docimas de hipotesis

DOCIMACIA DE HIPTESIS ESTADSTICAS

PAGE 11Prof. Paola Burdiles G

DOCIMAS DE HIPTESIS ESTADSTICAS.

Con frecuencia, los problemas a los que se enfrenta el cientfico o ingeniero no se refieren slo a la estimacin de un parmetro poblacional, como en el caso de la estimacin por intervalo, sino por el contrario, a la formulacin de un procedimiento de decisin basado en datos que pueda conducir una conclusin o decisin.

Habitualmente en los procesos, puede ocurrir que interese determinar si un mtodo nuevo es factible o no, por ejemplo puede ocurrir que un mtodo nuevo para sellar ampolletas aumenta la vida de estas.Utilizando este ejemplo, supongamos que la vida media de las ampolletas fabricadas por medio de un proceso conocido es de 1400 horas. Se desea docimar un nuevo procedimiento para la fabricacin de ampolletas. En este caso, el modelo estadstico es el siguiente: se trata de dos poblaciones de ampolletas, la constituida por las fabricadas utilizando el proceso conocido y la constituida por las correspondientes al proceso que se propone. Sabemos (en virtud de numerosas investigaciones anteriormente efectuadas) que la media de la primera poblacin es aproximadamente 1400 horas. Se desea averiguar si la media de la segunda poblacin es superior o inferior a 1400 horas. Tradicionalmente, para resolver este problema, se establece la hiptesis de que una media es mayor que la otra. Basndose en una muestra de las poblaciones, se aceptar o rechazar la hiptesis. Naturalmente, se confa en que el nuevo proceso es mejor y que la hiptesis ser rechazada.

Para docimar la hiptesis se fabrica cierto nmero de ampolletas mediante el nuevo procedimiento, midiendo despus su duracin.Supongamos que la media de esta muestra de observaciones es de 1550 horas. Esto parece indicar que el nuevo proceso es mejor; pero supongamos que la estimacin de la desviacin estndar de la media es, igual a 125 , . Por tanto, el intervalo de confianza del 95% para la media de la segunda poblacin (suponiendo la poblacin con distribucin normal), es aproximadamente de 1300 a 1800 horas. La media muestral 1550 podra proceder fcilmente de una poblacin cuya media fuese 1400. No tenemos, pues, motivos suficientes para rechazar la hiptesis con gran confianza y afirmar la superioridad del nuevo proceso de fabricacin.

Se ve, que la docimasia de hiptesis est relacionada ntimamente con el problema de la estimacin.

El planteamiento formal de una hiptesis frecuentemente es influido por la estructura de la probabilidad de una conclusin equivocada. Si el cientfico se interesa en respaldar con fuerza un argumento, espera llegar al argumento en la forma de rechazo de una hiptesis. Por ejemplo, si un investigador mdico desea mostrar evidencia contundente a favor del argumento de que tomar caf aumenta el riesgo de cncer, la hiptesis a probar deber ser de la forma no hay aumento en el riesgo de cncer, debido a la ingesta de caf. Como resultado, el argumento se alcanza va un rechazo. De la misma manera, para respaldar la afirmacin de que un tipo de medidor es ms preciso que otro, el ingeniero prueba la hiptesis de que no hay diferencia en la exactitud de dos tipos de medidores.

En base a lo anterior, se hace necesario plantear que La aceptacin de una hiptesis implica tan slo que los datos no proporcionan evidencia suficiente para refutarla. Por otro lado, el rechazo implica que la evidencia de la muestra la refuta. Puesto de otra manera, el rechazo significa que hay una pequea probabilidad de obtener la informacin muestral observada cuando, de hecho, la hiptesis es verdadera. CONCEPTOS IMPORTANTES

Una hiptesis estadstica es una afirmacin o conjetura acerca de los parmetros de la distribucin de probabilidades de una poblacin. Si la hiptesis estadstica especifica completamente la distribucin, entonces ella se llama Hiptesis simple, de otra manera se llama Hiptesis compuesta.

Una prueba de hiptesis estadstica es una regla o procedimiento que permite decidir el rechazo de la hiptesis Ho. Existen varias formas de obtener estos procedimientos, por lo que nuestro inters se centrar en obtener lo mejor de ellos para una hiptesis dada.

