PROCESOS DE PRODUCCIÓ N ÁREA DE MANUFACTURA

MATERIA: Probabilidad y estadísticas

Unidad # 2

Temas:

Bernoulli Binomial Poisson

Log Normal Gammab. Binomialc. Poissond. Normale. Gamma

T de Student

ALUMNA: Ma. Guadalupe Martínez Vega.

GRADO Y SECCION: 2.- “D

DOCENTE: Lic. G. Edgar Mata Ortiz

Fecha: 18/03/2012

Introducción:

El desarrollo de este trabajo nos habla un poco sobre diferentes tipos de distribuciones comúnmente usadas como:

A. BernoulliB. BinomialC.PoissonD.Log NormalE. Gammab. Binomialc. Poissond. Normale. GammaF. T de Student

Viene pasos como hacer cada uno se las distribuciones y 5 ejemplos de cada uno de ellos, con su definición.

Bernoulli

La distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito ( ) y valor 0 para la probabilidad de fracaso ( ).

Si es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .

La fórmula será:

Su función de probabilidad viene definida por:

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.

Ejemplo

"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

5 ejercicios:

Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55

a) X = 1 si anotaX = 0 si noM =? x =?

Eventos probabilidad

1 0.55 (p) = 1(0.55) = 0.55 0 0.45 (1-P)= 0(0.45) = 0.00

0.55

Media = 0.55 (1-0.55)² (0.55) = 0.111375 x = 0.247500 (0-0.55)² (0.45) = 0.136125

0.247500

b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos: si lo falla, su equipo no recibe puntos. Sea Y el numero de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito. Si no, explique porque.

Eventos probabilidad

2 0.55 no, porque siempre tiene que ser 1 y 0 en éxito o fracaso.

0 0.45

c) Determina la media y varianza Y

Media: Varianza2(0.55) = 1.1 (2-1.1)² (0.55) = 0.44550(0.45) = 0 (0.11)² (0.45) = 0.5445

1.1 0.9900

En un restaurante de comida rápida, 25% de las órdenes para beber es una bebida pequeña, 35% una mediana y 40% una grande. Sea x = 1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y x = 0 en cualquier otro caso. Sea y = 1 si la orden es una bebida mediana y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea z = 1 si la orden es una bebida pequeña o mediana y z = 0 para cualquier otro caso.

a) M = 0.25b) M= 0.35c) M = 0.60d) No es posible solo una de ellas puede ser igual a 1e) Si f)

Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica 5% es la probabilidad de que se decolore, 20% de que se agriete o ambas. Sea X = 1 su se produce una decoloración y X = 0 en cualquier otro caso. Y = 1 si hay alguna grieta y Y = 0 en cualquier otro caso. Z = 1 si hay decoloración o grieta o ambas y Z = 0 en cualquier otro caso.

a) 0.05b) 0.20c) 0.23d) Sie) Nof) No

Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z = X – Y

a) .b) .c) .

Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X = 1 si sale cara en la moneda de 1 centavo y X = 0 en cualquier otro caso, sea Y = 1 si sale cara en la moneda de 5 centavos y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z = 1 si sale cara en ambas y Z = 0 en cualquier otro caso.

a) ½b) ½c) ¼d) Sie) Si

Binomial

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Características analíticas

Su función de probabilidad es

Donde

Siendo las combinaciones de en ( elementos tomados de en )

Ejemplo

Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B (50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

5 Ejemplos:

Sea x ~ Bin(8,0.4) Determine:

X P

0 0.01679616 a) 0.209018881 0.08957952 b) 0.232243202 0.20901888 c) 0.089579523 0.27869184 d) 0.007865324 0.23224320 e) 3.25 0.12386304 f) 1.926 0.041287687 0.007864328 0.00065536

1

Si se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la cual 10% de los elementos esta defectuoso.

X P

0 0.59049 a) 0.00001 1 0.32805 b) 0.072902 0.07290 c) 0.59049 3 0.00810 d) 0.000454 0.000455 0.00001

1

Se lanza una moneda 10 veces.

X P

0 0.000976562 a) 0.1171875001 0.009765625 b) 52 0.043945312 c) 2.53 0.117187500 d) 1.574 0.2050781255 0.2460937506 0.2050781257 0.1171875008 0.0439453129 0.00976562510 0.000976562 0.999999997

En un cargamento grande de llantas de automóvil, 5% tiene cierta imperfección. Se elige aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvil

X P

0 0.773780937 a) 0.0000059371 0.162901250 b) 0.162901250 2 0.012860625 c) 0.773780937 3 0.0004512504 0.000005937

0.999999997

En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito, cada bit tiene la misma probabilidad de ser 0 o 1. Supongamos que los valores de los bits son independientes.

