ESTADSTICA APLICADA

UPNEstadstica Aplicada

Estadstica AplicadaSesin N 03Ciclo 2015-3

APLICACIN DE LA DISTRIBUCIN NORMAL.

Como se ha mencionado anteriormente, la ley de probabilidad gaussiana la encontramos en la mayora de los fenmenos que observamos en la naturaleza, por ello gran parte de lo que resta del curso lo vamos a dedicar a su estudio y a las distribuciones asociadas a ella. Sin embargo, a pesar de su utilidad, hay que apuntar un hecho negativo para esta ley de probabilidad:

La funcin no posee primitiva Las consecuencias desde el punto de vista prctico son importantes, ya que eso impide el que podamos escribir de modo sencillo la funcin de distribucin de la normal, y nos tenemos que limitar a decir que:

Sin poder hacer uso de ninguna expresin que la simplifique. Afortunadamente esto no impide que para un valor de x fijo, F(x) pueda ser calculado. De hecho puede ser calculado con tanta precisin (decimales) como se quiera, pero para esto se necesita usar tcnicas de clculo numrico y ordenadores. Para la utilizacin en problemas prcticos de la funcin de distribucin F, existen ciertas tablas donde se ofrecen (con varios decimales de precisin) los valores F(x) para una serie limitada de valores xi dados. Normalmente F se encuentra tabulada para una distribucin Z, normal de media 0 y varianza 1 que se denomina distribucin normal tipificada:

En el caso de que tengamos una distribucin diferente, se obtiene Z haciendo el siguiente cambio:

Propiedades de la distribucin Normal

Sea , entonces

a) distribucin Normal Estndar.

b)

Ejemplo 1: Las alturas de las mujeres jvenes argentinas estn aproximadamente distribuidas normalmente con = 160 cm = 4 cm. Cul es la probabilidad de que una mujer joven elegida al azar tenga una altura entre 160 cm y 168 cm? Recordemos que X = altura de una mujer argentina joven, elegida al azar entonces

con = 160 cm y = 4 cm

Ejemplo 2:Supongamos que cierto fenmeno pueda ser representado mediante una variable aleatoria , y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y 48, es decir,

Comenzamos haciendo el cambio de variable

de modo que

4. ACTIVIDADES Y EJERCICIOS

1). Supngase que la temperatura T durante junio est distribuida normalmente con media 68 y desviacin estndar 6. Hallar la probabilidad p de que la temperatura este entre 70 y 80.2). Suponga que la demanda mensual de un bien de consumo se distribuye normalmente con una media de 650 kilogramos y una desviacin estndar de 100 kg. Qu probabilidad hay de que la demanda no supere los 500 kg?3). Suponga que el ingreso familiar mensual en una comunidad tiene distribucin normal con media $600 y desviacin estndar $100. Calcular la probabilidad de que el ingreso de una familia escogida al azar sea menor que $400.4). Supngase que las estaturas H de 800 estudiantes estn normalmente distribuidas con media 66 pulgadas y desviacin estndar 5 pulgadas. Hallar el nmero N de estudiantes con estatura, Entre 65 y 70 pulgadas5). Suponga que el ingreso familiar mensual en una comunidad tiene distribucin normal con media $600 y desviacin estndar $100.a ) Calcular la probabilidad de que el ingreso de una familia escogida al azar sea menor que $400.b ) Si el 5% de las familias con mayores ingresos deben pagar un impuesto, a partir de que ingreso familiar se debe pagar el impuesto?6). Supngase que las estaturas H de 800 estudiantes estn normalmente distribuidas con media 66 pulgadas y desviacin estndar 5 pulgadas. Hallar el nmero N de estudiantes con estatura, a ) Entre 65 y 70 pulgadasb ) Mayor o igual a 6 pies(72 pulgadas)7). Suponga que la duracin X de los focos que produce una compaa se distribuye normalmente. si el 18.41 % de estos focos duran menos de 8.2 meses y el 6.68% duran al menos 13 meses. calcular la media y la varianza de la duracin de los focos?.5) El porcentaje del ingreso ahorrado por las familias tiene distribucin normal con una media del 10% .Determine la desviacin estndar, si el 2.28% de los ahorros son mayores que 12.4%6) La probabilidad de que cierto tipo de objeto pase con xito una determinada prueba es 5/6. Se prueban 10 de tales objetos. Si X es la variable aleatoria que se define como el nmero de objetos que no pasan la prueba.Calcular la media de esta distribucin.7) Supngase que la temperatura T durante junio est distribuida normalmente con media 68 y desviacin estndar 6. Hallar la probabilidad P de que la temperatura este entre 70 y 80.8) Los pesos de 2 000 soldados presentan una distribucin normal de media 65 kg y desviacin tpica 8 kg. Calcula la probabilidad de que un soldado elegido al azar pese ms de 61 kg.9) La duracin de un lser semiconductor a potencia constante tiene una distribucin normal con media 7000 horas y desviacin tpica de 600 horas. Cul es la probabilidad de que el lser falle antes de 5.000 horas?10) Suponga que la duracin X de los focos que produce una compaa se distribuye normalmente. si el 18.41 % de estos focos duran menos de 8.2 meses y el 6.68% duran al menos 13 meses. calcular la media y la varianza de la duracin de los focos?.

