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8. Distribuciones continuas
1
Transformaciones de variables aleatorias
restoelen
xxxf
0112/3
)(2
1111
)1(2/110
)( 3
xxxx
xF
2/)()(
2)(2)(
1 yywyux
xxuyXXuY
Densidad
Distribución
Transformación o cambio de variable aleatoria
¿Cuál será la función de densidad de probabilidad transformada g(y)?
2
21)2/(
21)2/(')(')(
)2/()2/()2()()(
yfyFyGyg
yFyXPyXPyYPyG
restoelen
yyyg
02216/3
)(2
2221
]1)2/[(2/120
)( 3
yy
yy
yG
3
Probemos ahora con una transformación que no sea biyectiva, como:
yywyux
xxuy
XXuY
)()(
)(
)(
1
2
2
yyf
yyf
yyF
yyFyGyg
yFyF
yXyPyXPyYPyG
21)(
21)(
21)('
21)(')(')(
)()(
)()()()( 2
4
restoelen
yyyg
0102/3
)(
1011
00)(
y
yyyy
yG
5
Distribución log-normal Log-N(,)Se trata de la densidad de probabilidad de una variable log x distribuida según una función normal:
XeYNX ),(
yyf
yyFyGyg
yFyXPyePyYPyG X
1)(log1)(log')(')(
)(log)log()()()(
0;2
)(logexp121)( 2
2
yyy
yg
6
7
8
9
Distribución exponencial Exp ()
La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Que recordemos era:
...,,,xppxXPpG x 210 ,1)()(
Describe procesos en los que nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre un determinado evento, sabiendo que el tiempo que puede transcurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido
anteriormente. 10
Distribución exponencial Exp ()
Ejemplos de este tipo de distribuciones son: el tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse (datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14) o el tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente.
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Distribución exponencial Exp ()En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos "sucesos raros" consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante (o una coz de burro, recuerda...) 12
0 ,0 para )( xexf x
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.01.2
1.4
1.6
1.8
2.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
)(
0
0
x
x
e
dxedxxf
Distribución exponencial Exp ()
1
0
dxex xVida media
13
xxtx t eedte 100
Distribución exponencial Exp ()
0,00,1
)(x
xexF
x
14
15
16
Relación entre la distribución de Poisson y la exponencial
Entre las distribuciones de Poisson y Exponencial existen importantes relaciones.
• Distribución de Poisson: Sea Y una P( ) que representa el número de llegadas en un intervalo de tiempo fijo. Recuerda que es la esperanza de esta distribución.
• Distribución exponencial: En este mismo problema consideramos ahora el tiempo que transcurre entre dos llegadas. Sea X la v.a que representa dicho tiempo. Se puede demostrar que entonces X se distrubuye como una Exponencial().
Propiedad de ‘falta de memoria’ de la
distribución exponencial • Se dice que la distribución exponencial no tiene memoria.
Esto es
para todo s, t 0.• Interpretación: Supongamos que queremos determinar la
probabilidad de que llegue un cliente en la próxima media hora. Esta propiedad nos dice que nos da igual conocer cuando llegó el último cliente o calcular directamente cuál es la prob. De que llegue en los prox. 30 min SIN tener en cuenta el pasado.
).()|( sXPtXtsXP
El tiempo en que un producto está de moda en su mercado se distribuye como una exponencial de parámetro 8 meses.Si sabemos que ya lleva 5 de moda, ¿cuál es la probabilidad de que dure 10 más?• Sea X: tiempo que el producto está de moda. Nos
piden:
• Por la propiedad de ausencia de memoria de las distribuciones exponenciales sabemos que
Por tanto
)5|510( XXP
).10()5|510( XPXXP
8*108*10 )1(1)10(1)10( eeXPXP
Tippex de Powerpoint
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21
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24
25
26
En instalaciones o aparatos con posibilidad de accidentes graves: centrales nucleares, aviones, coches,... es imprescindible conocer la probabilidad de que éstos acontezcan durante la vida del sistema.
Fiabilidad
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Definimos la variable aleatoria:
T = tiempo durante el que el elemento funciona satisfactoriamente antes de que se produzca un fallo.