Consideradas desde el punto de vista tradicional, todas las pruebas de hiptesis trabajan en base a ciertos principios que se pueden resumir en los siguientes elementos, todos ellos indispensables en la construccin del test o prueba:

a) Hiptesis nula, que denotaremos por H0, es la hiptesis que va a ser probada. Es la hiptesis que asume el problema. b) Hiptesis Alternativa (H1), es la hiptesis que contrapone a Ho, tambin se conoce como hiptesis de trabajo.c) Estadstico de Prueba, es lo mismo que un estimador, es una funcin de la muestra. Interesa que contenga el mximo de informacin sobre la hiptesis nula planteada ya que, en base a la informacin contenida en esta funcin, se tomar la decisin respecto de la aceptacin o rechazo de la hiptesis, Ho, planteada.

d) Tipos de test

Para docimar una hiptesis, es necesario cotejarla con alguna hiptesis alternativa, la que nos permitir hacer la afirmacin correspondiente. Para ello la hiptesis alternativa puede ser bilateral o unilateral, tanto por la derecha como por la izquierda del valor crtico de tabla.

De esta forma tendramos lo siguiente:

Las regiones achuradas en todos los grficos representa la regin crtica de tamao (.e) Regin Crtica, tambin llamada Zona de Rechazo, define los valores del estadstico de prueba para los cuales la informacin muestral contradice la hiptesis nula. Estos valores nos permitirn adoptar una regla de decisin consistente.

De esa manera, como una regla de decisin, si para una muestra particular el estadstico de prueba (valor calculado) cae dentro de la regin crtica, rechazaremos la hiptesis nula Ho a favor de la hiptesis alternativa H1. En cambio, si el valor calculado no cae dentro de la Regin Critica, no podremos rechazar la hiptesis nula.

Probabilidad de los errores.

La calidad de un test o regla de decisin (equivalentemente la Regin Crtica) es razonablemente medida por la frecuencia con la cual cometemos errores de juicio cuando la utilizamos. Hay dos tipos de errores que podemos cometer (no en forma simultnea):

Error tipo I o error alfa ((), que es el que se produce cuando se rechaza la hiptesis nula y en realidad es cierta. La probabilidad de cometer este error se fija de antemano por el investigador cuando sita el nivel de rechazo, habitualmente 0.05.

Error tipo II o error beta , se denomina as si no se rechaza la hiptesis nula, cuando el valor de probabilidad es inferior al nivel fijado, tambin se corre el riesgo de cometer un error. En otros trminos es la probabilidad de no rechazar H0 si esta es falsa = (Lo anterior se puede resumir como sigue:

AceptamosRechazamos

VerdaderaError I

FalsaError II

Obs: Los valores de los errores dependern del tamao de muestra que se tome a menor tamao muestral, ms alto es el valor de (, en cambio a mayor tamao muestral el valor de ( es mayor.

Potencia de la prueba, se llama as a la probabilidad de rechazar H0 si esta es falsa:

Ejemplo:

Se desea someter a prueba la aceptacin de cierto producto por parte del pblico. Se postula que el producto cuenta con ms del 50% de aceptacin entre el pblico consumidor, esto es, se desea probar la hiptesis nula Ho: p 0.5 versus la hiptesis alternativa H1 : p < 0.5. Para este efecto se realiza una encuesta a n= 15 personas. Aqu, cada persona entrevistada puede ser considerada un ensayo Bernoulli, donde si la i- sima persona consume el producto y 0 si no. El estadstico de prueba es nmero de encuestados que prefieren el producto.

Se desea calcular el nivel de significacin, dado que se ha seleccionado como regin crtica al conjunto .

Por definicin se tiene que:

(Error tipo I)

(Rechazar Ho / Ho es verdadera)

Dado que tiene una distribucin binomial con n= 15 y p=0.5 , si Ho es verdadero, se tiene:

Este resultado significa que si decidimos utilizar esta regin crtica, estamos asumiendo muy poco riesgo (slo = 0.004), de no considerar al producto como favorito del pblico.