Poisson

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Ejemplos

Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto, k es 5 y , λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad buscada es

Este problema también podría resolverse recurriendo a una distribución binomial de parámetros k = 5, n = 400 y =0,02.

5 Ejemplos:

Si X Poisson (3), calc7ule (X=2), P(X=10), P(X=0), P(X=-1) y P(X=0.5)

Cuando se usa la funision de masa de probailiodad (4.9), con =3, se obtiene:

P=(X=2)= 0.2240

P=(X=10)=0.0008

P=(X=0)= 0.0498

P=(X=1)= O

P(X=O.5)=O

Si X Poisson (4), calcuyle P(X< 2) y P(X>1).

P(X< 2)= 0.2381

P(X>1)= 0.9084

Sea X Poisson(4). Determine:

P(X=1) 0.0733 P(X=0) 0.0183 P(X<2) 000916 P(X>1) 0.9084

Suponga que 0.03% de los contenedores plasticos producidos en cierto procesos tiene pequeños agujeros que lso dejan inservibles. X representa el numero de contenedores en una muestra aleatoria de 10000 que tienen este defecto. Determine:

P(X=3) 0.2240 P(X<3) 0.4232 P(1<X<4) 0.5974

Una ariable aletoria X tiene una distribucion binomial y una variable aleatoria Y tiene una distribucion de Poisson.Tanto X como Y tiene medias iguales a 3. ¿es posible determinar que variable aleatoria tiene la varianza mas grande? Elija una de las siguientes respuestas:

a) Si, X tiene la varaianza mas grande.b) Si, Y tiene ka varianza mas grandec) No, se necesita cono cer el numerop de ensayos, n, para Xd) No, se necesita conocer la probailidad de éxito, p, para Xe) No, se necesita conocel el valor de X para Y

Log normal

la distribución log-normal es una distribución de probabilidad de cualquier variable aleatoria con su logaritmo normalmente distribuido (la base de una función logarítmica no es importante, ya que loga X está distribuida normalmente si y sólo si logb X está distribuida normalmente). Si X es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces exp(X) tiene una distribución log-normal.

Log-normal también se escribe log normal o lognormal.

Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.

La distribución log-normal tiende a la función densidad de probabilidad

para , donde y son la media y la desviación estándar del logaritmo de variable. El valor esperado es

y la varianza es

Ejemplo

En un trayecto urbano hay dos semáforos consecutivos de modo que 2.5 minutos después de que el primero se ponga verde se pone rojo el segundo. Ambos se cierran cada 2 minutos, permaneciendo cerrados 30 segundos.

Un conductor se ha detenido en el primero y el tiempo en recorren la distancia entre ambos semáforos es una U(1,4). ¿Cuál es la probabilidad de que se pare en el segundo?

Del enunciado se deduce que deberá parar si emplea entre 2.5 y 3 minutos en ir del primero al segundo, es decir,

p[2.5 < X < 3]= F(3) - F(2.5) = (3-1) / 3 - (2.5-1) / 3 = 0.166.

5 ejemplos:

T de student

La distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

5 Ejemplos:

Cual es la probabilidad de que una variable t de Student de 6 grados de libertad deja a la izquierda de -1,45:

los valores negativos no vienen en la tabla, pero según lo anterior:

en la tabla encontramos:

por tanto:

con lo que obtenemos:

Cual es la probabilidad acumulada a la derecha de 2,45, en una variable t de Student de 15 grados de libertad.

según lo anterior:

por la tabla tenemos que:

que sustituyéndolo en la expresión, resulta:

que da como resultado:

Cual es la probabilidad:

según lo anterior:

buscando el valor en la tabla, tenemos que:

Cual es la probabilidad acumulada de una variable t de Student de 25 grados de libertad, se encuentre entre: 0,75 y 1,25.

según lo anterior, tenemos:

en la tabla las probabilidades, tenemos los valores:

sustituyendo tenemos:

realizando la operación:

Calcular la probabilidad acumulada a la izquierda de 0,87 de una variable t Student de 10 grados de libertad:

el valor 0,87 no viene en la tabla, pero los valores 0,85 y 0,90 sí:

según la expresión:

sustituyendo los valores numéricos, tenemos:

operando:

esto es:

dando como resultado:

que es la solución al problema planteado: