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DISTRIBUCIONES MUESTRALES P. Reyes / Sept. 2007

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

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CONTENIDO

1. Introducción

2. Teorema del límite central

3. Aplicación de las distribuciones muestrales

4. Distribuciones muestrales Chi 2, t y F

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DISTRIBUCIONES MUESTRALES

1. Introducción

A las distribuciones de los estadísticas muestrales se les llama

distribuciones muestrales.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL: La estadística inferencial involucra el uso

de un estadístico para sacar una conclusión o inferencia sobre el

parámetro correspondiente de la población

Por ejemplo se usa:

media de muestra para estimar la media poblacional

desv. Est. De muestra para estimar la desv. Est. poblacional

p proporción en la muestra para estimar la proporción poblacional

ERROR DE MUESTREO: es la diferencia entre el parámetro poblacional

y el estadístico de la muestra utilizado para estimar el parámetro.

Por ejemplo la diferencia entre:

y y p y

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PoblaciónCon N elementos


DISTRIBUCIÓN MUESTRAL: es un conjunto de todos los valores posibles

para un estadístico y la probabilidad relacionada con cada valor.

150 1/6

200 1/6

250 2/6

300 1/6

350 1/6 Tomando K=6 muestras de

1.0 tamaño n cada una

MEDIA DE LAS MEDIAS MUESTRALES o GRAN MEDIA o MEDIA DE

MEDIAS:

VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN MUÉSTRAL DE LAS MEDIAS

MUESTRALES

Del ejemplo anterior:

ERROR ESTÁNDAR DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS MEDIAS

MUESTRALES

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Xmedia 1Desv.est.1

Xmedia KDesv.est.K


En el caso anterior vale 64.55

Si el muestreo se realiza sin reemplazo y si el tamaño de muestra es

más del 5% de la población (n > 0.05N) debe aplicarse el factor de

corrección para poblaciones finitas (FPC) al error estándar.

2. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

La distribución de las medias de las muestras tiende a la normalidad

independientemente de la forma de la distribución poblacional de la

que sean obtenidas. Es la base de las cartas de control X-R.

F(X)

Distribución de las medias

muestrales

Distribución de valores individuales

Distribución muestral de la media

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XXs n


A medida que n se vuelve más grande, la distribución de las medias

muestrales se aproximará a una distribución normal con una media

Si es una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con

distribución normal .Entonces se

distribuye normalmente con media y varianza

Por ejemplo, para los siguientes datos de la población:

DATOS DE LA POBLACIÓN PARA MOSTRAR EL TEOREMA DEL

LÍMITE CENTRAL PROMEDIO

2 7 5 5 2 4.21 7 7 9 4 5.65 8 1 1 5 4.07 1 4 1 4 3.47 6 9 8 5 7.01 6 4 7 9 5.47 3 1 7 3 4.26 7 9 4 3 5.89 7 7 6 1 6.08 3 4 4 7 5.25 3 3 4 2 3.45 9 9 1 9 6.65 5 3 9 5 5.43 1 9 1 5 3.84 3 9 5 5 5.29 1 7 7 8 6.42 1 7 8 6 4.87 7 9 8 3 6.83 4 5 6 8 5.24 8 3 4 5 4.85 3 2 2 6 3.68 1 5 5 9 5.67 5 9 6 8 7.02 2 7 2 1 2.8

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nXXX ,...,, 21


3 1 4 1 7 3.29 3 2 3 8 5.06 2 7 4 4 4.65 2 6 8 6 5.49 6 2 9 4 6.02 6 3 5 5 4.29 2 2 3 6 4.42 6 6 8 3 5.05 4 2 1 9 4.24 2 9 4 2 4.28 1 2 1 4 3.23 2 8 5 4 4.45 8 9 6 2 6.07 9 3 8 5 6.45 6 8 7 5 6.29 6 4 8 7 6.87 9 9 8 3 7.25 5 1 4 6 4.28 4 7 8 7 6.88 7 7 1 8 6.25 5 1 7 5 4.67 7 2 9 8 6.69 5 2 5 9 6.02 5 3 5 8 4.64 5 8 4 2 4.69 2 6 6 1 4.81 7 7 3 4 4.47 7 2 8 7 6.28 1 1 7 6 4.62 2 1 4 9 3.69 4 3 7 3 5.27 8 4 3 2 4.81 2 9 3 8 4.62 4 6 2 8 4.42 9 3 3 1 3.62 6 7 8 7 6.0

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El histograma de los datos de la población, es el siguiente:

8642

40

30

20

10

0

Poblacion

Frequency

Histogram of Poblacion

Al hacer una prueba de normalidad de Anderson Darling en los datos

se tiene:

151050-5

99.9

99

95

90

80706050403020

10

5

1

0.1

Poblacion

Perc

ent

Mean 5.073StDev 2.584N 300AD 5.965P-Value <0.005

Probability Plot of PoblacionNormal

Como el P value es menor a 0.05 los datos no siguen una distribución

normal.

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El histograma de los promedios muestrales (subgrupos de 5 datos) se

muestra a continuación:

Al hacer una prueba de normalidad de Anderson Darling se tiene:

987654321

99.9

99

95

90

80706050403020

10

5

1

0.1

Muestra

Perc

ent

Mean 5.073StDev 1.118N 60AD 0.527P-Value 0.172

Probability Plot of MuestraNormal

Como el P value es mayor a 0.05 incluso mayor a 0.10, las medias

siguen una distribución normal.

La sigma de la población estimada con la media de la muestra es:

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S pob. 2.5840 Raiz(n) Spob est.Sn=5 1.1181 2.2361 2.5001243

Tomando un tamaño de subgrupo de n = 10 se tiene:

PROM. N=10

4.9 4.73.7 4.26.2 3.85.0 6.25.6 6.55.0 5.74.6 6.55.8 5.65.8 5.35.0 4.74.6 5.34.9 4.14.1 5.05.0 4.55.1 4.8

6.56.05.55.04.54.03.5

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

PROM. N=10

Frequency

Histogram of PROM. N=10

Por lo que con un tamaño de muestra de n = 5 es suficiente para

mostrar normalidad.

3. APLICACIÓN DE LAS DISTRIBUCIONES MUESTRALES

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Muchas decisiones en los negocios dependen de una muestra

completa no tanto de una observación, por tanto se trabaja con la

distribución muestral de las medias o de las proporciones, para el caso

de las medias se tiene:

Con este valor se determina P(Z <= z)

Donde n es el tamaño de la muestra y si no se conoce sigma, se

estima con el valor de S. Ejemplos páginas 153 – 156.

Ejemplo:

Una empresa de constestación de llamadas telefónicas, está

interesada en conocer la probabilidad de que la media de n llamadas

dure un cierto periodo de tiempo, no le interesa una llamada

individual, ya que no le permitiría determinar la cantidad de personas

que requiere:

Las llamadas durante un mes promediaron 150 seg. Con una

desviación estándar de 15 seg.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada en particular dure entre

150 y 155 segundos?

;

En tablas P(Z <= 0.33) = 0.6293 ; P(Z<=0) = 0.500

Por tanto P( 0 <= Z <= 0.33) = 0.1293 o 12.93%

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Por tanto la probabilidad de que una llamada dure entre 150 y 155

segundos es del 12.93%.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de n=50 llamadas esté

entre 150 y 155 segundos?

Ahora se aplica la distribución muestral de las medias, con:

;

En tablas P(Z <= 2.36) = 0.9909 ; P(Z<=0) = 0.500

Por tanto P( 0 <= Z <= 2.36) = 0.4909 o 49.09%

P(150 <= X < = 155)

150 155

150 155

Para el caso de las medias el área es mayor debido a que las medias

muestrales están menos dispersas que los valores individuales de

llamadas

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c. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de n=35 llamadas esté

entre 145 y 155 segundos?


;

En tablas P(Z <= -1.97) = 0.0244 ; P(Z<=1.97) = 0.9756

Por tanto P( -1.97 <= Z <= 1.97) = 0.9512 o 95.12%

d. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de n=35 llamadas sea

mayor a 155 segundos?


En tablas P(Z <= -1.97) = 0.0244 o 1-P(Z<=1.97) = 1 - 0.9756 =

0.0244

Por tanto P(Z >= 1.97) = 0.0244 o 2.44%

Con la información anterior ahora la empresa ya puede tomar

decisiones.

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Ejercicios:

1. Los choferes de camniones de una empresa recorren en promedio

8,500 km. cada trimestre, con una desviación estándar de 1,950 Km. Si

se toma una muestra de n = 100 choferes, Cuál es la probabilidad de

que la media de la muestra sea o encuentre en:

a. ¿Mayor a 8,500 Km.?

b. ¿Menor a 8,000 Km.?

c. ¿Entre 8,200 y 8,700 Km?

d. ¿Entre 8,100 y 8,400 Km.?

2. Los refrescos de una embotelladora tienen una media de 16.1 oz.,

con una desviación estándar de 1.2 oz. Si se toma una muestra de n =

200 refrescos, cuál es la probabilidad de que la media sea:

a. ¿Menor que 16.27 oz.?

b. ¿A lo más 15.93 oz.?

c. ¿Entre 15.9 y 16.3 oz.?

d. ¿Más de 16.2 oz.?