Si ahora seleccionamos como regin crtica , entonces tenemos que:

La diferencia entre estos valores calculados en ambos casos, se debe nicamente a que en el primero se seleccion un valor artificialmente muy bajo como punto crtico, esto hace que sea prcticamente imposible rechazar la hiptesis planteada. Esta probabilidad aparece mucho ms razonable en el segundo caso.

Con los mismos datos, Es nuestro test (regin crtica) igualmente bueno en cuanto a protegernos del Error tipo II?

Supongamos que en realidad slo el 30% de la poblacin favorece el producto, (p= 0.30) cul es la probabilidad que la muestra nos conduzca, errneamente, a conducir que Ho es verdadera y, por lo tanto, concluir que el producto es el favorito del pblico?

Por definicin,

Pero bajo H1 , se distribuye binomial con n=15 y p=0.3 , luego

Si ahora seleccionamos la regin crtica, tenemos que la probabilidad de error tipo II corresponde a :

En palabras, si usamos la regin crtica definida inicialmente como , concluiremos prcticamente siempre que el producto ser escogido como favorito por los consumidores (pues ), an cuando p sea tan baja como 0.30. Sin embargo, si modificamos la regin crtica a valores ms razonables, la probabilidad de cometer Error Tipo II es menos de un tercio del anterior.

Notemos que la probabilidad de cometer un error tipo II, , depende del verdadero valor p. A mayor diferencia entre un valor de p y el presupuesto por la hiptesis nula (p = 0.5), ms probable es que rechacemos la hiptesis nula. Esta situacin y los ejemplos analizados deben servir para prevenirnos sobre el uso de regiones crticas arbitrariamente grandes o pequeas.

Valor P

Personas distintas, enfrentadas al mismo problema de prueba de hiptesis, pueden tener distintos criterios para fijar el tamao del test. Un experimentador puede conformarse con rechazar Ho usando un test de tamao ( = 0.05 , mientras que otro experimentador quiere usar ( = 0.01. Es posible que el primero rechace Ho, mientras que el segundo la acepte, bajo la base del mismo resultado del experimento. Esta diferencia puede ser resuelta si estos experimentadores, usando el mismo estadstico de prueba T, reportan el resultado del experimento en trminos del tamao observado, valor-p o probabilidad de significacin del test.

La forma de determinar el valor-p para pruebas de hiptesis que involucran a un parmetro de una distribucin cualquiera, donde T(x) es el estadstico de prueba (variable aleatoria) y T(x) es su valor observado a partir de los datos de la muestra, este se plantea como sigue:

Hiptesis Nula y AlternativaProbabilidad de significacin

Ho : vs H1 :

Valor p =

Ho : vs H1 :

Valor p =

Ho : vs H1 :

Valor p = si

Valor p = si

Una vez calculado el valor-p, se puede utilizar una escala emprica que relaciona estos valores con la cantidad de evidencia en contra de Ho que est contenida en la muestra, lo que en ningn caso debe considerarse como una regla, ya que los niveles de tolerancia en cuanto a los errores estn muy relacionados con el problema particular de inters y el rea cientfica donde se centra el estudio.

La escala es:

Si el Valor- p > 0.1 , diremos que la muestra no contiene evidencia en contra de Ho.

Si 0.05 < valor-p < 0.1 , diremos que la evidencia en contra de Ho es dbil.

Si 0.01 < valor-p < 0.05, diremos que existe evidencia fuerte en contra de Ho.

Si valor-p < 0.01 , diremos que existe evidencia muy fuerte en contra de Ho.

Ejemplo:

Se sabe que el 10% de los huevos de una especie de pescado no madurarn. Se obtiene una muestra de 20 de tales huevos, de los cuales 5 efectivamente no maduraron. Cul es la evidencia en contra de la hiptesis planteada?

En este caso las hiptesis son Ho : p = 0.1 y H1 : p 0.1 y

Notemos que , por lo que el valor-p debe calcularse como . Utilizando aproximacin normal tenemos que, bajo Ho,

y

Esto significa que si p = 0.1, las posibilidades de obtener al menos 5 huevos no viables, de un total de 20, es de un 1% aproximadamente. Ahora, el valor-p es 2(0.0126) = 0.0252.

