2da guía de estudio: límites y continuidad límites...

Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905 2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 1erParcial – 2daGuíaEstudio Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

SOLUCIONARIO 2da Guía Estudio – Resolución de Límites y Continuidad de Funciones Página 1 de 22

2da Guía de Estudio: Límites y Continuidad

Límites: Aplicación de Propiedades y Herramientas Continuidad: Límites Laterales y Funciones por Partes

(Guía Complementaria No.2 – 1er Parcial) (SOLUCIONARIO v2.0)

Comentarios Generales Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que posiblemente serán evaluados en el primer examen parcial, además, se establece que en ningún momento ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar especulaciones y conjeturas erróneas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I Diferencial, dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de Cálculo y guías de universidades extranjeras, que a criterio del catedrático, genera un valor agregado en el conocimiento de los futuros profesionales de la ingeniería. Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo. Instrucciones Específicas: Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá cumplir las siguientes condiciones: a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la hoja. b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los demás

elementos que apliquen según sea el caso). c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía. d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con su

respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será: “X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.

e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual.



A.-) En los problemas del 1 al 9, determine en caso de existir, los valores de las incógnitas tal que f(x) sea continua en R. 1.-)

914b

187a

0ba407b3a6

:siguienteecuacionesdesistemaelresuelvese

2.Noecuación0ba40b211b3a4

b211b3a4

totanlopor;xflimxflimsí,1xencontinuaserpuede)x(f

b21b2xlim

1b3a41b31a41b3ax4lim

xflim).2

1xenanálisis

1.Noecuación07b3a601b3a8a26

1b3a8a26


1b3a81b32a41b3ax4lim

a26a223a2x3lim

xflim).2

2xenanálisis

1xsib2x1x2si1b3ax4

2xsia2x3)x(f

1x1x

1x

1x

1x

2x2x

2x

2x

2x



2.-)

21p

totanlopor;xflim0fanalizadopuntoelencontinuaseaxfquepara).3

21

1x11

lim1x1x

xlim

1x1x1x1

lim1x11x1

x1x1

lim

.I.F00

x1x1

lim).2

p0f).1

0xenanálisis

0xsip

0xsix

1x1)x(f

0x

0x0x0x0x

0x



3.-)

1b1a

0ba0ba2


2.Noecuación0ba


02cosxcoslim

bab1ab2senabsenxalim

xflim).2

2xenanálisis

1.Noecuación0ba2ba2


bab1ab2senabsenxalim

2122sen2senx2lim

xflim).2

2xenanálisis

2xsixcos

2x2sibsenxa

2xsisenx2

)x(f

2x2x

2x

2x

2x

2x2x

2x

2x

2x



4.-)

521b

53a

03b3a1603ba2


2.Noecuación03b3a160b3b4a16

b3b4a16


bblim

3b4a1634b4a3bxaxlim

xflim).2

4xenanálisis

1.Noecuación03ba203baa

3baa


3ba31b1a3bxaxlim

a1aaxlim

xflim).2

1xenanálisis

4xsib4x1si3bxax

1xsiax

)x(f

4x4x

4x

22

4x

4x

1x1x

22

1x

1x

1x

2



5.-)

379btenemos,a3becuaciónlaendosustituyeny

373

a

a3bdosustituyen31a34

a

a3b3ab

&31b4

a

totanlopor;3xflimxflimsí,0xencontinuaserpuede)x(f).3

ab

ab

1ab

limx

senxlim

ab

limx

senxlim

ab

limx

senxlim

axxbsen

limax

xcos1blim

.I.F00

0a

0cos1bax

xcos1blim).2.2

1b4a

1b40ba0

1b4bxax

lim).1.2

xflim).2

30f).1

0xenanálisis

0xsi1b4bx

ax

0xsi3

0xsiax

xcos1b

)x(f

0x0x

2

0x

2

0x0x

2

0x

0x2

2

0x2

2

0x2

2

0x

2

2

2

2

0x

22

0x

0x

2

2

2



6.-)