La probabilidad de que el elemento proporcione unos resultados satisfactorios en el momento t se puede definir como la fiabilidad o confiabilidad:
R(t) = P(T > t)
Fiabilidad
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La infiabilidad Q(t) es la probabilidad de que ocurra un fallo antes del instante t: Q(t) = F(t) = 1 - R(t)
Sea λ(t) la tasa de fallos o averías por unidad de tiempo. Supongamos que un elemento funciona en el instante t. La probabilidad condicional de que se produzca una avería entre el momento t y el t + dt puede escribirse:
)()(
)();()()(
)(1
)()()()(
1
)()(
)()()(
)()()|(
ttd
tRLndttdtdR
tR
tt
ttRtRtR
tttR
ttRtRtR
tQttQtTttTtP
tdttExptR
0)()(
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La curva de la bañeraCurva típica de evolución de la tasa de fallos
Existencia inicial de dispositivos defectuosos o instalados indebidamente con una tasa de fallos superior a la normal.
Esta tasa de fallos elevada va disminuyendo con el tiempo hasta alcanzar un valor casi constante.
Fallos normales o aleatorios. El comportamiento de la tasa es constante durante esta etapa y los fallos son debidos a las propias condiciones normales de trabajo de los dispositivos o a solicitaciones ocasionales superiores a las normales.
La tercera etapa de fallos de desgaste es debida a la superación de la vida prevista delcomponente cuando empiezan a aparecer fallos de degradación como consecuencia del desgaste. Se caracteriza por un aumento rápido de la tasa de fallos.
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Si la tasa de fallos o averías por unidad de tiempo es constante: λ(t) = λ, tendremos que la fiabilidad es:
tdttExptR
0)()(
)()()(0
tExpdttExptRt
una densidad de probabilidad exponencial.Esta fórmula de fiabilidad se aplica a todos los dispositivos que han sufrido un rodaje apropiado que permita excluir los fallos iniciales, y que no estén afectados aún por el desgaste (la zona plana de la bañera).
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En 1951 Weibull propuso que la expresión empírica más simple capaz de ajustar a una gran variedad de datos reales:
tdttExptR
0)()(
00
0)()( ttExptRttdtt
t
0
1
0
0
)(
1)(
ttExptttf
ttExptF
0
1
tty
r
33
Distribución de Weibull W(r, )
rXYExpX /1)(
11
/1
)()(')(')(
)()()()()(
rr
Xrr
XYY
rX
rrY
ryyfryyFyGyg
yFyXPyXPyYPyG
0;)( 1 yeryygryr
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Función generatriz de momentos
dxxfeeEtg
xXPeeEtg
txtX
ii
txtX i
)(][)(
)(][)(
...!3!2
1
)(...!3!2
1][)(
3
3
2
2
1
33
22
mtmttm
dxxfxtxttxeEtg tX
0
)(
t
k
k
k dttgdm
Discreta
Continua
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Función característica
dxxfeeEt
xXPeeEt
itxitX
ii
itxitX i
)(][)(
)(][)(
Observemos que:
dttexf itx )(21)(
a partir de la anti-transformada de Fourier de la función característica obtenemos la densidad de probabilidad.
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Desarrollando en Taylor la función característica alrededor de t = 0:
...!
...!2
1)( 22
2
1 kk
k
tmkitmitimt
...!
)0(...!2
)0('')0(')0()()(
2 kk
tk
ttt
kkkk
k
kitXkk
k
k
itX
itX
itX
miXiEdt
deXiEdt
td
miXiEeXiEt
imiXEiXeEt
eEt
][)0(][)(
...][)0(''][)(''
][)0('][)('
1)0(][)(
222222
1
0
)(1
t
k
k
kk dttd
im
37
ite
itdxe
dxeedxxfeeEt
xitxit
xitxitxitX
0
)(
0
)(
)(][)(
1)0('][
)0('
)()(' 2
iXE
iitit
222222
222
2
2
3
2
112])[(][
2)0(''][
2)0(''
)(2)(''
XEXE
iXE
i
itit
Calculemos la esperanza y la varianza de la distribución exponencial.
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Sean {X1, X2, ... , XN } n variables aleatorias independientes con funciones características {1(t), 2(t), ... , N(t) }, e Y = X1+ X2+ ... + XN.
Entonces:
n
iiY tt
1
)()(
Ejemplo: Sean X1 = Exp(), X2 = Exp() ... , Xn = Exp() n variables aleatorias independientes. ¿Cómo se distribuye Y = X1+ X2+ ... + Xn?
nn
kY
k
ititt
nkit
t
1
)(
...,,2,1;)(
39
Distribución de Erlang Er(n, )
00,;)(
)( 1
xnexn
xf xnn
n
n
nun
n
n
unn
xitnn
xnn
itxitxitX
itn
itndueu
itn
duit
eit
un
dxexn
dxexn
edxxfeeEt
)()(
1)()(
1)(
1)()(
)()(][)(
0
1
0
1
0
)(1
1
40
41
42
43
45
46
47
50