MUESTREO ALEATORIO

MUESTREOSe llama muestreo al procedimiento mediante el cual obtenemos una ms muestras.Entonces la tcnica de elegir la muestra se llama muestreo, el objetivo principal de un diseo de muestreo es proporcionar Procedimientos para la seleccin de la muestra que sea representativa de la poblacin en estudio.La utilizacin de las tcnicas de muestreo es muy amplia se usa en agricultura, ganadera, industria. Comercio, servicios y en las diferentes reas del conocimiento humano como biologa, medicina. Ingeniera, psicologa. Sociologa, mercadotecnia, antropologa etc.

Ventajas: Un costo ms bajo, es la razn principal en la utilizacin del muestreo en lugar de una enumeracin completa. Los datos pueden ser recolectados con mayor rapidez cuando se trabaja con una muestra que con toda la poblacin. Una muestra exigira menos personal por lo tanto se podra seleccionar y adiestrar mejores empleados y el trabajo podra ser supervisado ms estrechamente. La recoleccin de datos de una muestra conducen a datos ms precisos que los que podran ser obtenidos reuniendo datos de todas las unidades. Cuando la poblacin es infinita o tan grande de tal manera que el censo exceda las posibilidades del investigador. Cuando la poblacin es suficientemente uniforme. Cuando el proceso de medida o investigacin de las caractersticas de cada elemento sea destructivo.

Definicin de la poblacin en estudio.El primer problema es definir la poblacin bajo estudio. La poblacin es el conjunto de unidades que el investigador desea estudiar de las cuales planea generalizar y debe ser preciso al definir la poblacin.Ejemplo 1: La poblacin puede consistir en todas las universidades en Lima metropolitana.Ejemplo 2: La poblacin puede ser todos los establecimientos de comestibles ubicados en el distrito de la Victoria.

Definicin de las variables que se estudian.El segundo problema a considerar es la definicin de las variables que se van a estudiar.Ejemplo: Supongamos que una embotelladora desea determinar si los establecimientos de vveres de Lima metropolitana vende una marca especfica de refresco, en este caso slo se est estudiando una variable y puede dar una definicin estricta; una tienda tiene en existencia el refresco o no la tiene.Diseo de muestrasEl diseo de la muestra es la tercera dificultad suscitada en cualquier operacin de muestreo y puede ser dividida en: La determinacin de las unidades de muestreo. La seleccin de los elementos de la muestra y determinacin deltamao de la muestra. Estimacin de las caractersticas de la poblacin con los datos de la muestra.

Seleccin de las unidades de MuestreoSe llama unidad de muestreo a las colecciones disjuntas de la poblacin, en algunos casos una unidad muestral est constituida por un solo elemento.Ejemplo: Considrese el problema de hallar la proporcin de establecimientos de comestibles en la Victoria que venden pepsi cola. Aqu el establecimiento de comestibles sera la unidad observada y por lo tanto sera razonable considerar un procedimiento de muestreo directo. Dada una lista de todos los establecimientos de comestibles de dicha rea sera relativamente fcil escoger una muestra.