3

311

222

2

2x

22

2

2x22

2

2x2

2

2

2

2x

2

2

2x

2

2x

22

2

2x22

2

2x2

2

2

2

2x

2

2

2x

2

2

2

101b

b10

31blog3

1u

01u3

10bb10

1blog1u01u

01u31u01u2u360661u3

1u2106

1u31u2

1

bloguiablevardecambiounhacemos61blog3

1blog21

totanlopor;xflim2f2xencontinuaseaxfquepara).3

61

35x4x

4xlim

35x4x

95xlim

35x

35x

4x

35xlim

.I.F00

4x

35xlim).2

blog31

blog21

2f).1

2xenanálisis

65,6a2

1arcsena21)a(sen6

1)a(sen31

totanlopor;xflim2f2xencontinuaseaxfquepara).3

61

35x4x

4xlim

35x4x

95xlim

35x

35x

4x

35xlim

.I.F00

4x

35xlim).2

)a(sen31

2f).1

2xenanálisis

2xsiblog31

blog21

2,2Rxsi4x

35x

2xsi)a(sen31

)x(f



7.-)

21a

03a603a8a26

3a8a26


3a832a43ax4lim

a26a223a2x3lim

2xenanálisis

1x2si3ax42xsia2x3

)x(fSea

2x2x

2x

2x

--------------------------------------------------------------------------------------------------- 8.-)

61a

totanlopor;xflim0fanalizadopuntoelencontinuaseaxfquepara).3

61

111

131

1xcos1

limx

xsenlim

31

1xcos1

limx

xsenlim

31

1xcosxxsen

lim31

1xcosxxcos1

lim31

1xcosx1xcos

lim31

1xcos1xcos

x31xcos

lim

.I.F00

x31xcos

lim).2

a0f).1

0xenanálisis

0xsia

0xsix3

1xcos)x(f

0x

2

0x

2

0x0x2

2

0x

2

2

0x2

2

0x2

2

0x20x

20x

2



9.-)

1cxflim1fentonces,continuaesxfsi).3

0bb11totanlopor;xflimxflimsí,1xencontinuaserpuede)x(f

b1bxlim1x

bx1xlim

1x1xb1xx

lim

1xbbxxx

lim1x

bxbxxlim

1xbx1bx

lim

00

1xbx1bx

lim

121

1112x

1xxlim

1x2x1xx1x

lim2xx

1xlim

00

2xx1x

lim

xflim).2

c1f).1

1xenanálisis

21atotanlopor;xflimxflimsí,0xencontinuaserpuede)x(f

21

20010

2xx1x

lim

a1aax

)ax(senlima

xa)ax(sena

limx

)ax(senlim

0flim).2

21

20010

0f).1

0xenanálisis

1xsi1x

bx1bx

1xsic

1x0si2xx

1x

0xsix

)ax(sen

)x(f

1x

1x1x

1x1x1x

2

1x

2

1x

2

1x

2

1x

22

1x

2

1x2

3

1x

2

3

1x

1x

0x0x

2

3

2

3

0x

0x0x0x

0x

2

3

2

2

3



B.-) En los problemas del 10 al 11, analice la continuidad de f(x) en el(los) punto(s) que Ud. considere apropiado de acuerdo al comportamiento de la misma. 10.-)

21valeyexistexflimtotanlopor;2

1xflimxflimquedado

21

23

31

11111

31

1x1xx

lim31

1x1x1xx1x

lim31

1x1x

lim31

00

1x31x

lim

21

42

31212

11

3x2x2

1xlim

3x2x21x

1x1xlim

3x2x21x

1xlim

3x2x21x

3x2x2lim

3x2x2

3x2x21x

3x2x2lim

00

1x3x2x2

lim

xflim).2

211f).1

1xenanálisis

1xsi1x31x

1xsi21

1xsi1x

3x2x2

)x(f

1x1x1x

22

1x

2

1x2

3

1x

2

3

1x

22221x

221x22

2

1x

22

22

1x22

2222

1x

22

1x

1x

2

3

22



11.-)