I. Dcima para (, con (2 conocido en una poblacin normal:

Obs. Las hiptesis alternativas las obtenemos a partir del enunciado del ejercicio

Estadstica de prueba:

Por lo tanto rechazamos H0 si

1.- Z0 ( Z1-(/2 si es bilateral.

2.- Z0 ( - Z1-( si es unilateral por la izquierda.

3.- Z0 ( Z1-( si es unilateral por la derecha.

Para calcular la probabilidad de no rechazar H0 si esta es falsa, entonces calculamos:

En que se puede asumir (1= a la media muestral en caso de desconocer su verdadero valor.

Ejercicio:

En un proceso de manufactura de tableros de contrachapado, se ha determinado que la cantidad promedio de aserrn utilizado en la fabricacin de un tablero de 2.40 * 1.50 metros es de 20 kilos. Para comprobarlo, mes a mes se escogen 25 muestras al azar calculndose el peso de aserrn utilizado. Se considera que el proceso est fuera de control cuando la media muestral es menor o igual a 19.8 kilos, o mayor o igual a 20.2 kilos. Se supone que la desviacin estndar es de 0.5 kilos/tablero.

a) Enuncie la hiptesis nula y alternativa del problema.

b) Obtener la probabilidad de error de tipo 1, suponga la pblacin normalmente distribuida.

c) Suponiendo que la probabilidad de error de tipo I es = 0.05, entonces docime la o las hiptesis

II.- Dcima para una (, con varianza desconocida.


Por lo tanto se rechazar H0 si:

1.- t0 ( tn-1; 1-(/2 cuando es bilateral

2.- t0 ( - tn-1; 1-( cuando es unilateral por la izquierda.

3.- t0 ( tn-1; 1-( cuando es unilateral por la derecha.

Ejercicio.

Una cosechadora forestal, se demora en promedio 15.5 segundos en voltear, descortezar y trozar un rbol. Forestal Tornagaleones necesita comprar estos equipos pero est estudiando de qu marca deben ser para ello seleccion una muestra al azar de 3 marcas y dentro de ellas muestreo lo siguiente:

Caterpillar:

12.5 10.2 9.8 12. 5 12.1 10.3 10.2 15 12.3 14.1 12.1 14 16 12.8

Fiat:

11.2 12.6 15.5 15.6 14.5 12.6 14.5 18.6 20.3 21.5 21 15.2 15.1 14.1

Mercedes-Benz:

14.2 12.3 13.3 12.1 14.5 12.3 14.5 25.1 23.1 21.1 24 25 14.5 16 12

a) Efecte pruebas de hiptesis para cada una de las tres marcas utilizando un (= 0.01

b) Cul marca le recomendara Ud. a la empresa y porqu.

c) Calcule que probabilidad existe de rechazar la hiptesis nula si es cierta.

d) Calcule la posibilidad de rechazar la hiptesis nula si esta es falsa.

III.- Dcima para diferencia de medias de poblaciones normales e independientes, con

varianzas conocidas.Sean dos poblaciones X e Y, normales e independientes, con medias (x y (y y adems varianzas conocidas (2x y (2y, respectivamente.


N.S= (, por lo tanto rechazamos H0 si




Probabilidad de no rechazar H0, si esta es falsa:

En donde C0:Si nx ( ny , se puede tomar un n promedio para poder calcular tanto (, como C0.

Con (1 el verdadero valor de la diferencia, o considerado como el valor de la dif. muestral.

Ejercicio:

Una disquera desea saber si un artista popular vende 3 veces ms que un artista clsico, para ello efectu un muestreo en 12 sucursales al azar, obteniendo los siguientes resultados: el artista popular vende en promedio 1500 copias de sus discos a la semana, con una desviacin estndar de 5 discos por sucursal, en cambio el artista clsico vende 469 copias, con una varianza de 12 discos por sucursal.

Efectuar la dcima correspondiente usando un N.S = 0.05 y 0.01, y concluir respecto al

tema.

IV.- Dcima para diferencias de medias de dos poblaciones independientes, pero con varianzas desconocidas, pero se suponen iguales.


En donde Sp:

N.S.:(, por lo tanto se rechazar H0 si:

1.- t0 ( tn-1; 1-(/2 cuando es bilateral

2.- t0 ( - tn-1; 1-( cuando es unilateral por la izquierda.