Seleccin de la MuestraOtra parte del problema del diseo muestra es el mtodo de escoger los componentes de muestra.Una muestra debe ser representativa si va a ser usada para estimar las caractersticas de la poblacin.Los mtodos para seleccionar una muestra representativa son numerosos, dependiendo del tiempo y del dinero y habilidad para tomar una muestra y la naturaleza de los elementos individuales de la poblacin.Los mtodos ms comunes podemos dividirlos de la siguiente manera: Por el nmero de muestras tomadas de una poblacin. por la manera usada en seleccionar los elementos incluidos en la Muestra.a) Mtodos en funcin del nmero de muestras:i) Muestreo simpleEl muestreo es simple s slo se toma una muestra de la poblacin en este caso, la muestra debe ser lo suficiente grande para extraer una conclusin. Una muestra grande generalmente cuesta mucho dinero.ii) Muestreo DobleCuando el resultado del estudio de la primera muestra no es decisivo, una segunda es extrada de la misma poblacin y las dos muestras son combinadas para analizar los resultados.b) Muestreo en funcin a la manera de seleccin de los elementosLos elementos de una muestra pueden ser seleccionados de dos maneras diferentes:i) Muestreo de Juicio (no probabilstica)Llamado as porque sus elementos son seleccionados mediante elJuicio personal.La persona que selecciona los elementos de la muestra visualmente es un experto en la materia dada.Una muestra de juicio es llamada muestra no probabilstica. Puesto que ste mtodo est basado en los puntos de vista subjetivos de una personaii) Muestreo AleatorioUna muestra se dice que es aleatoria cuando la manera de seleccionar es tal que cada elemento de la poblacin tiene igual oportunidad de ser seleccionado a esta muestra tambin se le conoce como probabilstica puesto que cada elemento tiene una probabilidad conocida.La aplicacin de este mtodo naturalmente presupone la disponibilidad de una lista de todas las unidades de muestreo en la poblacin, llamndose marco y proporciona la base para la seleccin de la muestra.Es deseable que este marco contenga todas las unidades mustrales que son de inters y que no incluya unidades falsas ni tampoco elementos repetidos.Los tipos ms comunes de muestreo aleatorio son: Muestreo aleatorio simple Muestreo estratificado Muestreo sistemtico Muestreo por conglomerado.Error de MuestreoCualquiera que sea el mtodo de seleccin una estimacin por muestra diferir de la que se obtenga utilizando todos los elementos de la poblacin, a esta diferencia entre el valor de la muestra y el valor de la poblacin se llama error de muestreo.Muestreo Aleatorio SimpleUna muestra aleatoria simple es seleccionada de tal manera que cada muestra posible del mismo tamao tiene igual probabilidad de ser seleccionada de la poblacin.Un mtodo simple para obtener los elementos de la muestra aleatoria simple es utilizando las tablas de nmeros al azar y puede ser resumido de la siguiente manera: Numrese cada componente de la poblacin desde el 1 hasta N (nmero total de la poblacin. Comenzando en algn lugar previamente seleccionado en una tabla de nmeros al azar, precdase sistemticamente a travs de la tabla utilizando tantas cifras como sean necesarias. Por ejemplo: Si la poblacin tiene 90 elementos tmese 2 dgitos cada vez y as sucesivamente.Distribucin Normal: Esta distribucin es frecuentemente utilizada en las aplicaciones Estadsticas. Su propio nombre indica su extendida utilizacin, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenmenos tienden a Parecerse en su comportamiento a esta distribucin.Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcin de densidad cuya grfica tiene forma de campana.En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polgonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".En resumen, la importancia de la distribucin normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenmenos naturales que siguen el modelo de la normal Caracteres morfolgicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p. ej. tallas, pesos, envergaduras, dimetros, peri metros,.. . Caracteres fisiolgicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un frmaco, o de una misma cantidad de abono. Caracteres sociolgicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. Caracteres psicolgicos, por ejemplo: coeficiente intelectual, -grado de adaptacin a un medio,

Definicin.- Se denomina estadstica a cualquier funcin de las variables aleatorias que constituyen la muestra.