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Para el caso de proporciones se tiene:

Si n>0.05N puede requerirse el

FCP

Una vez calculando lo anterior ahora se determina Z

Ejemplo:

Una empresa adquiere lotes de partes de tamaño n = 200, el lote tiene

una tasa de partes con falla del 10%, la política de la empresa ahora es

que:

a. Si hay más del 12% de defectos se buscará un nuevo proveedor.

b. Entre el 10 y 12% se considerará la búsqueda de un nuevo

proveedor

c. Entre el 5 y 10%, se seguirá con el mismo proveedor

d. Menos del 5%, se incrementarán los pedidos

Solución:

a. P(p > 0.12)

P(Z >= 0.95) = 0.1711 o sea el 17.11%

b. P(0.10 <= p <= 0.12) = 0.3289 o el 32.89%

c. P(0.05 <= p <= 0.10)

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P(-2.38 <= Z <= 0.1) = 0.4913 o el 49.13%

d. P(p <= 0.05) = 0.0087 o el 0.87%

Por tanto como la mayor probabilidad es la del inciso c, no se cambia

al proveedor actual.

Ejercicios:

1. La proporción de personas que comen en un restaurante es del 75%.

En una muestra de 100 clientes, ¿Cuál es la probabilidad de que

menos del 20% compren comida para llevar?

2. El 60% de los empleados en una empresa vive cerca. De 100

empleados al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 30

vivan cerca?

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4. Distribuciones muestrales derivadas de la normal:

Chi 2, t y F

Distribución Chi Cuadrada

Esta distribución se forma al sumar los cuadrados de las variables

aleatorias normales estándar.

Si Z es una variable aleatoria normal, entonces el estadístico Y

siguiente es una variable aleatoria Chi cuadrada con n grados de

libertad.

Media y varianza de una ji-cuadrada.

E(X)=k

V(X)=2k

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Población

Muestra

Aparecen distribuciones muestrales:

Normal, Chi-cuadrada, t-student, F

223

22

21 .... nzzzzy


Calculo de puntos críticos usando las tablas de ji-cuadrada

K=1 K=5

K=25K=50

Gráficas de la distribución ji-cuadrada

Con k grande ji-cuadrada se hace normal

Ejemplo: Calcule el valor critico que satisface

De tablas de ji-cuadrada con alfa=.05 y k=20

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)( 2,kXP

05.)( 220,05.0 XP

41.31220,05.0


Si es una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con

distribución normal .Entonces se distribuye ji-

cuadrada con k= n-1 grados de libertad.

Donde S cuadrada es la varianza muestral.

Distribución t-student

Si es una muestra aleatoria de una población (X) con

distribución normal . Entonces se distribuye

t-student con n-1 grados de libertad

),(

]12/][2/[

]2/)1[()(

2/)1(2

x

xkk

kxf

k

Función de Distribución t-student

K=1K=10

K=100

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21

22

)1(

nS

n

1)/()( ntnsX


La media y la varianza de la distribución t son:

De una muestra aleatoria de n artículos, la probabilidad de que

Caiga entre dos valores especificados es igual al área bajo la

distribución de probabilidad t de Student con los valores

correspondientes en el eje X, con n-1 grados de libertad

Ejemplo:

La resistencia de 15 sellos seleccionados aleatoriamente son: 480,

489, 491, 508, 501, 500, 486, 499, 479, 496, 499, 504, 501, 496, 498

¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia promedio de los sellos

sea mayor a 500?. La media es 495.13 y la desviación estándar es de

8.467.

t = -2.227 y el área es 0.0214

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0 3;2

kk

k

ns

xt

/

227.215/467.8

50013.495

t


Distribución F

Surge de dividir dos ji-cuadradas independientes

F=(W/u)/(Y/v)

W se distribuye ji-cuadrada con u g.l.

Y se distribuye ji-cuadrada con v g.l.

El uso de esta distribución es para comparar varianzas (Recuerde el

análisis de varianza)

Distribución F.

),0(

]1][2/[)2/(

/]2/)[()(

2/)(

1)2/(2

x

xvu

vu

xvuvuxf

vk

uu

u=10

v=5

u=20

v=20

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Para determinar la otra cola de la distribución F se determina con la expresión.

Falfa, k1, k2 = 1 / F(1-alfa), k2, k1

Dado K1 = 8 y K2 = 10, F0.05 = 3.07, encontrar el valor de F0.05 con K1 = 10 y K2 = 8

F0.05,10,8 = 1/ F0.95,8,10 = 1/ 3.07 = 0.326.

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