3.- t0 ( tn-1; 1-( cuando es unilateral por la derecha.

Ejercicio:

Es de inters conocer cmo acta el ruido de una motosierra en el rendimiento de los trabajadores. Para controlarlo Forestal CELCO ha seleccionado a 48 personas al azar de entre el personal de sus contratistas para llevar acabo el estudio. De las 48, a 24 se les entreg motosierras que trabajaban a 200 decibeles y al resto motosierras que trabajan a 220 decibeles, obtenindose los siguientes resultados, registrndose los resultados en nmero de arboles cortados en promedio por 1 semana. Supuestamente los trabajadores sometidos a 200 decibeles cortaran en promedio 2 rboles ms que los otros.

200 decibeles:

50.2 53 54 52 51 50 49 56 48 52 55 53 52 51 54 51 52 51 51 52 56 55 51 51

220 decibeles:

48 47 46 55 51 52 53 56 54 51 57 49 45 47 47 49 50 51 52 56 55 51 52 50

Docime la hiptesis correspondiente y concluya al respecto. N.S. = 0.05

V.- Dcima con respecto a (2 cuando se muestrea una poblacin normal.


Se rechaza H0, si:

Caso 1. (2 ( (20. : X20 < X2n-1; (/2 X20 > X2n-1; 1-(/2 Caso 2. (2 > (20. : X20 ( X2n-1; 1-(.Caso 3. (2 < (20. : X20 ( X2n-1; 1-(.Ejemplo:

En un proceso de llenado de recipientes, la tolerancia en el peso es de 8 gramos. Para cumplir con este requisito, la mquina est calibrada para ( = 0.21 grs/recipiente. Se toman al azar 50 muestras y el resultado es una varianza de 0.04 grs/recipiente. Efectuar la dcima correspondiente y concluir al respecto. Use un N.S = 0.01.

VI.- Dcima para la varianza de dos poblaciones normales e independientes.

Sean X e Y dos poblaciones normales e independientes, con medias desconocidas (x y (y y varianzas desconocidas (x y (y respectivamente. Entonces:

H1 : /

INCLUDEPICTURE "http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030006/images/capitulo3/diferen.GIF" \* MERGEFORMATINET 1

H1 : / > 1

H1 : / < 1


Debido que se asumen las varianzas iguales.

Por lo tanto tenemos que se rechaza la hiptesis nula cuando:

1.- Fo < F1-(/2; nx-1; ny-1. o Fo > 2.- Fo ( F1-(; nx-1; ny-1.3.- Fo ( F1-(; nx-1; ny-1.Ejercicio:

Se desea saber si la constante ( de una mquina lijadora est bien calibrada, para ello se compara con una mquina calibrada digitalmente, los datos que a continuacin se presentan corresponden a los promedios de aserrn en grs por hora dejados como desecho, siendo la mquina B el testigo:

A:

256.3 254.4 254.1 259.1 263 298 351 237 267 249 254 269 254 215 236 214

B:

255 256 241 253 257 259 254 251 250 249.8 256 263 254 236 246 251 258

Docime la hiptesis correspondiente y concluya al respecto.

VII.- Inferencia con respecto a dos poblaciones binomiales independientes.

Este tipo de inferencia se refiere generalmente a procesos de competencia en algn atributo de inters.

Entonces si:

Son los estimadores de mximo verosimilitud de p1 y de p2 respectivamente y dado que las poblaciones X e Y son binomiales, entonces es de inters docimar la hiptesis nula:

Versus la hiptesis alternativa que corresponda, de esta manera se tiene Estadstica de prueba:

En donde:

N.S= (, por lo tanto rechazamos H0 si




Ejercicio:

Una organizacin de salud se interesa en actualizar su informacin respecto a la proporcin de hombres que fuman. Con base en estudios previos, se cree que esta es de un 40%. Para comprobarlo la organizacin lleva a cabo una encuesta en la que se seleccionan en forma aleatoria 1200 hombres a los cuales se les pregunta sus hbitos de fumador, de stos resulto que 463 son fumadores. Emplee un mtodo aproximado para determinar si esta evidencia apoya la nocin de que la proporcin de hombres que fuman es del 40%. Use un N.S. = 0.01 y 0.05.