Una estadstica es una variable aleatoria , cuyo valor es el nmero real . El trmino estadstica se usa para referirse tanto a la funcin de la muestra, como al valor de esta funcin. En general para cada parmetro poblacional hay una estadstica correspondiente a calcularse a partir de la muestra. Algunas caractersticas importantes y sus valores calculados a partir de una muestra aleatoria son:a )

La media muestral , con valor b )

La varianza muestral , con valor c ) La desviacin estndar muestral d )

La proporcin muestral (porcentaje de xitos en la muestra) , donde (el parmetro p es el porcentaje de xitos de la poblacin).

Tambin , , donde

DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA MEDIA Y PROPORCIN

Definicin.- Se denomina distribucin muestral de una estadstica a su distribucin de probabilidad

3.1.1Distribucin muestral de la media

Teorema.- Sea , una muestra aleatoria de tamao n escogida de una poblacin f(x) con media y con varianza . Si es la media muestral, entonces,a )

b )

c ) para n suficientemente grande , la variable aleatoria ,

Tiene distribucin aproximadamente normal .NOTAS.a )

La aproximacin de a la normal es buena si , sin importar si la poblacin es discreta o continua.b )

Si la muestra aleatoria es escogida de una poblacin normal , entonces, la distribucin de es exactamente normal , para cualquier tamao de muestra, c ) La varianza de la media: es vlida, si el muestreo es con o sin reemplazo en una poblacin infinita, o es con reemplazo en una poblacin finita de tamao N.

Si el muestreo es sin reemplazo en una poblacin finita de tamao N, entonces, la varianza de la distribucin de es:

El coeficiente se denomina factor de correccin para poblacin finita. Observar que cuando el factor de correccin tiende a uno.La desviacin estndar de una estadstica es conocida como error estndar.

Ejemplo 01La altura media de 400 alumnos de un plantel de secundaria es de 1.50 metros y su desviacin tpica es de 0.25 metros. Determinar la probabilidad de que en una muestra de 36 alumnos, la media sea superior a 1.60 metros.Solucin.

?

Ejemplo 02Se tiene para la venta un lote de 1000 pollos, con un peso promedio de 3.5 kg y una desviacin estndar de 0.18 kg. Cul es la probabilidad de que en una muestra aleatoria, 100 pollos de esta poblacin, pesen entre 3.53 y 3.56 kg?Solucin.

Entonces Ejemplo 03:Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviacin estndar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.Solucin:

Este valor se busca en la tabla de z

La interpretacin sera que la probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.Ejemplo 04:Las estaturas de 1000 estudiantes estn distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centmetros y una desviacin estndar de 6.9 centmetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamao 25 sin reemplazo de esta poblacin, determine:a. El nmero de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centmetros. b. El nmero de medias muestrales que caen por debajo de 172 centmetros. Solucin:Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una poblacin finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendr que agregar el factor de correccin. Se proceder a calcular el denominador de Z para slo sustituirlo en cada inciso.

a.

(0.7607)(200)=152 medias muestralesb.

(0.0336)(200)= 7 medias muestrales

Ejercicios propuestos.1). Las estaturas de los estudiantes de la Universidad Privada del Norte se distribuyen normalmente con media de 170 centmetros y desviacin tpica de 10 centmetros. Si se toma una muestra de 81 estudiantes, Cul es la probabilidad de que tengan una estatura superior a 175 centmetros?2). En una poblacin normal, con media 72,1 y desviacin estndar 3,1, encuentre la probabilidad de que en una muestra de 90 observaciones, la media sea menor que 71,7.3). En un banco de ahorros, la cuenta media es de $ 159320 con una desviacin estndar de $ 18000. cul es la probabilidad de que un grupo de 400 cuentas, elegidas al azar, tenga un depsito medio de $ 160000 o ms?4). En una cierta regin los salarios diarios de los mineros del carbn estn distribuidos normalmente con una media de $ 16500 y una desviacin estndar de $ 1500. Cul es la probabilidad de que una muestra representativa de 25 mineros tenga un promedio diario inferior a $ 15750.