4valeyexistexflimtotanlopor;4xflimxflimquedado

4313xlim1x2x

2x3x1xlim

1x2x6xx1x

lim

00

2x3x6x7x

lim

4311

1111

3x11

lim1xx

1lim

3x11

lim1xx1x

1xlim

3x11

lim1xx

1xx1x1x

lim

00

3x11

1x1x

lim

xflim).2

existeno311

00

3111

1111

1f).1

1xenanálisis

2xsi4x32xsi6

2x1si2x3x6x7x

1xsi3x11

1x1x

)x(f

1x1x1x

1x1x

2

1x

2

3

1x

1x3231x

1x3231x1x323

3233

1x

3

1x

1x

3

2

3

3



.existenoxflimtotanlopor;xflimxflimquedado

104234x3lim

5323xlim1x2x

2x3x1xlim

1x2x6xx1x

lim

00

2x3x6x7x

lim

xflim).2

62f).1

2xenanálisis

2xsi4x32xsi6

2x1si2x3x6x7x

1xsi3x11

1x1x

)x(f

2x2x2x

2x

2x2x

2

2x

2

3

2x

2x

2

3

3



C.-) En los problemas del 12 al 30 encuentre el límite indicado o establezca que no existe. (En el procedimiento, necesitará aplicar conceptos de algebra y/o trigonometría). 12.-)

41

221

1

1xcos1xcos1

limx

xsenlim

1xcos1xcos1

limx

xsenlim

1xcos1xcosxxsen

lim1xcos1xcosx

xcos1lim

1xcos1xcosx1xcos

lim1xcos1xcos

1xcosx1xcos

lim1xcos1xcos

x

1xcoslim

.I.F00

0

10cos

x

1xcoslim

2

0x

2

0x0x2

2

0x

2

2

0x2

2

0x

2

2

0x20x20x

220x

--------------------------------------------------------------------------------------------------- 13.-)

24sen4cosxsenxcoslim

xcosxsenxsenxcosxcosxsen

lim

xcosxsenxsenxcosxsenxcos

limxcosxsenxsenxcos

limxcosxsen

x2coslim

.I.F00

4cos4sen42cos

xcosxsenx2cos

lim

4x4x

4x

22

4x4x

4x



14.-)

6

1111

12

41

2x32x31x21x2

1lim13x4lim

41

2x32x31x21x2

1lim

x1413x4x1

lim

2x32x31x21x2

1lim

4x413x4x1

lim

2x32x31x21x2

1lim

13x413x4x1

lim

2x32x31x21x2

1lim

13x413x4

13x4x1

lim

2x32x31x21x2

1lim

13x4x1

lim

2x32x31x21x213x4

2x31x2lim

2x32x31x21x2

2x32x31x21x213x4

2x31x2lim

**babababa**

.I.F00

1314213112

13x42x31x2

lim

2333231x1x

2333231x1x

2333231x1x

2333231x1x

2333231x1x

2333231x1x

2333231x

233323

23332333

1x

2233

3333

1x



15.-)

124162164x2xlim

2x

4x2x2xlim

**babababa**

2x8x

lim2x8x

lim2x

8xlim

2x8xx

lim2x

8xxlim

.I.F00

21681616

2x8xx

lim

424424

16x4

4244

16x

2233

4

34

16x4

4 3

16x4

21

23

16x4

21

16x416x

4416x

--------------------------------------------------------------------------------------------------- 16.-)

25

0100105

41651

105

x41

x6

x51

x105

lim

xx

41xx

6x

51x

x10x5

lim

x41x

x6

x51x

10x5lim

x41x

x6

x51x

10x5lim

x41x

x6

x51x

10x5lim

x41x

x6

x51x

10x5lim

4x6x5x

4x6x5xlim

4x6x5x

4x6x5xlim

4x6x5x

4x6x5x4x6x5xlim2x2x3x2xlim

2x2x3x2xlim2x3x2xlim

2x3x2xlim

22

22x

22x

22x

22x

22

22x

22

22x

22

22

x22

22

x

22

2222

xx

xx

x



17.-)

33

031

133

uucos1

lim31

uusen

lim33

u3ucos1

limu3

usen3lim

u3ucosusen31

limu3

21ucos2

3usen21lim

21

6sen

23

6cos

22u36senucos6cosusen21

lim26u36usen21

lim

0uobtenerpara6xuenssustituimoentonces;6xsi

6ux6xusea

ricotrigonométiablevardecambio

.I.F00

2636sen21

2x3

xsen21lim

0u0u0u0u

0u0u

0u0u

6x

--------------------------------------------------------------------------------------------------- 18.-)

