierda converge, en caso contrario diverge. En el caso 3, si las integrales impropias de la derecha convergen ambas, se dirá que la integral impropia de la izquierda converge, en caso contrario diverge.




econvergent088

20arctan

2warctan

lim2

warctan2

0arctanlim

2xarctan

lim2

xarctanlim

dx1x

xarctanlimdx

1x

xarctanlim

dx1x

xarctandx

1x

xarctan

dx1x

xarctan

22

22

w

22

w

0

w2

ww

02

w

w

0 2w

0

w 2w

0 2

0

2

2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejemplo No.4.6 Calcule la siguiente integral impropia

e1

e1lim

0e1

limH'Lew

limwelimlímitesdesolución

econvergente1

e10e

1limwelim

ee11limeew1lim

eex1lim

eex1dxeex1Ievdxdu

dxedvx1udxex1

dxex1limdxex1

w

wwww

w

w

w

w

w

11

w

ww

w

1

wxx

w

xxxxx

xx

w

1x

w1x

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Ejercicios Misceláneos de Repaso para los diferentes casos de Integrales Impropias Ejemplo No.4.7

econvergent;1eI

1e0101ucosulimusen

ulim

usenucosu

limu

usenucos

limH'Lu

usenlnlimI.F

u1

usenlnlim

I.F0usenlnulimeelimI

eelimI

elimelimeelimelim

dxxsenlnxcotxxsenlim

Ceedwe

dxxcotxxsenlndw'xsenlnxxsenln'xdw

xsenlnxw

dwedxxsenlnxcotxe

dxxsenlnxcotxxsen

eA

xsenlnxAlnxsenlnAln

xsenA

dxxsenlnxcotxxsen

dxxsenlnxcotxxsenlimI

totanlopor,0tipodel.I.Funaproduce)egraciónintdeeriorinfpunto(0x

dxxsenlnxcotxxsen).1

2722.0

0

0u0u

2

0u20u10u0u

0u

usenlnulimusenlnu

0uB

2722.04senln40u

A

usenlnu

0u4senln4

0u

usenlnu4senln40u

4u

xsenlnx

0u

4u

x

0u

xsenlnxww

wxsenlnx

x

xsenlnx

x

x

x

4u

x

0u

0

40

x

0u



Ejemplo No.4.8

econvergent;612e2I

1e0ulimu

ulim

u21

u1

lim21H'L

u

ulnlim2

1I.F

u1

ulnlim2

1

I.F0ulnulim21eelimI

eelimI

elim2elim2eelim2elim2

dx1xlnxlim

Ce2Ce2dwe2dxx

1x2xln

e

dxx

1x2xln

dw2dxxx

x2xln

21dw

'xlnxxln'x21dw

xln21xw

dxx

1x2xln

e

dx1xln21

x1

e

dx1xln21

x1

e

dx1xlnx

xln21xlnxln

x1

eeA

xlnxAln

xlnAln

xA

x1

xxxx

cosebraílgaTrabajos

dx1xlnx

dx1xlnxlimdx1xlnx

2ln2

0

0u

23

0u230u2

10u0u

0u

uln21ulimuln2

1u

0uB

2ln24ln214

0uA

uln21u

0u

4ln214

0u

uln21u4ln2

14

0u

4

u

xln21x

0u

4

u

1x

0u

xln21xwwxln2

1x

xln21x

xln21x

xln21x

1x

21

xln21xxln2

1x

x

x

x1x1x

1x

4

u

1x

0u

4

0

1x

0u




econvergent4222042

1arctan2warctan2limwarctan21arctan2lim

xarctan2limxarctan2lim

1xxdx

lim1xx

dxlim

x2dx

du

xu

Cxarctan2Cuarctan21u

du2dx

1xxdx

1xxdx

1xxdx

1xxdx

w0w

1

w

ww

1

0w

w

1w

1

w0w

2

1

1

00

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bibliografía Utilizada en la Conformación Teórica y Selección/Solución de los Ejercicios Planteados 1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación. 2. Sánchez, G.; Castro, J. (2001). Cálculo Integral (Ejercicios y Problemas), 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios

Superiores de Monterrey (ITESM). México. Thomson Editores 3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores. 4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana. 5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning Editores. 6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación. 7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación. 8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de Chile.

Santiago de Chile. 11. Carrasco, P.; Torres, G. (2008). Matemáticas IV – Cálculo Integral, 1ª ed. México. Cengage Learning Editores. 12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República Bolivariana de

Venezuela. 13. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José Antonio

Anzoátegui”. República Bolivariana de Venezuela. 14. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001. Santiago de

Chile, Chile. 15. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios

Superiores de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores. JCLZ1209® D.R.2015

documento elaborado por: julio césar lópez...

Documents