3.1.2Distribucin muestral de la proporcin

Sea una muestra aleatoria de tamao n extrada de la poblacin de Bernoulli , donde p es el porcentaje de xitos en la poblacin y sea

la proporcin de xitos en la muestra , siendo , una variable binomial , entonces ,a )

b )

c ) Si n es suficientemente grande , entonces la variable aleatoria

Tiene aproximadamente distribucin

Notas:1).

El error de es : 2). Si la poblacin es finita de tamao N y el muestreo es sin reposicin el error estndar (desviacin estndar de la hipergeometrica) es :

Observar que si N es grande con respecto a n el factor de correccin se aproxima a la unidad.3). Si n es suficientemente grande ,

sin embargo aproximaciones satisfactorias se obtienen si se introduce el factor de correccin por continuidad . Luego,

4). Observar que las dos expresiones de Z

donde X es binomial y es el porcentaje de xitos en la muestra, tiene distribucin .Ejemplos:1). Se tiene que el 4% de las piezas producidas por cierta maquina son defectuosas, Cul es la probabilidad de que un grupo de 200 piezas, el 3% o ms sean defectuosas?Solucin.

Se desea determinar la probabilidad

Entonces

2). Se desea estudiar una muestra de 49 personas para saber la proporcin de las mayores de 40 aos; sabiendo que la proporcin en la poblacin es 0.4.Cual es la probabilidad de que la proporcin en la muestra sea menor de 0.5?Solucin.

Entonces

3). 46% de los sindicatos del pas estn en contra de comerciar con china continental; Cul es la probabilidad de que una encuesta a 100 sindicatos muestre que ms del 52% tengan la misma posicin?4). La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad es 0.4. Cul es la probabilidad de que en una muestra de 100 pacientes seleccionados de una poblacin de 1000 que sufren la enfermedad, ms del 30% sobrevivan?5). Se ha determinado que el 65% de los estudiantes universitarios de Lima prefieren los cuadernos marca profesional. ?cul es la probabilidad de que en una muestra de 100 universitarios de dicha ciudad, encontremos que:a ) Como mximo el 68% sean usuarios de ese tipo de cuaderno?b ) Exactamente 66% sean usuarios (utilizar medio punto de porcentaje para los Limites)?

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS

Distribucin de diferencias entre dos medias muestrales

Se tienen dos poblaciones independientes identificadas la primera por X y la segunda por Y, de tamao , cuyas medias se simbolizan por , y sus desviaciones tpicas son Se obtiene un nmero (M) de pares de muestras. Las medias muestrales de la primera poblacin se identifican por . Y las muestras de la segunda variable por .La media de las diferencias de todos los pares o medias muestrales posibles, es igual a la diferencia entre las medias poblacionales:

La desviacin tpica de las diferencias entre los pares de medias muestrales se simboliza por:

Suponiendo que la distribucin de diferencias entre las medias muestrales tenga un comportamiento similar a la distribucin normal, la variante estadstica estar dada por:

Entonces

Se puede aplicar esta distribucin cuando no se conoce n las varianzas poblacionales , las cuales pueden ser sustituidas por varianzas muestrales siempre y cuando que sean mayores que 30. Algunos autores consideran si . Siendo su frmula:

Ejemplo 01:Se tienen dos poblaciones normales e independientes, donde la media de la segunda poblacin es 0.65 menor que la de la primera; si se obtienen muestras de tamao 110 y 120 y si las respectivas desviaciones tpicas poblacionales son 12 y 8, se pide determinar la probabilidad de que, en un par de muestras, la diferencia entre ambas medias muestrales sea superior a 1 en valor absoluto.Solucin.

Se pide Entonces

Entonces

Ejemplo 2:En un estudio para comparar los pesos promedio de nios y nias de sexto grado en una escuela primaria se usar una muestra aleatoria de 20 nios y otra de 25 nias. Se sabe que tanto para nios como para nias los pesos siguen una distribucin normal. El promedio de los pesos de todos los nios de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviacin estndar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las nias del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviacin estndar es de 12.247 libras. Si representa el promedio de los pesos de 20 nios y es el promedio de los pesos de una muestra de 25 nias, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 nios sea al menos 20 libras ms grande que el de las 25 nias.Solucin:Datos:1 = 100 libras2 = 85 libras1 = 14.142 libras2 = 12.247 librasn1 = 20 nios n2 = 25 nias= ?

Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de nios sea al menos 20 libras ms grande que el de la muestra de las nias es 0.1056.

Entonces:

Ejemplo 03:Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catdicos a dos compaas. Los tubos de la compaa A tienen una vida media de 7.2 aos con una desviacin estndar de 0.8 aos, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 aos con una desviacin estndar de 0.7. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la compaa A tenga una vida promedio de al menos un ao ms que la de una muestra aleatoria de 40 tubos de la compaa B.Solucin:Datos:A = 7.2 aos B = 6.7 aosA = 0.8 aosB = 0.7 aosnA = 34 tubosnB = 40 tubos= ?

Entonces

Ejemplo 04:Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina, encontrndose una desviacin estndar de 1.23km/L para la primera gasolina y una desviacin estndar de 1.37km/L para la segunda gasolina; se prueba la primera gasolina en 35 autos y la segunda en 42 autos. a. Cul es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de 0.45km/L que la segunda gasolina? b. Cul es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y 0.83km/L a favor de la gasolina 1?. Solucin:En este ejercicio no se cuenta con los parmetros de las medias en ninguna de las dos poblaciones, por lo que se supondrn que son iguales.Datos:1 = 1.23 Km/Lto2 = 1.37 Km/Lton1 = 35 autos n2 = 42 autosa. = ?

b. ?

La probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio en las muestras se encuentre entre 0.65 y 0.83 Km/Lto a favor de la gasolina 1 es de 0.0117.Ejercicios propuestos

1). Se obtiene una muestra aleatoria de 100 elementos de una poblacin normal, que tiene media 50 y desviacin estndar 8. Luego se saca otra muestra aleatoria de 400 elementos de una poblacin normal que tiene media 40 y desviacin estndar 12. Encontrar la probabilidad de que :a ) la media de la primera muestra exceda a la de la segunda en 8 o ms.b ) Ambas medias difieran, en valor absoluto, en 12 o ms. 2). En un restaurante, el consumo medio por desayuno es de $ 1980, con una desviacin estndar de $ 150. En un segundo restaurante las correspondientes cifras son $ 1920 y $120. Si se eligen al azar 80 boletas de pago del primer restaurante y una muestra aleatoria de 60 del segundo, Cul es la probabilidad de que la diferencia entre los consumos medios de ambas muestras sea mayor que $100 en valor absoluto?3). Dos marcas, A y B de tabletas anticidas efervescentes registran el mismo promedio de disolucin en agua, con desviacin estndar de 12 segundos para la marca A y 24 segundos para B. Suponiendo que el tiempo de disolucin este normalmente distribuido, Cul es la probabilidad de que, con una muestra de 36 tabletas de cada marca, las tabletas B registren un promedio de tiempo de disolucin, cuando menos 5 segundos ms rpido de A?4). De cada una de dos poblaciones normales e independientes con iguales medias y desviaciones estndar de 6.40 y 7.20, se extraen muestras de 64 elementos. Encontrar la probabilidad de que la diferencia entre las medias de las muestras exceda de 0.60 en valor absoluto.

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES

En el caso de dos poblaciones independientes de tamao , distribuidas binomialmente, con parmetros, medias proporcionales (tambin se pueden representar las medias por ) y desviaciones proporcionales , siendo: , el error estndar de las diferencias entre las dos medias proporcionales estar dada por :

Cuando son valores poblacionales.

Cuando corresponden a muestras grandes, es decir, ambas superiores a 30.

La media de las diferencias entre dos medias proporcionales, se simboliza; indistintamente por: La variante estadstica Z, estar dada en la misma forma que fue representada para diferencias entre dos medias muestrales:

Ejemplos:1). Consideremos dos mquinas que producen un determinado articulo; la primera produce por trmino medio un 14% de artculos defectuosos, en tanto que otra, produce el 20% de artculos defectuosos; si se obtienen muestras de 200 unidades en la primera y 100 unidades en la segunda, Cul es la probabilidad de que difiera A de B en 8% o ms?Solucin.

