División de un segmento rectilíneo en una razón dada

Sea un segmento rectilíneo trazado en un plano cartesiano, cuyos extremos son los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2). Deseamos determinar las coordenadas de un punto P(x, y) que lo divida en la razón r = AP/PB.

Para encontrar una forma sencilla de hacerlo, hagamos la siguiente figura:

Y B

P

C A D E

F G H x

Al proyectar los puntos A, B y P sobre el eje horizontal y al trazar una recta paralela al eje x y que pase por el punto A, se obtienen los puntos C, D, E, F, G, H y se forman los triángulos semejantes ADP y AEB.

Para los triángulos semejantes ADP Y AEB podemos establecer las siguientes proporciones:

AB/AP = AE/AD ------------------------ (1)

AB/AP = BE/PD ------------------------- (2)

En donde AB = AP + PB

AE = x2 – x1 longitud de un segmento horizontal

AD = x – x1 longitud de un segmento horizontal

BE = y2 – y1 longitud de un segmento vertical

PD = y – y1 longitud de un segmento vertical

Entonces, sustituyendo estas equivalencias en las proporciones arriba dadas, obtendremos,

De la (1): (AP + PB)/AP = (x2 – x1)/(x – x1)

O bien AP/AP + PB/AP = (x2 – x1)/(x – x1)

O también 1 + 1/r = (x2 – x1)/(x – x1)

[ya que si r = AP/PB, entonces 1/r = PB/AP, ¿de acuerdo?]

Que podemos escribir como (r + 1)/r = (x2 – x1)/(x – x1)

O también lo podemos escribir como r/(1 + r) = (x – x1)/(x2 – x1)

De donde despejamos fácilmente la x obteniendo que

x = x1 + r(x2 – x1)/(1 + r)

O bien, en una forma más simple

x = (x1 + rx2)/(1 + r) --------------------- (3)

De igual forma se procede para obtener la coordenada y. Usando la (2):

y = (y1 + ry2)/(1 + r) --------------------- (4)

Algunas observaciones acerca de las expresiones anteriores:

1ª. La coordenada x no puede ser igual a x1. O bien, y no puede ser igual a y1.

2ª. La razón r no puede ser igual a -1. ¿Por qué?

3ª. Si la razón está dada como r = AP/PB, las coordenadas (x1, y1) corresponden al punto A, y (x2, y2) corresponden al punto B. Si invertimos la razón como BP/PA, tendríamos que invertir también las coordenadas de A y B, y entonces, B(x1, y1) y A(x2, y2), ¿por qué?

4ª. Si te dan la razón como AP/AB, ¿qué tendríamos que hacer para usar las relaciones (3) y (4)? Recuerda: AB = AP + PB.

5ª. Si r = 1 estaríamos hablando de que P es el punto medio del segmento. Analízalo.

6ª. ¿Qué ocurrirá con el punto P si AP/AB es mayor que 1?

Hagamos un ejercicio con A(-3, 5) y B(4, -6), determinamos P(x, y) para:

a) r = AP/PB = 1/2b) r = BP/PA = 1/2c) r = AP/PB = 2/1d) AP/AB = 1/3e) AP/AB = 3f) r = AP/PB = 1

Construye tu plano cartesiano, ubica los puntos A y B, y también el punto P una vez que determines sus coordenadas; comprueba tus resultados determinando la longitud de cada segmento y verificando que se cumpla la razón dada en cada caso.