Tarea: Revise las Dcimas de hiptesis para la proporcin en una poblacin.

Ejercicios

1. El responsable de la campaa poltica del candidato A piensa que dado el ambiente de las ltimas semanas previas a las elecciones, su candidato se encuentra en igual posicin que su oponente B. Sin embargo han ocurrido algunas situaciones incmodas que hacen peligrar su eleccin, de tal forma una organizacin lleva a cabo una encuesta entre 1500 ciudadanos. Suponiendo que 720 personas indican una preferencia por el candidato A

a) Existe alguna razn para indicar que el candidato A se encuentra en desventaja con respecto a B?, (=0.05

b) Con qu n se podra empezar a tener la certeza de que no se pierda en las elecciones?, (=0.05

2. Se cree que el promedio verbal para el nmero de respuestas correctas para la PAA es mayor para las mujeres que para los hombres, por ms de 10 puntos. Las muestras aleatorias para ambos sexos arrojaron los siguientes resultados:

HombresMujeres

n1 = 125n2=100

x1 = 480x2=460

s1=60s2=52

a) Si se muestrearon dos poblaciones independientes normales, se encuntra la creencia apoyada por la evidencia muestral con ( = 0.05?. Cul es el valor de p?.

b) Supngase una verdadera diferencia de 15 puntos. Cul es la potencia de la prueba anterior?.

3. El gerente de una planta de partes y piezas de muebles sospecha que el nmero de piezas que un trabajador arma vara da a da con una valor ms all del normal esperado. Para comprobarlo encarga a su jefe de produccin que observe a un trabajador tipo en particular y que controle su desempeo durante 10 das. Los resultados fueron los siguientes 15, 12, 8, 13, 12, 15, 16, 9, 8 y 14. Si se sabe que la desviacin estndar para los trabajadores en general es de 2 unidades, y si el nmero de stas que se produce diariamente se encuentra de forma adecuada por una distribucin normal, a un nivel ( = 0.05. Tiene apoyo la sospecha del gerente?. Cul es el valor de p?.

4. Un distribuidor de insumos forestales tiene 2 proveedores principales, A y B. Debido a una mejor estructura de precios, el distribuidor hace negocio nicamente con B, si es que la proporcin de artculos defectuosos para A y B es la misma. De dos grandes lotes de producto, el distribuidor selecciona al azar 125 unidades de A y 100 unidades de B, al inspeccionar tales unidades se encuentra con que hay 7 artculos defectuosos por proveedor. Bajo las suposiciones adecuadas y con base en esta informacin, existe alguna razn para no comprar en forma nica a B?. ( = 0.01.

5. En un proceso de llenado, la tolerancia para el peso de los recipientes es de 8 gramos. Para reunir este requisito, la desviacin estndar en el peso debe ser de dos gramos. Los pesos de 25 recipientes seleccionados al azar dieron como resultado una d.e. de 2.8 gramos.

a) Si los pesos se encuentran normalmente distribuidos, determinar si la varianza de estos es diferente del valor necesario, ( = 0.01.

b) Para qu valores de la varianza muestral , no puede rechazarse la hiptesis de a)?.

6. Un contratista ordena un gran nmero de vigas de acero con longitud promedio de 5 m. Se sabe que la longitud de una viga se encuentra normalmente distribuida con d.e.= 0.02m. Despus de recibir el embarque, se seleccionan 16 vigas al azar y se miden. Si el promedio es menor que el esperado, se enviar de vuelta el embarque al fabricante. Si la probabilidad de rechazar un embarque bueno es de 0.04. Cul debe ser el valor de la media muestral?. Y si el promedio real es de 4.98 m, cul es la potencia de la prueba anterior?

EMBED Equation.3

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EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

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EMBED PBrush

( = P(rechazar H0 / H0 verdadera)

( = P(aceptar H0 / H0 falsa)

EMBED Equation.3

0.01

0.05

0.1

Evidencia muy Fuerte

Evidencia Fuerte

Evidencia Dbil

No contiene Evidencia

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10

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docimas de hipotesis

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