3

41111111

1uu1u1u

lim

1uu1u1u1u1u

lim1uu1u

1u1ulim

1u1u

lim1u

1ulim

1u

1ulim

1uobtenerparaxuenssustituimoentonces,1xsi

uxux

raíceslasinarlimepara4y3entredivisiblenúmeromenoreleligese;iablevardecambio*

1x1x

lim

.I.F00

1111

1x1x

lim

2

2

2

2

1u

2

2

1u2

22

1u3

4

1u412

312

1u4 12

3 12

1u

12

1212

4

3

1x

4

3

4

3

1x



19.-)

1

33

xx121

xx12x

limxx1x12xx1

limxx1x1

1x2xlim

xx1x12xx

lim

xx1x13xx1

limxx1x1

3x1

1lim

x13

x11

lim

01

01

113

111

x13

x11

lim

2

21x21x21x2

2

1x

2

2

1x21x31x

331x

--------------------------------------------------------------------------------------------------- 20.-)

212u

usenlim2

u

usen22

22

lim

u

usen22usen2

2lim

u

ucos22usen2

2usen22ucos2

2lim

u

ucos22

22usen2

2usen22ucos

lim

22

4sen

22

4cos

u

ucos4sen4cosusen4senusen4cosucoslim

u4usen4ucos

lim

0uobtenerpara4xuenssustituimoentonces;4xsi

4ux4xusea

.I.F00

44

4sen4cos

4x

xsenxcoslim

0u0u

0u0u

0u

0u

0u

4x



21.-)

22

4cos

1xcos

1lim

xcosxsenxcosxcosxsen

limxcosxsenxcos

xsenxcoslim

xcosxsenxcos

xsenxcos

limxcosxsenxcos

xsen1lim

xcosxsenxtan1

lim

.I.F00

4cos4sen4tan1

xcosxsenxtan1

lim

4x4x4x

4x4x4x

4x

---------------------------------------------------------------------------------------------------

22.-)

12814132x4

x4senlim4

x2x2tan

lim2

x4x4sen

lim4x2

x2tanlim2

x4x4sen

lim4x2

x2tan2lim

x4x4sen4

limx

x2tanlim

xx4sen

limx

x2tanlim

xx4senx2tan

lim

.I.F00

0

04sen02tanx

x4senx2tanlim

5

0x

5

0x

5

0x

5

0x0x

5

0x

0x

5

0x0x5

5

0x6

5

0x

6

5

6

5

0x

--------------------------------------------------------------------------------------------------- 23.-)

9

42712

99912

93633363

93

9x6x3x6x

9xlim

9x6x3x6x3x

3x9xlim

9x6x3x6x3x

27x6xlim

9x6x3x6x

9x6x3x6x3x

3x6xlim

**babababa**

.I.F00

333363

3x3x6x

lim

3 22

3 2

3 22

3 23x3 22

3 23x

3 22

3 2

2

3x3 22

3 2

3 22

3 23 2

3x

2233

3 23 2

3x



24.-)

1011

2

211

2

x211

2lim

x211x

x2lim

x21xx

x2lim

x21xx

x2lim

x21xx

x2lim

x21xx

x2lim

x21xx

x2lim

x2xx

x2xxlim

x2xx

x2xxx2xxlim

.I.Fx2xxlim

xxx

xx2x

2x2

22

x2

22

x

2

x

--------------------------------------------------------------------------------------------------- 25.-)

32

111

11uu1

1ulim

uu1u11uu1

limuu1u1

1u1ulim

u11u

limu1

1ulim

u1

1ulim

1uobtenerparay1uenssustituimoentonces;0ysi

1uyy1usea

2y3entredivisibleonenteexpconpolinómicoiablevardecambio

y111y1

lim

.I.F00

011101

y111y1

lim

221u

21u21u3

2

1u26

36

1u6

3 6

1u

6

66

3

0y

33

0y



26.-)

acos0asen1acosu

ucos1limasen

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Bibliografía Utilizada en la Selección/Solución de los Ejercicios Propuestos en ésta Guía de Estudio 1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación. 2. López, I.; Wisniewski, P. (2006). Cálculo I Diferencial de una Variable, 1ª ed. México. Thomson Editores 3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores. 4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana. 5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning

Editores. 6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación. 7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación. 8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas.

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2da guía de estudio: límites y continuidad límites...

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