Distribuciones Binomiales y Distribuciones Binomiales y Normales Normales

Integrantes:Integrantes:Patricio Córdova Patricio Córdova

Pablo Ruiz Pablo Ruiz Marcelo MontalvoMarcelo Montalvo

Distribuciones Binomiales y Distribuciones Binomiales y NormalesNormales

Proceso de Bernoulli, Distribucion Binomial.Proceso de Bernoulli, Distribucion Binomial.

Considere un experimento E con dos resultados solamente, uno Considere un experimento E con dos resultados solamente, uno denominado: éxito (S) y el otro denominado fracaso (F). Sea p la denominado: éxito (S) y el otro denominado fracaso (F). Sea p la probabilidad de éxito en un experimento E y sea probabilidad de éxito en un experimento E y sea q= 1 – p.q= 1 – p. Ensayos Ensayos repetidos independientes de un experimento como el proceso de repetidos independientes de un experimento como el proceso de Bernoulli con dos resultados, se denomina: Pruebas de Bernoulli.Bernoulli con dos resultados, se denomina: Pruebas de Bernoulli.

B(n,p)B(n,p) representa un experimento con representa un experimento con nn ensayos y una ensayos y una probabilidad probabilidad pp de éxito. de éxito.

La probabilidad de obtener exactamente La probabilidad de obtener exactamente kk exitos en experimento exitos en experimento binomial B(n,p) esta dado por:binomial B(n,p) esta dado por:

P (k)= P (k éxitos)= P (k)= P (k éxitos)= knkqpk

n −

),;( pnkb⇒

Propiedades:Propiedades:

1.- Media o numero esperado de éxitos. 1.- Media o numero esperado de éxitos.

2.- Varianza. 2.- Varianza.

3.- Desviación Estándar.3.- Desviación Estándar.

np=µ

npq=σ

npq=σ

Ejemplos:Ejemplos: Se lanza una moneda equilibrada 6 veces; sea el resultado cara un Se lanza una moneda equilibrada 6 veces; sea el resultado cara un

éxito. Encuentre la probabilidad de que: éxito. Encuentre la probabilidad de que: Ocurra exactamente dos carasOcurra exactamente dos caras Ocurra al menos cuatro caras.Ocurra al menos cuatro caras. Ocurra al menos una cara.Ocurra al menos una cara.

6,5,4,3,2,1,02

12

1

=

=

=

x

q

p

64

15

2

115)2(

2

1

2

1

2

6)2(

62)

6

42

=

=

=

=→=

P

P

nka

32

1164

1

32

3

64

15)6()5()4(

6,5,4)

=

++=++

=

PPP

kb

{ }{ }

64

63)(

64

11)(

64

1

2

1

2

1

0

6)(

0

6,5,4,3,2,1)

60

=⇒−=

=

=

=

=

APAP

AP

A

Ac

c

c

Suponga que el 20% de los artículos producidos por una fabrica Suponga que el 20% de los artículos producidos por una fabrica están defectuosos. Se selecciona 4 artículos al azar. Encuentre están defectuosos. Se selecciona 4 artículos al azar. Encuentre la probabilidad de que:la probabilidad de que:

Dos estén defectuosos.Dos estén defectuosos. Tres estén defectuosos.Tres estén defectuosos.

{ }4

4,3,2,1,0

80.0

20.0

=

==

n

x

q

p ( ) ( )

%151536.0)2(

)64.0)(04.0(6)2(

80.020.02

4)2(

2.)

22

⇒==

=

=

P

P

P

ka

( ) ( )

%56.2025.0)3(

)80.0)(008.0(4)3(

80.020.03

4)3(

3.)

13

⇒==

=

=

P

P

P

kb

Distribución Normal (Gauss)Distribución Normal (Gauss) Sea x una variable aleatoria en un Sea x una variable aleatoria en un

espacio muestral infinito S, donde espacio muestral infinito S, donde {a<=x<=b} es un evento del {a<=x<=b} es un evento del espacio muestral S.espacio muestral S.

Condiciones:Condiciones:

∫

∫

∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−=

=

=≤≤

=

≥

dxxfxxVar

xxfxE

dxxfbxaP

dxxf

xf

b

a

)()()(

)()(

)()(.)3

1)(.)2

0)(.)1

2µ

Se dice que una variable aleatoria Se dice que una variable aleatoria x esta normalmente distribuida si x esta normalmente distribuida si su función de densidad o de su función de densidad o de probabilidad f(x) tienen la probabilidad f(x) tienen la siguiente forma:siguiente forma:

( )22

,2

1exp

2

1)( σµ

σµ

σπN

xxf =

−−=

Suponga que x esta distribuida normalmente La variable aleatoria estandarizada esta definida por

),( 2σµNx ≈

σµ−= xz