Datos:

Entonces

2). Dos fbricas A y B, producen artculos similares. La produccin de A contiene 7% de defectuosos, y la de B contiene, 5%. Si se extrae una muestra aleatoria de 2000 de cada una de las producciones de las fbricas, Cul es la probabilidad de que las dos muestras revelen una diferencia en el nmero de los defectuosos del 1 % o ms?Solucin

Datos:

Luego

Entonces

3). Se sabe que cierta marca de crema para las manos satisface el 65% del mercado. Cul es la probabilidad de que dos muestras aleatorias de 200 usuarios cada una, muestre una diferencia mayor del 10% en las proporciones del uso de la crema?4). Suponga que una maquina A produce, por termino medio, un 12% de piezas defectuosas, en tanto que la maquina B, el 18% de piezas con defectos. Se desea hallar la probabilidad de que el promedio de defectuosas de una muestra de 600 unidades, tomada de la maquina A, no difiera en ms de un 8% de otra muestra de 400 unidades, de la maquina B.5). Ciertas encuestas de televidentes, revelan que el 25% de los hombres y 33 % de las mujeres de clase media, ven la telenovela de las 11:30 de la maana. Cul es la probabilidad de que en dos muestras aleatorias de 150 hombres y 100 mujeres respectivamente, pertenecientes a dicho estrato social, se encuentre que la proporcin de hombres que ha visto el programa sea igual o mayor que la proporcin de mujeres?

4. ACTIVIDADES Y EJERCICIOS

1) Las estaturas de los estudiantes de la Universidad Privada del Norte se distribuyen normalmente con media de 170 centmetros y desviacin tpica de 10 centmetros. Si se toma una muestra de 81 estudiantes, Cul es la probabilidad de que tengan una estatura superior a 175 centmetros?2) 46% de los sindicatos del pas estn en contra de comerciar con china continental; Cul es la probabilidad de que una encuesta a 100 sindicatos muestre que ms del 52% tengan la misma posicin?3) Un especialista en gentica ha detectado que el 26% de los hombres y el 24% de las mujeres de cierta regin del pas tiene un leve desorden sanguneo; si se toman muestras de 150 hombres y 150 mujeres, determine la probabilidad de que la diferencia muestral de proporciones que tienen ese leve desorden sanguneo sea de Menos de 0.035 a favor de los hombres. a. Menos de 0.035 a favor de los hombres. b. Entre 0.01 y 0.04 a favor de los hombres.4) Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte difieren en sus opiniones sobre la promulgacin de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12% de los hombres adultos estn a favor de la pena de muerte, mientras que slo 10% de las mujeres adultas lo estn. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su opinin sobre la promulgacin de la pena de muerte, determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de las mujeres.5) En una poblacin normal, con media 72,1 y desviacin estndar 3,1, encuentre la probabilidad de que en una muestra de 90 observaciones, la media sea menor que 71,7.6) Se sabe que la resistencia a la ruptura de cierto tipo de cuerda se distribuye normalmente con media de 2000 libras y una varianza de 25,000 lbs2. Si se selecciona una muestra aleatoria de 100 cuerdas; determine la probabilidad de que en esa muestra La resistencia media encontrada sea de por lo menos 1958 libras. 7) Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catdicos a dos compaas. Los tubos de la compaa A tienen una vida media de 7.2 aos con una desviacin estndar de 0.8 aos, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 aos con una desviacin estndar de 0.7. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la compaa A tenga una vida promedio de al menos un ao ms que la de una muestra aleatoria de 40 tubos de la compaa B.8) Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina, encontrndose una desviacin estndar de 1.23km/L para la primera gasolina y una desviacin estndar de 1.37km/L para la segunda gasolina; se prueba la primera gasolina en 35 autos y la segunda en 42 autos. Cul es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de 0.45km/L que la segunda gasolina? 9) Consideremos dos mquinas que producen un determinado articulo; la primera produce por trmino medio un 14 % de artculos defectuosos, en tanto que otra, produce el 20% de artculos defectuosos; si se tiene muestras de 200 unidades en la primera y 100 unidades en la segunda, Cul es la probabilidad de que difiera A de B en 8% o ms?